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C. di L. in Ingegneria Informatica. Metodi Matematici 18/12/2006 (Compito A) 

Docente: Francesco Chiacchio 

Quesito n.1 Calcolare il seguente integrale: 

I = 

Z +1 

0 

x sin x 

(x 2 + 1) 2 (x 2 + 4) dx: 

Quesito n.2 Determinare serie e trasformata di Fourier del prolungamento periodico della funzione 

8 

< (t + 1) 2 se 1 t < 0 

x 0 (t) = 

: 

(t 1) 2 se 0 t 1: 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere per t 0; il seguente problema di Cauchy 

8 

8 

< y 00 

< 

: 

y = f(t); 

y(0) = 1 

y 0 (0) = 0 

dove f(t) = 

: 

1 se 0 t < 1 

1 se 1 t < 2 

0 se t 2 e t < 0: 

Quesito n.4 Determinare il termine generale della successione de…nita, per n 0; da: 

8 

< 3a n+1 + a n = 5 3 n 

: 

2a n+2 

a 0 = 0; a 1 = 1: 

1

C. di L. in Ingegneria Informatica. Metodi Matematici 18/12/2006 (Compito B) 


Quesito n.1 Calcolare il seguente integrale: 

I = 

Z +1 

0 

x sin x 

(x 2 + 1)(x 2 + 4) 2 dx: 


8 

< t 2 1 

+ t se t < 0 

2 

x 0 (t) = 

: 

t 2 t se 0 t 1: 

2 


8 

8 

< y 00 

< 

: 

y = f(t); 

y(0) = 1 

y 0 (0) = 0 

dove f(t) = 

: 

1 se 0 t < 1 

1 se 1 t < 2 

0 se t 2 e t < 0: 

Quesito n.4 Determinare il termine generale della successione de…nita, per n 0; da: 

8 

< 3a n+1 + a n = 3 5 n 

: 

2a n+2 

a 0 = 0; a 1 = 1: 

2

C. di L. in Ingegneria Informatica. Metodi Matematici 15/01/2007 


Quesito n.1 Calcolare il seguente integrale 

I = 

Z +1 

1 

sin 2x 

x(x 2 2x + 2) dx: 


8 

 

< cos t se t < 0 

2 

x 0 (t) = 

: 

cos t se 0 t : 

2 

La serie di Fourier converge puntualmente per t = 0 ? 


8 

8 

y 00 + y = f(t) 

e t se 0 t < 1 

>< 

>< 

y(0) = 0 

dove f(t) = e t se 1 t < 2 

>: 

>: 

y 0 (0) = 1 

0 se t 2: 

Quesito n.4 Determinare il termine generale della successione de…nita, per n 0; da 

8 

< a n+2 a n+1 a n = 0 

: 

a 0 = a 1 = 1 : 

3




Z +1 

1 

vp 

1 1 + x dx: 7 


8 

2 

>< 

t + 1 se 

2 t < 0 

x 0 (t) = 

>: cos t se 0 t 2 : 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere, per t 0, il seguente problema di Cauchy 

8 

y 00 + 4y = (t ) 

>< 

y(0) = 1 

>: 

y 0 (0) = 0: 


8 

< a n = cos n + n 

2 

: 

a n+1 

a 0 = 1: 

4

C. di L. in Ingegneria Informatica. Metodi Matematici 12/02/2007 



Z 

vp 

jzj=1 

sin(z 2 + 1) 

dz: 

z 4 1 


8 

 

>< cos t se 

2 t < 0 

x 0 (t) = 

>: e t se 0 t 2 : 


8 

y 00 (t) + y(t) = (t ) (t 2) 

>< 

y(0) = 1 

>: 

y 0 (0) = 0: 


8 

>< a n+1 = 1 + 

n 

n + 1 a n 

>: 

a 0 = 0: 

5




I = vp 

Z 

0 

dt 

1 + 2 cos(2t) : 


8 

< 0 se 1 t < 0 

x 0 (t) = 

: 

t 2 se 0 t 1: 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere per t 0, il seguente problema di Cauchy 

8 

8 

< y 00 y = f(t) 

< t se 0 t < 1 

dove f(t) = 

: 

y(0) = 0; y 0 : 

(0) = 1 

1 se t 1: 


8 

< a n = 2 n 

: 

a n+2 

a 0 = a 1 = 0 : 

6




Z 

vp 

jzj=2 

1 

1 e z dz: 


x 0 (t) = t 2 1; con t 2 [ 1; 1] : 

Quesito n.3 Si consideri il problema di Cauchy 

8 

< y 00 (t) + y(t) = cos(! 0 t) 

: 

y(0) = y 0 (0) = 0; 

dove ! 0 2 R. Utilizzando la trasformata di Laplace, trovare i valori di ! 0 in corrispondenza dei quali il 

problema ammette una soluzione non limitata. Determinare, in…ne, l’espressione di tale soluzione. 


