anova_1 - UniversitÃ del Piemonte Orientale

Università del Piemonte Orientale 

Corsi di Specialità 

Corso di Statistica Medica 

Analisi dei dati quantitativi : 

Analisi della varianza 

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologie mediche Corso di Statistica Medica Analisi della varianza ad un criterio di classificazione

Analisi di una variabile quantitativa con il confronto tra diversi gruppi di 

soggetti: 

A. Confronto tra una media campionaria ed una popolazione i cui parametri 

sono noti 

B. Confronto tra una media campionaria ed una popolazione di cui è nota 

la media ma non la deviazione standard 

C. Confronto tra 2 campioni appaiati 

D. Confronto tra due campioni indipendenti 

E. Confronto tra n campioni indipendenti 

F. Confronto tra misure ripetute sugli stessi soggetti 

Il caso E corrisponde all'analisi della varianza 


L'analisi della varianza serve a confrontare tra loro le medie di 3 o più gruppi di 

soggetti. 

Var. 

quantitativa 

L’analisi della varianza consente di 

valutare quantitativamente 

l’importanza delle diverse fonti di 

variazione nella variabilità osservata 

nel corso di un esperimento. Le fonti di 

variazione possono 

essere: 

• sistematiche (sotto controllo dello 

sperimentatore); 

• casuali (variabilità biologica, 

condizioni ambientali, 

errore di misura, ecc..) 

Var. Categorica 


Obiettivo dell'analisi è misurare se la differenza tra le medie (variabilità tra 

gruppi) è superiore alla variabilità interna a ciascun gruppo (variabilità entro 

gruppi). 

Si tratta di un metodo molto potente che si presta anche ad analisi molto 

complesse. 


Parliamo di analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione quando 

consideriamo una sola variabile di ordinamento. 

Il livello minimo della variabile di ordinamento è nominale. 


Partiamo da un esempio con dati sulla resa di una 

coltura agricola in relazione al tipo di trattamento 

fertilizzante. 

La resa è espressa in q.li / ha. 

Il tipo di trattamento è una variabile nominale con 3 

valori: 1, 2, 3. 

Incominciamo con alcune esplorazioni grafiche dei 

dati. 

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica 

6 

Confronto tra due medie

esa trattam. 

6,27 1 

5,36 1 

6,39 1 

4,85 1 

5,99 1 

7,14 1 

5,08 1 

4,07 1 

4,35 1 

4,95 1 

3,07 2 

3,29 2 

4,04 2 

4,19 2 

3,41 2 

3,75 2 

4,87 2 

3,94 2 

6,28 2 

3,15 2 

4,04 3 

3,79 3 

4,56 3 

4,55 3 

4,55 3 

4,53 3 

3,53 3 

3,71 3 

7,00 3 

4,61 3 

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica 

7 

Confronto tra due medie

Plot dei dati 

r esa 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

0 5 10 15 20 25 30 35 

Case Number 

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Analisi della varianza ad 1 criterio di classificazione 8

Box plot 

8 

7 

6 

5 

X 

4 

3 

2 

1 

0 

a b c 

Group 


Diagramma a punti 


I grafici suggeriscono una differenza tra i tre gruppi. 

Vediamo dal grafico seguente che i tre gruppi sono in posizione diversa rispetto 

alla media generale, calcolata su tutte le osservazioni. 


esa 

8 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

0 

1 2 3 

0 5 10 15 20 25 30 35 

Case Number 

Media 


Com'è distribuita la variabilità in queste osservazioni? 

Esaminiamo prima la variabilità totale, poi quella all'interno di ciascun gruppo ed 

in ultimo la variabilità delle medie dei diversi gruppi. 


La variabilità totale 


La variabilità entro gruppi o within groups 


La variabilità tra gruppi (la differenza tra le medie dei diversi gruppi e la media 

generale) o between groups 


I dati osservati possono essere rappresentati mediante un modello lineare 

in cui 

yij 

= 

u i 

+ ε 

ij 

• yij è la generica osservazione dell’i-esimo trattamento sulla j-esima unità sperimentale 

• u 

i è la media del trattamento 

ε 

• ij errore casuale 

Generalmente si assume i = 1, . . . , k e j =1, . . . , ni. Se il disegno è bilanciato, n1 = n2 =. . . = np =n. 

o più semplicemente: 

L'equazione fondamentale dell'analisi della varianza 

Variabilità totale = variabilità tra gruppi + variabilità entro gruppi 


Ipotesi di lavoro : 

H1: non tutti i tre gruppi hanno media uguale (sono possibili diverse 

combinazioni) 

H0: µ 1 = µ 2 = µ 3 =µ 

Vogliamo testare questa ipotesi a un livello di significatività pari a 0.05 


Come costruire il test? 

