corso di fisica della materia condensata 2 - i semiconduttori

1
CORSO DI
FISICA DELLA MATERIA CONDENSATA
2 - I SEMICONDUTTORI
Appunti dalle lezioni del Prof. P. Calvani
A. A. 2013-14
Tratte dai testi:
C. Kittel - Introduzione alla fisica dello stato solido
G. Burns- Solid State Physics
Questi appunti sono per solo uso interno e
riservati agli studenti che frequentano il corso.

2
I SEMICONDUTTORI
A 300 K hanno resistività ρ intermedie fra i metalli e gli isolanti.
Inoltre ρ(T) è fortemente decrescente all'aumentare di T, mentre nei metalli è crescente.
Nascita della gap tra BV e BC nel Silicio
Il Si ha la stessa configurazione elettronica del C, spostata in alto di un ottetto:
[Ne] 3s 2 3p 2 che dà luogo a 3 P 0
Cristallizza nella struttura del diamante, che si ottiene intersecando 2 reticoli fcc spostati l’uno
rispetto all’altro di (1/4)a (a = lato del cubo ) lungo la diagonale principale del cubo. Nella Fig. a
sinistra si vede la loro proiezione su una faccia del cubo, con indicate le altezze rispetto alla faccia
medesima in unità a. L’atomo rosso mostra la coordinazione tetraedrica con i primi vicini.
•
Per costruire nel solido la funzione di Bloch degli elettroni del Si
" k
( r ! ) = e i" k # R
$ !
$ b n
% n
( r ! & R !
)
!
R
n
!

3
bisogna combinare insieme n=4 orbitali atomici: s, p x , p y , p z . Infatti al diminuire della
costante reticolare gli orbitali atomici si mescolano come mostrato nella Figura sotto,
formando 4 legami sp 3 ibridizzati disposti in simmetria tetraedrica come nella
molecola CH 4 .
Distanza interatomica →
Misura della gap dal coefficiente di assorbimento α
Gap
N. B. Si ricorda che " = # 1 d ln I
I 0
I quella trasmessa dopo aver attraversato un suo spessore d .
dove I 0
è l’intensità della radiazione che è entrata nel campione, e
!
!
!

4
LE LACUNE NEI SEMICONDUTTORI
!
!
!
Nella fig. 1 si vede un banda di valenza BV inizialmente piena: per ogni elettrone con vettore d’onda
!
!
!
k e
ce ne è un altro con - k e
e quindi " k = 0.
Un fotone assorbito,
!
o una fluttuazione termica, promuove un elettrone
con vettore d’onda k e
alla banda di conduzione BC creando
uno stato vuoto
!
all’energia !" e
. Perciò ora
BV
!
" k = # k !
! e
= k !
b
BV
!
!
dove k b
è il vettore d’onda di una nuova particella che
chiamiamo buca o lacuna e che assume su di sé
il vettore d’onda totale della banda cambiato di segno.
Esso si trova nello spazio k dalla parte opposta di quello fig. 1
dell’elettrone mancante (v. figura).
Poiché lo zero dell’energia è in cima a BV, la rimozione dell’elettrone aumenta l’energia di BV.
Perciò la buca ha un’energia positiva " b
= #" e
. Si può quindi costruire una banda delle buche
ribaltando BV rispetto allo zero. L’effetto sullo stato elettrone-lacuna è mostrato in fig. 2.
Dalle pendenze si vede che, poiché
"# b
( !
k b
) = "# e
( !
k e
),
!
!
!
per la velocità di gruppo della buca si ha v b
= v !
e
mentre la sua massa efficace è (opposta
a quella dell’elettrone mancante e) positiva.
Infatti, supponendola isotropa per ! semplicità,
" 2 # b
(k)
"k 2 = - " 2 # e
(k)
"k 2 .
!
!
k e
," e
Banda delle buche
Banda degli elettroni
!
fig. 2
!
k b
," b
!
!
L' equazione del moto in un campo e. m. per l’elettrone è
! d" k e
dt
Poiché
$
= "e E "
+ 1 "
v
c
e
# B
" '
& )
% (
d !
k b
dt
= " d! k e
dt
e
!
v b
= v !
e
,
!
! d" k b
dt
#
= e E "
!
+ 1 "
c v b
" B
" &
% (
$ '
!

