Capitolo II - Dipartimento di Matematica

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28 CAPITOLO 2. MENO PER MENO FA PIÙ secondo, dovrà pure il quarto essere negativo. Sia positivo il secondo, negativo il terzo, cioè sia 1,a :: −b, al quarto; dovendo il quarto essere moltiplo del terzo, come il secondo è moltiplo del primo, ed essendo il secondo, ed il primo positivi, ed il terzo negativo, non potrà il quarto essere se non negativo. Sieno finalmente il secondo, ed il terzo negativi, cioè sia 1,−a :: −b, al quarto; essendo il secondo moltiplo negativo del primo, bisognerà che il quarto sia moltiplo negativo del terzo; ma il terzo è negativo, e dunque dovrà il quarto essere positivo. ([1], pp. 6-7). La dimostrazione della Agnesi, per quanto originale, lascia un po’ a desiderare dal punto di vista logico in quanto dire che, poichè a è multiplo positivo dell’unità, allora il prodotto di a × −b, essendo −b negativo, dovrà esso pure risultare negativo, sembra presupporreciò che si vuole dimostrare. Inoltre, l’uso di proporzionicon termini di segni opposti è piuttosto insidioso, come sperimentato da Leibniz e Johann Bernoulli I nella controversia sui logaritmi di numeri negativi che, però, era appena stata resa di dominio pubblico quando apparvero le Instituzioni. Osserviamo come, al contrario, D’Alembert si servì della proporzione 1 : −1 :: −1 : 1 proprio per negare l’idea che i numeri negativi fossero minori di 0. Commentando la controversia tra Leibnitz e Johann Bernoulli, d’Alembert ad un certo punto scrive Mi sia dunque permesso di sottolineare come sia falsa l’idea che talvolta viene presentata a proposito delle quantità negative, dicendo che esse sono sotto lo 0. Prescindendo dall’oscurità di questa idea intesa metafisicamente, coloro i quali la vorranno refutare grazie al calcolo, potranno accontentarsi di questa proporzione 1 : −1 :: −1 : 1; proporzione reale perché il prodotto degli estremi è uguale a quello dei medi e che dunque 1 −1 −1 = −1 e 1 = −1. Tuttavia se si pensasse alle quantità negative come al di sotto dello zero, 1 sarebbe > −1, & −1 < 1; così non potrebbe sussistere la proporzione. ([6], p. 201) Tornando invece a Reyneau, osserviamo che egli dà due dimostrazioni successive della regola, a seconda che i termini del prodotto siano interi o numeri frazionari. Infine, non si può tralasciare Eulero che, nel 1770, scrisse un manuale di introduzione all’algebra che ebbe una certa fortuna, visto anche il prestigio dell’autore. Qui Eulero, che aderisce ad una visione newtoniana di numero, introduce i numeri negativi sul modello economico dei debiti contrapposti ai crediti e spiega la genesi dei numeri naturali e degli interi relativi in questo modo: I numeri positivi si ottengono aggiungendo 1 a 0, cioè a niente e continuando ad aumentare in questo modo, sempre di una unità. Ecco l’origine dei numeri che vengono detti numeri naturali; di seguito, ecco i primi termini e via di seguito, all’infinito. 0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,+7,+8,+9,+10,
2.4. LA REGOLA DEI SEGNI NEL XIX SECOLO 29 Se però, invece di continuare questa successione con addizioni ripetute, la si continuasse in senso opposto, sottraendo sempre una unità, si otterrebbe la serie seguente, dei numeri negativi 0,−1,−2,−3,−4,−5,−6,−7,−8,−9,−10, e così via all’infinito. ([5], pp. 12-13) Definite poi le operazioni di somma, sottrazione e prodotto, si sofferma sulla regola dei segni in questo modo: §31 Sinora abbiamo considerato solo numeri positivi e non vi è alcun dubbio che i prodotti che abbiamo formato non possano essere che positivi: cioè +a per +b deve necessariamente dare +ab. Occorrerà però esaminare a parte il risultato della moltiplicazione di +a per −b, e di −a per −b. §32Iniziamo amoltiplicare −a per 3 o+3; siccome −a può considerarsi come debito, è chiaro che se si prende tre volte questo debito, esso dovrà diventare tre volte più grande e, di conseguenza, il prodotto cercato è −3a. Similmente se si tratta di moltiplicare −a per b, si otterrà −ba o, ciò che è lo stesso, −ab. Concludiamo da ciò, che, moltiplicando una quantità positiva per una quantità negativa, il prodotto sarà negativo; prendiamo perciò come regola che + per + fa + o più e che, al contrario, + per −, o − per + faccia − o meno. §33 Resta ancora da risolvere il caso in cui − sia moltiplicato per − o, per esempio, −a per −b. È anzitutto evidente che, quanto alla parte letterale, il prodotto sarà ab; è però ancora incerto se davanti a questo prodotto occorra mettere il segno + o il segno −; sappiamo solo cge ci vorrà uno o l’altro di questi segni. Ora, io dico che non può essere il segno −: perché −a per +b dà −ab, e −a per −b non può produrre lo stesso risultato di −a per b; deve però risultarne l’opposto, cioè +ab; come conseguenza abbiamo questa regola: − moltiplicato per − fa più, come + moltiplicato per +. ([5]. pp. 20-22) Dal punto di vista pedagogico l’esposizione è lacunosa: senza invocare la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma ed il ruolo dello zero, non si capisce perché −a × −b debba essere opposto a −ab. Ossserviamo poi che, se il modello economico è perfetto per sdoganare le quantità negative, esso lascia a desiderare quando lo si voglia usare per dedurre le operazioni: nel caso −a×3 esso funziona, mentre nel caso 3×−a non funziona affatto, a meno di dar per scontata la proprietà commutativa del prodotto, come Eulero sembra lasciar intendere al §31 dove, in effetti, egli afferma che occorre esaminare solo due casi: +a×−b e −a×−b. 2.4 La regola dei segni nel XIX secolo Nel 1821 Augustin-Louis Cauchy pubblicò il Cours d’Analyse Mathématique, un’opera destinata a lasciare il segno nella storia dell’analisi. Nella prima parte, dedicata all’analisi algebrica, Cauchy introduce la distinzione tra numero e quantità: per numero, Cauchy intende la definizione aritmetica di stampo newtoniano come misura assoluta di grandezze. La nozione di quantità viene
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