第５章 構造振動学 - 日本機械学会

第 5 章
構 造 振 動 学
棒 の 振 動 を 縦 振 動 , 捩 り 振 動 , 曲 げ 振 動 に 分 けて 考 える.
5.1 棒 の 縦 振 動 と 捩 り 振 動
まっすぐな 棒 の 縦 振 動 の 固 有 振 動 数 f[ Hz]
f
=
l
2pL
である.ただ し, L [ 単 位 m]
は 棒 の 長 さ , [
2
N / m ]
3
r[ 単 位 Kg / m ]
E
r
は
(5.3)
E 単 位 は 棒 の 材 料 の 縦 弾 性 係 数 (ヤング 率 )
は 棒 の 材 料 の 単 位 体 積 当 りの 質 量 である.l は 境 界 条 件 と 振 動 モードによって 決 まる 無
次 元 の 定 数 で, 表 に 与 えられる.
また,まっすぐで 一 様 な 円 形 または 中 空 円 形 断 面 棒 ,あるいは 十 分 に 長 くて 曲 げ 捩 りが 無 視 できて, 断 面
f Hz は
のせん 断 中 心 と 重 心 が 一 致 すれば,ねじり 振 動 の 固 有 振 動 数 [ ]
l GJ
f = (5.4)
2 pL
r
I p
2
4
である.ただし, G [ 単 位 N / m ] は 棒 の 材 料 の 横 弾 性 係 数 ,Jは 丸 棒 では 極 2 次 モーメント I p
[ 単 位 m ]
2
と 同 じであるが, 一 般 断 面 の 場 合 表 のように 異 なって, GJ [ 単 位 Kgm ] は 捩 り 剛 性 と 呼 ばれる.
3
r[ 単 位 Kg / m ] は 棒 の 材 料 の 単 位 体 積 当 りの 質 量 である. l は 境 界 条 件 と 振 動 モードによって 決 まる
無 次 元 の 定 数 で, 表 に 与 えられる.
5.2 梁 の 曲 げ 振 動
5.2.1 理 論 解
まず, 一 様 な 梁 の 曲 げ 振 動 について 考 える. 梁 の 方 程 式 (2.8)は
4
w
EI
= p( x)
4
x
(5.5)
であった. ここでは wは 位 置 xの 関 数 であるとともに 時 間 t の 関 数 でもあるので 偏 微 分 表 示 にしている.
分 布 力 として 慣 性 力 を 考 えると
2
w
p( x) = -r A
(5.6)
2
t
と 置 けばよい.よって 梁 の 振 動 方 程 式 は
4
2
w w
EI + rA
=
4
2
x t
となる.
式 (5.7)は
0
(5.7)
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
w
l t
( x, t) e
x
e i w
=
5-1

境 界 条 件
表 1
棒 の 縦 振 動 とねじり 振 動 のλ
λ
自 由 自 由
π , 2π , 3π・・・
固 定 固 定
固 定
固 定
自 由
質 量
付 着
a
b
b
r
r 2
h
M 0
0
I
1 3 5
π , π , π・・・
2 2 2
cotλ=μλの 根
μ=
または
M1 M1
1
M 0 I0
M 0 は 棒 の 全 質 量
Iは 0 軸 まわりの 慣 性 モーメント
表 2 断 面 定 数
断 面 形 状 I( 水 平 軸 まわり ) Ip J
3
π a
4
bh 3
12
1
b
π ab (a 2 +b 2 )
4
π
4 r 4
( - r 4
)
2
π 4
( r
4
- r2 )
= π 2
4 (2r
2 )(2r)t
3 3
π a b
(a 2 +b 2 )
1 (bh
3 +b 3 h)
1 b
3 h
12
3
( 近 似 式 )
= π r 3 t
図 5.1 棒 の 縦 振 動 と 捩 りのλ
π 4
( r
4
- r2 )
2
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
アルミ E=7×10 〃 2
gram/cm S
3
ρ=2.7gram/cm
5-2

