Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

C. Transizioni del 1 0 ordine
Come abbiamo visto la teoria di Landau è costruita sulla base dell’assunzione che il parametro d’ordine η sia piccolo
nel limite t → 0. Se la simmetria del problema non lo impedisce potremmo dunque inserire anche termini dispari in
η. Termini lineari in η non possono essere inseriti (a campo esterno nullo). Perchè altrimenti la condizione di minimo
non potrebbe avere soluzione nulla per T > Tc
∂L
∂η = a1 + 2a2η + 3a3η 2 + · · · = 0 (4.93)
O detto in altri termini si può sempre ridefinire il parametro d’ordine sottraendogli il suo valore nella fase rotta.
Limitandosi ancora ad una espansione sino al 4 0 ordine termini in η 3 non sono però esclusi a priori
L = atη 2 + 1
2 bη4 + Cη 3 − Hη (4.94)
Limitiamoci ancora al caso H = 0. Il valore di equilibrio per il parametro d’ordine è dato da
e quindi si hanno le soluzioni
Per la soluzione non nulla troviamo
È conveniente definire
e quindi
La funzione di Landau è
e
2atη + 2bη 3 + 3Cη 2 = 0 (4.95)
η = 0, 2bη 2 + 3Cη + 2at = 0 (4.96)
η = − 3C
4b ±
η = −c ±
3C 2 c = 3C
4b
4b
L = atη 2 + 1
2 bη4 + 4
3 bcη3
51
− a
t (4.97)
b
(4.98)
c2 − a
t (4.99)
b
(4.100)
∂ 2 L
∂η 2 = 2at + 6bη2 + 8bcη (4.101)
La soluzione η = 0 è un minimo per T > Tc (t > 0). Soluzioni non nulle possono esistere solo se è soddisfatta la
condizione
c 2 − a
t ≥ 0 (4.102)
b
Ovvero per
t ≤ t ∗ , t ∗ = bc2
a
(4.103)
Dato che t ∗ > 0, si hanno soluzioni non nulle anche nell’intervallo 0 ≤ t ≤ t ∗ . Senza perdere di generalità possiamo
fissare c > 0, allora per t = t ∗ si ha η = −c. Quindi dalla (4.100) si ha
∂2L ∂η2
t=t ∗
= 0 (4.104)