5
e quindi la buca si comporta come una particella di carica +e.
LA DENSITA’ DEI PORTATORI IN UN SEMICONDUTTORE INTRINSECO
In un semiconduttore intrinseco, cioè privo di impurezze, il numero p di lacune/cm 3 in BV è
evidentemente uguale a quello n di elettroni in BC:
p = n
Per calcolare n si può integrare dal fondo di BC - che si trova all’energia della gap " g
- a
prodotto della probabilità di occupazione ! di Fermi-Dirac
1
f (") =
1+ exp[(" # µ)/k B
T]
!
!
" il
!
!
!
!
!
!
!
per la densità degli stati (per unità di volume del campione)
g(") = dN
d" = 1 $ *
2m e
&
2# 2 % ! 2
'
)
(
3
2
(" *"g )1
2
Si ottiene, per
#
1 & *
2m
n(T) = $ f (")g(")d" =
e
) 2 #
(" ," g
) 2
d"
" g
2% 2 (
' ! 2 + $
* exp[(" , µ) !/k B
T] =
" g
3
= 1 & *
2m e
) 2 3
2% 2 (
' ! 2 + exp(µ /kB T)- (k B
T) 2
exp(," g
/k B
T)
*
3
3
1
#
$
" g
&" ," g
)
( +
' k B
T *
= 1 & *
2m e
) 2 3 # 1
( + exp[(µ
2% 2 ' ! 2
2 2
,"g ) /k B
T]- (k B
T) $ x exp(,x)dx =
*
3
= 1 & 2m * e
k B
T ) 2
( + exp[(µ
2% 2 ' ! 2
,"g ) /k B
T]
*
0
3
(" # µ) /k B
T >>1
1
2
exp{,[(" ," g
) /k B
T]}d[(" ," g
) /k B
T] =
%
2 = 2 & m * ek B
T ) 2
( + exp[(µ
' 2%! 2 ,"g ) /k B
T] = N C
exp[(µ ," g
) /k B
T]
*
Qui, perciò, N C
ha il significato di una densità degli stati in banda di conduzione. La
concentrazione di buche p si ricava analogamente, considerando che però il fondo della banda si trova
a " = 0 e la probabilità di trovarvi uno stato occupato è
!
1
f "(#) =1$
1+ exp(# $ µ) /k B
T = 1
1+ exp(µ $#) /k B
T % exp(# $ µ)/k T B
Si ottiene infine
3
#
p(T) = 2 m * bk B
T & 2
% ( exp[)µ
$ 2"! 2 /kB T] = N V
exp[)µ /k B
T]
'
dove N V
ha il significato di una densità degli stati in banda di valenza.
Poiché, a ogni T, p(T) = n(T), uguagliando le due formule si ottiene
la dipendenza dalla temperatura del potenziale chimico: fig. 3
!

6
µ = " g
2 + 3 4 k BT ln m *
b
*
m e
Esso quindi si trova all’interno della gap (fig. 3) , ed esattamente a metà:
a) se T = 0;
!
b) a ogni T, se le masse efficaci di elettroni e lacune sono uguali.
In questi casi dunque, nelle formule per n(T) e p(T) si può sostituire µ con " g
/2.
Dalle stesse equazioni si ricava anche la legge di azione di massa per un semiconduttore
qualunque, intrinseco o drogato con impurezze (v. oltre):
3
3
# k
np = n 2 i
= 4(m * e
m * 2
b
) B
T &
% ( exp[)*
$ 2"! 2 '
g
/k B
T]
!
!
dove n i è la concentrazione dei portatori intrinseci (nel Si a 300 K,
np dunque dipende
!
soltanto dalla temperatura.
np = 2,1"10 19 /cm 3 ). Il prodotto
LA CONDUCIBILITA’ ELETTRICA DEI ! SEMICONDUTTORI
!
Siano µ e
= e" e
m e *
µ b
= e" b
*
rispettivamente la mobilità degli elettroni e quella delle buche.
e
m e
!
Applicando al semiconduttore un campo elettrico E , vengono messi in moto gli elettroni della banda
di conduzione con velocità di drift < ! !
!
v e
>= "µ e
E (da non confondere con la velocità di gruppo)
opposta
!
a E e le lacune della banda di valenza con velocità < ! !
!
v b
>= µ b
E concorde con E . Tuttavia,
poiché i portatori hanno cariche rispettive ! -e e +e, i loro contributi alla densità di corrente si
sommano:
!
!
!
!
!
j tot
= ! j e
+ ! j b
= "ne < v !
e
> +pe < v !
b
>= (neµ e
+ peµ b
) E
!
e la conducibilità elettrica totale è
!
" = neµ e
+ peµ b
L’EFFETTO HALL NEI SEMICONDUTTORI
!
La geometria dell’esperimento è la stessa del caso metallico. Il campo applicato lungo x però
produce una corrente, in base alla formula precedente,
j x
= j e
+ j b
= (neµ e
+ peµ b
)E x
Prima di raggiungere l’equilibrio, l’azione simultanea del campo B genera una corrente lungo y data da
!
j y
= (neµ e
+ peµ b
)E y
dove E y è il campo prodotto dall’accumulo di cariche di segno opposto su superfici opposte del
campione. All’equilibrio,
!
tra i due campi si stabiliscono gli angoli di Hall

