實驗十RLC 直流電路 - 國立中正大學

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實驗十RLC 直流電路 - 國立中正大學

國 立 中 正 大 學 TEAL 普 通 物 理 實 驗 教 材 ( 下 ) RLC 直 流 電 路

實 驗 十

RLC 直 流 電 路

習 問 題 : 預

1. 串 聯 LCR 電 路 中 , 電 阻 值 為 250Ω, 電 感 值 為 33mH, 電 容 值 為 0.1uF, 求 衰 減 係 數 β


R

2 L

,

0

w =

1

LC

2 2

, 阻 尼 振 盪 頻 率 w = w - b 及 半 衰 期 t1/2。

1 0

目 的 :

10.1、

研 究 RCL 線 路 的 電 荷 振 盪 現 象 。

10.2、 原 理 :

LC 線 路 和 電 荷 的 阻 尼 振 盪 (Damped Oscillation):

10.2.1

如 圖 1, 電 感 和 充 了 電 的 電 容 串 聯 時 , 依 環 路 定 理 可 得 :

+

C

_

L

圖 1、LC 電 路 圖

di

L dt

q (1)

+ = 0 C

di

因 為 i = , 故 dt

2

d q

L ( )

2

dt

q

+ C

= 0

(2)

解 得 之 :

q(t)=qmaxcos(ω0t-δ) (3)

這 裡 2 1

ω0 = ;qmax 和 δ 為 由 起 始 條 件 所 決 定 的 常 數 。

LC

像 (3) 式 這 種 單 頻 率 的 諧 振 函 數 , 其 形 式 和 力 學 中 簡 諧 運 動 的 解 完 全 一 樣 。 電 荷 在

RCL 線 路 中 的 振 盪 現 象 和 力 學 中 質 點 的 振 盪 現 象 。 其 對 應 的 關 係 是 :q←→x,i←→v,

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L/C←→k,L←→m,R←→λ 及 ε←→F, 其 中 x,v,m 依 次 為 振 動 質 點 的 位 移 、 速 度 、

及 質 量 ,k 為 彈 簧 的 彈 性 係 數 ,λ 為 阻 尼 係 數 ,F 為 質 點 所 受 的 外 力 。

q

max

+ _

C

R

L

圖 2、RLC 電 路 圖

任 何 線 路 都 有 電 阻 , 即 使 不 特 意 加 上 外 電 阻 , 線 路 也 有 內 電 阻 存 在 ( 如 導 線 , 線 圈

的 電 阻 , 電 源 或 訊 號 產 生 器 等 均 有 內 阻 )。 如 果 我 們 以 R 代 表 線 路 上 總 電 阻 值 , 則 線 路

方 程 式 (1) 式 , 應 改 寫 為 ( 參 考 圖 2):

di q

L +iR + dt C

= 0

(4)

定 義 衰 減 係 數 β≣

R

2 L

2 1

,ω0 ≣ , 將 上 式 整 理 為 q 之 方 程 式 :

LC

2

q dq

+ 2 b + w

2

0

dt dt

d 2

q = 0

(5)

由 此 式 所 解 得 的 q(t) 形 式 , 可 分 成 三 種 情 況 來 討 論 , 即 β 2 ω0 2 :

1.β 2


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圖 3、RCL 線 路 作 次 阻 尼 振 盪 時 , 電 容 上 電 荷 對 時 間 的 關 係 圖 :

q0 和 δ 值 由 起 始 條 件 決 定 , 這 裡 ω1 2 ≣ω0 2 -β 2 稱 為 阻 尼 振 盪 頻 率 。 嚴 格 地 說 ,ω1

不 是 頻 率 , 因 為 第 二 次 振 盪 的 最 高 電 荷 量 總 是 比 第 一 次 來 得 小 些 , 所 以 q(t) 並 不 是 做 真

正 的 週 期 性 振 盪 運 動 。 若 選 擇 時 間 原 點 使 δ=0, 則 q 與 t 的 關 係 如 圖 9 所 示 。 當 然 , 如

果 β 值 很 小 , 則 ω1 近 似 於 ω0, 電 荷 的 振 盪 便 可 看 作 是 振 幅 逐 漸 衰 弱 的 簡 諧 運 動 , 而 其

頻 率 比 簡 諧 振 盪 的 頻 率 ω0 稍 微 小 一 些 。

在 這 種 電 荷 運 動 中 , 最 大 振 幅 ,q0e -βt , 隨 時 間 之 增 加 而 減 小 , 所 以 電 荷 振 盪 的 包

跡 (Envelop) 與 時 間 之 關 係 為 :

