La Geometria: una chiave di lettura per l'Arte Prospettiva e Simmetria

La Geometria: una chiave di lettura per l’Arte
Prospettiva e Simmetria
Gemma Faraco* e Mauro Francaviglia°
*Dipartimento di Matematica, Università della Calabria,
Via P. Bucci, Cubo 30/B, 87036 Arcavacata di Rende,
gefa@mat.unical.it
°Dipartimento di Matematica, Università di Torino,
Via Carlo Alberto 10, 10123, Torino
fviglia@dm.unito.it
Abstract
La Geometria, dalla Euclidea a quella Riemanniana, presenta forti collegamenti con
l’Arte e può essere utilizzata come una chiave di lettura per leggere, interpretare e
fruire di opere artistiche di ogni tempo. Concetti come la prospettiva e la simmetria,
in particolare, possono guidarci nella comprensione dei vari linguaggi dell’Arte
svelandoci le assonanze di sviluppo storico ed interpretativo della realtà osservata e
rappresentata. Il lavoro ripercorre le tappe storiche che hanno portato alla costruzione
e alla decostruzione della prospettiva e ne analizza l’utilizzo nell’arte classica e
moderna. Anche la simmetria che ha da sempre affascinato gli artisti nella
realizzazione delle loro opere, viene affrontata. Si parla dell’utilizzo della simmetria
in campo artistico e anche della simmetria infranta o nascosta di cui l’arte moderna
subisce il fascino utilizzandola come strumento per l’introduzione di nuovi linguaggi
per l’arte.
I. Introduzione
Una chiave di lettura del sottile parallelismo esistente tra il mondo della Matematica e il mondo
dell’Arte, tra l’evoluzione del pensiero scientifico e del pensiero artistico è sicuramente la
Geometria. Il passaggio dalla Geometria Euclidea del mondo greco alla Geometria Prospettiva del
Rinascimento, alla Geometria non Euclidea del diciottesimo e del diciannovesimo secolo, alla
Geometria delle forme topologiche nel ventesimo secolo, può essere letto come parallelo al
passaggio dalla staticità dell’arte e dell’architettura antica, alla giusta rappresentazione spaziale e
alla perfezione delle opere rinascimentali, all’evoluzione delle forme artistiche nel diciottesimo
secolo (divisionismo, espressionismo, impressionismo) fino alla completa rottura della simmetria
nelle forme d’arte moderne e contemporanee. Tutte le Geometrie, quella euclidea, la prospettiva, le
non euclidee e anche quella più “moderna” e più formale (da un punto di vista matematico) come la
Geometria Riemanniana presentano dei forti collegamenti con l’arte. La Geometria Euclidea
interpreta le “forme d’arte classiche”; nella civiltà greca, infatti, uno dei canoni per l’arte era la
teoria delle proporzioni. La Geometria Proiettiva è ricercata dai pittori (soprattutto rinascimentali)
che vogliono riprodurre fedelmente su tele bidimensionali la realtà; ciò che l’occhio coglie, vede ed
interpreta. La Geometria Riemanniana ha invece a che fare con l’arte moderna e in particolare con
le correnti conosciute con il nome di cubismo e di surrealismo, in una coincidenza o assonanza di
sviluppo storico ed interpretativo della realtà osservata o percepita.
La Geometria e l’Arte trovano un forte ed essenziale punto di contatto nella Prospettiva che nasce
proprio da esigenze pittoriche e che permette di fruire, analizzare e interpretare opere d’arte di ogni
tempo. In questo lavoro (sezione II) ripercorreremo brevemente quelle che sono state le tappe
storiche più importanti che hanno portato alla prospettiva e ne analizzeremo l’utilizzo nell’arte,

soprattutto rinascimentale, per poi arrivare a parlare di abbandono e decostruzione della prospettiva
con l’avvento e lo sviluppo del cubismo.
Anche la simmetria, concetto la cui origine si perde nel tempo e che ha assunto nelle varie epoche
significati diversi - “armonia” e “proporzione” nel mondo e nell’arte antica; “uguaglianza delle
parti” nell’accezione moderna - ha da sempre affascinato gli artisti nella realizzazione delle loro
opere. L’arte antica propone come “canone di bellezza” l’uso della teoria delle proporzioni; l’arte
moderna, al contrario, subisce il fascino della “simmetria infranta o nascosta”: propone una rottura
della simmetria e con essa un nuovo strumento per l’introduzione di nuovi linguaggi per l’arte.
