11.9 Il metodo di Galerkin discontinuo (DG)

314 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
11.9 Il metodo di Galerkin discontinuo (DG)
Fino ad ora abbiamo considerato metodi di Galerkin con sottospazi di funzioni polinomiali
continue, sia nell’ambito del metodo degli elementi finiti, sia in quello degli
elementi spettrali (Cap. 10). In questa sezione introdurremo il cosiddetto metodo di
Galerkin discontinuo (DG in inglese). Lo faremo dapprima per il problema di Poisson,
indi generalizzeremo al caso di problemi di diffusione, trasporto e reazione. Per
rendere la nostra presentazione generale, considereremo una partizione del dominio
computazionale in sottodomini disgiunti che potranno essere sia elementi finiti, sia
elementi spettrali.
11.9.1 Il metodo DG per il problema di Poisson
Consideriamo il problema di Poisson con condizioni al contorno omogenee di Dirichlet
(3.14) in un dominio Ω ⊂ R 2 partizionato nell’unione di M elementi disgiunti
Ω m , m = 1,...,M. Deriviamo una formulazione debole alternativa a quella tradizionale,
che sarà poi alla base del metodo DG. A tale scopo sia v δ una funzione test
appartenente allo spazio
dove
Allora
M∑
(−△u,v δ ) Ωm =
m=1
W 0 δ = {v ∈ W δ : v| ∂Ω = 0} ,
W δ = {v ∈ L 2 (Ω) : v| Ωm ∈ H 1 (Ω m ), m = 1,...,M}.
M∑
m=1
(
)
(∇u, ∇v δ ) Ωm − v δ ∇u · n m , (11.84)
∫∂Ω m
in cui n m denota la normale unitaria esterna a ∂Ω m e (·, ·) Ωm indica il prodotto
scalare di L 2 (Ω m ). Indicando con E δ l’unione di tutti i lati interni, ossia le interfacce
fra i sottodomini (i lati sul bordo esterno possono essere trascurati in quanto v δ si
annulla su essi), possiamo riordinare i termini e ottenere
−
M∑
v δ ∇u · n m = −
∫∂Ω ∑ ∫
(v + δ ∇u+ · n + + v − δ ∇u− · n − )| e , (11.85)
m e∈E
e δ
m=1
in cui i segni “+” e “−” denotano informazioni provenienti dai due differenti versi
normali al lato in esame. Ad esempio, nel caso di Fig. 11.11, possiamo prendere n + =
n m e n − = n k .
Facciamo uso delle seguenti notazioni per rappresentare le medie e i salti sui lati
degli elementi:
{v} = v+ + v −
2
{∇w } = (∇w)+ + (∇w) −
2
, [v] = v + n + + v − n − ,
, [[∇w]] = (∇w) + · n + + (∇w) − · n − .

11.9 Il metodo di Galerkin discontinuo (DG) 315
Figura 11.11. Uno “spigolo” che separa due sottomini (o elementi) uniti
Con un po’ di manipolazione algebrica, otteniamo
v + δ ∇u+ · n + + v − δ ∇u− · n − = 2[v δ ] · {∇u } − (v + δ ∇u− · n + + v − δ ∇u+ · n − )
e quindi
= 2[v δ ] · {∇u } + 2[[∇u]]{v δ }
− (v + δ ∇u+ · n + + v − δ ∇u− · n − )
v + δ ∇u+ · n + + v − δ ∇u− · n − = [v δ ] {∇u } + [[∇u]]{v δ } . (11.86)
Usando (11.85) e (11.86), dalla (11.84) otteniamo
M∑
(∇u, ∇v δ ) Ωm − ∑ ∫
([v δ ] {∇u } + [[∇u]]{v δ }) =
e∈E δ
m=1
e
M∑
(f,v δ ) Ωm .
La precedente espressione, e l’osservazione che il termine [[∇u]]{v δ } può essere
eliminato senza compromettere la consistenza (ricordiamo che u è la soluzione
esatta del problema di Poisson), motiva la seguente approssimazione DG per il
problema (3.14). Cerchiamo u δ ∈ Wδ 0 che soddisfi
m=1
M∑
δ , ∇v δ ) Ωm −
m=1(∇u ∑ ∫
([v δ ] · {∇u δ } + τ[u δ ] · {∇v δ })
e e
M∑
= (f,v δ ) Ωm ∀v δ ∈ Wδ 0 . (11.87)
m=1
Il nuovo termine τ[u δ ] · {∇v δ } che è stato aggiunto, in cui τ è un’opportuna
costante, non influenza la consistenza e garantisce maggior generalità e migliori proprietà
di stabilità. Il caso particolare τ = 0 corrisponde al cosiddetto metodo della
penalizzazione interna (interior penalty), che, sfortunatamente, soffre di una possibile
instabilità (si veda Babuška et al. (1999), Oden et al. (1998)). Se τ = 1 la forma
bilineare (11.87) è simmetrica. Si noti che, per semplicità di notazione, stiamo imponendo
i dati di Dirichlet in maniera “forte” invece che in forma debole come sarebbe
naturale in questi casi (si veda la Sez. 13.3).