7
Sostituendo,
" e
= # Bµ e
c ;
" b
= Bµ b
c
j y
= (neµ e
" e
+ peµ b
" b
)E x
! !
Uguagliando questa equazione con la penultima,
! E y
= B pµ 2 2
b
" nµ
e
E
c pµ b
+ nµ
x
e
La costante di Hall del semiconduttore è quindi
!
R H
= E y
j x
B = 1 ec
pµ
b 2 " nµ
e
2
(pµ b
+ nµ e
) 2
Essa non fornisce quindi più direttamente, come nel metallo, la densità dei portatori. Se è misurata
nel SI, non vi compare c.
!
I SEMICONDUTTORI DROGATI
!
!
Si e Ge sono atomi tetravalenti. Nei loro reticoli si possono inserire per sostituzione atomi donori di
valenza 5 (As, P) oppure atomi accettori (B, Al) di valenza 3. Si ottengono così semiconduttori
drogati, che hanno rispettivamente elettroni e lacune in eccesso.
Infatti il cristallo deve rimanere neutro. Perciò, prendendo ad esempio,
un donore As in Si, 4 dei suoi elettroni saturano i legami con
altrettanti atomi di Si (v. fig. 4) mentre il quinto rimane legato
allo ione As + su un’ampia orbita idrogenoide. Raggio r d ed energia
dello stato fondamentale " d
si ricavano da quelli dell’atomo di
idrogeno sostituendo alla massa m dell’elettrone la sua massa
efficace m * e
e alla costante dielettrica del vuoto " 0
quella del Si,
" = " r
" 0
. Quest’ultima ! ipotesi è giustificata dall’ampiezza dell’orbita,
che consente di rappresentare il reticolo come un continuo. Si ottiene
e 4 *
m
" d
= # e
2$ (4%"!) J = #13.6
2 2
" r
m e
*
m
!
eV fig. 4
!
dove lo zero dell’energia è sul fondo della banda di conduzione
del Si (v. fig. 5). Inoltre
r d
= 4"#!2
m e * e 2 m = 0.53# r
m e * /m Å !
" d
BC
0
fig. 5
!
!
Lo stato fondamentale dell’impurezza è quindi di tipo s: gli stati eccitati seguono la classificazione di
quelli dell’idrogeno. Per il Si, con " r
=11,7 e (m * e
/m) " 0,2, si ottiene r d
" 30 Å e
" d
# 0,02 eV # 200 K (in unità k B ). Quindi l'energia di legame è inferiore all’energia termica a T
ambiente (25 meV) e la grande maggioranza dei donori è ionizzata. Siccome la loro concentrazione
!
!
!