Introdurremo (sezione III) il concetto di simmetria in termini matematici, parleremo dello stretto
legame tra simmetria e arte e presenteremo numerosi esempi di produzione artistica.
II. Costruzione e decostruzione della prospettiva nell’arte
Sulla scia di Euclide (325 a.C. - 265 a.C.) che con l’opera Ottica (Figura 1) fu certamente uno
dei primi ad occuparsi della “visione” esponendone una teoria “emissiva” in contrapposizione alla
dottrina di Aristotele, furono molti gli autori che si occuparono di prospettiva. In tutta l’età antica e
nel primo Medioevo i termini “ottica” e “prospettiva” furono talvolta identificati o utilizzati in
maniera equivalente per esprimere concetti e contenuti che non avevano alcun riferimento esplicito
a rappresentazioni grafiche. E’ tuttavia solo nel tardo Medioevo che il problema viene affrontato in
modo più sistematico sulla base di motivazioni artistiche, nel tentativo di rendere fedelmente la
realtà in opere pittoriche.
Figura 1: Il problema della visione nell’Ottica di Euclide
Contributi rilevanti alla nascita storica e allo sviluppo della prospettiva si devono a Vitruvio (I sec.
a.C.), Alkindi (800-873 circa), Alhazen (965 - 1039), Roberto di Lincoln (1175 – 1253 - noto come
Grossatesta), Ruggero Bacone (1214 – 1292) e Giovanni Peckham (1225 - 1292) autore di
Perspectiva Communis. Nonostante i numerosi studi, da un punto di vista artistico non veniva però
rispettata alcuna visione prospettica: nei quadri, al personaggio più importante corrispondeva di
solito una maggiore dimensione, allo scopo di metterne in maggior risalto la figura ed ignorando -
spesso volutamente - le regole della “buona visione”. In taluni casi si rileva però un inizio
embrionale di studio prospettico; già in Masaccio (1401-1428) (p.e., negli affreschi della Cappella

del Carmine, in Firenze) oppure in Giotto (p.e., negli affreschi della Cappella degli Scrovegni, in
Padova, o in alcune delle sue “Madonne in Trono”) si nota l’uso di prospettive “elementari”, molto
spesso con più punti di fuga differenti, come se vi fossero – nel quadro - più punti di vista
corrispondenti a diversi elementi o a diverse scene del quadro stesso (Figura 2) .
Figura 2: Giotto - Le storie della Cappella
Molte linee di fuga, molti punti di fuga
Questa “prospettiva elementare” verrà gradualmente sostituita da quella “matematica” elaborata
dagli artisti del tardo ‘400. Una svolta nell’elaborazione di regole precise per la rappresentazione
del reale si ebbe infatti nel Rinascimento, quando gli artisti e i matematici cominciarono a staccarsi
dall’empirismo ricercando norme generali, successivamente codificate in trattati sistematici.
Grazie a Filippo Brunelleschi (1377 – 1446) e a Leon Battista Alberti (1404-1472) in architettura, e
a Piero della Francesca (1415-1492) in pittura, la teoria della misura diviene strumento per la
rappresentazione di oggetti e fornisce le “regole” da seguire affinché il rappresentato possa essere
visto alla stessa maniera del reale. Le prime regole della rappresentazione prospettica furono
codificate dall’Alberti nel De Pictura, opera che costituisce un vero e proprio manuale d’uso per gli
artisti divulgando procedure accurate per la rappresentazione delle linee traverse con il “modo
ottimo”. Rivolgendosi agli artisti l’Alberti traccia le linee guida di una disciplina che, facendo largo
uso della Geometria, risolve con metodi pratici le difficoltà che sorgono nel rappresentare la realtà.
