( )1 ïº£ïº´ïºØ¨ ïºï»ï¯¿ï¯¿ïº®Ø§Øª

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

بسم االله الرحمن الرحيم 

حساب تغییرات (1) 

جلسه 14 

سید روح االله کاظمی 

ریاضی پیشرفته 

مقدمه 

- 

- 

حساب تغییرات شاخه اي از آنالیز است که با مسایل ماکزیمم و مینیمم سر وکار دارد.‏ 

برخی از مسایل مورد توجه که به این شاخه مربوط است:‏ 

پیدا کردن کوتاهترین فاصله بین دو نقطه.‏ 

پیدا کردن یک منحنی بین همه منحنی هاي واقع در صفحه xy به نحوي که سطح حاصل از دوران آن حول محور x 

مینیمم باشد.‏ 

- 

پیدا کردن خمی که دو نقطه را وصل کند 

طی شده مینیمم باشد.‏ 

به طوري که اگر گلوله اي از نقطه بالاتر به سمت پایین حرکت کند زمان 

تعریف:‏ فرض کنید W فضایی از توابع بوده که هریک از آنها بر فاصله ] 1 x] 0 x, تعریف شده اند.‏ حال اگر J تابعی از W به 

R، مجموعه اعداد حقیقی،‏ تعریف شده باشد،‏ :J، W→R آنگاه J را یک فانکشنال یا تابعی مینامند.‏ 

2 

١

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

مقدمه 

مساله بنیادي در حساب تغییرات:‏ 

فرض کنید ) 0 x) 0 y, و ) 1 x) 1 y, دو نقطه واقع در صفحه xy باشند و y=y(x) هر منحنی دلخواه باشد که از این دو نقطه 

میگذرد.‏ بین این منحنی ها دنبال یک منحنی هستیم که فانکشنال زیر را اکسترمم کند ‏(ما در بحث خود به دنبال 

1 

J( 

Y ) F( 

x, 

Y, 

Y) 

dx Y ( x 

y (14-1) 

x0 

مجموعه W 

مینیمم هستیم):‏ 

جواب این مساله ممکن است پیوسته یا ناپیوسته،‏ مشتقپذیر یا غیر مشتقپذیر باشد.‏ 

را که شامل جوابهاي 

x 

0 

) y0 

Y ( x1) 

پیوسته و مشتقپذیر است،‏ مجموع توابع مجاز مینامیم و در بحث خود هر تابع مطرح شده را یک تابع مجاز میگیریم.‏ 

1 

3 

معادله اویلر-لاگرانژ 

فرض کنید مساله 14-1 داراي جواب باشد،‏ یعنی تابعی مانند y=y(x) موجود باشد به طوري که به ازاي هر Yعضو W، 

Y ( x) 

y( 

x) 

z( 

x) 

Y( 

x) 

y( 

x) 

e z( 

x) 

e (14-2) 

J(y) .J(Y)≥ حال میتوان نوشت:‏ 

که 

در آن z(x) متعلق به W است و 0=( 0 z(x و 0=( 1 .z(x همچنین e عددي ثابت و مثبت است.‏ با جایگزینی 14-2 در 

 

x 

1 

J( 

y e z) 

F( 

x, 

y e z, 

y 

e z) 

dx (14-3) 

F( 

x, 

y 

x0 

14-1 داریم:‏ 

با توجه به بسط تیلور میتوان 

با جایگزینی 14-4 

نوشت:‏ 

F 

F 

2 

e z, 

y 

e z) 

F( 

x, 

y, 

y) 

e z e z 

O( 

e ) 

y 

y 

(14-4) 

در 14-1 داریم:‏ 

x1 

 

F 

F 

2 

J( 

y e z) 

F( 

x, 

y, 

y) 

e z e z 

O( 

e ) dx 

I( 

e) 

(14-5) 

x0 

 

y 

y 

 

4 

٢

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٣ 

ژنارگلا-رلیوا هلداعم 

5 

هنوگنامه 

هک 

هظحلام 

دوشیم 

هجیتن 

يریگلارگتنا 

14-5 رد 

اهنت 

یعبات 

زا 

e 

دهاوخ 

دوب 

ینعی 

.I(e) 

لاح 

تقد 

دینک 

هک 

14-2 رد 

رگا 

e 

رفص ربارب 

رارق 

هداد 

،دوش 

عبات 

z(x) 

ره 

هچ 

هک 

،دشاب 

دننام 

نیا 

تسا 

هک 

هب 

Y ياج 

و 

Y΄ 

رادقم 

y 

و 

y΄ 

رارق 

هداد 

دوش 

هک 

ممرتسکا 

هدننک 

لانشکناف 

رظندم 

،تسام 

نیاربانب 

I(e) 

دیاب 

هب 

يازا 

e=0 


هتشاد 

.دشاب 

ینعی 

14-6 هطبار 

رارقرب 

:تسا 

لاح 

يارب 

ترابع 

مود 

رد 

لااب 

اب 

هدافتسا 

زا 

ءزج شور 

ءزج هب 

ناوتیم 

:تشون 

0 

) 

( 1 

0 

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

dx 

y 

F 

z 

y 

F 

z 

d 

dI 

e 

e 

e 

(14-6) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

) 

( 

) 

( 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

dx 

y 

F 

dx 

d 

z 

dx 

y 

F 

dx 

d 

z 

y 

F 

z 

dx 

y 

F 

z ) 

(14-7 


6 

اب 

رارق 

نداد 

14-7 

رد 

14-6 

هطبار 

14-8 

هب 

تسد 

یم 

،دیآ 

و 

نوچ 

14-8 

هب 

يازا 

ره 

z 

رارقرب 

،تسا 

ناوتیم 

ار14-9 

:تشون 

ار14-9 هطبار 

هلداعم 

ژنارگلا-رلیوا 

.دنمانیم 


يارب 

ممینیم 

ندرک 

14-1 لانشکناف 

یفاک 

تسا 

هب 

لح 

هلاسم 

ریز 

:میزادرپب 

نیا 

،هلاسم 

هلاسم 


هدیمان 

دوشیم 

و 

باوج 

نآ 

ار 

کی 

ینحنم 

ینارحب 

.دنیوگ 

رگا 

باوج 

ار14-10 

y=f(x) 

،میمانب 

هاگنآ 

J(f(x)) 

کی 

رادقم 

ینارحب 

يارب 


J(Y) 

تسا 

هک 

ممیزکام 

ای 

ممینیم 

ندوب 

نیا 


هب 

یتحار 

لباق 

نییعت 

.تسا 

رد 

دنچ همادا 

لاثم 

رد 

طابترا 

اب 

ثحابم 

هدش حرطم 

هدش یسررب 

.تسا 

0 

) 

( 

1 

0 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

z dx 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

14-8) 

( 0 

 

 

 

 

 

 

 

y 

F 

dx 

d 

y 

F ) 

(14-9 

1 

1 

0 

0 ) 

( 

) 

( 

0 y 

x 

y 

y 

x 

y 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14-10)

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

۴ 


7 

:لاثم 

ینحنم 

ینارحب 

و 

رادقم 

ینارحب 


لباقم 

ار 

دیبایب 

و 

عون 

نآ 

ار 

صخشم 

.دینک 

:لح 

میراد 

رد 

هجیتن 

هلداعم 


رد 

اجنیا 

ترابع 

تسا 

:زا 

لح اب 

هلداعم 

و 

طیارش لامعا 

،يزرم 

ینحنم 

ینارحب 

لکش هب 

ریز 

هب 

تسد 

یم 

:دیآ 

و 

رد 

هجیتن 

رادقم 

ینارحب 

ترابع 

تسا 

:زا 

1 

) 

2 

( 

0, 

(0) 

