Calcolo Numerico per Meccanici e Aerospaziali (Prof. G. Zilli) 4o ...

Calcolo Numerico per Meccanici e Aerospaziali
(Prof. G. Zilli)
4 o Appello: 22.09.2004
TEMA N. 1
1. Siano dati i seguenti valori relativi alla funzione f(x) = √ x:
f(1/4) = 1/2; f(1/9) = 1/3; f(4/9) = 2/3
(a) Si costruisca la tabella delle differenze divise di Newton;
(b) si determini il polinomio P 2 (x) di grado 2 che interpola tali valori;
(c) si approssimi il valore di f(0.2);
(d) Utilizzando la formula dell’errore di Lagrange si dia una maggiorazione dell’errore
|f(0.2) − P 2 (0.2)| e lo si confronti con l’errore vero.
2. Sia dato l’integrale
I =
∫ 1
0
2e x2 dx (valore vero I = 2.925303491814)
(a) Approssimare I con il metodo dei trapezi impiegando n = 1, n = 2, n = 4
suddivisioni dell’intervallo [0, 1] in parti uguali.
(b) Nei tre casi stimare l’errore massimo e confrontarlo con l’errore vero.
(Usare almeno 7 cifre decimali)
3. (a) Ricavare il metodo di Newton-Raphson per la soluzione di f(x) = 0 e darne
l’interpretazione geometrica.
(b) Dare la definizione di ordine di convergenza p di un metodo iterativo e dimostrare
che il metodo di Newton-Raphson ha ordine di convergenza p = 2.
Tempo a disposizione: 2 h (Voti: 11,11,8).

Calcolo Numerico per Meccanici e Aerospaziali
(Prof. G. Zilli)
4 o Appello: 22.09.2004
TEMA N. 2
1. Siano dati i seguenti valori relativi alla funzione f(x) = √ 2x:
f(1/18) = 1/3; f(1/8) = 1/2; f(2/9) = 2/3
(a) Si costruisca la tabella delle differenze divise di Newton;
(b) si determini il polinomio P 2 (x) di grado 2 che interpola tali valori;
(c) si approssimi il valore di f(0.1);
(d) Utilizzando la formula dell’errore di Lagrange si dia una maggiorazione dell’errore
|f(0.1) − P 2 (0.1)| e lo si confronti con l’errore vero.
2. Sia dato l’integrale
I =
∫ 1
0
e x2 dx (valore vero I = 1.462651745907)
(a) Approssimare I con il metodo dei trapezi impiegando n = 1, n = 2, n = 4
suddivisioni dell’intervallo [0, 1] in parti uguali.
(b) Nei tre casi stimare l’errore massimo e confrontarlo con l’errore vero.
(Usare almeno 7 cifre decimali)
3. (a) Ricavare il metodo di Newton-Raphson per la soluzione di f(x) = 0 e darne
l’interpretazione geometrica.
(b) Dare la definizione di ordine di convergenza p di un metodo iterativo e dimostrare
che il metodo di Newton-Raphson ha ordine di convergenza p = 2.
Tempo a disposizione: 2 h (Voti: 11,11,8).

