Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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con q l’impulso del fotone virtuale. Dunque per piccoli q (cioè per grandi distanze) il fotone vede semplicemente le dimensioni atomiche che si misurano dall’espressione della sezione d’urto, dato che dσ lim a|q |≪1 dΩ = 4Z2α 2 m 2 a 4 Se invece andiamo a grandi valori di |q |, il fotone è in grado di vedere il nucleo puntiforme e si ritrova la sezione d’urto coulombiana dσ lim a|q |≫1 dΩ = 4Z2α2m 2 |q | 4 Si ha dunque una transizione tra i due regimi al crescere di q . Lo stabilirsi dell’andamento in 1/ sin 4 (θ/2), caratteristico di una sorgente puntiforme, è l’analogo dello stabilirsi del regime alla Bjorken. Ancora, nella transizione tra i due regimi la dipendenza dalle dimensioni del bersaglio scompare e la sezione d’urto in avanti θ ≈ 0 cresce in modo violento. Vale la pena ricordare qui che furono precisamente queste caratteristiche che permisero a Rutherford di dimostrare la validità dei modelli atomici con un nucleo pesante centrale. In questo senso gli esperimenti di SLAC hanno rappresentato una riedizione dell’esperimento di Rutherford ad un’altra scala. Infatti le previsoni di scaling di Bjorken sono state puntualmente confermate dai dati sperimentali (vedi Fig. 9). In effetti si ha uno scaling piuttosto precoce, esso si stabilisce già per valori di Q 2 dell’ordine di pochi GeV . Dati i precedenti fatti sperimentali risulta Figura 9 La misura effettuata a SLAC del prodotto νF2. I risultati mostrano che a fissato ω, il prodotto non cambia con Q 2 , in accordo all’ipotesi di scaling 2 = Σ partoni Figura 10 Lo scattering anelastico di fotoni su protoni si può pensare come la somma di tutte le sezioni d’urto per lo scattering del fotone sui partoni che costituiscono il protone naturale fare l’assunzione che lo scattering del fotone virtuale sul protone sia calcolabile effettuando una somma incoerente delle sezioni d’urto per lo scattering del fotone sui vari costituenti (detti partoni), pesata con una funzione 2 16 (2.54) (2.55)
di distribuzione del partone, che descrive la probabilità che il partone considerato abbia un dato impulso ed una data energia. Si assume cioè che lo scattering sia calcolabile dai grafici rappresentati in Fig. 10. Introduciamo allora una funzione di probabilità per il partone di tipo i, Pi(x), dove x è la frazione dell’impulso del protone portata da questo partone. La funzione di probabilità Pi(x) è tale che dPi(x) = fi(x)dx (2.56) rappresenta la probabilità che il partone abbia una frazione d’impulso compresa tra x e x + dx. Segue quindi la condizione di normalizzazione x fi(x) dx = 1 (2.57) i dato che la somma di tutte le frazioni d’impulso deve fare uno. La sezione d’urto anelastica è allora data schematicante da dσ = protone fi(x)dσi (2.58) partone dove i dσi = e 2 i dσpoint dove ei sono le cariche dei partoni in unità e, e dσpoint è la sezione d’urto su bersaglio puntiforme di carica e che abbiamo precedentemente calcolato. È opportuno insistere che nell’uguaglianza precedente si assume che i partoni finali si ricombinino in adroni con probabilità 1. Questo tipo di schematizzazione richiede una definzione delle variabili cinematiche dei partoni, in termini delle variabili di protone, data nella seguente tabella Protone Partone Energia E xE ImpulsoL pL xpL ImpulsoT Massa pT = 0 M pT = 0 m = x2E2 − x2p2 L = xM dove pL e pT sono le componenti dell’impulso in direzione parallela e perpendicolare (trasversa) rispetto alla direzione del protone. In sostanza si è assunto che il partone abbia impulso trasverso piccolo rispetto all’impulso del protone. Questo segue dall’idea base di questo modello, cioè che, ad alti impulsi del fotone, il tempo di interazione tra fotone e partone sia piccolo rispetto ai tempi di interazione dei partoni tra loro. Quindi i partoni non fanno in tempo a cambiare il loro impulso trasverso prima che il fotone li urti. Osserviamo però che questo tipo di considerazioni porta ad assumere una massa variabile per il partone. Questo non ha molto senso, e l’unico modo per ricomporre le cose è di supporre m = 0, che però ha come conseguenza che anche la massa del protone dovrebbe essere nulla. La cinematica non è quindi molto consistente. In realtà le cose possono essere riconciliate allorché uno abbia una teoria dinamica completa (quale è QCD, cioè la cromo-dinamica-quantistica). A questo livello dobbiamo contentarci di considerazioni che, sebbene fisicamente sensate, sono un pò qualitative. Possiamo infatti rendere la cinematica consistente considerando il protone in riferimento di Lorentz particolare, il cosi detto riferimento p∞, cioè un riferimento in cui il protone si muove con velocità della luce, e quindi l’impulso spaziale domina sulla massa e E = |p|. Le masse diventano trascurabili ed inoltre il fattore di dilatazione temporale tende a rallentare la rate con la quale i partoni interagiscono tra di loro. In questo riferimento, il modello a partoni diventa esatto, e per esempio l’ipotesi di scattering incoerente diviene completamente giustificata. Saremo più vicini a questo limite quanto più le energie dei processi che si considerano sono elevate. Possiamo adesso pensare alla possibilità che i partoni siano identificabili con i quark. In questo caso, l’ipotesi che i partoni si ricombinino con probabilità 1 in adroni risulterebbe consistente con l’ipotesi del confinamento ed ovviamente permette di identificare la sezione d’urto e − quark → e − quark pesata con le funzioni di struttura fi(x) che danno la probabilità di presenza dei quark dentro il protone, con e − p → e − X, dato che, come discusso, non si osserva lo stato finale. Con queste premesse possiamo dare una derivazione approssimata della relazione tra le funzioni di struttura F1(ω) e F2(ω) del protone e le funzioni di probabilità (dette anch’esse funzioni di struttura) fi(x). In questa derivazione faremo uso della cinematica con massa variabile del partone. Ricordiamo che nel caso puntiforme si ha F1(ω) point = MW point 1 17 (2.59) (2.60) = MQ2 4m2 Q2 δ(1 − ) (2.61) ν 2mν
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