Cenni sulla meccanica quantistica di Feynman - Ademollo

Usiamo ora la seguente rappresentazione della delta di Dirac:
(32) δ(x) = lim
η→0+
1
√ πη e −x2 /η .
Si vede allora che prendendo per Aɛ l’espressione (21)
m
Aɛ =
2πiɛ
si ottiene
(33) K(xb, ta; xa, ta) = δ(xb − xa).
Resta da dimostrare che K(b, a) obbedisce all’equazione di Schrödinger che, sempre nel caso
unidimensionale, ha la forma
(34)
i ∂ 2 ∂
+
∂t 2m
2
− V (x) K(x, t; xa, ta) = 0.
∂x2 Partiamo dall’equazione (28) e poniamo
xb = x, tb = t + ɛ; xc = x − ξ, tc = t.
Per ɛ infinitesimo K(b, c) ha la forma della (30), per cui si ha:
(35)
∞
K(x, t + ɛ; a) = Aɛ
i
m
dξ exp
2ɛ ξ2 − ɛV (x − 1
2ξ)
K(x − ξ, t; a).
−∞
Sviluppiamo il primo membro e il secondo fattore dell’esponenziale al secondo membro fino
al primo ordine in ɛ, per cui si ottiene
(36) 1 + ɛ ∂
∞
im
K(x, t; a) = Aɛ dξ exp
∂t
2ɛ ξ2
1 − i
1 ɛ V (x −
2ξ)
K(x − ξ, t; a).
−∞
Osserviamo che, nell’integrale al secondo membro, l’esponenziale fa sì che all’integrale stesso
contribuisca solo una piccola regione attorno a ξ = 0, con mξ 2 2ɛ. Infatti dentro questa
regione l’esponenziale è dell’ordine di 1, mentre lontano da questa l’esponenziale è rapidamente
oscillante e, moltiplicato per una funzione regolare di ξ, dà un integrale praticamente nullo.
Sviluppiamo allora gli ultimi due fattori dell’integrando fino al secondo ordine in ξ. Dallo
sviluppo del potenziale si avrebbe V (x) − 1
2 ξ V ′ (x), ma il secondo termine, moltiplicato per ɛ,
contribuirebbe all’integrale con un termine di ordine ɛ 2 e si può quindi trascurare. Il secondo
membro della (36) si riduce allora a
Aɛ 1 − (iɛ/) V (x) ∞
dξ exp
−∞
−∞
im
2ɛ ξ2
1 − ξ ∂ 1 ∂2
+ ξ2
∂x 2 ∂x2
K(x, t; a).
Facciamo ora l’integrale su ξ. Il termine lineare in ξ nella parentesi tonda dà zero perché
l’integrando è dispari. Per gli altri due termini utilizziamo la (21) e le formule:
∞
im
Aɛ exp
2ɛ ξ2
∞
dξ = 1; Aɛ ξ 2
im
exp
2ɛ ξ2
dξ = iɛ
m
Infine, inserendo il risultato nella (36) e uguagliando i termini del primo ordine in ɛ, si ottiene
l’equazione di Schrödinger (34).
8
−∞