La Geometria, come è evidente dalle parole stesse dello studioso - “ (…) E sappi che cosa niuna
dipinta mai parrà pari alla vera, dove non sia certa distanza a vederle. (…) Pertanto affermo sia
necessario al pittore imprendere geometria. (…)” – viene riconosciuta come strumento essenziale
per l’artista. E l’Alberti ne costruisce l’impianto matematico poggiandosi sul modello teorico
dell’ottica. Introduce l’idea di una “piramide visiva” con il vertice nell’occhio e la base sull’oggetto
visto, individuando la rappresentazione prospettica dell’oggetto osservato come l’intersezione della
piramide visiva che sottende l’oggetto col piano che taglia la piramide visiva stessa.
Nasce la Prospettiva, quella parte della Geometria che fornisce ed elabora regole grafiche affinché
una figura o, più in generale, un oggetto, possa essere rappresentato così come esso viene visto da
un punto fisso detto generalmente “centro” o “punto di vista”. Lo scopo è realizzare immagini
spaziali geometriche viste ad occhi fermi da un punto solo (ed in assenza, quindi, della visione
stereoscopica tridimensionale che solo due occhi permettono tramite la sovrapposizione di due
diverse viste prospettiche da punti lievemente sfasati in distanza) traducendo graficamente l’effetto
di riduzione in scala degli oggetti in relazione alla distanza. Viene codificata la Prospettiva Lineare

dandone tre regole di base: tutte le rette orizzontali nella scena che siano perpendicolari al piano
del quadro devono essere tracciate in modo da incontrarsi in un punto di fuga; insiemi di linee
orizzontali parallele, non perpendicolari al piano del quadro, devono essere disegnati in maniera da
convergere verso un punto che giace sulla linea d’orizzonte che si trova all’altezza dell’occhio
dell’osservatore; linee parallele orizzontali o verticali della scena, parallele al piano del quadro,
devono essere tracciate orizzontali o verticali e parallele.
Un’analoga teoria della visione sottende gli studi di Piero della Francesca che, nel suo famoso
trattato De prospectiva pingendi, espone in stile matematico, con l’utilizzo di teoremi della
geometria elementare e della teoria delle proporzioni, le regole della prospettiva. Dice Piero:
“Perché ho dicto dato l’ochi, se intende essere posto al vedere in quello luogho, dove tu vai stare a
vedere il piano assegnato”, e da ciò si comprende come in egli già sia chiaro che “punto di vista” e
“punto di fuga” concorrono a determinare altezza e distanza dell’osservatore dall’osservato e/o dal
rappresentato. Il metodo proposto consente di ricostruire l’immagine prospettica di un quadrato
orizzontale sul “piano di terra”, sul quale “degradare” le linee che costituiscono la pianta di ciò che
si vuole rappresentare. Ed è proprio il problema del degradare una figura disegnata su un piano
orizzontale che conduce a concetti matematici quali la trasformazione proiettiva e l’omologia. Il De
prospectiva pingendi costituisce, e a ragione, il più importante trattato sulla prospettiva
rinascimentale e rivela la consapevolezza della necessità di riferire la rappresentazione pittorica ad
un sistema organico di procedimenti matematici che consentano di “tradurre”, in maniera fedele, il
“veduto” con il “rappresentato”.
La prospettiva, tanto ricercata e utilizzata nel Rinascimento Italiano per riprodurre fedelmente la
realtà rispettando i canoni e i meccanismi della visione ottica umana, venne ai primi del ‘900
rinnegata. Dall’impressionismo in poi gli artisti cominciarono infatti a svincolarsi dalle leggi della
costruzione prospettica, deformando prima e annullando poi completamente i principii fondamentali
del “fare pittorico”. Nel periodo del Post-impressionismo artisti come Paul Cézanne (1839 – 1906)
raffigurano opere in cui le diverse parti sono tutte rigorosamente in prospettiva anche se da angoli
visivi diversi. La prospettiva è così deformata anche se non completamente abbandonata. E’ Pablo
Picasso (1881-1973) che con le sue opere smonta e demolisce il pilastro della prospettiva; egli
raffigura frammenti di realtà visti da angolazioni differenti e senza evidenti legami prospettici poi
sapientemente mescolati (Figura 3).
