Il confronto fra proporzioni - Formazione e Sicurezza

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Il confronto fra proporzioni - Formazione e Sicurezza

Il confronto fra proporzioni

L. Boni

Il rapporto

Un rapporto (ratio), attribuendo un

ampio significato al termine, è il

risultato della divisione di una certa

quantità a per un’altra quantità b

Il rapporto

Il confronto fra proporzioni

Spesso, in maniera più specifica, si

parla di rapporto quando numeratore

e denominatore rappresentano due

quantità separate e distinte, nessuna

delle due contenuta nell’altra

Sex ratio=(N° di maschi)/(N° femmine)

Fetal death ratio=(N° di morti fetali)/(N° di nati vivi)

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La proporzione

La proporzione è un particolare tipo

di rapporto in cui il numeratore è

compreso nel denominatore

La proporzione

Il confronto fra proporzioni

(N° di maschi) / [(N° di maschi) + (N° di femmine)]

Una proporzione ha sempre

numeratore e denominatore discreti

ed un valore compreso fra 0 e 1

Il confronto fra proporzioni

Come analizzare le proporzioni

FIGURA 5.1 GLANTZ

VARIABILE CASUALE BINARIA

P destro = P(X=0) = 150/200 = 0.75

P mancino = P(X=1) = 50/200 = 0.25

P destro = 1 - P mancino

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Media di una variabile binaria

e generalizzando:

cioè la proporzione della popolazione con

la caratteristica studiata

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Deviazione standard di una variabile binaria

NOTA: Possiamo descrivere completamente

la struttura della popolazione con il singolo

parametro P

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Relazione fra media e deviazione

standard di una proporzione

FIGURA 5.3 GLANTZ

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Stima di proporzioni

ottenute da campioni

Qual è la precisione con la quale la proporzione

di individui con un certa caratteristica di un

campione riflette la proporzione di individui con

la stessa caratteristica nella popolazione ?

FIGURA 5.4 GLANTZ

Stima di proporzioni

ottenute da campioni

FIGURA 5.5 GLANTZ

Il confronto fra proporzioni

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Errore standard della stima di

una proporzione

FIGURA 5.6 GLANTZ

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Distribuzione binomiale

Distribuzione binomiale

Distribuzione binomiale

Il confronto fra proporzioni

Il confronto fra proporzioni

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Distribuzione binomiale

dove

Assunti

Stiamo analizzando esperimenti di tipo

bernoulliano, nei quali:

Il confronto fra proporzioni

Ogni singolo esperimento ha solo due

possibili esiti mutuamente esclusivi

La probabilità P di un certo esito rimane

costante

Tutti gli esperimenti sono indipendenti

Assunti

Il confronto fra proporzioni

Utilizzando il concetto di popolazione,

possiamo riformulare gli assunti nel modo

seguente:

Ogni unità della popolazione appartiene

ad una sola delle due classi

La proporzione P di unità della

popolazione appartenenti ad una delle

due classi rimane costante

Ogni unità del campione è estratta

indipendentemente da tutte le altre unità

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Confronto fra una proporzione

ed un valore atteso

RICORDA: Il teorema del limite

centrale afferma che la distribuzione di

p per campioni abbastanza numerosi è

approssimativamente normale con

media P e deviazione standard p

Il confronto fra proporzioni

Confronto fra una proporzione

ed un valore atteso

Se estraiamo ripetutamente un

campione di numerosità n da una

popolazione con parametro P, il 68%

dei campioni forniranno una stima di P

compresa nell’intervallo P 1 E.S. ed

il 95% nell’intervallo P 2 E.S.

Un esempio

Il confronto fra proporzioni

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Un esempio

Questa approssimazione non vale per

valori di P vicini a 0 o a 1, o quando la

numerosità campionaria n è piccola.

Di regola è accettabile quando np e

n(1-p) sono entambi maggiori di 5.

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Confronto fra una proporzione

ed un valore atteso

P = parametro della popolazione

O/n = p = proporzione osservata

Ipotesi nulla (H0):

n è un campione casuale estratto da

una popolazione con parametro P

Il confronto fra proporzioni

Confronto fra una proporzione

ed un valore atteso

Test z:

misura in unità di D.S. (=E.S.) la

distanza fra la P della popolazione e

la p osservata

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Confronto fra una proporzione

ed un valore atteso

Esempio: su 60 giocate alla roulette

mi aspetto 30 rossi (50%) e ne osservo

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Intervallo di confidenza di una

proporzione

Sappiamo che

segue approssimativamente la distribuzione

normale

Il confronto fra proporzioni

Intervallo di confidenza di una

proporzione

Ne deriva che

Nel nostro esempio:

0.25 - 1.96 x 0.064


Confronto fra due proporzioni

p 1 = O 1/n 1

p 2 = O 2/n 2

Ipotesi nulla (H0):

n 1 e n 2 sono due campioni casuali

estratti dalla stessa popolazione

p 1 = p 2 = P e p 1 - p 2 = 0

Il confronto fra proporzioni

Confronto fra due proporzioni

La migliore stima disponibile di P è la media

pesata tra p 1 e p 2, cioè:

Il confronto fra proporzioni

Confronto fra due proporzioni

Test z:

misura in unità di D.S. della differenza

(=E.S. d) la distanza tra la differenza

osservata (p 1-p 2) e quella attesa in base

all’ipotesi nulla (=0)

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Un esempio

p(Trombo|Placebo) = 18/25 = 0.72

p(Trombo|Aspirina) = 6/19 = 0.32

verifichiamo:

25 x 0.72 = 18 e 25 x (1 - 0.72) = 7

19 x 0.32 = 6 e 19 x (1 - 0.32) = 13

Poiché tutti i valori sono più grandi di 5

possiamo applicare il metodo sviluppato

Un esempio

Il confronto fra proporzioni

Il confronto fra proporzioni

Intervallo di confidenza di una

differenza fra proporzioni

Sappiamo che:

segue approssimativamente la distribuzione

normale, da cui ne deriva che:

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Intervallo di confidenza di una

differenza fra proporzioni

Nel nostro esempio:

0.40 - 1.96 x 0.15


Il test statistico chi quadrato

Il test statistico deve indicare la misura

con cui le frequenze osservate in ogni

cella della tabella differiscono dalle

frequenze che ci aspetteremmo, se non

ci fosse associazione fra i trattamenti e

gli esiti

Il confronto fra proporzioni

Il test statistico chi quadrato

Il test statistico deve inoltre tenere conto del

fatto che, nel caso in cui ci aspettiamo

parecchie osservazioni in una cella, la

differenza di una unità fra le frequenze attesa

ed osservata è meno importante che nel caso

in cui ci aspettiamo solo poche osservazioni

Distribuzione chi quadrato

Nel nostro esempio:

FIGURA 5.7 GLANTZ

Il confronto fra proporzioni

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Distribuzione chi quadrato

L’utilizzo della distribuzione 2 presuppone

che, affinché la distribuzione teorica sia

un’approssimazione sufficientemente buona

di quella vera, il numero atteso di individui in

ogni cella sia uguale o maggiore di 5

E’ possibile dimostrare che 2 = z 2 quando ci

sono solo due campioni e due esiti possibili

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