として 変 数 分 離 法 により 解 くことができて,その 一 般 解 は
w
iwt
( x,t ) W( x) e
= (5.8)
W
( x )
で 与 えられる.ここに
従 って 振 動 数 fは
lx
lx
lx
lx
C cosh + C sinh + C cos + C sin
(5.9)
1 2
3
=
4
l
f
4
=
w
2
rA
4
(5.10)
E I
w 1 l
=
2p
2 p
=
2
2
EI
rA
(5.11)
となる. 未 定 定 数 C
1,C
2,C 3,
C4
は 梁 の 両 端 の2 個 づつの 計 4 個 の 境 界 条 件 により 決 められ,その 計 算 途
中 で l の 値 も 決 定 される. 長 さ 1m, 直 径 2cmのアルミの 円 断 面 梁 について 単 位 の 例 をとれば
例 えば SI 単 位 系 では
2
L = 1m , A = 0.
000314m
, E =
N / m
重 力 ( 工 学 ) 単 位 系 では
である.
例 1: 片 持 ち 梁
2
3
3
r = 2. 8 ´ 10 Kg / m ,
I
=
70 G Pa
= 70 ´ 10
-8
4
0.
785 ´ 10 m
2
2
L = 1000mm , A = 314mm , E = 7200Kgf / mm
3
2
-5
2
r = 0.
28Kgf / mm 9800mm
/ sec = 2.
8 ´ 10 Kgf / mm sec
( ) ( )
2
4
I = 0 . 785 ´ 10
まず,x=0で 固 定 ,x= で 自 由 の 片 持 ちの 場 合 を 計 算 する. 境 界 条 件 は
w
固 定 : 変 位 w=0, 傾 き = 0
x
2
3
w
w
自 由 :モーメント = 0 , 剪 断 力 = 0
2
3
x
x
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
式 (5.7) をこれらの 条 件 式 に 代 入 して, 固 定 条 件 から
9
C = -C 3 1
, C = -C
4 2
この 条 件 を 考 慮 して 自 由 条 件 から
5-3

C
C
( cosh l + cos l ) + C ( sinh l + sin l ) 0
2
( sinh l - sin l ) + C ( cosh l + cos l ) 0
=
1
=
1 2
を 得 る. C 1 とC 2 とがゼロとならないための 条 件 はその 係 数 行 列 式
がゼロであるから 行 列 式 を 計 算 すると
cosh l cos l + 1 = 0
(5.11)
となる.これは 超 越 方 程 式 で 代 数 的 に 解 けないので 数 値 計 算 (たとえば Newton-Raphson 法 )を 行 って
l = 1 875 , l = 4 694 , l = 7 855
1
.
2
.
3
.
を 得 る.よって 固 有 振 動 数 は 式 (5.10)によって 与 えられる.
このときの 変 形 は 式 (5.9)に l の 値 を 代 入 して
l x l x æ l x l x
n
n
n
n ö
W = cosh - cos - Qçsinh
- sin ÷
(5.12)
n
è ø
Q
cosh ln
=
sinh l
n
+ cos l
+ sin l
となる.これを 固 有 振 動 モードとよぶ. 固 有 振 動 モードは 振 動 している 形 を 表 すものでその 絶 対 値 ( 最 大
振 幅 値 )は 決 められないことに 注 意 されたい. 固 有 振 動 モード 図 を 図 に 示 す.
n
n
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
5-4