316 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
Diverse varianti sono state proposte al fine di stabilizzare il metodo (11.87) nel
contesto dell’approssimazione ad elementi finiti. Diamo qui solo una breve descrizione
dei casi più classici, facendo riferimento all’articolo di Arnold, Brezzi, Cockburn e
Marini (2002) sia per una rassegna generale che per un’analisi dettagliata di stabilità
e convergenza.
Una prima variante, nota come metodo SIPG (Symmetric Interior Penalty Galerkin),
consiste nell’aggiungere nel termine a sinistra di (11.87) (con τ = 1) un termine
positivo che penalizzi i salti di u δ , ossia,
∑
∫
γ|e| −1 [u δ ] · [v δ ] , (11.88)
e
in cui γ è un’opportuna costante positiva che dipende dal grado di approssimazione
mentre |e| denota la lunghezza di e.
Un’altra variante consiste nell’usare, invece di (11.88), il seguente termine di
stabilizzazione
∑
∫
γ r e ([u δ ]) · r e ([v δ ]) (11.89)
e
e
in cui r e è un opportuno operatore, che a partire dal salto di una funzione [v δ ] attraverso
e genera una funzione continua r e ([v δ ]) a supporto non nullo sugli elementi che
condividono il lato e. Si veda [BR97] e [ABCM02] per ulteriori dettagli.
Un’ulteriore variante consiste nell’aggiungere il termine (11.88) ed inoltre nel
sostituire le medie {∇w } in (11.87) con le medie rilassate
{∇w } θ = θ∇w + + (1 − θ)∇w − , 0 ≤ θ ≤ 1 .
Per quanto concerne l’accuratezza del metodo DG, introduciamo la cosiddetta
norma dell’energia
e
(
∑ M
‖|u δ ‖| =
|∇u δ |
∫Ω 2 + ∑ ∫ ) 1/2
γ|e| −1 [u δ ] 2 . (11.90)
m e∈E
e
δ
m=1
Nel caso del metodo SIPG (τ = +1), è possibile dimostrare che, se la soluzione
esatta è sufficientemente regolare, il metodo SIPG converge con ordine di convergenza
ottimale sia nella norma L 2 (Ω) che nella norma (11.90). Più precisamente si ha
h‖|u − u δ ‖| + ‖u − u δ ‖ 0,Ω ≤ Ch r+1 |u| r+1,Ω , (11.91)
dove C è una opportuna costante positiva (per ulteriori dettagli si veda, ad esempio,
[ABCM02]). Come sempre, r indica il grado polinomiale usato su ogni elemento Ω m .
Mostriamo ora alcuni risultati numerici ottenuti con il metodo di Galerkin discontinuo
(DG) per il problema di Dirichlet omogeneo (3.14) su Ω = (0,1) 2 dove
la forzante f è stata scelta in modo che la soluzione esatta sia u(x,y) = (x −
x 2 )exp(3x)sin(2πy). Abbiamo considerato il metodo (11.87) con τ = 1 e nella variante
SIPG in cui la costante di penalizzazione sia γ = 10r 2 (cf. (11.88)). Come

