Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

Qui σ è l’indice di spin e ɛF l’energia di Fermi. Lo stato fondamentale sarà dato dal mare di Fermi con tutti gli stati
aventi ɛ(p) > ɛF riempiti, e con gli stati tali che p < ɛF vuoti. La superficie di Fermi è definita da ɛ(p) = ɛF . Un
semplice esempio è mostrato in Fig. 49.
p
1
Figura 49 Una superficie di Fermi sferica. In figuara si possono notare una particella con impulso p1 ed una lacuna con impulso
p2, Si mostra anche la decomposizione dell’impulso in impulso di Fermi k ed impulso residuo l
Come abbiamo visto l’azione libera determina le proprietà di scaling dei campi. Nel caso specifico noi siamo
interessati alla fisica in vicinanza della sfera di Fermi e quindi dobbiamo determinare le proprietà di scaling dei
campi per ɛ → ɛF . Misureremo le energie rispetto all’energia di Fermi ed introdurremo un fattore di scaling s < 1.
Chiaramente quando la differenza di energia scala a zero l’impulso spaziale scala all’impulso di Fermi. Quindi è
conveniente decomporre gli impulsi nel modo seguente (vedi Fig. 49)
ed avremo le seguenti proprietà
k
l
p
2
p
p = k + l (10.8)
E → s E, k → k, l → s l (10.9)
Espandendo il secondo termine in Eq. (10.7) intorno alla superficie di Fermi, si ha
dove
ɛ(p) − ɛF = ∂ɛ(p)
∂p
p= k
vF ( k) = ∂ɛ(p)
∂p
Notiamo anche che vF ( k) è ortogonale alla superficie di Fermi. Dunque otteniamo
Sfree = dt d 3
p ψ †
σ(p) i∂t − lvF (
k) ψσ(p)
Le proprietà di scaling delle variabili cinematiche sono dunque
· (p − k) = lvF ( k) (10.10)
p= k
94
(10.11)
(10.12)
dt → s −1 dt, d 3 p = d 2 k dl → s d 2 k dl
∂t → s ∂t, l → s l (10.13)
Segue che al fine di lasciare l’azione libera invariante i campi devono scalare nella seguente maniera
ψσ(p) → s −1/2 ψσ(p) (10.14)