Trasformazioni geometriche - Politecnico di Milano

Algebra Lineare e Geometria AnaliticaPolitecnico di Milano – IngegneriaTrasformazioni geometricheRiconoscimento1. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡⎤−2 2 −4A = ⎣−1 1 −2⎦ .1 −1 22. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡⎤A = ⎣ 3 6 −2−4 −11 4 ⎦ .−8 −24 93. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡⎤1/3 −2/3 A = ⎣−2/3 1/3 −2/3⎦ .−2/3 −2/3 1/34. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡⎤2/3 −1/3 1/3A = ⎣−1/3 2/3 1/3⎦ .1/3 1/3 2/35. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡⎤−5 8 −10A = ⎣ 2 −5 5 ⎦ .4 −8 96. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡A = ⎣ −6 1 4 ⎤−70 11 40 ⎦ .7 −1 −37. Riconoscere la trasformazione lineare f : R 3 → R 3 rappresentata,rispetto alla base canonica, dalla matrice⎡1 + 4 √ 3 1 + √ 3 −5 + √ ⎤39 9 9A =−5 + √ 3 8 + 5 √ 3 5 − 4 √ 3⎢⎣9 18 181 + √ 3 11 − 4 √ 3 8 + 5 √ .⎥⎦39 18 18

Matrici rappresentative1. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla simmetria rispetto alpiano X = 〈(1, 1, 2), (2, −1, 1)〉 lungo la retta Y = 〈(1, 1, 1)〉 .2. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla proiezione sul pianoX = 〈(2, −1, 1), (1, −1, −1)〉 lungo la retta Y = 〈(1, 1, −1)〉 .3. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla simmetria rispetto alpiano X = 〈(1, −1, 2)〉 lungo la retta Y = 〈(2, −1, 1), (1, 2, 1)〉 .4. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla proiezione sulla rettaX = 〈(1, −1, 1)〉 lungo il piano Y = 〈(1, 2, −1), (2, −1, 1)〉 .5. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla riflessione rispetto alpiano X = 〈(1, 1, −2), (3, −2, −1)〉 .6. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla rotazione di un angoloθ = π/2 attorno al vettore a = (1, 2, 2) in senso antiorario.7. Scrivere la matrice A che rappresenta, rispetto alla base canonica, latrasformazione lineare f : R 3 → R 3 data dalla rotazione di un angoloθ = π/4 attorno al vettore a = (1, 1, 1) in senso antiorario.

RisposteRiconoscimento1. Proiezione sulla retta X = 〈(2, 1, −1)〉 lungo il piano Y = 〈(1, −1, −1), (−3, 1, 2)〉 .2. Simmetria rispetto al piano X = 〈(2, −1, −1), (1, −1, −2)〉 lungo la rettaY = 〈(1, −2, −4)〉 .3. Riflessione rispetto al piano X = 〈(1, 0, −1), (1, 1, −2)〉 .4. Proiezione ortogonale sul piano X = 〈(1, −1, 0), (2, 1, 3)〉 .5. Simmetria rispetto alla retta X = 〈(2, −1, −2)〉 lungo il piano Y =〈(1, 3, 2), (1, −2, −2)〉 .6. Proiezione sul piano X = 〈(1, −1, 2), (2, 2, 3)〉 lungo la retta Y =〈(1, 10, −1)〉 .7. Rotazione di un angolo θ = π/6 attorno al vettore a = (1, −2, −2) .Matrici rappresentative⎡⎤−1 −2 21. A = ⎣−2 −1 2⎦ .−2 −2 3⎡⎤2/3 −1/2 1/62. A = ⎣−1/3 1/2 1/6⎦ .1/3 1/2 5/6⎡⎤−7/4 −1/4 5/43. A = ⎣ 3/4 −3/4 −5/4⎦ .−3/2 −1/2 3/2⎡4. A = ⎣ −1 3 5⎤1 −3 −5⎦ .−1 3 5⎡⎤1/3 −2/3 5. A = ⎣−2/3 1/3 −2/3⎦ .−2/3 −2/3 1/36. Sia X = 〈a〉 . Una base ortonormale di X ⊕ X ⊥ orientata positivamenteè data, ad esempio, dai vettori( ) (1x 1 =3 , 23 , 2, x 2 = − 233 √ 5 , 53 √ 5 , − 4 ) (3 √ , x 3 = − 2 )1√ , 0, √55 5nell’ordine dato. Quindi A = HRH T , dove⎡⎤− 2 ⎡√⎢5H = ⎣0⎥⎦ e R = ⎣ 1 0 0 ⎤0 0 −1⎦ ,1√ 0 1 0513− 23 √ 52 53 3 √ 523− 43 √ 5ossia⎡⎤1/9 −4/9 8/9A = ⎣ 8/9 4/9 1/9⎦ .−4/9 7/9 4/9

7. Sia X = 〈a〉 . Una base ortonormale di X ⊕ X ⊥ orientata positivamenteè data, ad esempio, dai vettori( ) ( 1 1 11x 1 = √3 , √ , √ , x 2 = √6 , − 2 ) (11√ , √ , x 3 = √2 , 0, − 1 )√3 3 6 6 2nell’ordine dato. Quindi A = HRH T , dove⎡⎤√1√6 1 √2 1 ⎡⎤⎢ 31 0 01H = ⎣√3− √ 260⎥⎦ e R = ⎣0 √2 1− √ 1 2⎦ ,√1√6 13− √ 110 √2 √2 12ossia⎡⎢A = ⎣1+ √ 232− √ 2+ √ 662− √ 2− √ 662− √ 2− √ 661+ √ 232− √ 2+ √ 662− √ 2+ √ 662− √ 2− √ 661+ √ 23⎤⎥⎦ .