11.9 Il metodo di Galerkin discontinuo (DG) 317
sempre r indica il grado polinomiale degli elementi finiti utilizzati. Nella seguente serie
di esperimenti numerici, abbiamo assunto che ogni regione Ω m sia costitutita da
un solo elemento della griglia di calcolo. In altre parole, E δ risulta essere l’unione di
tutti i lati interni della griglia. Gli errori sono stati calcolati nella norma L 2 (Ω) e nella
norma dell’energia introdotta in (11.90). In Fig. 11.12 (sinistra) riportiamo gli errori
(normalizzati) calcolati su una sequenza di griglie triangolari strutturate con elementi
lineari (r = 1). Osserviamo che, come previsto, l’errore tende a zero linearmente
nella norma dell’energia (11.91) e quadraticamente nella norma L 2 (Ω). In Fig. 11.12
(destra) riportiamo gli errori nella norma dell’energia (normalizzati) calcolati su una
sequenza di griglie cartesiane con elementi biquadratici (r = 2) e bicubici (r = 3).
Osserviamo che l’errore di approssimazione nella norma (11.90) tende a zero quando
h → 0, e che l’ordine di convergenza è pari a r.
10 0 10 0
‖|u − u δ‖|/‖|u‖|
2
‖u − u δ‖ 0,Ω/‖u‖ 0,Ω
r = 3
10 −1
10 −2
10 −2
10 −4
2
10 −3
3
10 −6
1
2
10 −4
10 0 10 1 10 2 10 3
√ 10 0 10 1 10 2 10 3
√
ndof ndof
Figura 11.12. Analisi di convergenza per il metodo (11.87) (τ = 1, γ = 10r 2 ). A sinistra sono
rappresentati gli errori nella norma dell’energia (11.90) e nella norma L 2 (Ω) (r = 1, griglie
triangolari strutturate). A destra sono riportati gli errori nella norma dell’energia ottenuti con
elementi biquadratici e bicubici su una sequenza di griglie cartesiane
Nell’ambito dei metodi agli elementi spettrali, si può ottenere una versione DG-NI
del metodo G-NI (si vedano le Sezioni 10.3-10.5) sostituendo gli integrali di volume
(·, ·) Ωm con formule di quadratura LGL locali e procedendo in modo simile per gli
integrali estesi ai lati degli elementi spettrali.
11.9.2 Il metodo DG per le equazioni di diffusione-trasporto
Nella prospettiva di applicare il metodo DG alle equazioni di diffusione-trasporto,
iniziamo osservando che la precedente descrizione si generalizza a un problema in cui
l’operatore spaziale viene scritto come la divergenza di un flusso, dipendente da ∇u.
Per questo è sufficiente sostituire ∇u in tutte le formule precedenti con l’espressione
di detto flusso. Vediamo in particolare come introdurre un metodo DG per il problema
di diffusione, trasporto e reazione in forma conservativa (11.14):