1 2 L

當 t= 或 b R

qmax(t)=±q0e -βt (7)

1

時 , 振 盪 的 包 跡 降 為 起 始 的 倍 , 這 段 時 間 稱 為 該 線 的 時 間 常 數 ; 又

e

ln 2

當 t= b

, 即 t=t 0ln2 時 , 振 幅 降 為 原 先 的 一 半 , 這 段 時 間 稱 為 半 衰 期 T1/2。 實 驗 上 , 可

以 ( 利 用 示 波 器 ) 量 出 T1/2 的 時 間 , 然 後 推 算 線 路 的 β 值 。

2.β 2 2 =ω0 , 稱 為 臨 界 點 阻 尼 振 盪 (Critical Damping)。

3.β 2 2 >ω0 , 稱 為 過 阻 尼 振 盪 (Over Damping)。

在 後 兩 種 情 況 , 電 容 上 電 荷 不 再 有 振 盪 現 象 , 而 是 漸 漸 地 減 少 而 趨 近 零 , 如 圖 10

所 示 , 臨 界 阻 尼 時 , 振 幅 趨 近 於 零 所 需 時 間 較 短 , 因 此 , 一 般 電 學 儀 表 大 都 設 計 成 臨 界

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阻 尼 狀 況 , 以 縮 短 反 應 所 需 時 間 。

(2)

(1)

圖 4、RCL 線 路 :(1) 臨 界 阻 尼 β 2 =ω0 2 ; (2) 過 阻 尼 β 2 > ω0

2

RCL 線 路 的 電 荷 振 盪

x

e

0

y

C

R

L

圖 5(a)

圖 5(b)

圖 6、RCL 線 路 振 盪 時 , 電 荷 對 時 間 的 關 係 圖 與 阻 尼 β 大 小 有 關

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jβ=0.2ω0 kβ=0 •a/ω0 2 (1-Ae -βt)

現 在 我 們 考 慮 RCL 串 聯 電 池 的 情 形 , 如 圖 11 所 示 。 當 電 鍵 接 通 x 點 時 , 由 環 路 定

理 得 :

di

L dt

q

+ C

+iR = e

0

(8)

用 前 述 的 代 號 β 及 ω0, 定 義 a≣ε0/L, 將 上 式 整 理 後 可 得 :

2

q dq

+ 2 b + w

2

0

dt dt

d 2

q = a

(9)

在 β 2


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10.4、 步 驟 :

10.4.1 基 本 電 路 設 置

a. 量 測 可 變 電 阻 並 找 出 電 阻 與 旋 鈕 之 關 係 , 測 量 電 感 之 電 阻 值 。

b. 歸 零 示 波 器 與 信 號 產 生 器 , 並 校 正 示 波 器 之 水 平 信 號 。

c. 在 麵 包 板 上 將 電 路 接 如 圖 10。

圖 10

d. 如 圖 11, 將 信 號 產 生 器 之 輸 出 接 圖 電 路 接 圖 10 之 B 點 ( 正 極 ) 及 A( 負 極 )。 示 波 器 之 CH1

接 C 點 ( 正 ),A 點 ( 負 ),CH2 接 B 點 ( 正 ) 及 A 點 ( 負 ), 將 PASCO SW750 界 面 合 接 至 圖 10 之 C

點 ( 正 ) 及 A 點 ( 負 ), 如 圖 12、13。

圖 11

RLC 阻 尼 振 盪

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圖 12

圖 13

e. 將 PASCO SW750 界 面 盒 接 至 電 腦 ( 圖 11-13), 將 DATA STUDIO 程 式 打 開 , 將 取 樣 率 調 至

100000( 十 萬 )Hz( 圖 14)。

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圖 14

10.4.2 用 示 波 器 觀 察 RLC 的 阻 尼 振 盪 :

a. 開 啟 訊 號 產 生 器 使 訊 號 產 生 器 輸 出 約 200Hz 的 方 波 , 振 幅 1V(0-2V)。

b. 開 啟 示 波 器 , 激 發 信 號 (TRIGGER) 選 為 自 動 模 式 (MODEèAUTO), 信 號 源 (SOUCE)