, 

) 

( 

) 

( 2 

0 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

y 

y 

dx 

Y 

Y 

Y 

J 

2 

2 

) 

, 

, 

( y 

y 

y 

y 

x 

F 

 

 

 

 

0 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 

y 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

x 

y 

x 

c 

x 

c 

y 

y 

y 

BCs 

sin 

cos 

sin 

0 2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

) 

sin 

(cos 

) 

(sin 2 

0 

2 

2 

 

 

 

dx 

x 

x 

x 

J 


8 

يارب 

هکنیا 

مینیبب 

نیا 

رادقم 

ینارحب 

هب 

تسد 

هدمآ 

،(رفص ینعی) 

ممیزکام 

تسا 

ای 

،ممینیم 

رادقم 


ار 

هب 

يازا 

کی 

ینحنم 

،رگید 

لاثم 

کی 

طخ 

تسار 

هک 

زا 

طیارش 

يزرم 

روبع 

،دنک 

.میباییم 

هلداعم 

یطخ 

هک 

زا 

نیا 

ود 

هطقن 

درذگیم 

و 

رد 

هجیتن 


هطوبرم 

ترابع 

تسا 

:زا 


کی 

رادقم 

ممینیم 

.تسا 

:لاثم 

ینحنم 

ینارحب 

و 

رادقم 

ینارحب 


لباقم 

ار 

دیبایب 

و 

عون 

نآ 

ار 

صخشم 

.دینک 

) 

12 

(1 

2 

) 

3 

( 

4 

) 

4 

4 

( 

) 

2 

( 

2 

2 

2 

0 

3 

2 

2 

0 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

dx 

x 

x 

J 

x 

y 

1 

(1) 

0, 

(0) 

, 

) 

12 

( 

) 

( 

1 

0 

2 

 

 

 

 

 

y 

y 

dx 

xY 

Y 

Y 

J

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


حل:‏ معادله اویلر-لاگرانژ در اینجا عبارت است از:‏ 

با حل معادله و اعمال شرایط مرزي،‏ منحنی بحرانی به شکل زیر به دست می آید:‏ 

و در نتیجه مقدار بحرانی عبارت است از:‏ 

********* 

در ادامه وضعیت جواب براي مساله به صورت 14-1 براي شکلهاي مختلف (΄y F(x, ,y بررسی شده است.‏ 

.1 y΄) F(x, y, نسبت به y΄ خطی:‏ 

باید 

دقت کرد که،‏ چنین نیست که هر مساله به صورت 14-1 داراي جواب پیوسته باشد.‏ مثلا اگر (΄y F(x, ,y نسبت به 

΄y خطی باشد،‏ یعنی بتوان نوشت:‏ 

y 

6x 

0 

y x 

J 

3 

c x c 

1 

3 

( x 

2 

0 

) 

(9x 

4 

2 

BCs 

y x 

12x 

4 

) dx 

3 

21 

5 

F( 

x, 

y, 

y ) M ( x, 

y) 

N( 

x, 

y) 

y 

9 


در برخی شرایط،‏ معادله اویلر-لاگرانژ به صورت تابعی از 

x و y 

در می آید و در نتیجه معادله دیفرانسیل مرتبه دومی 

حاصل نمیشود و جواب حاصل از آن نمیتواند از دو نقطه دلخواه بگذرد.‏ این مطلب در مثال زیر آمده است.‏ 

مثال:‏ نشان دهید که مساله زیر داراي جواب نیست.‏ 

y(1) 

2 

حل:‏ از معادله اویلر-لاگرانژ داریم:‏ 

y(0) 

0, 

ملاحظه میشود که جواب به دست آمده نمیتواند در شرایط مرزي صدق کند و در 

1 

2 2 

J( 

Y ) ( Y x Y) 

dx, 

0 

y x 0 y x 

نتیجه معادله جواب ندارد.‏ 

: F=F(x, y) یا F=F(y) یا F=F(x) 

y، و x یا y یا x تنها تابعی از F 2. 

باز هم مساله تغییراتی 14-1 داراي جواب نیست ‏(چرا؟).‏ 

10 

۵

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


d 

dx 

2 

F 

( y) 

F( 

y) 

dy 

F( 

y) 

0 

0 y 

0 

2 

y 

y 

y 

dx y 

: F=F(y΄) ،y΄ تنها وابسته به F .3 

در این صورت معادله اویلر-لاگرانژ عبارت است از:‏ 

در نتیجه همانگونه که در ادامه نشان 

مستقیم)‏ منجر میشود.‏ 

داده شده،‏ دو حالت میتواند رخ دهد که هر دو به جواب واحد ‏(خانواده اي از خطوط 

y 

0 y c1x 

c 

2 

2 

F( 

y) 

 

 

2 

y 0 

2 

F( 

y) 

F 

( y) 

y 

0 c y 

k y c3x 

c 

2 

y 

y 

در عبارت بالا k ریشه معادله F ΄y c= است ‏(چون F فقط تابع ΄y است،‏ پس 

مشتق جزیی 

مثال:‏ نشان دهید که کوتاهترین فاصله بین دو نقطه ) 0 x) 0 y, و ) 1 x‏)یک 1 y, خط راست است.‏ 

آن هم فقط تابع ΄y است).‏ 

4 

11 


J ( Y ) 

x1 

x0 

2 

1Y 

dx 

حل:‏ طول قوس یک منحنی به معادله y(x) که از دو نقطه مورد نظر بگذرد،‏ عبارت است از:‏ 

Y ( x 

با توجه به توضیحات بالا جواب این مساله یک خط راست 

است.‏ پ س کوتاهترین فاصله یک خط راست است.‏ 

0 

) y 

0 

Y ( x ) y 

1 

1 

d F 

( x, 

y) 

F 

( x, 

y) 

0 c1 

dx y 

y 

:F=F(x, y΄) 

،y΄ و x تابعی از F .4 

آنگاه با نوشتن معادله اویلر-لاگرانژ و ادامه حل داریم:‏ 

که عبارت آخر یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است و با حل آن یک جواب عمومی براي معادله اویلر-لاگرانژ حاصل 

میشود که وابسته به دو عدد ثابت 

است.‏ پ س مساله داراي جواب است.‏ 

12 

۶

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٧ 


13 

:لاثم 


لباقم 

هلداعم 

تکرح 

هرذ 

يا 

زا 

هطقن 

هب 

هطقن 

رگید 

رد 

لوط 

کی 

ینحنم 

ابY=Y(x) 

تعرس 

u=x 

.تسا 

باوج 

هلداعم 

لصاح ژنارگلا-رلیوا 

زا 

نیا 


ار 

هب 

تسد 

.دیروآ 

:لح 

اب 

نتشون 

هلداعم 


سپس و 

رارق 

نداد 

y΄ =tan t 

:میراد 

نینچمه 

:میراد 

رد 

باوج هجیتن 

لکش هب 

دهاوخ ریز 

دوب 

هک 

ترابع 

تسا 

زا 

ناکم 

یسدنه 

هریاد 

ییاه 

هک 

ناشزکرم 

يور 

y روحم 

.تسا 

 

 

 

1 

0 

2 

1 

) 

( 

x 

x 

dx 

x 

Y 

Y 

J 

c 

y 

x 

y 

 

 

 

 

2 

1 

t 

c 

t 

c 

y 

y 

c 

x 

sin 

sin 

1 

1 

1 

1 

2 

 

 

 

 

 

 

 

2 

1 

1 

cos 

cos 

sin 

tan 

tan 1 c 

t 

c 

y 

dt 

t 

c 

dy 

t 

dx 

dy 

t 

dx 

dy 

dt 

t 

c 

dx 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

1 

) 