Il test è basato sulla seguente considerazione: 

Se è vera l’ipotesi nulla, i dati differiscono tra loro per il solo effetto della 

variabilità casuale. 

Se invece è vera l’ipotesi alternativa, entrambe le fonti di variabilità 

contribuiscono a determinare la variabilità complessiva 

Il test è quindi basato sull’analisi della variabilità complessiva in funzione delle 

diverse cause. 


Per questo motivo, anche se il test è sulle medie, la tecnica viene chiamata 

Analisi della Varianza. 

Assunzione fondamentale: 

σ 

2 2 2 

= = = 

1 2 

σ 

σ 3 

σ 

2 

La variabilità dei dati osservati può essere misurata mediante gli scostamenti 

dei dati dalla media. 

La devianza totale è definita nel modo seguente: 

n 

∑ 

1 

_ 

) 

2 

( x ij 

− x 


La devianza totale può essere scomposta nel modo seguente: 

devianza totale= devianza tra i gruppi + devianza entro i gruppi 

n 

∑ 

1 

_ k _ _ k 

2 

2 

2 

( xkj 

− x) 

= ∑nk 

( x k − x) 

+ ∑( 

nk 

−1) 

Sk 

1 

1 

Le due quantità sono dette rispettivamente: 

• Devianza tra gruppi (trattamenti): misura la quota di variabilità attribuibile 

alle differenze trai trattamenti. 

• Devianza entro gruppi (d’errore): misura la quota di variabilità imputabile a 

tutte le cause non controllate nell’esperimento e all’errore di campionamento 


Se è vera l’ipotesi nulla, ci possiamo attendere uno scarso contributo della 

devianza tra gruppi alla devianza totale. 

Se è vera l’ipotesi alternativa, ci possiamo attendere che entrambe le 

devianze contribuiscano a determinare la devianza totale. 

A questo livello non è però possibile fare confronti, perchè le devianze hanno un 

numero di addendi diverso. 


I gradi di libertà 

Ad ognuna delle devianze sono associati i gradi di libertà: 

• la devianza totale ha nkk − 1 gradi di libertà 

• la devianza tra gruppi ha k − 1 gradi di libertà 

• la devianza d’errore ha k(nk − 1) gradi di libertà 

Le varianze si ottengono dividendo le devianze per i gradi di libertà. 


Se l'assunzione della stessa varianza per i diversi gruppi è vera, la variabilità 

'entro gruppi' (within groups) sarà uguale nei tre gruppi. La stima migliore di 

questa variabilità è la stima pooled (analoga a quella già vista per il test t di 

student per gruppi appaiati). 

S 

2 

w 

= 

k 

∑ 

1 

( −1) 

n 

k 

n − k 

S 

2 

k 

k= numero dei gruppi 

n= numero osservazioni 

S 

2 

k 

= varianza nel gruppo k-esimo 


La variabilità 'tra gruppi' (between groups) sarà stimata dalla somma degli 

scostamenti tra le medie dei diversi gruppi e la media generale pesati per il 

numero di osservazioni nel gruppo ( 

n 

k ), divisa per il numero di gruppi -1 (k - 1) . 

S 

2 

b 

= 

k 

∑ 

1 

n 

k 

( x − x) 

k 

k −1 

2 

k= numero dei gruppi ; n k = numero osservazioni nel gruppo k 

xk = media nel gruppo k-esimo 

x = media generale 


Il test è basato sul confronto tra la varianza tra trattamenti e la varianza 

d’errore. 

Se l’ipotesi nulla è vera, le due varianze dovrebbero essere molto simili tra loro, 

mentre se l’ipotesi nulla è falsa, la varianza tra trattamenti dovrebbe essere 

molto più grande della varianza d’errore. 

Se H0 è vera allora la variabilità tra gruppi sarà dovuta solo all'effetto degli errori 

casuali e quindi le variabilità tra ed entro gruppi saranno uguali 

S = 

2 2 

b 

S w 

Se rifiuto H0 allora la variabilità tra i gruppi non è dovuta al solo effetto del caso 

S > 

2 2 

b 

S w 


Un test in grado di misurare la probabilità di osservare una differenza tra le due 

varianze è il test F 

F = 

S 

S 

2 

b 

2 

w 

Il valore del test F viene letto su apposite tavole (es tav. A5 del testo di Pagano 

e Gavreau o tav.G del testo di Daniel). 

Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1 

Il numero di gradi di libertà a denominatore è: 

numero di soggetti -numero di gruppi 


esa trattam. n media 

gruppo 

6,27 1 10 

5,36 1 

6,39 1 

4,85 1 

5,99 1 

7,14 1 

5,08 1 

4,07 1 

4,35 1 

4,95 1 

3,07 2 10 

3,29 2 

4,04 2 

4,19 2 

3,41 2 

3,75 2 

4,87 2 

3,94 2 

6,28 2 

3,15 2 

4,04 3 10 

3,79 3 

4,56 3 

4,55 3 

4,55 3 

4,53 3 

3,53 3 

3,71 3 

7,00 3 

4,61 3 

varianza 

gruppo 

Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in medicina e chirurgia Corso di Statistica Medica Analisi della varianza ad 1 

criterio di classificazione 28

Conviene calcolare separatamente le varianze dei diversi gruppi e quindi 

inserirle nella formula. 

Per convenienza calcolo separatamente i seguenti valori: 

Media generale (del totale delle osservazioni) 

Media in ciascun gruppo 

Scostamento tra la media del gruppo e la media generale 

Varianza in ciascun gruppo 


n 

media gruppo 

mediagruppo - 

mediagenerale 

varianza nel 

gruppo 

10 5,445 0,8013 0,9525 

10 3,999 -0,6447 0,9443 

10 4,487 - 0,1567 0,9501 

media generale 

4,6434 

Numero totale 

numero gruppi 

30 3 

Occorre prestare attenzione al valore della varianza in ciascun gruppo: se le 

varianze sono diverse cade un requisito essenziale per la validità dell'ANOVA 


Posso quindi calcolare gli addendi alle sommatorie per il calcolo della varianza 

tra gruppi ed entro gruppi. Questi addendi corrispondono alle devianze. 

S 

2 

b 

= 

k 

∑ 

1 

n 

k 

( x − x) 

k 

k −1 

2 

S 

2 

w 

= 

k 

∑ 

1 

( −1) 

n 

k 

n − k 

S 

2 

k 


n media gruppo mediagruppo - 

mediagenerale 

Devianza tra 

10 5,445 0,8013 6,4214 

10 3,999 -0,6447 4,1560 

10 4,487 - 0,1567 0,2454 

media totale 

Numero 

gruppi 

4,6434 3 

S 

2 

b 

= 

k 

∑ 

1 

n 

k 

( x − x) 

k 

k −1 

2 


n 

varianza nel 

gruppo 

Devianza 

entro 

10 0,9525 8,5729 

10 0,9443 8,4987 

10 0,9501 8,5506 

numero 

totale 

Numero 

gruppi 

30 3 

S 

2 

w 

= 

k 

∑ 

1 

( −1) 

n 

k 

n − k 

S 

2 

k 


Calcolo quindi la varianza tra gruppi, sommando gli addendi e dividendo per i 

rispettivi gradi di libertà. 


mediagenerale 

varianza nel 

gruppo Devianza tra Devianza 

entro 

10 5,445 0,8013 0,9525 6,4214 8,5729 

10 3,999 -0,6447 0,9443 4,1560 8,4987 

10 4,487 - 0,1567 0,9501 0,2454 8,5506 

g.l. 2 

numero 

Numero 

media totale 

Varianza tra 

totale 

gruppi 

30 4,6434 3 5,4114 


Analogamente per la varianza entro gruppi 


mediagenerale 

varianza nel 

gruppo Devianza tra Devianza 

entro 

10 5,445 0,8013 0,9525 6,4214 8,5729 

10 3,999 -0,6447 0,9443 4,1560 8,4987 

10 4,487 - 0,1567 0,9501 0,2454 8,5506 

g.l. 27 

numero 

Numero 

Varianza 

media totale 

Varianza tra 

totale 

gruppi 

entro 

30 4,6434 3 5,4114 0,9490 


e la statistica F 

numero 

Numero 

Varianza 

media totale 

Varianza tra 

totale 

gruppi 

entro 

30 4,6434 3 5,4114 0,9490 

F= 5,4114 / 0,9490 = 5,7024 

Il valore della statistica F (2; 27 gl) corrisponde ad una probabilità < 0,001 

Il numero di gradi di libertà a numeratore è: numero di gruppi-1 

Il numero di gradi di libertà a denominatore è: numero di soggetti -numero di gruppi 

Conclusione? 