Les Demoiselles de Avignon (1907) Ambroise Voilard (1910)
Figura 3: La prospettiva deformata
In Ambroise Voilard, Picasso rappresenta, ad esempio, un’immagine come se fosse riflessa in
innumerevoli schegge di vetro poi ricomposte opportunamente in un unico quadro. Questa maniera
di operare, dipingendo porzioni distinte su piani rappresentativi differenti, comporta, come si può
facilmente intuire, che molti elementi della geometria euclidea e soprattutto dell’ottica euclidea

vengono disattesi. Si perde il concetto stesso di distanza euclidea e ciò produce sostanziali
ripercussioni sulla visione stessa dello “oggetto” rappresentato: particolari distanti tra di loro sono
percepiti come vicini e, viceversa, sono “visti” essere vicini particolari che in realtà non lo sono. La
realtà rappresentata non sempre si riesce a cogliere; bisogna riuscire ad individuare i vari pezzi,
incollarli tra loro e nella percezione, e dunque ricostruire, in maniera indipendente, quanto l’artista
voleva certamente trasmettere.
Nasce e si sviluppa il Cubismo (1907) che, non solo con Picasso, propone oggetti rappresentati da
una molteplicità di punti di vista; e che decompone i contorni e gli interni degli oggetti in maniera
differente: tratti rettilinei per i contorni e tasselli triangolari per gli interni, quasi a voler
approssimare le curve mediante i segmenti e le superfici mediante i triangoli. Al fruitore dell’opera
è proposta una visione totale della realtà a prescindere da come la stessa realtà si presenta allo
sguardo. L’artista organizza su uno stesso piano pittorico visioni diverse dello stesso oggetto; è
l’abolizione della prospettiva tradizionale che, al contrario impone all’artista la scelta di un “punto
di vista” unico. Gli oggetti reali, la loro struttura e il loro funzionamento sono analizzati
approfonditamente e poi scomposti in frammenti geometrici elementari che spesso assomigliano a
elementi sferici e sfaccettature di cubi.
Tutte e tre le fasi principali del cubismo (Figura 4) testimoniano l’abolizione e la decostruzione
della prospettiva. Nel cubismo primitivo (1907) si lavora soprattutto sulla rottura dei piani e
sull’essenzialità delle forme; persiste tuttavia e ancora un certo grado di profondità e le forme sono
poco frammentate. Nel cubismo analitico (1909) gli oggetti vengono trasformati in frammenti e poi
ricomposti con una povertà di colori (verdi, rossi, ocra, bruni) che produce una sensazione di
monocromia. Nel cubismo sintetico (1912), infine, si assiste ad una ricomposizione degli oggetti
che vengono ricostruiti sulla tela tenendo conto delle sue parti principali senza tener conto di vincoli
di prospettiva e profondità. Il non usare le regole della prospettiva introduce un nuovo linguaggio
per l’arte, linguaggio che perde però di universalità. La rappresentazione naturalistica, proponendo
una realtà simile a quella trasmessa dai nostri occhi al nostro cervello, parla infatti un linguaggio
universale popolare e diffuso che tutti sono in grado di capire; le opere di questa e di altre correnti
comunicano pensieri, idee, emozioni e sensazioni con un linguaggio diverso e sicuramente più
ermetico.
Picasso: Landscape with Bridge Braque, Violin Picasso, Guitar, Sheet
Music and Glass
(a) Primitivo (b) Analitico (c) Sintetico
Figura 4: La decostruzione della prospettiva: Il Cubismo e le sue fasi
La rottura della convenzione sull’unicità del punto di vista porta all’introduzione del “tempo” come
nuovo elemento della rappresentazione pittorica. Per poter analizzare un oggetto da più punti di
vista è necessario, infatti, che la percezione dell’oggetto non si limiti ad un solo sguardo; l’artista

deve potersi soffermare sull’oggetto per un tempo prolungato per poterlo poi raffigurare da punti di
vista differenti e così anche lo spettatore che non può cogliere immediatamente, con uno sguardo
solo, quanto l’artista ha rappresentato. Le opere di questa nuova corrente sconvolgono dunque la
“visione” introducendo nella rappresentazione della realtà la quarta dimensione. Negli stessi anni la
definizione del tempo, come quarta dimensione della realtà, veniva postulata in fisica da Einstein
con la sua Teoria della Relatività.