( 

cos 

sin 

c 

c 

y 

x 

t 

c 

c 

y 

t 

c 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


14 

F .4 

یعبات 

y زا 

،y΄ و 

:F=F(y,y΄) 

هاگنآ 

اب 

نتشون 

هلداعم 


:میراد 

برض اب 

فرط ود 

هلداعم 

لااب 

رد 

،y΄ 

ناوتیم 

هلداعم 


ار 

لکش هب 

ریز 

:تشون 

تلع 

نیا 

هجیتن 

يریگ 

نیا 

تسا 

هک 

:میراد 

لاح 

اب 

هجوت 

هب 

هطبار 

(*) 

،پس 

زا 

يریگلارگتنا 

هلداعم 


تروص هب 

ریز 

رد 

یم 

دیآ 

هک 

لح اب 

نآ 

باوج 

هب 

تسد 

یم 

.دیآ 

0 

 

 

 

 

 

 

 

y 

F 

y 

F 

F 

y 

y 

yy 

y 

(*) 

0 

) 

( 

 

 

 

F y 

y 

F 

dx 

d 

y y 

F 

y 

F 

F 

y 

y 

F 

y 

F 

y F 

F 

dx 

d 

y 

y 

yy 

y 

y 

y 

y 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

) 

( 

c 

F 

y 

F y

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


مثال:‏ مساحت سطح حاصل از دوران منحنی Y=Y(x) از نقطه ) 0 x) 0 y, تا ) 1 x)، 1 y, حول محور x عبارت است از:‏ 

J ( Y ) 2 

y 

1 

y 

2 

 

x1 

x0 

 

2 

Y 1 

Y 

dx 

yy 

2 

1 

y 

2 

c 

2 

y sinh t 

y cosht 

c y c cosht 

cosh t 

y 

sinh t 

dy 

dx 

جواب معادله اویلر-لاگرانژ را براي فانکشنال فوق به دست آورید.‏ 

حل:‏ در اینجا F تابعی از y و ΄y است،‏ پس با نوشتن معادله اویلر-لاگرانژ داریم:‏ 

(**) 

dy (**) csinh 

t 

sinh t dx dx 

sinh t 

sinh 

حال با تغییر متغیر ΄y =sinh t داریم:‏ 

dt 

t 

cdt 

از طرفی:‏ 

15 

 


x c1 

t 

 

x c 

ct c1 c y ccosh 

 

c 

y 

c cosht 

x 

1 

پس کمترین سطح جانبی،‏ از دوران یک منحنی کسینوس 

هایپربولیک حاصل میشود.‏ 

مثال:‏ 

در بررسی حرکت یک گلوله در طول یک منحنی از (0,0)A تا ) 1 B(x 1 y, و براي پیدا کردن مسیري که کمترین 

زمان را صرف کند،‏ برنولی به مساله تغییراتی زیر رسیده است.‏ جواب معادله اویلر-لاگرانژ را براي این فانکشنال بیابید.‏ 

J ( Y ) 

1 

2g 

 

x1 

0 

1Y 

Y 

2 

dx, 

Y (0) 0, 

2 

2 

1 

y 

y 

F yFy c c 

2 

y y(1 

y 

) 

Y ( x ) y 

1 

1 

حل:‏ با نوشتن معادله اویلر-لاگرانژ داریم:‏ 

16 

٨

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

1 

y(1 

y 

حال با تغییر متغیر ΄y =cot t داریم:‏ 

از طرفی:‏ 


c 

2 c1 

y 

1 c1 

sin t (1 cos 2 ) 

2 

1 

cot t 

2 

t 

همچنین با اعمال شرط اولیه و تغییر متغیر جواب نهایی که بیانگر یک منحنی سیکلوئیدي 

است به 

دست می آید:‏ 

2 

2 

c y(1 

y 

) c1 

) 

(**) 

dy 2c 

sin t cost 

dt 

2 

dx 

1 2c1 

sin t dt c1(1 

cos2t) 

dt 

y 

cott 

 

c1 

x c2 (2t 

sin 2t) 

2 

c 

c1 

x 

1 ( u sin u), 

y (1 cos ) 

2 

2 

u 

17 


حساب تغییرات (2) 

جلسه 16 



٩

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

روش ریلی - ریتز 

چنان که در جلسه قبل مطرح شد،‏ مسایل مربوط به حساب تغییرات،‏ به مسایلی به شکل معادلات دیفرانسیل برگردانده 

شده و سپس حل میشد.‏ ولی در بسیاري موارد معادلات اویلر-لاگرانژ دقیقا قابل حل نیست.‏ مثلا مساله تغییراتی زیر 

y(0) 

0, y(1) 

1 

داراي معادله ویلر-لاگرانژ ي به شکل نشان داده شده است که یک مساله غیرخطی است و آن را دقیقا نمیتوان حل کرد.‏ 

این وضعیت باعث گسترش روشهاي تغییراتی مستقیم شده است که در آن مستقیما با تابع J(Y) کار میشود.‏ یکی از این 

روشهاي مستقیم روش ریلی – ریتز است.‏ 

) dx 

Y(0) 

0, Y(1) 

1 

y 

e 

در این روش Y n را به شکل مقابل میگیریم که در آن f i ها توابع معلومی هستند که شرایط مرزي را نقض 

نمیکنند:‏ 

J( 

Y) 

1 

0 

n 

 

i1 

1 2 

( Y 

e 

2 

Y n 

f ( x) 

i 

i 

Y 

y 

19 


باشد:‏ 

20 

با قرار دادن Y n در ،J(Y) J به صورت تابعی از ها i بیان میشود.‏ حال براي مینیمم شدن فانکشنال،‏ باید روابط زیر برقرار 

که از آنها مقدار ضرایب 

y خواهد بود.‏ یعنی میتوان ثابت کرد که:‏ 

تعیین میشود.‏ مجموع حاصل یک کران بالا براي J(y) را نتیجه میدهد و Yحاصل n تقریبی براي 

مثال:‏ مساله تغییراتی زیر را به روش ریلی-ریتز و با انتخاب یک جمله حل کنید.‏ 

حل:‏ 

تابعی به شکل مقابل در نظر میگیریم ‏(شرایط مرزي را ارضا میکند):‏ 

J 

0, 

i 1,..., 

n 

 

i 

J( 

y) 

Lim J( 

Y ) 

J( 

Y) 

Y 

n 

1 

0 

1 

( Y 

2 

1 

 

x 1 

x) 

2 

n 

1 

Y 

2 

2 

& 

( 

x 

x 

Y) 

dx 

2 

LimY y 

n 

n 

Y(0) 

Y(1) 

0 

١٠

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


ادامه حل:‏ با قرار دادن این تابع در فانکشنال مورد بررسی داریم:‏ 

 

 

1 1 

2 

2 1 

2 2 

J( Y1 ) ( 2 

x) 

 

x 

x ( x 

x ) ) 

 

dx 

0 

2 

2 

1 11 2 1 

2 

J( 

Y1 ) 60 

J( 

) 

2 30 6 6 

J 

0 

 

 

5 

11 

حال براي تعیین مقدار ضریب مینویسیم:‏ 

11 2 11 5 2 1 5 

J( 

Y ) ( ) 

60 6 60 11 6 11 

1 

 

0.037879 

مقدار به دست آمده یک کران بالا براي J(y) است و تابع زیر یک تقریب تغییراتی ساده براي تابع بحرانی واقعیy میباشد.‏ 

5 

Y1 x(1 

x) 

11 

21 

تعمیم مساله تغییراتی 

در جلسه قبل حالت ساده اي از فانکشنال مورد بررسی قرار گرفت ‏(رابطه 15-1). 

x1 

J( 

Y) 