8
N d si può fissare a piacere (entro certi limiti) durante la crescita del cristallo di Si, con il drogaggio si
può ottenere la concentrazione di portatori ottimale – di entrambi i segni - per i diversi dispositivi
elettronici, cosa impossibile con un semiconduttore intrinseco.
Le equazioni che regolano l’equilibrio tra elettroni e lacune nel semiconduttore drogato sono due: la
legge di azione di massa
2
np = n i
e la condizione di neutralità del semiconduttore:
p " n + N + d
= 0 # n = n i
! n " N + d
# n 2 " N + d
n " n 2 i
= 0
che dà come unica soluzione fisicamente accettabile
2
!
n = N +
d
2 + " +
N d
$
# 2
%
'
&
2
+ n i
2
Perciò con drogaggio per donori si ha sempre n > n i
e, per drogaggio forte ( N d
>> n i
),
In questo caso le lacune invece
!
saranno
p = n 2
i
! n " n 2
i
N

9
Si dice che l’impurezza trivalente è un accettore. La lacuna può essere trattata come una
carica positiva legata all’accettore (fig. 6), che è carico negativamente.
L’energia di ionizzazione " a
del boro in Si è pari a circa
45 meV (quindi maggiore dell’energia termica a 300 K, 25 meV).
Il comportamento delle buche introdotte per drogaggio è
speculare a quello
!
degli elettroni. Lo stato fondamentale
si trova poco al di sopra di BV, come mostra la fig. 7
(ovvero subito sotto la banda delle buche).
A drogaggio forte, p " N # a
; le buche sono dominanti e il
semiconduttore si dice drogato di tipo p.
" a
!
!
fig. 7
BV
LA CONCENTRAZIONE DEI PORTATORI NEL SEMICONDUTTORE DROGATO
In un semiconduttore drogato per donori, a T " 0 il potenziale chimico µ si trova tra " d
e BC, in
uno drogato per buche tra " a
e BV. Nel primo caso, assumendo per un momento che lo zero
dell’energia si trovi sul fondo di BC, la densità di donori ionizzati è pari a quella totale per la
probabilità che uno stato legato non sia ! occupato da un elettrone, ! cioè !
!
*
-
,
/
1
N + d
= N
,
d
1 "
/ N
$
1+ exp # " µ =
d
,
'/
$
d
, & )/
exp µ "# '
d
& ) +1
+ % k B
T (.
% k B
T (
Se invece lo zero dell’energia è fissato come negli intrinseci in cima a BV, e si considera che a T
ambiente e per drogaggio forte n " N
!
+ d
, ricordando l’espressione di n(T) si ottiene
!
$
n = N C
exp µ "# '
g
N
& ) =
d
% k B
T ( *
exp µ " (# g
"# d
)-
,
/ +1
+ k B
T .
!
Qui l’unica incognita è µ, che si può ricavare risolvendo con metodi numerici. Come detto, a basse T
µ si trova tra " d
e BC e vale l’approssimazione
!
$
! n = N C
exp µ "# ' +
g
& ) * N
!
% k B
T
d
exp "(µ "# ) . +
g
- 0 exp "# .
d
- 0
( , k B
T / , k B
T /
+
1 exp 2(µ "# ) .
g
- 0 * N +
d
exp "# .
1
+
d
- 0 1 n * (N
, k B
T / N C , k B
T
C
N d
) 2
exp "# .
d
- 0
/
, 2k B
T /
!

10
Invece per T >> " d
/k B
, a mano a mano che gli elettroni intrinseci aumentano, µ scende verso la
metà della gap e si dice che il semiconduttore drogato si trova in regime intrinseco.
Un calcolo analogo per i drogati di tipo p fornisce, a bassa T,
!
1
%
p " (N V
N a
) 2
exp #$ a
'
& 2k B
T
LA GIUNZIONE p-n
!
La giunzione tra due semiconduttori con drogaggio opposto è alla base della maggior parte dei
dispositivi elettronici a stato solido. Si può realizzare con diversi metodi di preparazione:
1. Crescita dal fuso. Il semiconduttore allo stato fuso nel crogiolo contiene Si e, ad es.,
10 14 /cm 3 donori di P. Il cristallo cresciuto intorno al seme, ed estratto dal crogiolo
raffreddandolo gradualmente, cresce con tale concentrazione ed è drogato n. Poi la crescita
viene arrestata e si aggiungono al fuso, ad es., 3x10 14 /cm 3 accettori. Quindi si riprende la
crescita e l’estrazione dal fuso. Perciò la metà inferiore del cristallo contiene 2x10 14 /cm 3
accettori in eccesso, sufficienti a drogarla p.
2. Crescita epitassiale. Dalla fase liquida o di vapore si depositano su un substrato di Si
prima Si+P, poi Si+Al. Poiché le costanti reticolari dei tre sistemi sono circa uguali, si forma
un unico cristallo che contiene la giunzione p-n.
3. Diffusione. Un substrato di Si drogato n viene scaldato a 1000 °C in un forno contenente
vapori di B. Il B penetra nella superficie esposta compensando i donori e creando un eccesso
di accettori, per una profondità d che cresce nel tempo. A distanza d dalla superficie si crea
la giunzione.
4. Impiantazione ionica. Un substrato di Si drogato p (o n) viene esposto a un flusso di ioni
di drogante opposto, accelerati a una energia E che varia fra il keV e il MeV. La loro
profondità di penetrazione, e quindi quella a cui si forma la giunzione, è regolata da E e dalla
massa degli ioni.
LA GIUNZIONE p-n ALL’EQUILIBRIO
Per capire come funziona una giunzione, supponiamo di avere due semiconduttori drogati p e n,
inizialmente separati, e di unirli idealmente in un secondo momento.
(
*
)
!
PRIMA
DOPO
fig. 8
zona di svuotamento