Può sembrare sconvolgente la contemporaneità di questi due fenomeni che sicuramente non è
casuale. Artisti e scienziati maturano le loro opere e le loro idee in un determinato periodo storicoculturale
che sicuramente influenza opera e pensiero.
III. Simmetria e rottura della simmetria
Il termine simmetria (dal greco “stessa misura”) era utilizzato già dagli antichi greci con un
significato simile a quello di proporzione. Il grande Euclide lo usava in relazione ai segmenti
commensurabili seppure la nozione trovava applicazioni nell’estetica, nella politica e nell’etica.
Nel linguaggio matematico moderno dire che una struttura “possiede una simmetria” rispetto a
determinate proprietà equivale a dire che esiste una trasformazione (ed in generale un intero
“gruppo di trasformazioni”) che lascia invariate quelle particolari proprietà della struttura. Se, per
un dato oggetto, le proprietà considerate sono, per esempio, forma ed estensione la simmetria
“naturale” è allora rappresentata dai movimenti rigidi del piano, quelli che vengono chiamate le
isometrie, ovvero le applicazioni che conservano le distanze. La simmetria è vista in questo caso
come “uguaglianza delle parti” e una figura è definita simmetrica se non cambia quando le parti che
la compongono sono trasformate le une nelle altre.
Utilizzando il termine “simmetria” nell’accezione matematica moderna, possiamo distinguere tra
diverse tipologie di simmetria, a seconda del tipo di trasformazione che bisogna compiere affinché
la figura rimanga invariata. Una figura dunque potrà risultare simmetrica per rotazione, simmetrica
per riflessione o ancora simmetrica per traslazione. La simmetria per rotazione, basata sul concetto
di rotazione nel piano o nello spazio, è presente quando ruotando un oggetto attorno ad un suo asse
oppure attorno ad un suo centro, esso appare nella stessa posizione due o più volte durante l’intera
rivoluzione. La simmetria per riflessione si basa sul concetto di riflessione e di simmetria
bilaterale; quest’ultima è presente quando due parti di uno stesso oggetto sono l’una l’immagine
speculare dell’altra; si parla di simmetria per riflessione quando applicando uno specchio piano ad
una delle due metà di un oggetto con simmetria bilaterale, si ricrea l’intero oggetto. Gli stessi
poligoni regolari presentano una simmetria che è sia rotazionale che per riflessione, così come
anche i solidi platonici (Figura 5) nello spazio tridimensionale definiti da Platone nel Timeo “(…) i
più begli oggetti dell’universo (…)” e ritenuti i simboli della bellezza classica.
Figura 5: I solidi platonici

Legato alla riflessione è il concetto di simmetria chirale, dal termine chiralità utilizzato in Chimica
e in Fisica per descrivere la diversità di due oggetti che sono l’uno l’immagine speculare dell’altro,
quali ad esempio la mano destra e la mano sinistra. Oggetti e figure possono, inoltre, essere
simmetrici per traslazioni o simmetrici per dilatazione, quando rimangono invariati, rispettivamente,
rispetto ad operazioni di traslazione o di dilatazione. Tra quelle qui viste le simmetrie per traslazioni
o per rotazioni possono anche essere simmetrie continue, con ciò intendendosi che il valore
dell’angolo di rotazione o del vettore di traslazione possono essere del tutto arbitrari, e addirittura
funzioni continue del tempo; ovvero moti continui (e non solo spostamenti finiti) che generano
simmetria. Parleremo invece di simmetrie finite quando le operazioni che bisogna compiere per
“ritrovare” la figura sono in numero finito, ovvero quando gli spostamenti che generano simmetria
sono discreti e non continui.
Un gruppo di simmetria euclidea di una figura nel piano si caratterizza dunque come un insieme di
operazioni che lasciano invariata la forma e l’estensione (scelte quali proprietà) della figura stessa.
In Matematica, le operazioni di simmetria assumono un ruolo fondamentale; lo studio e la
catalogazione di tali operazioni hanno costituito e costituisce infatti uno dei fondamenti della Fisica
e della Chimica moderna. Tali operazioni assumono un’importanza rilevante anche nell’Arte: molti
dipinti, molte facciate di edifici e altri elementi architettonici presentano figure unite rispetto a
simmetrie assiali o centrali, a rotazioni e a traslazioni. E così anche i rosoni (Figura 6) presenti sulle
facciate di molte chiese, i fregi (Figura 7) e i mosaici rappresentano spesso un interessante esempio
di utilizzo delle simmetrie in campo artistico.