固 有 振 動 数 と 固 有 振 動 モードは 数 学 的 には 固 有 値 と 固 有 ベクトルであるので 直 交 性 が 成 立 する.
ニュートン・ラフソン 法 (Newton-Raphson 法 )
この 方 法 は 一 般 の 非 線 形 方 程 式 f(x)=0 の 強 力 な 数 値 解 法 である。f(x)の 微 分 y
f(x ¢ ) =
0
f(x) - f(x )
x
で 定 義 されるので f(x)=0 より
x
=
x
0
0
-
f(x )
0
-
f(x ¢ )
となる。 これを 一 般 化 して
f(x )
n
x = x -
n + 1 n
f(x ¢ )
として 逐 次 計 算 に 持 ち 込 めばよい。
計 算 法 を 具 体 的 に 示 す。 例 えば(5.11)を 解 くと
f ( l)
= cosh l cos l + 1
として 初 期 値 にλ 1 =1.5 を 採 用 すると
同 様 に
f(1.5)=1.1664
と 真 値 1.875 に 近 づいてくる。
この 方 法 ではどの 値 に 収 束 するかは 初 期 値 しだいである。
n
x
0
0
f( 1.
6)
- f( 1.
4)
0.
9247 - 1.
3656
f¢
( 1 . 5)
=
=
= -2.
2042
1.
6 - 1.
4
0.
2
1.
1664
l = 1. 5 + = 2.
029
2
2.
2042
f( ¢ 2.
029)
=
f( 2.
030)
- f( 2.
028)
=
0.
002
-0.
71139
l = 2. 029 -
= 1.
890
3
5.
1231
例 2: 両 端 単 純 支 持 梁
単 純 支 持 というのは 変 位 は 拘 束 して 回 転 を 許 すので,モーメントがゼロとなって 両 端 で 単 純 支 持 : 変
2
w
位 w=0,モーメント = 0 で,この 条 件 を 両 端 x=0 において , 課 すと
2
x
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
C = C = C 0 , C sin l 0
1 2 3
=
7.
0627 - 7.
1652
0.
002
4
=
となる.よって 振 動 数 を 決 める 式 は
5-5

で
sin l = 0
l = p = 3 141 , l = 2p
= 6 283 , l = 3p
= 9 424
1
.
2
.
3
.
であり, 固 有 振 動 モードは
となる.
例 3: 両 端 自 由 梁
結 果 のみを 示 すと
である.
W n
npx
= sin
l = 4 730 , l = 7 853 , l = 10 996
1
.
5.3 板 の 曲 げ 振 動
2
.
板 の 曲 げの 基 礎 方 程 式 は(4.7) 式 から
であった.
3
.
4
4
4
æ w w w ö
D ç
÷
+ 2 + = q z
(4.7)
4
2 2
4
x x y y
è ø
ここで 分 布 力 として 慣 性 力 を 採 用 すると
4
æ w
Dç
4
è x
4
w
+ 2 +
2 2
x
y
4
w ö
÷
4
y
ø
=
2
w
-rh
2
t
(5.13)
これを 適 当 な 境 界 条 件 の 元 に 解 けばよい.4 辺 単 純 支 持 の 境 界 条 件 以 外 は( 理 論 的 な) 厳 密 解 は 得 られて
おらず, 数 値 解 析 によることになる.
辺 長 が a,bの 矩 形 板 の 固 有 振 動 数 f[Hz] は
l p
f =
2
2a
ただし,a[m] は 辺 長 ,h[m]
D
rh
3
2
は 板 厚 ,Dは 板 の 曲 げ 剛 性 で D = Eh
12( 1 - n )
での l の 値 を 表 に 示 す.4 辺 単 純 支 持 の 場 合 ,n,m を 正 の 整 数 として
である.
a ö
ç ÷
è b ø
(5.14)
である. 種 々の 境 界 条 件
2
2 æ
2
l = m + n
(5.15)
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
5-6