318 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
cercare u δ ∈ W 0 δ :
M∑
δ , ∇v δ ) Ωm −
m=1(µ∇u ∑ ∫
( ([v δ ]) · {µ∇u δ } + [u δ ] · {µ∇v δ })+
e
e
∑
∫
M∑
γ|e| −1 [u δ ] · [v δ ] − δ , ∇v δ ) Ωm +
e
e
m=1(bu ∑ ∫
· {bu δ } b [v δ ]+
e
e
M∑
M∑
(σu δ ,v δ ) Ωm = (f,v δ ) Ωm ,
m=1
m=1
dove abbiamo posto
⎧
⎨ bu + δ
se b · n + > 0
{bu δ } b = bu −
⎩
δ
se b · n + < 0
b[u δ ] se b · n + = 0 .
(11.92)
(11.93)
Il metodo DG può essere facilmente localizzato ad ogni singolo sottodominio Ω m
(elemento finito o elemento spettrale). In effetti, non dovendo essere continue, le funzioni
test possono essere scelte in modo che siano nulle al di fuori di uno specifico
elemento Ω m (m = 1,...,M). In tal modo la sommatoria in (11.92) (o (11.87)) si
riduce ad un singolo indice m, e quella sui lati ai soli lati del bordo di Ω m . Questo fatto
mette in luce anche un’altra caratteristica peculiare del metodo DG: quella di prestarsi
bene a raffinamenti locali, elemento per elemento, di griglia (“di tipo h”) o polinomiali
(“di tipo p”, indicando con p il grado locale del polinomio, quello sino ad ora indicato
con r nel caso degli elementi finiti, con N nel caso dei metodi agli elementi spettrali).
Va inoltre osservato che, come vedremo nei capitoli 12,13,14, nei problemi di tipo
iperbolico le soluzioni possono essere discontinue (nel caso di discontinuità del dato
iniziale e/o di quelli al bordo o, più in generale, nel caso di problemi non lineari). In
tal caso appare naturale approssimarle con funzioni polinomiali di tipo discontinuo.
Per approfondimenti sui metodi di tipo DG si veda, ad esempio, [Riv08], [HW08],
[ABCM02], [BMS04], [Woh01].
Per l’analisi dei risultati numerici ottenuti con il metodo DG (11.92), rinviamo alla
sezione seguente.
11.10 Alcuni test numerici per problemi di diffusione-trasporto
Mostriamo ora delle soluzioni numeriche ottenute con il metodo degli elementi finiti
per il seguente problema di diffusione-trasporto bidimensionale
{
−µ∆u + b · ∇u = f in Ω = (0,1) × (0,1),
(11.94)
u = g su ∂Ω,
dove b = (1,1) T . Per iniziare consideriamo i seguenti dati costanti: f ≡ 1 e g ≡ 0.
Osserviamo che la soluzione è caratterizzata da uno strato limite in corrispondenza

11.10 Alcuni test numerici per problemi di diffusione-trasporto 319
dei lati x = 1 e y = 1. Sono stati considerati due diversi valori per la viscosità:
µ = 10 −3 e µ = 10 −5 . Confrontiamo le soluzioni ottenute rispettivamente con il metodo
standard di Galerkin e con il metodo GLS per entrambi i problemi, facendo due
scelte differenti per il passo uniforme di discretizzazione h: 1/20 e 1/80, rispettivamente.
Le combinazioni incrociate dei 2 valori di µ ed h danno luogo a 4 valori distinti
per il numero di Péclet locale Pe. Come si può osservare percorrendo le Fig. 11.13–
11.16 (si faccia attenzione alle diverse scale verticali), per numeri di Péclet crescenti
la soluzione fornita dal metodo di Galerkin standard manifesta oscillazioni sempre più
marcate che arrivano a dominare completamente la soluzione numerica (si veda la Fig.
11.16). Il metodo GLS è invece in grado di fornire una soluzione numerica accettabile
anche per valori estremamente elevati di Pe (pur in presenza di un over-shoot in
corrispondenza del punto (1,1)).
Scegliamo ora la forzante f e il dato al contorno g in modo che
u(x,y) = x + y(1 − x) + e−1/µ − e −(1−x)(1−y)/µ
1 − e −1/µ
sia la soluzione esatta (si veda, ad esempio, [Houston, Schwab, Suli, SINUM 2002]).
Osserviamo che il numero di Péclet globale associato al problema (11.94) è dato da
Pe gl = ( √ 2µ) −1 . Per valori piccoli della viscosità µ, questo problema esibisce uno
strato limite in corrispondenza dei lati x = 1 e y = 1. Di seguito, sono stati considerati
due diversi valori per la viscosità: µ = 10 −1 e µ = 10 −9 , i cui grafici della
soluzione esatta sono riportati in Figura 11.17. Per la discretizzazione numerica abbiamo
considerato elementi finiti lineari (r = 1). Confrontiamo ora le relative soluzioni
numeriche ottenute rispettivamente con il metodo di Galerkin standard, con il metodo
SUPG, con il metodo DG (11.92) (τ = 1, γ = 10r 2 ) e con una sua variante in cui
le condizioni al contorno sono state imposte con un tecnica di penalizzazione, detta
di Nitsche (metodo DG-N) [Nit71]. Ciò da luogo al cosiddetto metodo DG-N. Nelle
Figure 11.18 e 11.19 riportiamo le soluzioni approssimate calcolate su una griglia di
Figura 11.13. Approssimazione del problema (11.94) per µ = 10 −3 , h = 1/80, con il metodo
di Galerkin standard (a sinistra) e GLS (a destra). Il numero di Péclet locale corrispondente è
Pe = 8.84