F( 

x, 

Y, 

Y) 

dx Y( 

x 

y (15-1) 

x0 

0 

) y0 

Y( 

x1 

) 

در ادامه این جلسه،‏ حالات مختلفی از شکلهاي تعمیم یافته فانکشنال قبل،‏ مورد توجه قرار خواهد گرفت.‏ 

1 

1. فانکشنال هایی شامل چند تابع 

فانکشنال هایی شامل چند تابع به صورت زیر و با شرایط مطرح شده را در نظر بگیرید:‏ 

J( 

Y , Y ,..., Y ) 

1 

1 

1 

0 

1 

2 

Y ( x ) y 

Y ( x ) y 

10 

11 

n 

, Y ( x ) y 

2 

2 

 

0 

, Y ( x ) y 

1 

x1 

x0 

F( 

x, 

Y , Y ,..., Y , Y, 

Y,..., 

Y) 

dx 

20 

21 

1 

2 

0 

1 

1 

,..., Y ( x ) y 

n 

,..., Y ( x ) y 

n 

n 

n0 

n1 

2 

n 

(15-2) 

22 

١١

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


براي اکسترمم کردن این فانکشنال،‏ تنها یک تابع را متغیر میگیریم و سایر توابع را ثابت فرض میکنیم.‏ به این ترتیب 

میتوان نصور نمود که فانکشنال 15-2 به فانکشنال 15-1 تبدیل شود که تنها به یک تابع (x) Yوابسته i است،‏ یعنی:‏ 

J( Y1 , Y2 

,..., Yn ) J( 

Yi 

), i 1,2, 

..., n 

(15-3) 

حال با نوشتن معادله اویلر-لاگرانژ براي تک تک توابع (x) Y، i به دستگاه معادلات زیر میرسیم:‏ 

d 

Fy F 

i n 

i 

y 

0 1,2, ..., 

i 

dx 

 

2 

J( Y, 

Z) 

 

0 

Y (0) 0, Y ( 

( Y 

 

) 

2 

2 

Z 

1, 

2 

2YZ 

) dx, 

Z(0) 

0, Z ( 

(15-4) 

مثال:‏ اکسترمم فانکشنال زیر را به ازاي شرایط داده شده بیابید.‏ 

 

) 

2 

1 

23 


d 

Fy 

Fy 

0 2z 

2y 

0 

dx 

d 

F F 0 2z 

z z 

2y 

0 

dx 

y 

(4) 

y 0 

حل:‏ 

دستگاه معادله اویلر-لاگرانژ در اینجا عبارت است از:‏ 

در نتیجه معادله حاصل و جواب آن عبارت است از:‏ 

x x 

y c1e 

c2e 

c3 

cos x c4 

sin x 

x x 

z c1e 

c2e 

c3 

cos x c4 

sin x 

B. C. 

c1 c2 

c3 

0, c4 

1 

z sin 

x, 

y 

و سر انجام با اعمال شرایط مرزي،‏ خواهیم داشت:‏ 

sin x 

24 

١٢

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

١٣ 

یتارییغت هلاسم میمعت 

25 

.2 


لماش ییاه 

تاقتشم 

بتارم 

رتلااب 


دنچ لماش ییاه 

عبات 

تروص هب 

لباقم 

و 

طیارش اب 

هدش حرطم 

ار 

رد 

رظن 

:دیریگب 

هباشم 

یشور 

هک 

اب 

نآ 

هلداعم 


ار 

يارب 


15-1 

هب 

تسد 

،میدروآ 

لکش هب 

ریز 

لمع 

:مینکیم 

n 

n 

n 

n 

x 

x 

n 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

dx 

Y 

Y 

Y 

x 

F 

Y 

J 

1 

1 

1) 

( 

12 

1 

11 

1 

1 

0 

0 

1) 

( 

02 

0 

01 

0 

1 

) 

( 

) 

( 

,..., 

) 

( 

, 

) 

( 

) 

( 

,..., 

) 

( 

, 

) 

( 

) 

,..., 

, 

, 

( 

) 

( 

1 

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

(15-5 

0 

0,..., 

0, 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

... 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

n 

x 

x 

x 

x 

n 

n 

n 

z 

z 

z 

x 

z 

x 

y 

x 

Y 

x 

z 

x 

y 

x 

Y 

x 

z 

x 

y 

x 

Y 

x 

z 

x 

y 

x 

Y 

e 

e 

e 

e 


26 

اب 

هجوت 

هب 

طسب 

رولیت 

ناوتیم 

:تشون 

لاح 

اب 


زا 

ءزج شور 

ءزج هب 

ناوتیم 

تشون 

:(؟ارچ) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

)) 

( 

) 

( 

,..., 

, 

, 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

x 

x 

n 

n 

dx 

x 

z 

x 

y 

z 

y 

z 

y 

x 

F 

z 

y 

J 

Y 

J 

e 

e 

e 

e 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

) 

( 

... 

) 

, 

, 

( 

) 

( 

2 

) 

( 

) 

( 

x 

x 

n 

n 

dx 

O 

y 

F 

z 

y 

F 

z 

y 

F 

z 

y 

y 

x 

F 

I 

e 

e 

e 

e 

e 

0 

... 

0 

) 

( 1 

0 

) 

( 

) 

( 

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

n 

n 

dx 

y 

F 

z 

y 

F 

z 

y 

F 

z 

d 

dI 

e 

e 

e 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

1 

0 

) 

( 

1) 

( ) 

( 

) 

( 

) 

( 

x 

x 

n 

n 

n 

n 

x 

x 

n 

n 

dx 

y 

F 

dx 

d 

z 

dx 

y 

F 

z

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

١۴ 


27 

رد 

هجیتن 

ناوتیم 

:تشون 

نوچ و 

هطبار 

لااب 

هب 

يازا 

z ره 

رارقرب 

:تسا 

هلداعم 

قوف 

هک 

کی 

هلداعم 

لیسنارفید 

هبترم 

ام n 

،تسا 

هب 

هلداعم 

نساوپ-رلیوا 

موسوم 

تسا 

هک 

اب 

هجوت 

هب 

طیارش 

ریز 

ناوتیم 

باوج هب 

:دیسر 

0 

1) 

( 

... 

1 

0 

) 

( 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

n 

n 

n 

n 

z dx 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

n 

n 

n 

n 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

y 

x 

Y 

1 

1 

1) 

( 

12 

1 

11 

1 

1 

0 

0 

1) 

( 

02 

0 

01 

0 

1 

) 

( 

,..., 

) 

( 

, 

) 

( 

) 

( 

,..., 

) 

( 

, 

) 

( 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

1) 

( 

... ) 

( 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 

n 

n 

n 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

(15-6) 


28 

:لاثم 



ریز 

ار 

هب 

طیارش يازا 

هدش هداد 

.دیبایب 

:لح 

هلداعم 


رد 

اجنیا 

ترابع 

تسا 

:زا 

هلداعم 

لح ،لصاح لیسنارفید 

یمومع 

نآ 

باوج و 

ییاهن 

،نآ 

اب 


،يزرم 

ترابع 

تسا 

زا 

: 

:لاثم 



ریز 

ار 

هب 



.دیبایب 

0 

) 

(2 

2 

2 

 

y 

dx 

d 

1 

(1) 

1, 

(1) 

1, 

(0) 

0, 

(0) 

, 

) 

(1 

) 

( 

1 

0 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 

Y 

Y 

Y 

dx 

Y 

Y 

J 

4 

3 

2 

2 

3 

1 

(4) 

0 c 

x 

c 

x 

c 

x 

c 

y 

y 

 

 

 

 

 

 

x 

y 

Cs 

B 

 

 

. 

. 

