Compito Scritto di Meccanica Statistica I del 22 ... - statistiche

Compito Scritto di Meccanica Statistica I del
22 Settembre 2008
Esercizio 1
Una catena è appesa con un suo estremo ad un muro mentre all’altra estremita
della catena è appesa una massa M. La catena puo essere formata da
due tipi di anelli. Questi anelli sono degli ellissi con assi di lunghezza l + a
e l − a e possono essere disposti solo con l’asse maggiore verticale (primo
tipo) e con l’asse minore verticale (secondo tipo). La catena ha N anelli e
si trova ad una temperatura fissata. Trovare la funzione di partizione e la
lunghezza media ella catena. Nei limiti di alta e bassa temperatura valutare
la lunghezza media in funzione di a.
Soluzione
Sia n il numero di anelli con asse maggiore verticale. Chiaramente il numero
di anelli con asse minore verticale diventa N − n. La lunghezza è quindi
l(n) = (l + a)n + (l − a)(N − n).
L’energia è una funzione della lunghezza
E(n) = −Mgl(n) = −E 1 n − E 2 (N − n)
dove E 1 = Mg(l + a) e E 2 = Mg(l − a). La funzione di partizione è quindi
data da
Z = ∑ g n e −βE(n) = ∑ N!
n
n n!(N − n)! enβE 1+(N−n)βE 2
dove abbiamo esplicitamente consierato la opportuna degenerazione (g n =
) associata ad una configurazione. Troviamo quindi
N!
n!(N−n)!
Z = ( e βE 1
+ e βE 2) N
.
L’ energia media quindi si trova con l’opportuna derivata sulla funzione di
partizione
〈E〉 = − ∂ log Z
∂β
= −N log ( )
e βE 1
+ e βE 2
∂β
1
= −N E 1e βE 1
+ E 2 e βE 2
e βE 1 + e
βE 2
= −NMg [l + a tanh(βMga)]

Quindi deduciamo la lunghzza media
〈L〉 = − 〈E〉
Mg .
Quando β → ∞ otteniamo ovviamente lo stato a energia più bassa e quindi
〈L〉 → N(l + a). Nel limite di β → 0 otteniamo invece 〈L〉 → Nl + βgM 2 a 2
Esercizio 2
Un gas di Fermi degenere con spin S = 1/2 si trova in una scatola monodimensionale
(0 ≤ x ≤ L). L’energia di tale sistema possiede una struttura a
bande
( ) |p|a
ǫ(p) = ǫ 0 sin 2 |p| ≤ π¯h
¯h 2a
ǫ(p) = ǫ 0 log
( ) |p|a
¯h
π¯h
2a
≤ |p| ≤
π¯h
a .
Valutare l’energia media associata al riempimento delle due bande di energia
e il corrispondente numero di stati.
Soluzione
Si nota che l’energia non è continua. Possiamo quindi riempire con continuita
(nello spazio degli impulsi) fino a |p| = π¯h . Il numero massimo di stati
2a
corrispondenti in quella situazione è dato da
∫
N = 2
|p|< π¯h
2a
dpdq
h
= 2L h
π¯h
a = L a .
Dopo si riempiranno anche i livelli nella seconda banda fino ad un numero
massimo di stati
∫
N = 2
|p|< π¯h
a
dpdq
h
= 4L h
π¯h
a = 2L a .
Al riempimento della prima banda l’energia è data da
U = 4
∫ L
0
∫ π¯h
2a
0
( )
dpdq pa
h ǫ 0 sin 2 = Lǫ 0
¯h 2a
2

mentre al riempimento della seconda da
U = 4
∫ L
0
∫ π¯h
2a
0
( )
dpdq pa
h ǫ 0 sin 2 +4
¯h
∫ L
0
∫ π¯h
a
π¯h
2a
dpdq
h ǫ 0 log
( ) pa
= Lǫ 0
¯h 2a +2Lǫ 0
aπ [x log x − x]π π/2
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