320 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
4
1.6
3
1.4
2
1.2
1
1
0.8
0
0
0.6
0.4
0
−1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
Figura 11.14. Approssimazione del problema (11.94) per µ = 10 −3 , h = 1/20, con il metodo
di Galerkin standard (a sinistra) e GLS (a destra). Il numero di Péclet locale corrispondente è
Pe = 35.35
Figura 11.15. Approssimazione del problema (11.94) per µ = 10 −5 , h = 1/80, con il metodo
di Galerkin standard (a sinistra) e GLS (a destra). Il numero di Péclet locale corrispondente è
Pe = 883.88
triangoli non strutturata di passo h ≈ 1/8. Gli analoghi risultati ottenuti su una griglia
più fine di passo h ≈ 1/16 sono riportati nelle Figure 11.20 e 11.21. Le Figure 11.18-
11.20 mostrano che, in caso in cui il numero di Péclet globale sia piccolo, i quattro
metodi considerati forniscono delle soluzioni numeriche molto simili. Viceversa, le
Figure 11.19-11.21 (si faccia attenzione alle diverse scale verticali) mostrano che per
numeri di Péclet grandi, la soluzione fornita dal metodo di Galerkin standard manifesta
oscillazioni sempre più marcate che arrivano a dominare completamente la soluzione
numerica. Il metodo SUPG è invece in grado di fornire una soluzione numerica accettabile
anche in questo caso, pur in presenza di over-shoot in corrispondenza del punto
(1,1). Il metodo DG presenta delle oscillazioni in corrispondenza degli elementi che
hanno un lato o un vertice sul bordo di outflow, dovute alla imposizione essenziale
della condizione al contorno. Infine, si noti come la scelta del metodo DG-N fa sí
che la soluzione numerica non presenti né oscillazioni né fenomeni di over-shoot. Ciò

11.10 Alcuni test numerici per problemi di diffusione-trasporto 321
120
100
1.6
80
1.4
60
40
20
0
0
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0
−20
−40
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0.5
Figura 11.16. Approssimazione del problema (11.94) per µ = 10 −5 , h = 1/20, con il metodo
di Galerkin standard (a sinistra) e GLS (a destra). Il numero di Péclet locale corrispondente è
Pe = 3535.5
Figura 11.17. Soluzione esatta del problema (11.94) corrispondente alle scelte µ = 10 −1
(sinistra) e µ = 10 −9 (destra). Si osservi che per valori piccoli della viscosità µ la soluzione
esatta esibisce uno strato limite in corrispondenza dei lati x = 1 e y = 1.
è dovuto alla imposizione debole della condizione al bordo con la tecnica di Nitsche.
Tuttavia, con tale approccio diventa impossibile approssimare la soluzione nello strato
limite.
Consideriamo ora un problema di puro trasporto, ovvero il semplice problema
modello b · ∇u = f in Ω = (0,1) 2 con u = g su Γ − . Si supponga di scegliere
b = (1,1), il termine noto f e il dato g in modo che la soluzione esatta sia
u(x,y) = 1 + sin(π(x + 1)(y + 1) 2 /8). Risolviamo tale problema con il metodo di
Galerkin discontinuo ed elementi di grado 1,2,3 e 4 su una sequenza di griglie triangolari
uniformi di passo h. È possibile dimostrare (si veda, ad esempio, [BMS04]) che
il metodo di Galerkin discontinuo fornisce una stima dell’errore ottimale in un’opportuna
norma dell’energia. Più precisamente: nel caso si utilizzino polinomi discontinui