選 為 CH2, 調 整 示 波 器 之 水 平 及 垂 直 信 號 顯 示 , 直 到 穩 定 的 波 形 顯 示 在 螢 幕 上 , 如 圖

15 或 16。

c. 改 變 可 變 電 阻 的 值 , 並 觀 察 CH1 波 形 之 改 變 。

圖 15 次 阻 尼 震 盪

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圖 16 過 阻 尼 震 盪

10.4.3 使 用 PASCO SW750 界 面 盒 紀 錄 波 形

a. 調 整 可 變 電 阻 值 並 記 錄 一 個 over damping 的 波 形 及 電 阻 值 , 並 存 檔 。

b. 調 整 可 變 電 阻 值 並 紀 錄 五 個 不 同 電 阻 值 的 under damping 之 波 形 , 並 存 檔 。

數 據 分 析 :

10.5、

阻 尼 振 盪 頻 率 ω1=2π/T1,

ω1 2 =ω0 2 -R 2 /4L 2 , (11)

事 實 上 在 實 驗 中 ,R=Rv+R0 , 其 中 Rv 為 可 變 電 阻 之 電 阻 值 ,R0 則 為 電 路 中 其 他 元 件 之

總 電 阻 。 所 以 ,

R + R

0

β≣

(12)

2 L


2 2 ω1 =ω0 -(R+ R

0

) 2 /4L 2= 2 2

2

R R

0

R R

0

ω0 - - -

(13)

2 2 2

4 L 4 L 4 L

10.5.2 由 β 值 估 計 電 感 值

由 式 (6)

可 得 β 值 , R + R β≣

2 L

0

q(t)=[q0e -βt ]cos(ω1t-δ)

a. 由 data studio 在 under damping 的 RLC 電 路 電 壓 圖 讀 取 電 壓 極 大 及 極 小 值 並 紀 錄 之 。

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b. 將 取 得 極 大 及 極 小 值 扣 掉 基 準 值 V 0

後 , 此 值 為 V ¢ 。

V’

c. 以 V ¢ 為 y 軸 ,t( 時 間 ) 為 X 軸 以 EXCEL 作 圖 , 用 指 數 趨 勢 線 顯 示 其 方 程 式 求 得 β 值 。

d. 找 尋 五 個 不 同 可 變 電 阻 值 (under damping), 取 得 五 個 β 值 。

R

0

1

e. 以 β 值 為 Y 軸 ,R( 可 變 電 阻 值 ) 為 X 軸 做 圖 , 此 圖 趨 勢 線 Y 軸 截 距 即 為 , 其 斜 率 為 。

2 L

2 L

10.5.1 由 週 期 求 得 電 感 值

由 式 (13)

2 2 ω1 =ω0 -(R+ R

0

) 2 /4L 2= 2 2

2

R R

0

R R

0

ω0 - - -

2 2 2

4 L 4 L 4 L

又 ω0

2=

1

LC

及 2= 2

æ 2 p ö

ω1 ç ÷ 式 (13) 可 改 寫 為

è T ø

2

æ 2 p ö

ç ÷

è T ø

=

R R R 1 R

- (14)

2

2

0

0

- + -

2 2

2

4 L 4 L LC 4 L

a. 由 data studio 在 under damping 的 RLC 電 路 電 壓 圖 讀 取 其 週 期 並 紀 錄 。( 圖 15)

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T T T T

b.

圖 17

2

c. 以 æ 2 p ö

ç ÷ 為 Y 軸 ,R 為 X 軸 以 EXCEL 作 圖 , 用 多 項 式 趨 勢 線 ( 幕 次 2 次 ) 得 到 趨 勢 線 方 程

è T ø

式 。

d. 方 程 式 2

X 項 係 數 為 1

- ,X 項 係 數 為 R

0

- , 由 常 數 項 可 得 C( 電 容 值 ) 及 R0。

2

2

4 L

4L

問 題 與 討 論 :

10.6、

1. 根 據 數 據 分 析 之 結 果 , 臨 界 阻 尼 現 象 會 發 生 在 Rv 值 為 何 值 之 時 ?

2. 試 比 較 兩 種 方 式 測 出 的 L、R0、C 值 並 討 論 其 大 小 是 否 合 理 。

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