5.4 シェルの 振 動
として
円 筒 シェルの 基 礎 方 程 式 は 式 (4.30)において 分 布 力 を 慣 性 力 として
2
2
2
u
v
w
q x
= -rh
、 q = -rh
、 q
2 j 2 z
= -rh
2
t
t
t
2
u
2
x
2
2
1 - n u n w D æ1
- n u
+
+ + ç
2
j B
2
2 a x a x a è 2 a j
3
3
2
w 1 - n w ö rh
u
- a +
÷ - = 0
(5.17a)
3
2
2
x 2 a
x j
ø B t
( 1 - n )
2
2
2
2
1 + n u v 1 - n v w D æ 3 v
+ +
+ + ç
2
2
2
j j
j B
2
2 a x a 2 ax a a è 2 ax
n u
a x
3 - n
-
2
3
2
w ö rh
÷ -
2
2
x j ø B t
=
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
0
(5.17b)
3
3
3
v w d æ1
- n u u 3 - n v
2
+ + + ç
- a - a
2
2
2
2
3
2
a j a Ba
è 2 a
x j x 2 x j
4
4
4
2
w w w w
2
w
+ a + 2 + + 2 + = 0 (5.17c)
4
2 2
2 4
2 2
2
x x j a x a j a
となる.シェルの 厚 さとしては 第 4 章 では tを 採 用 していたが, 時 間 に tを 使 う 都 合 で hをシェル 厚 さと
して 採 用 している.
さて, 軸 対 称 であることを 考 慮 して 荷 重 (ここでは 慣 性 力 )が 円 周 方 向 に 正 弦 的 に 変 化 する 場 合 , 各
変 位 もまた 正 弦 的 であるという 性 質 を 利 用 して 式 (4.39)と 同 じく
u
v
w
( z, q ) = u ( z)
cos nq
n
( z, q ) = v ( z)
sin nq
n
( z, q ) = w ( z) cos nq
n
(5.18)
として 解 を 求 めてみる.n は 円 周 方 向 波 数 である. 数 値 的 には 厳 密 解 が 得 られてたとえば 表 のように 計 算
される.
ここに
l E
f =
(5.19)
2
( 1 - )
2
2pR
r n
円 周 方 向 波 数 n が 大 きい(n>3)の 場 合 の 両 端 単 純 支 持 の 場 合 の 近 似 式 として
f
4 4
1
2 4a
k
2
2
= ( n + k ) +
2
2
2
2pR
n + k
D
rh
(5.20)
a , k = m pR / L でmは 軸 方 向 の 変 形 の 波 数 で 振 動 モ
4 4 = 12 1 - n R / h
がある.ただし ( 2
) ( ) 2
ードは
5-7

æ mpRz
ö
w n
( z) = sin ç ÷ (5.21)
è L ø
で 与 えられる.
一 般 にシェルの 場 合 , 円 周 方 向 波 数 nが 小 さいほど 振 動 数 が 低 いわけではなく, 薄 いシェルであるほど 最
低 固 有 振 動 数 を 与 える n が 大 きくなる.
図 5.5:
面 内 歪 エネルギー
円 筒 シェルの 固 有 振 動 数 と 円 周 方 向 波 数
曲 げ 歪 エネルギー
これは nが 小 さいと 面 内 歪 エネルギーが 支 配 的 であり,nが 大 きいと 曲 げ 歪 エネルギーが 支 配 的 となり,
その 両 者 の 和 の 一 番 小 さい nで 最 低 固 有 振 動 数 となるのである.
参 考 文 献
[5.1]. 小 林 繁 夫 : 振 動 学 , 丸 善
構 造 振 動 についても 記 述 した 大 学 院 向 けの 教 科 書
[5.2].A.W.Leissa:Vibration of Plates, NASA SP-160 (1969)
板 の 振 動 のモノグラフ,これから 多 くの 原 論 文 を 見 つけることができる.
日 本 機 械 学 会 宇 宙 工 学 部 門
[5.3].A.W.Leissa:Vibration of Shells,NASA SP-288 (1973)
円 筒 以 外 にも 詳 しいモノグラフ
[5.4]. 古 賀 達 蔵 , 小 松 敬 治 : 円 筒 殻 の 自 由 振 動 における 支 配 方 程 式 と 固 有 値 , 日 本 機 会 学 会 論 文 集 46-1
(1980) pp.70-79 Donnel,Flugge,Novozhilov,Love,Goldenveizer,Sanders などの 円
筒 殻 理 論 を 厳 密 に 解 いて 解 の 精 度 比 較 がしてある.
5-8