Figura 6: Rosoni presenti su facciate di chiese medievali
In termini matematici i rosoni rappresentano gruppi di invarianza delle figure geometriche non
contenenti traslazioni ma rotazioni di angoli sottomultipli dell’angolo giro (gruppi ciclici) o
rotazioni e riflessioni (gruppi diedrali). I fregi sono gruppi infiniti di motivi ripetuti costruiti con
una manifesta invarianza rispetto a traslazioni in una unica direzione o anche in più direzioni
indipendenti tra loro.
I tipi di fregi sono essenzialmente 7 e tutti sono stati utilizzati dagli artisti prima ancora che si
pervenisse ad una loro classificazione matematica. I mosaici, o gruppi cristallografici del piano, in
numero di 17, sono invece gruppi infiniti di motivi ripetuti contenenti due traslazioni indipendenti.

Figura 7: Fregi in architettura
Nell’arte figurativa così come nell’architettura e nella musica si ritrovano numerosi esempi di
utilizzo della simmetria. Basti pensare al Narciso (Galleria Nazionale di Arte Antica) di Caravaggio
(Michelangelo Marisi da Caravaggio 1573 – 1610) e a tante opere di Escher (1898 – 1972) che nei
mosaici moreschi dell’Alhambra ha trovato ispirazione per realizzare riempimenti del piano
mediante figure isometriche. Motivi geometrici sostituiti poi da angeli, fantasmi, diavoli, rettili, altri
animali immaginari in numero e dimensioni tali da creare disegni artistici unici e interpretabili
secondo canoni geometrici non necessariamente euclidei (Figura 8).
(a)
(b)
Figura 8: (a) La dimensione dei rettili raffigurati diminuisce
man mano che ci si sposta verso il centro; (b) La dimensione dei “fantasmi” raffigurati
aumenta man mano che ci si allontana dal centro

Anche nella musica, come indicato, si ritrovano applicazioni del concetto di simmetria. Del resto, lo
stesso concetto di armonia pitagorica, basata sulle proporzioni, è una forma elementare di
simmetria. In L’arte della fuga il grande musicista S. Bach (1685-1750) applicò tecniche
compositive che possono essere interpretate mediante trasformazioni geometriche. Nel
Contrapunctus 12 (rictus et inversus) si può notare come le partiture dei due brani siano tra loro
simmetriche rispetto ad un asse orizzontale; in Contrapunctus 5, Bach applica invece una
glissosimmetria al primo rigo della partitura per ottenere il terzo rigo che appare, rispetto al primo,
capovolto e traslato.
La simmetria è inoltre presente, in modo essenziale e quasi universale, anche nell’architettura greca
e romana (come del resto avviene in tutta l’arte classica occidentale, dall’Asia alle civiltà
mediterranee; e come pure nell’arte africana ed in quella centro e sud-americana o in quella del
Pacifico); essa infatti rendendo più semplici i calcoli strutturali garantiva la stabilità degli edifici.
L’arco di Costantino (Roma 315 d.C.) mostra una evidente simmetria bilaterale e anche la cupola
realizzata da Brunelleschi per Santa Maria del Fiore a Firenze mostra numerose simmetrie di
rotazione. Rimanendo ancora in campo architettonico c’è infine da notare che nel Rinascimento la
simmetria era utilizzata anche nelle piante stesse degli edifici. Si veda, ad esempio, la pianta della
Basilica di San Pietro a Roma (Figura 9 (a)); e si potrebbero fare ancora numerosissimi esempi: la
Chiesa di Sant’Andrea (1470) a Mantova; La Rotonda (1566 - 1569) di Palladio a Vicenza;
addirittura l’intera città di Palmanova fu costruita dal Senato Veneziano rispettando canoni di
simmetria (Figura 9 (b)).
(a) Pianta di San Pietro (Roma)
(b) Pianta della Città di Palmanova
Figura 9: Simmetrie in architettura
E ancora La Blu Mosque in Istanbul che presenta una evidente simmetria bilaterale e la Torre
Eiffell, che presenta due riflessioni ortogonali doppie, le quali generano una quadruplice simmetria
rotazionale.