11
Lo schizzo in fig. 8 mostra come, mettendo a contatto i due semiconduttori, i portatori di
maggioranza di una zona (ad es. le lacune del semic. p, aventi densità p p ) migrino nell’altro, dove
diventano portatori di minoranza (di densità p n ). Qui in parte si ricombinano con i portatori di
segno opposto, lasciando donori nudi nella zona n e accettori nudi nella zona p.
Questo doppio strato crea alla giunzione una barriera di potenziale che cresce finché non è
abbastanza alta da impedire la migrazione di altri portatori in entrambi i sensi. All’equilibrio, la sua
altezza in energia è eV c
, dove V c
si chiama potenziale di contatto.
L’evoluzione del diagramma dell’energia è mostrato nella stessa fig. 8. In basso a sinistra c’è la
situazione prima del contatto: il potenziale chimico µ si trova presso BV dalla parte p e presso BC
dalla parte
!
n. All’equilibrio
!
µ deve essere uguale dalle due parti, come in tutti i sistemi
termodinamici che permettono lo scambio di particelle; quindi si spostano “trascinando con sé” le
bande, e creando tra le due BC e tra le due BV dei semiconduttori la barriera di altezza eV
!
c
. Quella
mostrata in fig. 8 è
!
la situazione vista dagli elettroni; per ottenere quella vista dalle lacune è
sufficiente effettuare una riflessione rispetto alla linea orizzontale di µ.
La zona occupata dalla barriera, cioè dalle impurezze nude, si chiama zona di
!
svuotamento perché
all’equilibrio è priva di portatori. Le sue larghezze, dalla parte p e dalla parte n, sono
rispettivamente d p e d n .
!
IL CALCOLO DI V C
Prima di arrivare all’equilibrio, la corrente che attraversa la barriera è la somma di due correnti.
Prendendo ad es. gli elettroni, quella dovuta alla diffusione spontanea delle cariche è
j diff
= eD dn
dx
!
dove D = µ e
k B
T /e (legge di Nernst-Einstein) è la costante di diffusione, x la direzione in cui avviene
dn
la migrazione e il gradiente di ! concentrazione. Quella dovuta al campo elettrico che si va creando
dx
alla barriera è
!
j deriva
= neµ e
E
All’equilibrio la corrente totale è nulla. Dunque
!
"
j diff
+ j deriva
= µ e
neE + k B
T dn %
$
' = 0 ( E = ) k T B
# dx &
e
1 dn
n dx
V c
è il lavoro – cambiato di segno - fatto da E per portare una carica unitaria che si trovava a
distanza infinita ! dalla barriera a distanza infinita dalla parte opposta, quindi
!
Poiché
!
V c
= "
+#
$
"#
Edx = k B T
e
n(+#)
dn
$ = k T B
n e
n("#)
ln
n(+#)
n("#)
n(+") = n n
# N d
; n($") = n p
# n i
2
N a
!