322 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
(a) Metodo di Galerkin standard
(b) Metodo SUPG
(c) Metodo DG
(d) Variante del metodo DG (DG-N)
Figura 11.18. Soluzione approssimata del problema (11.94) per µ = 10 −1 ottenuta rispettivamente
con il metodo di Galerkin standard, con il metodo SUPG, con il metodo DG (11.92)
(τ = 1, γ = 10r 2 ) e con una sua variante in cui le condizioni al contorno sono state imposte
in forma debole. Griglia triangolare non stutturata di passo h ≈ 1/8 ed elementi finiti lineari
(r = 1).
a tratti di ordine r ≥ 0, si ha
|‖u−u h ‖| =
(
‖u − u h ‖ 2 L 2 (Ω) + ∑ e∈E h
‖s 1/2
e [u − u h ]‖ 2 0,e) 1/2
≤ Ch r+1/2 ‖u‖ H r+1 (Ω),
(11.95)
dove s e è un’opportuna funzione di stabilizzazione definita come α|b ·n e |, con α una
costante positiva indipendente da h ed e, E h è l’insieme di tutti i lati della triangolazione
e C è una costante positiva. Nel grafico riportato in Figura 11.22 sono mostrati
(in scala logaritmica) gli errori calcolati nella norma dell’energia (11.95): come si
può osservare dall’andamento delle rette riportate in figura l’errore tende a zero con
un ordine pari a h r+1/2 , come previsto in (11.95). In Figura 11.23 vengono mostrate
le soluzioni calcolate con elementi finiti lineari su una griglia di passo h = 1/4 (a
sinistra) e h = 1/8 (a destra).

11.11 Un esempio di adattatività goal-oriented 323
(a) Metodo di Galerkin standard
(b) Metodo SUPG
(c) Metodo DG
(d) Variante del metodo DG (DG-N)
Figura 11.19. Soluzione approssimata del problema (11.94) per µ = 10 −9 ottenuta rispettivamente
con il metodo di Galerkin standard, con il metodo SUPG, con il metodo DG (11.92)
(τ = 1, γ = 10r 2 ) e con una sua variante (metodo DG-N) in cui le condizioni al contorno sono
state imposte in forma debole. Griglia triangolare non stutturata di passo h ≈ 1/8 ed elementi
finiti lineari (r = 1).
11.11 Un esempio di adattatività goal-oriented
Come anticipato nell’Osservazione 4.10, l’analisi a posteriori della Sez. 4.6.5 per il
controllo di un opportuno funzionale dell’errore può essere estesa a problemi differenziali
di varia natura previa un’opportuna ridefinizione del residuo locale (4.94) e
del salto generalizzato (4.90). L’adattazione di griglia risulta infatti particolarmente
utile in presenza di problemi di diffusione-trasporto a trasporto dominante, quando
un’accurata disposizione dei triangoli della mesh in corrispondenza, ad esempio, degli
eventuali strati limite (interni o di bordo) può ridurre sensibilmente il costo computazionale.
Consideriamo il problema (11.1) con µ = 10 −3 , b = (y, −x) T , σ ed f identicamente
nulli, e Ω coincidente con il dominio a forma di L dato da (0,4) 2 \(0,2) 2 (riportato in
Fig. 11.24). Supponiamo di assegnare una condizione di Neumann omogenea sui lati
{x = 4} e {y = 0}, una condizione di Dirichlet non omogenea (u = 1) su {x = 0} e
una condizione di Dirichlet omogenea sulle restanti parti del bordo. La soluzione u di

