Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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1. In una camera a bolle lo spessore di una traccia carica è proporzionale al quadrato della carica stessa. Quindi confrontando tra loro le tracce cariche era possibile con una certa facilità distinguere una eventuale carica frazionaria da una carica intera. Poiché non si aveva evidenza sperimentale non restava che concludere che i quark non fossero prodotti alle energie disponibili. Si otteneva cosí un limite inferiore dell’ordine del GeV sulla massa dei quark. Questo implicava una energia di legame molto grande per tre quark che costituivano un protone anch’esso con massa dell’ordine del GeV . 2. La relazione spin-statistica. Nel 1934 Pauli aveva dimostrato il suo famoso teorema secondo il quale le particelle di spin intero devono soddisfare la statistica di Bose-Einstein, e quelle di spin semintero la statistica di Fermi- Dirac. Se adesso consideriamo il decupletto dei barioni, vediamo che le particelle Ω − , ∆ − e ∆ ++ sono costituite da 3 quark identici, rispettivamente sss, ddd e uuu che inoltre devono essere nello stesso stato di spin al fine di riprodurre lo spin 3/2 di queste particelle. Visto che in genere lo stato fondamentale si ha per funzioni d’onda simmetriche nello scambio delle variabili di posizione, queste configurazioni risultavano proibite dal teorema spin-statistica (dato che secondo il teorema i quark, avendo spin 1/2, dovevano essere fermioni). Ovviamente si poteva pensare che lo stato fondamentale fosse descritto da funzioni d’onda antisimmetriche, ma era molto difficile costruire dei potenziali di interazione realistici per giustificare questa assunzione. Tra le varie ipotesi fatte ci fu anche quella che i quark fossero particelle speciali che obbedivano una parastatistica di ordine 3 invece che una statistica normale. In una parastatistica di ordine k, possono coesistere nello stesso stato sino a k particelle, quindi la statistica di Fermi è di ordine 1, mentre quella di Bose è di ordine infinito. Ma questo sembrava molto esotico e non facilmente riconducibile a principi primi. Nel 1965 Han e Nambu trovarono una spiegazione che per certi versi va nella direzione di una parastatistica, ma in termini molto più elementari. La loro spiegazione può essere illustrata nel modo seguente. Supponiamo di sapere che l’elettrone obbedisce al principio di Pauli ma non sapere che ha spin 1/2. L’osservazione sperimentale ci dice però che due elettroni possono coesistere nello stesso orbitale atomico con violazione apparente del teorema. Possiamo sí dire che l’elettrone soddisfa una parastatistica di ordine 2, ma più semplicemente la soluzione sta nel fatto che l’elettrone ha un ulteriore grado di libertà a due valori (lo spin) che permette giusto a due elettroni di stare nello stesso orbitale, uno con spin up e l’altro con spin down. Seguendo questo argomento si può supporre che ogni quark esista in tre stati possibili (stati di colore), che sono generalmente indicati con red, blue e white. Quindi la funzione d’onda dei quark è del tipo qα,a, α = u, d, s, a = R, W, B (1.33) (oltre ad essere uno spinore di Dirac per ogni scelta degli indici α e a). Quindi l’Ω − ha una configurazione descritta da una funzione d’onda completamente antisimmetrizzata nel colore Ω − ≈ ɛabcsasbsc, a, b, c = R, W, B (1.34) Abbiamo allora due distinti gruppi SU(3) che agiscono sui quark, uno detto di flavor che agisce sull’indice α e rimescola tra loro i quark u, d, s (cioè i diversi flavor) a colore fissato. L’altro (indicato con SU(3)c) agisce invece sull’indice a di colore a flavor fisso. Inoltre, mentre l’ SU(3) di flavor è una simmetria approssimata, si suppone che SU(3)c sia invece una simmetria esatta di natura simile alla simmetria che dà luogo alla conservazione della carica elettrica (cioè la simmetria di gauge). Han e Nambu postularono anche che i soli possibili stati fisici fossero neutri rispetto al colore, cioè stati di singoletto (questa ipotesi è nota oggi come confinamento), come gli atomi sono ordinariamente neutri rispetto alla carica elettrica. Ma mentre gli atomi si possono ionizzare, oggi si sospetta che stati liberi di quark (o più in generale stati che non siano singoletti) non esistano in natura. Segue che gli stati osservabili sono fatti dalle solo combinazioni di quark che producono singoletti di colore. Vediamo dalla (1.18) che questo è il caso per ¯qq e qqq. Il problema che allora si poneva era la possibilità di avere un test sperimentale sull’ipotesi del colore. Un possibile modo è nello studio del decadimento π 0 → 2γ. Questo è un decadimento elettromagnetico, che era già stato calcolato nel modello di Fermi-Yang, usando il grafico di Feynman di Fig. 7 ed era stato trovato un risultato in accordo con i dati sperimentali. Osserviamo che si hanno due contributi a questo grafico, uno quando circola un protone nel triangolo ed uno quando circola il neutrone. Il risultato è proporzionale a Q 2 (p) − Q 2 (n) (1.35) dato che la funzione d’onda del π 0 è proporzionale a ¯pp − ¯nn. Questa differenza di quadrati vale 1 nel modello di Fermi-Yang. Nel modello a quark si ha analogamente che la funzione d’onda del π 0 è data da ūu − ¯ dd e quindi l’ampiezza è proporzionale a Q 2 (u) − Q 2 (d) = 4 1 1 − = 9 9 3 8 (1.36)
Figura 7 Il grafico di Feynman per il decadimento π 0 → γγ g π 0 Se però i quark esistono in tre colori, il diagramma di Fig. 7 va ripetuto 3 volte riottenendo cosí lo stesso risultato del modell di Fermi-Yang. Un ulteriore test dell’idea del colore proviene dall’analisi della sezione d’urto totale e + e − → adroni, dove cioè si contano tutti i possibili adroni prodotti nello stato finale. Se tutti gli adroni provengono da quark (questo non è completamente vero, perché in parte sono prodotti dai leptoni τ che hanno massa sufficiente per decadere in adroni, ma questo contributo può essere sottratto), allora questa sezione d’urto è la stessa di e + e − → ¯qq sommata su tutti i quark con massa m < Eb (Eb = energia del fascio). Infatti i quark si devono alla fine ricombinare per dare adroni (vista l’ipotesi del confinamento) con probabilità uno. Dunque σT (e + e − → adroni) = q,mq
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cosi come p (5) = (E, 0, π/a, pz),
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