Rifiutiamo l’ipotesi nulla: almeno una media è diversa dalle altre 


Riepilogo dei calcoli 

Resa Trattam n 

mediagruppo - 

media 

mediagenerale 

gruppo 

varianza nel 

gruppo 

Contributo del 

Contributo del gruppo 

gruppo alla 

alla varianza tra 

varianza entro 

6,27 1 10 5,445 0,8013 0,9525 6,4214 8,5729 

5,36 1 

6,39 1 

4,85 1 

5,99 1 

7,14 1 

5,08 1 

4,07 1 

4,35 1 

4,95 1 

3,07 2 10 3,999 -0,6447 0,9443 4,1560 8,4987 

3,29 2 

4,04 2 

4,19 2 

3,41 2 

3,75 2 

4,87 2 

3,94 2 

6,28 2 

3,15 2 

4,04 3 10 4,487 - 0,1567 0,9501 0,2454 8,5506 

3,79 3 

4,56 3 

4,55 3 

4,55 3 

4,53 3 

3,53 3 

3,71 3 

7 3 

4,61 3 

numero gruppi numero totale media totale 

Varianza tra Varianza entro 

3 30 4,6434 5,4114 0,9490 

F= 5,7024 

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criterio di classificazione 37

I valori di probabilità corrispondenti alla distribuzione F si leggono tra F e ∞ 


Un'avvertenza per chi usa programmi statistici 

La varianza entro gruppi è spesso indicata come: 

MS (Mean Sum Squares o Scarto Quadratico Medio) within groups 

oppure 

Error MS 

La varianza tra gruppi è spesso indicata come: 

MS between groups 

oppure 

Effect MS 


Questo è l'output di XLstats, per i dati usati nell'esempio 

H 0 : All population means (of resa) are equal 

H 1 : Not all population means (of resa) are equal 

p-value = 0,008594 

Tra 

Entro 

ANOVA Table 

Source DF SS MS F 

trattam. 2 10,82275 5,411373 5,702374 

Error 27 25,62215 0,948969 

Total 29 36,4449 


La devianza entro gruppi è spesso indicata come: 

SS (Sum of Squares o Somma degli Scarti Quadratici) within groups 

oppure 

Error SS 

La devianza tra gruppi è spesso indicata come: 

SS between groups 

oppure 

Effect SS 

La devianza totale è spesso indicata come: 

SS Total 




p-value = 0,008594 

Tra 

Entro 

ANOVA Table 


trattam. 2 10,82275 5,411373 5,702374 

Error 27 25,62215 0,948969 

Total 29 36,4449 


MS = SS / DF 

Varianza = Devianza / Gradi_libertà 



p-value = 0,008594 

ANOVA Table 


trattam. 2 10,82275 5,411373 5,702374 

Error 27 25,62215 0,948969 

Total 29 36,4449 


Giunti a questo punto, vogliamo sapere quali sono i gruppi diversi tra loro. 

Sono possibili diversi confronti; 

gruppo 1 vs. gruppo 2 







Problema…….. 

Se conduciamo tutti questi confronti aumenta la probabilità di errore di I tipo 

α (0.05), ovvero la probabilità di rifiutare erroneamente l’ipotesi nulla, quando 

questa è vera. 

1 −α (0.95) è la probabilità di accettare H0 quando H0 è vera, in altri termini è la 

probabilità di ottenere un risultato non significativo. 

Se testiamo k ipotesi indipendenti la probabilità che i test siano congiuntamente 

non significativi è data da ( 1 α) 

− *( 1− α) 

*( 1− α) 

⇒ 

( 1− 

α) 

ne consegue che la probabilità di avere almeno un test significativo sarà: 

1− 

(1 −α) 

numeroconfronti 

k 


Nel nostro caso con 3 confronti otteniamo: 

= 1 - (0,95) 3 

= 1- 0,85 = 0,15 

L'errore di primo tipo complessivo (che almeno uno dei confronti dia risultato 

significativo solo per effetto del caso) è del 15%, ben superiore al valore 

prescelto del 5%. 