La bellezza della simmetria ha dunque affascinato molti artisti di epoche diverse. Gli artisti
contemporanei subiscono invece il fascino della “rottura della simmetria”, la simmetria infranta
usata anche come strumento per introdurre nuovi linguaggi e forme d’arte. Si pensi ad esempio al
già citato Cubismo del primo novecento che presenta, sia nella fase del cubismo analitico che in
quella del cubismo sintetico, immagini ermetiche difficilmente ricomponibili mentalmente dal
fruitore. Il cubismo sintetico, in particolare, si caratterizza per una rappresentazione diretta della
realtà che si vuole evocare: il quadro non è la rappresentazione della realtà, ma diventa la “realtà”.
Un primo esempio di asimmetria nell’arte lo ritroviamo nell’opera Guernica di Picasso che mostra
figure sovrapposte, poste nella composizione senza un immediato ed evidente ordine logico (Figura
10).

Figura 10: L’asimmetria nell’arte
Anche nell’opera Autoritratto cubista di Dalì non si evidenzia alcuna simmetria, così come in molte
opere di artisti moderni e contemporanei. Esempi emblematici di “rottura della simmetria” li
ritroviamo nelle opere di Arnaldo Pomodoro, soprattutto in alcune sculture poste nelle vie di
Lugano. (Figura 11).
Figura 11: La simmetria infranta in “Le tre sfere” di Arnaldo Pomodoro

IV. Conclusioni
Le Geometrie, con i propri concetti e le proprie regole, consentono di leggere ed interpretare
l’Arte, soprattutto quella figurativa ed architettonica. Esse costituiscono uno strumento tecnico che
l’artista utilizzava, e ancora utilizza, nelle applicazioni artistiche “classiche” per creare opere che
rappresentino, in maniera più fedele possibile, la nostra realtà tridimensionale (o almeno ciò che noi
vorremmo essa fosse, con canoni euclidei). Ma, con il progressivo svincolarsi dai rigidi canoni
euclidei e con la progressiva scoperta di geometrie “non euclidee” (che, in realtà, meglio sarebbe
chiamare “post euclidee” perchè non negazione bensì completamento dell’impianto euclideo stesso)
anche in Arte si fà strada l’utilizzo di curve più ardite e di strumenti geometrici meno rigidi e più
vicini a nuovi paradigmi percettivi, che vogliono una visione meno costretta dell’assoluto
parallelismo del V postulato. Dalle rigide forme si passa a forme più “plastiche” e dai canoni
metrici immutabili o matematicamente legati a rapporti o birapporti lineari (come nella prospettiva),
si passa a canoni metrici più liberi o, addirittura, al totale svincolamento dai canoni metrici, nel
senso della topologia pensata come matematica delle “forme senza forma”, ovvero di forme
plastiche non ingabbiate dallo strumento euclideo. Gli oggetti affascinanti della topologia, infatti,
possono diventare delle vere e proprie opere d’arte; il riferimento è, per esempio, all’opera Endless
Ribbon, presentata per la prima volta a Milano nel 1936, in cui l’autore, l’artista scultore Max Bill,
raffigura, in maniera indipendente, uno degli oggetti topologici più affascinanti: il nastro di Möbius
(Figura 11).
Rappresentazione grafica del nastro di Möbius
Endless Ribbon (Max Bill)
Figura 11: Il nastro di Mobius
La matematica delle curve e delle superfici, quindi, vuole essere ed è uno strumento non solo per
l’artista, ma anche e soprattutto per l’osservatore, colui cioè che fruisce dell’opera realizzata e che
meglio può cogliere ed interpretare la realtà rappresentata ed il messaggio che il vero artista
nasconde nell’opera.