Soluzioni
1. Tabella delle differenze divise:
1/4 1/2
6/5=1.2
1/9 1/3 -36/35=-1.028571
1
4/9 2/3
P (x) = 1/2 + 6/5(x − 1/4) − 36/35(x − 1/4)(x − 1/9) = 6/35 + 11/7x − 36/35x 2
f(0.2) ≈ P (0.2) = 1/2 + 6/5(1/5 − 1/4) − 36/35(1/5 − 1/4)(1/5 − 1/9)
= 1/2 − 6/51/20 + 36/351/204/45 = 389/865 = 0.4445714
Si noti che f(0.2) = √ 0.2 = 0.4472135954 e quindi E = 0.00264.
Stima dell’errore:
E = F (x)f ′′′ (ξ)/6
I Modo:
f ′′′ (x) = 3/8x −5/2 max(f ′′′ (x)) = f ′′′ (1/9) = 729/8 = 91.125
|F (x)| = |(x − 1/4)(x − 1/9)(x − 4/9)| < A = (4/9 − 1/9) 3 = 1/27 = 0.03703704
II Modo
F (x) = (x − 1/4)(x − 1/9)(x − 4/9) = (−4 + 61x − 261x 2 + 324x 3 )/324
F ′ (x) = (61 − 522x + 972x 2 )/324 = 0
x 1 = (29 − √ 109)/108 = 0.171849 x 2 = (29 + √ 109)/108 = 0.365188
B = F (x 2 )| = | − 0.00231957| > |F (x 1 )| = 0.00129394
2.
|E| ≤ f ′′′ (1/9) max (F (x))/6 ≤
n = 1 I 1 = 1 [2 exp(0) + 2 exp(1)] = 3.7182818
2
{
f ′′′ (1/9)A/6 = 729
8·27·6 = 0.566667
f ′′′ (1/9)B/6 = 91.125 ∗ 0.00231957/6 = 0.0352285
n = 2 I 2 = 1 [2 exp(0) + 4 exp(0.25) + 2 exp(1)] = 3.1431663
4
n = 4 I 3 = 1 [2 exp(0) + 4 exp(0.0625) + 4 exp(0.25) + 4 exp(0.5625) + 2 exp(1)] = 2.9813577
8
Errore vero
E 1 = 0.79298, E 2 = 0.21786, E 3 = 0.05605

Stima: f ′ (x) = 4x exp(x 2 ), f ′′ (x) = ( 4 + 8x 2) exp(x 2 ); max |f ′′ (x)| = |f ′′ (1)| =
12e.
E ′ 1 =
12e
1 · 12 = 2.7182818 E′ 2 = 12e
4 · 12 = 0.67957046, E′ 3 = 12e
16 · 12 = 0.169893

1. Tabella delle differenze divise:
1/18 1/3
12/5=2.4
1/8 1/2 -144/35=-4.11428
12/7
2/9 2/3
P (x) = 1/3 + 12/5(x − 1/18) − 144/35(x − 1/18)(x − 1/8)
f(0.1) ≈ P (0.1) = 1/3+12/5(1/10−1/18)−144/35(1/10−1/18)(1/10−1/8) ≈ .43885714
Si noti che f(0.1) = √ 0.2 = 0.4472135954 e quindi E = 0.083.
Stima dell’errore:
I Modo:
E = F (x)f ′′′ (ξ)/6
f ′′′ (x) = 3√ 2
8 x−5/2 max |f ′′′ (x)| = f ′′′ (1/18) = 729 √ 2
|F (x)| = |(x − 1/18)(x − 1/8)(x − 2/9)| < A = (2/9 − 1/18) 3 = 1/216
2.
|E| ≤ f ′′′ (1/18)A/6 = √ 2 729
216 · 6 = 0.78566
n = 1 I 1 = 1 [exp(0) + exp(1)] = 1.8591409
2
n = 2 I 2 = 1 [exp(0) + 2 exp(0.25) + exp(1)] = 1.57158315
4
n = 4 I 3 = 1 [exp(0) + 2 exp(0.0625) + 2 exp(0.25) + 2 exp(0.5625) + exp(1)] = 1.4906789
8
Errore vero
E 1 = 0.39649, E 2 = 0.10893, E 3 = 0.028025
Stima: f ′ (x) = 2x exp(x 2 ), f ′′ (x) = ( 2 + 4x 2) exp(x 2 ); max |f ′′ (x)| = |f ′′ (1)| = 6e.
E ′ 1 =
6e
1 · 12 = 1.359141 E′ 2 = 6e
4 · 12 = 0.3397852, E′ 3 = 6e
16 · 12 = 0.0849464