1 

) 

2 

( 

0, 

(0) 

0, 

) 

2 

( 

1, 

(0) 

, 

) 

( 

) 

( 2 

0 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y 

Y 

Y 

Y 

dx 

x 

Y 

Y 

Y 

J

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

١۵ 


29 

:لح 

هلداعم 


لصاح 

هلداعم) 

(نساوپ-رلیوا 

رد 

،اجنیا 

لح 

یمومع 

نآ 

و 

باوج 

ییاهن 

،نآ 

اب 

لامعا 

طیارش 

،يزرم 

ترابع 

تسا 

زا 

: 

:لاثم 



ریز 

ار 

هب 



.دیبایب 

:لح 

نیا 

هلاسم 

طوبرم 

هب 

کی 

هلیم 

نگمه 

تسا 

هک 

رد 

ثحبم 

هتیسیتسلاا 

رهاظ 

r .دوشیم 

m و 

ریداقم 

یتباث 

.دنتسه 

هلداعم 


يارب 

نیا 

:هلاسم 

لح 

یمومع 

باوج و 

ییاهن 

اب 


،يزرم 

ترابع 

تسا 

:زا 

x 

c 

x 

c 

e 

c 

e 

c 

y 

y 

y 

x 

x 

sin 

cos 

0 4 

3 

2 

1 

(4) 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

y 

BCs 

cos 

 

 

0 

) 

( 

0, 

) 

( 

0, 

) 

( 

0, 

) 

( 

, 

) 

2 

1 

( 

) 

( 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 

Y 

l 

Y 

l 

Y 

l 

Y 

dx 

Y 

Y 

Y 

J 

l 

l 

r 

m 

m 

r 

m 

r 

 

 

 

 

 

 

(4) 

2 

2 

0 

) 

( y 

y 

dx 

d 

2 

2 

2 

4 

3 

2 

2 

3 

1 

4 

) 

( 

24 

24 

l 

x 

y 

c 

x 

c 

x 

c 

x 

c 

x 

y 

BCs 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 

r 

m 

r 


30 

.3 

دنچ لماش ییاه لانشکناف 

عبات 

اب 

تاقتشم 

بتارم 

رتلااب 


دنچ لماش ییاه 

عبات 

و 

تاقتشم 

بتارم 

رتلااب 

اهنآ 

ار 

تروص هب 

ریز 

ار 

رد 

رظن 

:دیریگب 

اب 

یشور 

ساسارب 

هچنآ 

شیپ 

زا 

نیا 

،دش حرطم 

هب 

تلاداعم 

ریز 

میسریم 

هک 

طیارش اب 

يزرم 


لح لباق 

:تسا 

(؟ارچ) 

 

 

 

1 0 

) 

,..., 

, 

, 

,..., 

, 

, 

( 

) 

, 

( 

) 

( 

) 

( 

x 

x 

m 

n 

dx 

Z 

Z 

Z 

Y 

Y 

Y 

x 

F 

Z 

Y 

J ) 

(15-7 

0 

1) 

( 

... 

0 

1) 

( 

... 

) 

( 

2 

2 

) 

( 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 

n 

n 

n 

n 

n 

n 

n 

z 

F 

dx 

d 

z 

F 

dx 

d 

z 

F 

dx 

d 

z 

F 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

dx 

d 

y 

F 

(15-8)

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

J( 

Z( 

x, 

y)) 

 

 

 

D 

 

D 

F( 

x, 

y, 

Z, 

p, 

q) 

dxdy, 

Z 

Z 

F( 

x, 

y, 

Z, 

, ) dxdy 

x 

y 


4. فانکشنال هایی وابسته به توابع چند متغیره 

فانکشنال مقابل را در نظر بگیرید:‏ 

با روشی مشابه آنچه پیش از این براي فانکشنال هاي وابسته به توابع یک متغیره مطرح شد،‏ به معادله زیر میرسیم:‏ 

F 

F 

 

z 

x 

z 

F 

 

y 

 

x 

z y 

این معادله به معادله استراگرادسکی موسوم است که با فرض z x p= و z y q= 

به صورت زیر در می آید:‏ 

F 

F 

F 

 

z 

x 

p 

y 

q 

Z 

Z 

p , q 

x 

y 

0 

(15-9) 

 

0 or Fz 

Fp 

Fq 

0 

x 

y 

31 


معادله استراگرادسکی را به کمک این شرط مرزي که Z(x,y) ناحیه D∂) ) D 

اختیار کند قابل حل است.‏ 

روي کران 

مقدار تابع 

معلوم f(x,y) را 

مثال:‏ اکسترمم فانکشنال زیر را طوري بیابید که Z(x,y) روي کران ناحیه D∂) ) D مقدار مشخص f(x,y) را اختیار کند.‏ 

J( 

Z( 

x, 

y)) 

 

 

D 

2 2 

z z 

0 

2 2 

x 

y 

Z D 

 

 

f ( x, 

y) 

Z 

( 

) 

x 

2 

Z 

2 

( 

) dxdy 

y 

 

حل:‏ معادله استراگرادسکی براي این مساله عبارت است از رابطه مقابل که یک معادله لاپلاس 

است و با فرض زیر به معادله دیریکله تبدیل میشود و داراي جواب یکتا بر D است.‏ 

32 

١۶

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

١٧ 


33 

:لاثم 


ریز 

ار 

یسررب 

.دینک 

:لح 

هلداعم 

یکسدارگارتسا 

يارب 

نیا 

هلاسم 

ترابع 

تسا 

:زا 

نیا 

هلداعم 

کی 

هلداعم 

نساوپ 

تسا 

هک 

اب 

هجوت 

طرش هب 


ناوتیم 

لح هب 

نآ 

.تخادرپ 

:لاثم 

زا 

نیب 

یحوطس همه 

هک 

زا 

کی 

ینحنم 

C هتسب 

یحطس ،دنرذگیم 

ار 

دیبایب 

هک 

ياراد 

تحاسم 

ممینیم 

.دشاب 

:لح 

یحطس نینچ تحاسم 

ار 

لکش هب 


لباقم 

ناوتیم 

نایب 

درک 

و 

ام 

هب 

لابند 

نتفای 


رد) 

اجنیا 

(ممینیم 

نیا 


.میتسه 

) 

, 

( 

) 

, 

( 

2 

) 

( 

) 

( 

)) 

, 

( 

( 

2 

2 

y 

x 

f 

Z 

dxdy 

y 

x 

Zf 

y 

Z 

x 

Z 

y 

x 

Z 

J 

D 

D 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

, 

( 

2 

2 

2 

2 

y 

x 

f 

y 

z 

x 

z 

 

 

 

 

 

 

c 

Z 

dxdy 

y 

Z 

x 

Z 

y 

x 

Z 

J 

D 

D 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

2 

) 

( 

) 

( 

1 

)) 

, 

( 

( 


34 

زا 

هلداعم 


:میراد 

هک 

لح اب 

نیا 

هلداعم 

باوج ناوتیم 

بولطم 

ار 

نییعت 

.درک 

یتروص رد 

هک 

هتشاد 

:میشاب 

هک 

رد 

:نآ 

رد 

تروص نیا 

هلداعم 


تروص هب 

لباقم 

رد 

یم 

:دیآ 

0 

1 

1 

2 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q 

p 

q 

y 

q 

p 

p 

x 

n 

D 

n 

n 

n 

dx 

dxdx 

p 

p 

p 

x 

x 

x 

F 

x 

x 

x 

Z 

J ... 

) 

,..., 

, 

, 

,..., 

, 

( 

... 