8 

a n+2 = 3 >< 2 a 1 

n+1 

2 a n 

>: 

a 0 = 1; a 1 = 3 2 : 

7




Z +1 

2 sin x 

dx: 

1 

x 


8 

0 se t < 0 

>< 

x 0 (t) = t se 0 t < =2 

>: 

( t) se =2 t < : 


8 

8 

< y 00 (t) y(t) = f(t) 

< sin t; se 0 t < 

dove f(t) = 

: 

y(0) = y 0 : 

(0) = 0 

0; se t : 

Quesito n.4 Sia b > 0: Determinare, in funzione di b; il termine generale della successione de…nita, per 

n 0; da 8> < 

> : 

a n+2 + ba n = 0 

a 0 = b; a 1 = 0: 

8




Z 

jzj=1 

2 

z 3 exp dz: 

z 


8 

0 se t < 2 

>< 

 

x 0 (t) = sin(2t) se 

2 t < 2 

>: 

0 se 

 

2 t : 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere, per t 0; il problema di Cauchy 

8 

< y 00 (t) + 2y 0 (t) = t 

: 

y(0) = y 0 (0) = 0: 


8 

1 

a >< n+2 

4 a n = 1 2 n 

>: 

a 0 = a 1 = 0: 

9



Quesito n.1 Calcolare, in termini del parametro reale a; il seguente integrale 

Z +1 

0 

1 

(x 2 + a 2 ) 4 dx: 


h 

x 0 (t) = t cos t; t 2 

2 ; i 

: 

2 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere, per t 0; il seguente problema di Cauchy 

8 

< y 00 (t) + 3y 0 (t) + 2y(t) = t [u(t) u(t 1)] + e 1 t u(t 1) 

: 

y(0) = y 0 (0) = 0 


8 

 

a n+2 2a n+1 + 4a n = 2 >< 

n 1 cos n 3 

>: 

a 0 = 0; a 1 = 1: 

10

C. di L. in Ingegneria Informatica. Metodi Matematici 17/12/2007 


Quesito n.1 Siano a, b 2 Rn f0g ; calcolare la trasformata di Fourier della seguente funzione 

f(x) = 

1 

(x 2 + a 2 ) (x 2 + b 2 ) : 

Quesito n.2 Determinare la serie di Fourier del prolungamento periodico delle seguenti funzioni 

x 0 (t) = t t 2 ; 0 t : 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere, per t 0; la seguente equazione 

y(t) = t + 

Z t 

0 

y(t 

)e d: 

Quesito n.4 Determinare il termine generale delle successioni de…nite, per n 0; da 

8 

x n+1 = 4x n 5y n 

>< 

>: 

y n+1 = x n 

2y n 

x 0 = 6; y 0 = 2: 

11




Z +1 

1 

x 3 + 8 dx: 

0 


x 0 (t) = t jtj con 1 t 1: 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere, per t 0, la seguente equazione 

8 R t 

t 

< y()y(t )d = te 

0 

: 

y(0) = 1: 


8 

< 7a n+1 + 12a n = 2 n 

: 

a n+2 

a 0 = 0; a 1 = 1: 

12



Quesito n.1 Si consideri la curva : t 2 

h 

0; i 

! 4 Z 

4 t + j tan t; calcolare ze z2 dz: 

 


 

 

 

x 0 (t) = sinh jtj con 

2 

2 t 2 : 


8 

< y (4) + 8y 00 + 16y = 0 

: 

y 000 (0) = 1; y 00 (0) = y 0 (0) = y(0) = 0: 

Quesito n.4 Determinare i termini generali delle successioni de…nite, per n 0; da 

8 

x n+1 = 2x n 10y n 

>< 

y n+1 = x n y n 

>: 

x 0 = 3; y 0 = 2: 

13




Z 

dz 

z 4 + (1 j)z 3 jz 2 

jzj=1 


8 

< t(t + 1) se 1 t < 0 

x 0 (t) = 

: 

4t(t 1) se 0 t < 1: 


8 

< y 000 + 2y 00 + y 0 = 1 

: 

y 00 (0) = y 0 (0) = y(0) = 0: 

Quesito n.4 Determinare i termini generali delle successioni de…nite, per n 0; da 

8 

x n+1 = 4x n + 2y n 

>< 

y n+1 = 3x n + 3y n 

>: 

x 0 = 0; y 0 = 5: 

14



Quesito n.1 Sia data la curva : t 2 [0; 2] ! 1 + e jt ; calcolare il seguente integrale 

Z 

sin(z 4 ) + exp(2z) 1 

dz: 

z 2 

 


8 

< t + 1 se 1 t < 0 

x 0 (t) = 

: 

2t se 0 t < 1: 


8 

8 

< y 00 3y 0 + 2y = f(t) 

< 1 se t 2 [0; =2[ 

dove f(t) = 

: 

y 0 : 

(0) = y(0) = 0 

sin t se t 2 [=2; +1[ 

Quesito n.4 Determinare la successione de…nita, per n 0, dalla legge 

8 

8 

< x n+1 x n = a n ; 

< 1 se n è pari 

dove a n = 

: 

: 

x 0 = 1 

2 se n è dispari 

15




Z +1 

(vp) 

1 

1 

(x 4 + 16)(x 1) dx: 


8 

 

>< 0 se 

2 t < 0 

x 0 (t) = 

>: sin t se 0 t < 2 : 


8 

8 

1 se t 2 [0; 1[ 

< y 00 + y = f(t) 

>< 

dove f(t) = 1 se t 2 [1; 2[ 

: 

y 0 (0) = y(0) = 0 

>: 

0 se t 2 [2; +1[ 

Quesito n.4 Provare che 

(t) = t 0 (t); in D 0 (R): 

16



Cognome, nome e matricola............................................................................................................. 


Z 2 

0 

d 

5 3 cos() : 


x 0 (t) = t 2 2 ; con t 2 [ ; ] : 

Quesito n.3 Utilizzando la trasformata di Laplace, risolvere per t 2 [0; +1[ , il seguente problema di 

Cauchy 

8 

8 

Z t 

0 se 0 t < 1 

>< y 0 (t) + y(t) + y()d = f(t) 

>< 

0 

dove f(t) = 1 se 1 t < 2 

>: 

y(0) = 1; 

>: 

0 se t 2: 

Quesito n.4 Sia a n = 1 n! ; determinare w n = a n a n :

C. di L. in Ingegneria Informatica. Metodi Matematici 18/12/2006 ...

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