Appunti per il corso: Fisica del plasma di quark e gluoni (A.A. ... - Infn

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Possiamo sempre riscrivere questa matrice nella form con det(U) = a 2 4 + |a| 2 = 1. Allora la misura di Haar può essere scritta nella forma dU = U = a4 + ia · σ (9.64) 4 daµδ(a 2 4 + |a| 2 − 1) (9.65) µ=1 Chiaramente una trasformazione di SU(2) non cambia la parte daµ che nella trasformazione prende lo Jacobiano della matrice di trasformazione che ha determinante 1. L’argomento della δ di Dirac anche rimane invariato perché det(US) = detU = 1. Al fine di calcolare l’integrazione funzionale, consideriamo una teoria con gruppo di gauge SU(N). In generale abbiamo bisogno di calcolare integrali del tipo dUU j1 i1 jm †l1 †ln · · · U U · · · U im k1 kn Integrali di questo tipo risultano nulli a meno che m = n (mod N). Questo segue dal fatto che a causa dell’invarianza della misura il risultato dell’integrale deve essere un tensore invariante sotto SU(N). Gli unici due tensori invarianti sono la δ di Kronecker ed il tensore di Ricci in N dimensioni, da cui il risultato. Assumeremo anche che la misura di Haar sia normalizzata dU = 1 (9.67) Consideriamo il caso piu’ semplice m = n = 1. Allora si dimostra che dUU i jU †l 1 k = N δi kδ l j A questo scopo notiamo che si deve avere Contraendo con δ k i da cui si ha Contraendo poi con δ j i δk l si può usare 90 (9.66) (9.68) dUU i jU †l k = Aδi kδ l j + Bδ i jδ l k (9.69) dU(UU † ) l j = δ l j = (AN + B)δ l j (9.70) AN + B = 1 (9.71) dU|TrU| 2 = 1 (9.72) Questa relazione puo’ essere facimente verificata per SU(2) ma è vera in generale. In SU(2) se usiamo la parametrizzazione si ha U = e iφn·σ/2 = cos φ φ + in · σ sin 2 2 dU = d2n dφ φ sin2 4π π 2 (9.73) (9.74)
Questa equazione si verifica subito partendo dalla (9.65) ed effettuando il cambiamento di variabili dalle aµ a (n, φ). Il termine sin 2 (φ/2) proviene da un fattore sin 4 (φ/2) dello jacobiano e da un fattore 1/ sin 2 (φ/2) proveniente dalla δ di Dirac che in queste variabili è data da δ 2 φ cos 2 + |n|2 2 φ sin − 1 2 = δ (|n| 2 − 1) sin 2 φ 2 Dopo l’estrazione del fattore sin 2 (φ/2) la δ di Dirac fissa la condizione |n| 2 = 1, equivalente a dire che si sta integrando sulla sfera di raggio 1 descritta da n. Questo fissa il fattore 1/4π di normalizzazione. Il fattore 1/π proviene dalla normalizzazione dell’integrazione su φ. Tornando alla eq. (9.72) si ha che TrU = 2 cos(φ/2). Pertanto dU|TrU| 2 = 4 Questa equazione da l’ulteriore equazione e quindi 2 d n dφ φ φ sin2 cos2 4π π 2 2 = 91 (9.75) 2 d n dφ 4π π sin2 φ = 1 (9.76) AN + BN 2 = 1 (9.77) A = 1 , B = 0 (9.78) N Pertanto segue la (9.68). Il loop di Wilson più semplice da calcolare è quello in cui il cammino chiuso C è una plaquette P , diciamo W (P ) Si ha allora all’ordine più basso in 1/g 2 W (P ) ≈ x,µ dUµ(x) W (P ) = 〈Tr UP 〉 (9.79) x,µ dUµ(x) 1 − 1 2g 2 1 − 1 2g 2 P ′ Tr UP ′ P ′ Tr UP ′ Tr UP (9.80) L’unico contributo non nullo può venire solo dalla plaquette P ′ orientata in senso opposto alla plaquette P a cui è associato un fattore U † . Generalizzando questo argomento si trova che il risultato dell’integrale è il contributo della singola plaquette, che è proporzionale a 1/g 2 elevato all’area minima che si adagia sul circuito C (misurata in unità delle dimensioni reticolari a 2 ) Per il loop rettangolare che abbiamo considerato si trova Quindi confrontando con l’espressione (9.53) W (C) = W (P ) Amin(P )/a 2 W (R × T ) = [W (P )] RT/a2 ≈ 1 g2 2 RT/a W (C) ≈ e −E0T ≈ e −(RT log g 2 )/a 2 Vediamo che l’energia cresce linearmente con R con un coefficiente E0 ≈ KR, K ≈ 1 log g2 a2 K è anche chiamata la tensione di stringa. In definitiva abbiamo mostrato che una teoria di puri gluoni (con i quark di massa ionfinita) da luogo a confinamento. A temperatura finita il criterio di confinamento è espresso tramite il loop di Polyakov L(x) = Pt exp i β 0 dtA0(x) (9.81) (9.82) (9.83) (9.84) (9.85)
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Figura 7 Il grafico di Feynman per
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Figura 22 Scattering Rutherford e p
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che compare nelle equazioni origina
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