)) 

,..., 

, 

( 

( 2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

 

i 

i 

x 

Z 

p 

 

 

 

0 

) 

( 

1 

 

 

 

 

 

n 

i 

p 

i 

z 

i 

F 

x 

F

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

١٨ 


35 

لاثم 

:يارب 

هلداعم 


تروص هب 

لباقم 

رد 

یم 

:دیآ 

.5 

ییاه لانشکناف 

هتسباو 

هب 

ییزج تاقتشم 

بتارم 

رتلااب 

رگا 


هب 

ییزج تاقتشم 

بتارم 

رتلااب 

هتسباو 

،دشاب 

لاثم 

هتشاد 

:میشاب 

اب 

:ضرف 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 

dxdydz 

z 

u 

y 

u 

x 

u 

J 

2 

2 

2 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

0 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 

u 

y 

u 

x 

u 

yy 

xy 

xx 

z 

t 

z 

s 

z 

r 

y 

Z 

q 

x 

Z 

p 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 

, 

, 

, 

dxdy 

y 

Z 

y 

x 

Z 

x 

Z 

y 

Z 

x 

Z 

Z 

y 

x 

F 

y 

x 

Z 

J 

D 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

( 

)) 

, 

( 

( 2 

2 

2 

2 

2 

(15-10) 


36 

ناوتیم 

هطبار 

ریز 

ار 

:تشون 

لاثم 

رگا 

یلانشکناف 

تروص هب 

ریز 

:دشاب 

هطبار 

ریز 

هب 

تسد 

یم 

دیآ 

هک 

کی 

هلداعم 

کینومراهیاب 

.تسا 

رد 

یلیاسم 

هک 

یسررب 

،دش 

طاقن 

هنارک 

يا 


تباث 

.دندوب 

كرحتم 

ندوب 

اهنارک 

ثحابم 

يرگید 

ار 

دبلطیم 

هک 

رد 

اجنیا 

زا 

نایب 

فرص اهنآ 

رظن 

.ددرگیم 

0 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 2 

2 

2 

2 

2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 

s 

r 

q 

p 

z 

F 

y 

F 

y 

x 

F 

x 

F 

y 

F 

x 

F 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D 

dxdy 

y 

x 

z 

y 

z 

x 

z 

J 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

) 

2( 

) 

( 

) 

( 

0 

2 

4 

4 

4 

2 

2 

4 

4 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 

y 

z 

y 

x 

z 

x 

z

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


ماتریسها 

(1) 

جلسه 17 



مرور مباحث مقدماتی در باره ماتریسها 

ماتریس A 

38 

یک آرایه 

مستطیلی از اعداد،‏ یا درایه ها،‏ است که در m سطر و n ستون مرتب شده اند،‏ رابطه زیر ‏(در این 

بحث ماتریس ها با حروف بزرگ پررنگ نشان داده میشود):‏ 

A را ماتریس m*n مینامیم.‏ درایه سطر i ما 

و ستون j ما 

را با مشخص میکنند.‏ درایه هاي ماتریس ممکن است 

مختلط نیز باشتد.‏ گاهی اوقات نماد ) ij a) براي نشان 

دادن ماتریسی به کار میرود که درایه عمومی آن a ij است.‏ 

به ازاي هر ماتریس A یک ماتریس متناظر A T موسوم به ترانهاده A وجود دارد که با تعویض سترها و ستونهاي A تولید 

میشود،‏ یعنی:‏ 

a11 

 

 

a21 

A 

 

 

am1 

A ( a 

ij 

a 

a 

a 

12 

22 

 

m2 

) A 

T 

 

 

 

 

( a 

ji 

) 

a 

a 

a 

1n 

2n 

 

mn 

 

 

 

 

 

 

همچنین مزدوج ماتریس A را با Ā نشان میدهند که از تبدیل هر درایه a ij به مزدوج مختلط آن به دست می آید:‏ 

A ( a 

ij 

) A ( a 

ij 

) 

١٩

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


A 

3 

A 

4 

3i 

3 

A 

4 

3i 

mn 

ترانهاده مزدوج ماتریس A را ماتریس الحاقی A مینامند و آن را با * A نشان میدهند.‏ مثلا:‏ 

2 i 

5 

2i 

 

 

2 i 

5 

2i 

 

 

 

A 

3 

 

2 

i 

4 3i 

 

5 

2i 

 

 

ماتریسهاي مربعی و ستونی بیشتر مورد توجه هستند.‏ خواص زیر نیز براي جمع و تفریق و ... ماتریسها وجود دارد.‏ 

B 

mn 

( a 

A B A B 

ij 

) ( b 

A (B C) (A B) C 

ij 

) ( a 

ij 

b 

ij 

) 

T 

A * 

3 

 

2 

i 

A 

( 

a 

4 3i 

 

5 

2i 

 

ij 

) ( a 

( A B) A 

B 

A ( 1)A 

A B A ( B) 

ij 

) 

39 


ضرب دو ماتریس وقتی تعریف میشود که تعداد ستونهاي اولی با تعداد سترهاي دومی برابر باشد.‏ همچنین درایه سطر i ما 

A 

mn 

B 

nr 

C 

mr 

 

k1 


از ماتریس حاصلضرب نیز به شکل زیر تعیین میشود:‏ 

ضرب ماتریسها داراي خاصیت شرکت پذیري است و نسبت به جمع خاصیت پخشی دارد،‏ ولی در حالت کلی خاصیت 

(AB)C A(BC) 

که A و B 

جابجایی ندارد.‏ 

ضرب ماتریسی در 

حالت خاصی 

سطري 

نیز وجود دارد که ضرب داخلی یا اسکالر نامیده شده و به صورت مقابل نشان 

داده شده و تعریف میشود ‏(بردارها با حروف کوچک پررنگ نشان داده میشود):‏ 

ستونی باشد،‏ معادل ضرب دو بردار است.‏ ضرب برداري مفید دیگري 

(x, y) 

 

n 

 

i1 

x i 

y i 

c 

ij 

 

n 

a 

ik 

b 

ماتریس واحد:‏ ماتریس واحد ماتریسی است که همه درایه هاي قطر اصلی آن برابر 1، و سایر درایه ها برابر صفر باشند.‏ 

AI IA A 

k j 

A(B C) AB AC 

AB BA 

براي ماتریس واحد داریم:‏ 

40 

٢٠

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


وارون:‏ اگر ماتریس B وجود داشته باشد،‏ به نحوي که داشته باشیم ،AB=I را وارون ضربی یا وارون ماتریس A مینامند 

و میتوان نوشت:‏ 

وارون اگر A 

ضربی 1- A داشته باشد آن را ناتکین،‏ و در غیر اینصورت تکین مینامند.‏ براي محاسبه وارون،‏ به شرط 

وجود،‏ راههاي مختلفی وجود دارد.‏ یک روش مستلزم استفاده از دترمینان است.‏ متناظر با هر درایه 

کهاد وجود دارد که دترمینان ماتریسی است که از حذف سطر i ما 


هر درایه a ij هم عامل متناظري دارد که به صورت مقابل تعریف میشود:‏ 

میتوان نشان داد که اگر B وارون باشد،‏ آنگاه رابطه 16-1 برقرار است.‏ 

از ‎16-1‎میتوان دریافت که:‏ A ناتکین است اگر و تنها اگر 0≠A .det 

یک روش دیگر و معمولا بهتر براي محاسبه وارون،‏ انجام عملیات مقدماتی بر روي سطرهاست.‏ این 

a ij 

ماتریس،‏ یک 

ماتریس اصلی،‏ به دست می آید.‏ همچنین 

1. تعویض دو سطر،‏ ‎2‎‏.ضرب یک سطر در عددي غیر صفر،‏ 3. جمع مضربی از یک سطر با سطر دیگر.‏ 

B A 

-1 

i 

j 

C ij 

(-1) 