324 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
(a) Metodo di Galerkin standard
(b) Metodo SUPG
(c) Metodo DG
(d) Variante del metodo DG (DG-N)
Figura 11.20. Soluzione approssimata del problema (11.94) per µ = 10 −1 ottenuta rispettivamente
con il metodo di Galerkin standard, con il metodo SUPG, con il metodo DG (11.92)
(τ = 1, γ = 10r 2 ) e con una sua variante in cui le condizioni al contorno sono state imposte
in forma debole. Griglia triangolare non stutturata di passo h ≈ 1/16 ed elementi finiti lineari
(r = 1).
(11.1) risulta così caratterizzata da due strati limite interni di forma circolare. Al fine
di validare la sensibilità della griglia adattata rispetto alla scelta fatta per il funzionale
J, consideriamo le due seguenti scelte:
∫
J(v) = J 1 (v) =
Γ 1
b · nv ds, con Γ 1 = {x = 4} ∪ {y = 0},
per il controllo del flusso normale uscente attraverso i lati {x = 4} e {y = 0}, e
∫
J(v) = J 2 (v) =
Γ 2
b · nv ds, con Γ 2 = {x = 4},
nel caso in cui si sia interessati a controllare ancora il flusso ma attraverso il solo
lato {x = 4}. Partendo da una comune griglia iniziale quasi uniforme di 1024 elementi,
mostriamo in Fig. 11.24 le griglie (anisotrope) ottenute per la scelta J = J 1

11.11 Un esempio di adattatività goal-oriented 325
(a) Metodo di Galerkin standard
(b) Metodo SUPG
(c) Metodo DG
(d) Variante del metodo DG (DG-N)
Figura 11.21. Soluzione approssimata del problema (11.94) per µ = 10 −9 ottenuta rispettivamente
con il metodo di Galerkin standard, con il metodo SUPG, con il metodo DG (11.92)
(τ = 1, γ = 10r 2 ) e con una sua variante in cui le condizioni al contorno sono state imposte
in forma debole. Griglia triangolare non stutturata di passo h ≈ 1/16 ed elementi finiti lineari
(r = 1).
(a sinistra) e J = J 2 (a destra), rispettivamente alla quarta e alla seconda iterazione
del procedimento adattativo. Come si può osservare, mentre entrambi gli strati limite
sono responsabili del flusso attraverso Γ 1 , con conseguente infittimento della griglia
in corrispondenza dei due strati limite, il solo strato limite superiore è “riconosciuto”
come portatore di informazioni al flusso lungo Γ 2 . Si noti infine la natura fortemente
anisotropa delle mesh in figura, ovvero non solo l’infittimento bensì anche la corretta
orientazione dei triangoli della griglia in modo da seguire le caratteristiche direzionali
(gli strati limite) della soluzione (per ulteriori dettagli si rimanda a [FMP04]).

326 11 Equazioni di diffusione-trasporto-reazione
10 0 3/2
10 −2
|‖u − uh‖|
10 −4
10 −6
5/2
7/2
10 −8
10 −10
r = 1
r = 2
r = 3
r = 4
9/2
10 0 10 1 10 2 10 3
1/h
Figura 11.22. Andamento rispetto alla radice del numero di gradi di libertà dell’errore di
approssimazione nella norma per elementi finiti grado 1 − 4
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 11.23. Soluzioni calcolate con elementi finiti lineari su una griglia uniforme di passo
h = 1/4 (a sinistra) e h = 1/8 (a destra)
11.12 Esercizi
1. Si scomponga nelle sue parti simmetrica e non simmetrica l’operatore di diffusionetrasporto-reazione
monodimensionale
Lu = −µu ′′ + bu ′ + σu.
2. Si scomponga nelle sue parti simmetrica e antisimmetrica l’operatore di diffusionetrasporto
scritto in forma non di divergenza
Lu = −µ∆u + b · ∇u.