Opere del grande Picasso e dello stesso Escher, non a caso considerato un matematico, possono
essere “interpretate” e rilette secondo la geometria più moderna e formale, quella di Gauss e di
Riemann. Il bellissimo quadro Maya con Bambola di Picasso, come superbamente dimostrato in [9],
è l’atlante di più carte locali, ognuna fedele ad una rappresentazione piana delle superfici esterne
dell’oggetto. L’opera può essere dunque ricostruita a partire dall’atlante per arrivare a stabilire
come l’oggetto sia posizionato nello spazio tridimensionale. E, ancora, le xilografie Cerchio limite
II, III e IV di Escher anch’esse “costruite” secondo una geometria che non è esattamente quella

euclidea. Il modello è quello conosciuto in matematica come Modello di Poincarè del piano
iperbolico basato sulla negazione del V postulato di Euclide.
La Geometria dunque può rappresentare un valido strumento di lavoro e di conoscenza sia per chi
vuole godere appieno e con profonda comprensione delle opere realizzate nell’arte classica e
nell’arte moderna sia per chi si accinge a diventare un artista. L’arte poi può essere utilizzata come
mezzo per introdurre la matematica classica e moderna, la sua storia e le sue applicazioni. Si tratta
di un approccio nuovo allo studio della Matematica che rientra in quell’ottica di insegnamento
moderno della Matematica che non può ignorare i legami che essa presenta con il mondo reale;
riteniamo, infatti, che sia fruttuoso insegnare a riconoscere la Matematica “implicita” nelle diverse
situazioni, contenuta in “oggetti” apparentemente lontani come quadri, sculture, opere
architettoniche realizzate spesso seguendo apposite geometrie, rapporti numerici, proporzioni, in
una parola “strutture matematiche”.
V. Bibliografia
[1] Bouleau C., La geometria segreta dei pittori, Electa, Milano (1988)
[2] Caglioti G., Simmetrie infrante nella scienza e nell’arte, CLUP, Milano (1983)
[3] Catastini, L. and Ghione F., Le Geometrie della Visione, Springer, (Milano, 2004)
[4] Dedò, M., Forme - simmetria e topologia, Zanichelli, (Bologna, 1999)
[5] Faraco G. , Francaviglia M. , " Mathematical Structures in Art: a Patway for Cultural Industry".
Atti del convegno "UCN 2004", Caserta, Italy, 23 - 27 Novembre, 2004, Buzzanca G. et.
al:Seconda Università di Napoli, Facoltà di Scienze MM.FF.NN, Caserta, 2005
[6] Faraco G. , Francaviglia M. , " A course of Mathematics in Art". Atti del convegno "SIMAI
2004", Venice, Italy, 23-24 Settembre, 2004, A cura di Bilotta E., Francaviglia M., Pantano P. S.,
AVR:Cosenza, 2004
[7] Faraco G. e Francaviglia M. (2004), Using Art for Mathematics teaching, 4th International
Conference APLIMAT 2005, pp. 143 – 152
[8] Hargittai I., Hargittai M., The universality of the symmetry concept, in Williams K., Nexus -
Architecture and Mathematics, Gli Studi 2, Dell'Erba (Firenze, 1996), pp. 81-95
[9] Tedeschini Lalli L., Locale/globale: guardare Picasso con sguardo "riemanniano", in Emmer M.,
Matematica e cultura 2001, Springer (Milano, 2002) pp. 223-239
[10] Sala N. e Cappellato G. (2003), Viaggio matematico nell’arte e nell’architettura, Franco
Angeli, Milano.
[11] Sala N. (1999), “Matematica, arte e architettura”, Didattica delle Scienze e Informatica, n. 200
[12] Schattschneider, D., Visioni della simmetria - i disegni periodici di M. C. Escher, Zanichelli,
(Bologna, 1992).
Nota: Le immagini riportate sono state reperite in rete ai seguenti indirizzi:
[1] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Bookpages
[2] http://www.magazine.enel.it
[3] http://www.globalarte.it/storia/picasso.htm
[4] http://www.artehistoria.com
[5] http://www.stilepisano.it/immagini/Pisa_tarsie_mandala_foto.htm
[6] http://www.comunelauria.pz.it/arte.htm
[7] www.provincia.milano.it
[8] http://www.romaspqr.it/ROMA/San_pietro.htm
[9] http://www.consorziocastelli.it/icastelli/palmanova
[10] http://www.adhikara.com/arnaldo-pomodoro/
[11] http://it.wikipedia.org/wiki/
[12] http://www.bluffton.edu/~sullivanm/baltimore/baltimore1.html