M 

ij 

AA 

C 

ji 

bij 

16 -1 

detA 

-1 

-1 

A A I 

اعمال عبارتند از:‏ 

41 


42 

هر ماتریس ناتکین A را میتوان با یک رشته منظم از این عملیات به ماتریس واحد تبدیل کرد.‏ میتوان نشان داد که اگر 

همین رشته اعمال روي I انجام شود،‏ وارون A به دست می آید.‏ تبدیل یک ماتریس به کمک یک رشته عمل بر سطرها،‏ 

تحویل سطر نام دارد.‏ 

مثال:‏ وارون ماتریس مقابل را بیابید.‏ 

حل:‏ با عملیات زیر میتوان ماتریس A را به I تبدیل کرد:‏ 

الف)‏ براي صفر شدن درایه هاي خارج قطر اصلی ستون اول،‏ 3- برابر سطر 

اول را با سطر دوم و 2- برابر سطر اول را با سطر سوم جمع میکنیم:‏ 

ب)‏ براي 1 شدن درایه قطر اصلی ستون دوم،‏ سطر دوم را در ½ ضرب میکنیم:‏ 

1 

A 

 

 

3 

 

2 

1 

 

 

0 

 

0 

1 

1 

 

 

0 1 

 

0 4 

1 

1 

2 

1 

2 

4 

1 

 

5 2 

 

 

5 

1 

2 

 

 

3 

1 

5 

 

 

5 

٢١

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


1 

 

 

0 

 

0 

1 

 

 

0 

 

0 

1 

 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

3 2 

5 2 

 

 

5 

3 2 

5 2 

 

 

1 

0 

0 

 

 

1 

ج)‏ براي صفر شدن درایه هاي خارج قطر اصلی ستون دوم،‏ سطر دوم 

را با سطر اول و 4- برابر سطر دوم را با سطر سوم جمع میکنیم:‏ 

د)‏ براي 1 شدن درایه قطر اصلی ستون سوم،‏ سطر سوم را در 1/5- 

ضرب میکنیم:‏ 

ه)‏ براي صفر شدن درایه هاي خارج قطر اصلی ستون سوم ، 3/2- برابر 

سطر سوم را با سطر اول و 5/2- برابر سطر سوم را با سطر دوم جمع 

میکنیم:‏ 

43 


حال اگر همین روند را به همین ترتیب روي I انجام دهیم،‏ به ترتیب ماتریسهاي زیر به دست می آید:‏ 

1 

 

 

0 

 

0 

1 

2 

 

 

 

3 2 

 

4 

0 

1 

0 

1 2 

1 2 

2 

0 

1 

0 

 

 

 

 

3 

1 

 

2 

0 

1 

2 

0 

 

 

 

 

3 2 

1 

 

4 5 

0 

1 

0 

1 2 

1 2 

2 5 

0 

1 

0 

 

 

 

 

3 2 

1 

 

2 

0 7 

10 

0 

 

 

 

 

1 2 

1 

5 

 

4 5 

0 

1 2 

0 

1 10 

1 

2 

2 5 

0 

0 

 

 

1 

3 10 

1 2 

 

 

1 

5 

که ماتریس آخر،‏ همان ماتریس وارون A است.‏ این نکته را میتوان به سادگی امتحان کرد.‏ 

44 

٢٢

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


در این مثال درایه a 11 برابر 1 بود،‏ اگر این طور نبود باید در اولین گام سطر 1 بر a 11 تقسیم میشد و اگر a 11 برابر صفر 

بود،‏ اولین گام تعویض این سطر با سطري است که درایه اول آن صفر نباشد.‏ 

توابع ماتریسی:‏ گاهی لازم است بردار یا ماتریسی در نظر بگیریم که درایه هایشان تابعی از متغیر حقیقی t باشد:‏ 

x1 

( t) 

a11( 

t) 

x( t) 

 

 

 

 

 

 

 

,A 

 

 

 

x ( t) 

 

 

n an1( 

t) 

 

 

a1 

n( 

t) 

 

 

 

 

a ( t) 

 

nn 

ماتریس A(t) در t=t 0 واقع در a

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

دستگاه معادلات جبري خطی 

a 

... 

a 

11 

x a 

1 

x a 

n1 

1 

12 

... 

x ... a 

x 

n2 

2 

... 

1n 

... 

a 

Ax b 16 -2 

2 

nn 

x 

n 

x 

n 

b 

... 

1 

b 

n 

مجموعی از معادله جبري خطی از متغیر 

را میتوان به شکل مقابل نوشت:‏ 

که در آن ماتریس A وبردار b معلومند.‏ رابطه ‎16-2‎به ازاي 0=b یک دستگاه همگن و به ازاي 0≠b یک دستگاه ناهمگن 

است.‏ اگر A ناتکین باشد،‏ 16-2 یک جواب یکتا دارد.‏ یعنی وارون A وجود دارد و میتوان 16-3 را نوشت.‏ در این صورت 

در حالتی که 16-2 همگن است نیز تنها جواب بدیهی 0=x وجود دارد.‏ 

تکین اگر A ولی 

باشد،‏ 16-2 یا جواب ندارد یا اگر داشته باشد،‏ جواب یکتا ندارد.‏ وارون A 

-1 

x A b 16 -3 

وجود ندارد و 16-3 

معتبر نیست.‏ در این صورت حالت همگن 16-2، علاوه بر جواب بدیهی 0=x، جواب غیر صفر نیز دارد.‏ 

دیگر 

47 


در این صورت (A تکین باشد)‏ و در حالت ناهمگن 16-2، دستگاه یا جواب ندارد و یا ‏(اگر b شرط ویژه اي داشته باشد)‏ 

بینهایت جواب دارد.‏ این شرط ویژه عبارت است از برقرار بودن 16-4 ‏(صفر شدن ضرب داخلی)‏ براي همه بردارهایی که 

در ‎16-5‎صدق کنند ) * A ماتریس الحاقی است):‏ 

در صورت برآورده شدن این شرط،‏ دستگاه 16-2 بینهایت جواب دارد که همه به شکل زیر هستند:‏ 

که (0) x یک جواب خاص 16-2 و x جوابی از معادله همگن آن است.‏ 

(b, y) 

 

n 

 

i1 

b 0 

16 -4 

i 

y i 

A * y 0 

16 -5 

x x 

(0) ξ 

16 -6 

48 

٢۴

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


براي یافتن جواب خاص دستگاههاي خطی بهتر است از روش تحویل سطر استفاده و دستگاه را ساده کرد که در صورت 

وجود جواب بتوان آن را به دست آورد.‏ به این منظور میتوان بردار b را به صورت یک ستون اضافی به ماتریس ضرایب A 

اضافه کرد و ماتریس افزوده زیر را تشکیل داد.‏ سپس با انجام عملیات سطري بر ماتریس افزوده،‏ A را به ماتریس مثلثی 

a 

 

A b 

 

an 

تبدیل کرد و سرانجام به سادگی دریافت که دستگاه جواب دارد یا نه،‏ و اگر جواب داشت آن را به دست آورد.‏ 

11 

1 

 

 

a 

a 

1n 

 

nn 

b 

 

1 

b 

 

 

 

 

 

n 

x 2x 

1 

x 

1 

1 

2 

x 

2x 

x 

2 

2 

3x 

2x 

x 

3 

3 

3 

7 

5 

4 

مثال:‏ دستگاه معادلات مقابل را حل کنید.‏ 

49 


1 

 

 

1 

 

2 

1 

 

 

0 

 

0 

1 

 

 

0 

 

0 

2 

1 

1 

2 

1 

3 

2 

1 

0 

3 

2 

1 

3 

1 

7 

3 

1 

4 

7 

5 

 

 

4 

7 

2 

 

 

10 

7 

2 

 

 

