Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

ovvio che l’assenza dei bosoni di Goldstone è un indice della restaurazione della simmetria chirale. Esistono molti modi
di testare questo tipo di transizione. Per esempio si può considerare un sistema adronico a temperatura finita. In altri
termine si può fare una termodinamica di equilibrio con un bagno termico di stati adronici. Sperimentalmente questa
situazione si può parzialmente realizzare negli urti ad alta energia tra ioni pesanti in cui si può formare un insieme
statistico a temperatura definita. Aumentare la temperatura del sistema è equivalente ad aumentarne l’energia,
possiamo dunque aspettarci che anche aumentando la temperatura si possa avere la transizione. La materia adronica
ordinaria, in questa rappresentazione, è considerata a T = 0. Un altro modo è quello di variare la densità del sistema.
Un aumento di densità corrisponde a diminuire la distanza media tra i quark e, come sappiamo, questo corrisponde ad
un aumento in energia. Variazioni di densità si realizzano in urti tra ioni pesanti in cui la densità del sistema aumenta
al momento dell’urto. Variazioni di densità importanti si trovano nelle stelle a neutroni, in cui la densità al centro
della stella può raggiungere valori pari a 5-6 volte la densità nucleare (≈ .15 × 10 15 gr/cm 3 ). Per questo motivo è
stato ed è di grande interesse il diagramma di fase di QCD in temperatura e densità, o equivalentemente in potenziale
chimico. Purtroppo non è possibile effettuare dei calcoli espliciti partendo dalla lagrangiana di QCD dato che siamo
in un regime di interazioni forti. Calcoli sulla transizione sono stati fatti sia usando dei modelli approssimati di QCD
che con metodi basati sul calcolo dell’integrale funzionale in cui si approssima il continuo spazio-temporale con un
reticolo finito. I risultati che si ottengono sono estremamente interessanti, ma purtroppo non abbiamo qui lo spazio
per dire qualcosa sui vari modelli. Possiamo solo dire che in alcuni casi si simula l’interazione con i gluoni tramite un
accoppiamento tra quattro fermioni del tipo
G
Λ 2 ¯ ψγµT A ψ ¯ ψγ µ T A ψ (8.15)
dove il fattore G/Λ 2 simula l’interazione gluonica. Λ −1 può essere pensata come la scala di confinamento e quindi
l’approssimazione può essere ragionevole per E ≪ Λ, ma non è possibile una giustificazione rigorosa. Un’altra
approssimazione usata è quella detta di ladder-QCD. In questa approssimazione si tiene conto di un numero infinito
di diagrammi che però sono solo una parte dei possibili diagrammi. In particolare, si calcola il propagatore dei quark
(vedi Fig. 38). Si parte dalla teoria a masse nulle e se c’e’ rottura della simmetria chirale questa è segnalata dalla
generazione di un termine di massa dei quark. Nonostante le approssimazioni molto crude si trova, per quark senza
~ + + + ...
Figura 38 La serie infinite di grafici che contribuiscono al propagatore dei quark nell’approssimazione di ladder-QCD
massa, che a potenziale chimico nullo, cè una transizione di fase del secondo ordine in temperatura, mentre a T = 0 c’è
una transizione del primo ordine nel potenziale chimico. Quindi ad un certo punto del diagramma di fase occorre che
la transizione del primo ordine diventi del secondo ordine. Il punto di incontro tra una linea di transizione del secondo
ordine e di una del primo prende il nome di punto tricritico, Tutti i calcoli approssimati che abbiamo elencato
mostrano l’esistenza di questo punto. In Fig. 39 è mostrato, in maniera qualitativa, il diagramma di fase di QCD nel
piano (µ, T ). Diremo qualcosa sul reticolo in seguito. Qui ci limiteremo a studiare la transizione tramite l’azione di
bassa energia. Ovviamente questa è una notevole approssimazione ma, come vedremo, da risultati qualitativamente
in accordo con altri approcci. Per semplicità studieremo esplicitamente cosa accade nel caso di due flavor, u e d
a massa nulla. Dato che saremo interessati a studiare cosa accade attorno alla transizione di fase, considereremo
il modello σ-lineare del caso SU(2) × SU(2) inserendo anche il campo ρ(x) che intorno alla transizione avrà massa
piccola e quindi fa parte naturalmente dell’azione di bassa energia. Ricordiamo anche che l’effetto della temperatura
è di aggiungere un termine quadratico nei campi bosonici che riduce l’effetto del termine di massa negativo che induce
la rottura spontanea. Considereremo dunque il modello σ-lineare sia a temperatura che a densità finite.
A. Il modello σ-lineare a temperature e densità finite
Riprendiamo la lagrangiana (5.83)
L = 1
2 ∂µρ∂ µ ρ − 1
2 µ2 ρ 2 − 1
4 λρ4 + 1
4 ρ2 Tr ∂µU † ∂ µ U
77
(8.16)