12
V c
" k T B
e ln N N a d
2
n i
!
Per il Si a 300 K, con drogaggi standard, V c
" 0,72 V . Altri parametri importanti sono: la vita media
" delle cariche prima di ricombinarsi ! e la distanza media L che riescono a percorrere, chiamata
lunghezza di diffusione. Esse sono legate dalla relazione L " 4D# .
!
LA ZONA DI SVUOTAMENTO
!
Calcoliamo lo spessore delle due zone di svuotamento dai lati n e p (ma spesso si considera un’unica
zona di svuotamento formata dalla somma delle due parti) fissando a x = 0 l’interfaccia fisica tra i
due semiconduttori e assumendo una densità di impurezze indipendente da x con N a
> N d
. La
densità di carica è perciò (v. fig. 9)
"(x) = #eN a
per - d p
$ x $ 0
"(x) = +eN d
per 0 $ x $ d n
!
!
!
!
Per il teorema di Gauss
div E !
= " 4#$(x) . Integrando,
%
E(x) = " 4#
$
E(x) = " 4#
$
"d p
&
x
x
d n
&
%(x) dx = " 4#eN a
(d
$
p
+ x) (x ' 0)
%(x) dx = " 4#eN d
(d
$
n
" x) (x ( 0)
Integrando di nuovo e prendendo lo zero del potenziale a sinistra, oltre
V (x) = V ("d p
) +
"d p
%
x
E(x)dx = 0 " 4#eN a
$
"d p
% (d p
+ x)dx =
x
!
fig. 9
- d p
, si ottiene
!
= " 4#eN a
$
0
% ydy = 2#eN a
$
d p +x
( d p
+ x) 2 (x & 0); e
!
!
!
V (x) = V (d n
) +
= V c
+ 4"eN d
#
d n
%
x
0
E(x)dx = V c
" 4#eN d
$
% ydy = V c
$ 2"eN d
#
d n $x
d n
% (d n
" x)dx =
x
( d n
$ x) 2 (x > 0);
Per la continuità del campo elettrico all’interfaccia:
si ricava
N a
d p
= N d
d n
" d p
d n
= N d
N a
!
lim E(x) = lim E(x),
x " 0+
x " 0#
!

13
Le larghezze delle zone di svuotamento sono inversamente proporzionali
ai drogaggi dei rispettivi semiconduttori.
I loro valori si ottengono dalla continuità del potenziale lim V (x) = lim V (x).
x " 0+
x " 0#
Di qui,
V c
= 2"eN a
#
( d p ) 2 + 2"eN d
#
1
( d n ) 2 = 2"eN a
#
$ d n
N d
'
& )
% ! (
N a
$ #V
d n
= c
N a
' 2 $ #V
&
) ; dp = c
N d
'
&
)
% 2"eN d
N a
+ N d ( % 2"eN a
N a
+ N d (
1
2
2
+ 2"eN d
#
( d n ) 2 *
!
!
LA GIUNZIONE POLARIZZATA
Va notato che la zona di svuotamento, essendo priva di
cariche libere, è una regione di resistenza elettrica molto
maggiore del resto del semiconduttore, da entrambe le
parti. Quindi la caduta di potenziale V c
è quasi interamente
al suo interno: la barriera è “ripida”. Ora, essa può venire
abbassata applicandole (fig. 10) una d. d. p. V con il
polo positivo sulla zona p
!
(polarizzazione diretta
della giunzione) o alzata applicandole una d. d. p.
con il polo positivo sulla zona n (polarizzazione inversa).
Il sistema non è più in equilibrio e µ non è più lo
stesso dalle due parti.
All’equilibrio (V=0), la corrente che attraversa la giunzione
è I " 0 perché solo i portatori di minoranza dalle due parti
!
possono superare la barriera (che li accelera come fig. 10
su un piano inclinato).
In polarizzazione diretta la probabilità di superare la barriera, e quindi la corrente, è data
da una legge alla Boltzmann:
I " exp[#e(V c
#V ) /k B
T] " exp(eV /k B
T)
dove il secondo passaggio vale non appena V supera un paio di volt.
In polarizzazione inversa,
!
analogamente,
I " exp(eV /k B
T)
dove però V

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dove I 0
è la piccola corrente dei portatori di minoranza in polarizzazione inversa. La legge è graficata
nella fig. 11.
!
I
fig. 11
I 0
V
!