Attenzione: il non tener conto della molteplicità dà luogo ad un aumento della 

probabilità di trovare risultati significativi in favore dell’ipotesi alternativa, quando 

l’ipotesi nulla è vera 


Per ovviare questo inconveniente Bonferroni ha proposto la seguente 

correzione: 

α ' = α /numero_confronti 

La soglia di rifiuto dell'ipotesi nulla viene quindi fissata a α / numero_confronti 

Il numero di confronti è il numero di confronti che si intende effettuare, 

pianificato nel disegno dell'analisi statisticaI confronti sono condotti usando il test 

t per il confronto tra le medie di due campioni indipendenti. Nella lettura del 

valore di p viene applicata la correzione di Bonferroni. 

Riportiamo i risultati dei calcoli eseguiti con il programma XLstats. 


Tests for comparing two categories 

Categories Cat. 1: b 

Cat. 2: 

c 

Two-Sample t-tests (Differences Between Means, µ) 

Sample Data 

n 1 10 n 2 10 

X 1 3,999 X 2 4,487 

s 1 0,97175 s 2 0,974714 

Assume equal standard deviations 

X1 − X 2 -0,488 

SE Difference 0,435243 

Hypothesis Tests 

Confidence Intervals 

H 0 : µ 1 - µ 2 =0 for µ 1 - µ 2 

Alternative 

> < 

≠ 

Type (2,U,L) 2 

Level 0,95 

H 1 : µ 1 - µ 2 ≠ 0 ME Lower Upper 

T -1,121212 0,918284 -1,406284 0,430284 

DF 17 

p-value = 0,277786 

Power Analysis 



Categories Cat. 1: a 

Cat. 2: 

c 


Sample Data 

n 1 10 n 2 10 

X1 5,445 X 2 4,487 

s 1 0,975981 s 2 0,974714 


X1 − X 2 0,958 




H 0 : µ 1 - µ 2 =0 for µ 1 - µ 2 

Alternative 

> < 

≠ 


Level 0,95 


T 2,196297 0,920279 0,037721 1,878279 

DF 17 

p-value = 0,042231 




Categories Cat. 1: a 

Cat. 2: 

b 


Sample Data 

n 1 10 n 2 10 

X 1 5,445 X 2 3,999 

s 1 0,975981 s 2 0,97175 


X1 − X 2 1,446 




H 0 : µ 1 - µ 2 =0 for µ 1 - µ 2 

Alternative 

> < 

≠ 


Level 0,95 


T 3,320116 0,918883 0,527117 2,364883 

DF 17 

p-value = 0,00405 



Conclusioni? Quali dei tre confronti sono significativi? 

Se siamo interessati ad un errore α complessivo < 0,05 

ed applichiamo la correzione di Bonferroni 

dovremo considerare solo in confronti il cui valore di p è < 0,05 / 3 

p < 0,05 / 3 

p < 0,0167 

a vs. b -> rifiuto H0 

commento: il terreno a cui è stato applicato il trattamento A ha in media una resa migliore rispetto al 

terreno a cui è stato applicato il trattamento B 

a vs. c -> non rifiuto H0 

b vs. c -> non rifiuto H0 


Approfondimento sugli errori conseguenti all'uso dell'ANOVA quando i tre gruppi 

hanno diverse varianze 

In questo esempio la varianza è uguale nei tre gruppi. In simili situazioni la probabilità di 

rifiutare l'ipotesi nulla in assenza di differenza nella media dei tre gruppi è simile al valore 

nominale (alpha o probabilità dell'errore di primo tipo). 

Results of 1000 Replication Experiment alpha = .05 alpha = .01 

Reject Null Hypothesis 5,6% 0,8% 


In questo esempio la varianza è diversa nei tre gruppi. In simili situazioni la probabilità di 

rifiutare l'ipotesi nulla in assenza di differenza nella media dei tre gruppi è 

sistematicamente diversa dal valore nominale. 

Results of 1000 Replication Experiment alpha = .05 alpha = .01 

Reject Null Hypothesis 8,2% 2,0% 


In questo esempio i tre gruppi hanno la stessa varianza e tre medie diverse. 

Qui l'analisi della varianza è appropriata 


Approfondimento sulla simulazione di analisi della varianza 

Immaginiamo di condurre un esperimento ripetuto 1000 volte con campioni tratti 

dalla stessa popolazione: la distribuzione delle medie campionarie. 


la distribuzione della statistica F. 


Il numero di campioni che avrebbe portato al rifiuto dell'ipotesi nulla. 


Le corrispondenti immagini nel caso di campioni da tre diverse popolazioni 


Esercizi dal testo 

p 226 n 2 

p 226 n 4 

p 226 n 6 

p 226 n 7 

p 226 n 8

anova_1 - UniversitÃ del Piemonte Orientale

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