4 

حل:‏ ماتریس افزوده دستگاه عبارت است از:‏ 

حال عملیات سطري به شرح زیر انجام میشود:‏ 

الف)‏ سطر اول را با سطر دوم و 2- برابر سطر اول را با سطر 

سوم جمع میکنیم:‏ 

ب و ج)‏ سطر دوم را در 1- ضرب کرده و سپس 3- برابر 

سطر دوم را با سطر سوم جمع میکنیم:‏ 

50 

٢۵

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٢۶ 

یطخ يربج تلاداعم هاگتسد 

51 

لاح 

اب 

مراهچ رطس میسقت 

-4 رب 

یسیرتام 

هب 

تسد 

یم 

دیآ 

هک 

اب 

هاگتسد 


لباقم 

رظانتم 

:تسا 

هک 

زا 

نیا 

تارابع 

هب 

باوج یتحار 

ریز 

يارب 

هاگتسد 

دروم 

رظن 

هلاسم 

هب 

تسد 

یم 

دیآ 

هک 

اب 

هجوت 

هب 

اتکی 

باوج ندوب 

هجیتن 

میریگیم 

هک 

بیارض سیرتام 

هاگتسد 

نیکتان 

.تسا 

:لاثم 

رد 

دروم 

باوج 

هاگتسد 

ریز 

هب 

يازا 

ریداقم 

فلتخم 

b i 

ثحب 

دینک 

تقد) 

دوش 

هک 

اب 

هاگتسد 

لاثم 

لبق 

طقف 

رد 

کی 

بیرض 

توافتم 

.(تسا 

3 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

1 

3 

2 

1 

2 

2 

3 

2 

b 

x 

x 

x 

b 

x 

x 

x 

b 

x 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

2 

7 

3 

2 

3 

3 

2 

3 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

x 

x 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

1 

2 

x 

یطخ يربج تلاداعم هاگتسد 

52 

:لح 

سیرتام 

هدوزفا 

هاگتسد 

ترابع 

تسا 

:زا 

لاح 

اب 

ماجنا 

يرطس تایلمع 

دننام 

لحارم 

ب ،فلا 

ج و 

لاثم 

،لبق 

سیرتام 

ریز 

هب 

تسد 

یم 

:دیآ 

سپ 

هاگتسد 

نیا 

باوج هلاسم 

درادن 

رگم 

هکنیا 

هطبار 

ریز 

رارقرب 

:دشاب 

ناوتیم) 

ناشن 

داد 

هک 

نیا 

تسرد 

16-4 طرش نامه 

يارب 

نیا 

هاگتسد 

.(تسا 

لاح 

ضرف 

:مینک 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

2 

1 

3 

1 

2 

2 

1 

1 

3 

2 

1 

b 

b 

b 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

2 

1 

2 

1 

1 

3 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

3 

2 

1 

b 

b 

b 

b 

b 

b 

5 

1, 

, 

2 3 

2 

1 

 

 

 

b 

b 

b 

0 

3 3 

2 

1 

 

 

b 

b 

b

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

x 2x 

1 

x x 

x 

2 

3 

3 

2 

3x 

3 

x 

 

x 

3 

2 

1 

2 

3 

 

4 

 

4 

1 

 

4 

x 

 

 

 

 

3 

 

 

 

1 

 

3 

 

 

 

 

1 

 

0 


ادامه حل:‏ در این صورت مطابق دو سطر اول ماتریس افزوده داریم:‏ 

براي حل دستگاه میتوان یکی از مجهولها را دلخواه گرفت و دوتاي دیگر را یافت:‏ 

جواب را میتوان به صورت برداري نوشت:‏ 

به سادگی میتوان نشان داد که جمله دوم سمت راست،‏ یک جواب دستگاه ناهمگن و جمله اول جواب عمومی دستگاه 

همگن 

متناظر با معادلات مساله است.‏ 

53 

استقلال خطی 

(1) x x (n) ، . . . ، را وابسته خطی میگویند،‏ اگر یک مجموعه عدد c تا c وجود داشته باشد که حداقل یکی از 

n 1 

بردارهاي 

x (n) ، . 

c 

(1) 

( n) 

1x 

... c n 

x 

. ، x (1) 

. 

آنها غیر صفر باشد و 

همچنین اگر تنها مجموعه c 1 تا c n صدق کننده در 16-7 به صورت =0 n c 1 = c 2 = …= c باشد،‏ آنگاه 

مستقل خطی هستند.‏ 

حال مجموعه 

به در 

اي از n بردار (i) x را در نظر بگیرید که هرکدام n درایه داشته باشند.‏ اگر این بردارها را به نحوي در یک 

x (n) ، . . . ، x (1) بچینیم،‏ که ستونهاي این ماتریس را تشکیل دهند،‏ میتوان گفت:‏ بردارهاي X نام n 

ماتریس n 

مستقل خطی هستند اگر و تنها اگر 0≠X .det علت این امر را طبق روابط زیر بررسی کنید ) هب 

عهده دانشجو):‏ 

0 

16 -7 

(1) 

( n) 

x1 

c1 

... x1 

c 

n x11c1 

... 

x1 

ncn 

 

(1) 

( n) 

 

 

 

c1x 

... 

cnx 

 

 

 

 

Xc 0 

(1) 

( n) 

... 

 

1 1 

... 

1 

 

xn 

c x x 

n 

cn 

 

n 

c xnncn 

 

54 

٢٧

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


ماتریسها 

(2) 

جلسه 18 



مقادیر ویژه و بردارهاي ویژه 

معادله 17-1 را میتوان یک تبدیل خطی تصور کرد که بردار x را به بردار جدید y تبدیل میکند.‏ 

بردارهایی که تحت اثر یک ماتریس،‏ به مضربی از خودشان تبدیل میشوند،‏ با اهمیت هستند.‏ براي یافتن چنین بردارهایی 

قرار میدهیم ،y=lx که در آن l اسکالر است،‏ و به دنبال جواب 17-2 میگردیم که معادل 17-3 است:‏ 

‎17-2‎به شرطی جواب غیر صفر دارد که:‏ 

مقادیر l برآورده کننده 17-4، مقادیر ویژه ماتریس A خوانده میشود.‏ جوابهاي غیر صفر 17-2 یا 17-3 به ازاي هر 

مقدار ویژه،‏ بردار ویژه متناظر با آن مقدار ویژه نامیده میشوند.‏ بردارهاي ویژه را نمیتوان به صورت یکتا تعیین کرد،‏ چون 

هر مضربی از یک بردار ویژه،‏ خود یک بردار ویژه است.‏ گاهی ضریب بردار ویژه را طوري انتخاب میکنیم که یکی از درایه 

هاي آن برابر 1 باشد.‏ 

Ax y 

Ax l x 

det(A - l I) 0 

17 -1 

17 -2 (A - l I)x 0 

17 -3 

17 -4 

56 

٢٨

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٢٩ 

هژیو ياهرادرب و هژیو ریداقم 

57 

:لاثم 

ریداقم 

هژیو 

و 

رادرب 

هژیو 

سیرتام 

لباقم 

ار 

.دیبایب 

:لح 

اب 

ماجنا 

دنور 

ریز 

ود 

رادقم 

هژیو 

هب 

تسد 

یم 

:دنیآ 

سپس 

اب 

رارق 

نداد 

ره 

رادقم 

هژیو 

رد 

هطبار 

،(A-l I)x=0 

رادرب 

هژیو 

رظانتم 

اب 

نآ 

رادقم 

هژیو 

هب 

تسد 

یم 

.دیآ 

ادتبا 

:l 1 

0 

2 

) 

)(3 

(2 

0 

3 

1 

2 

2 

0 

3 

1 

2 

2 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 

l 

l 

l 

l 

l 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

4 

2 

16 

25 

5 

0 

4 

5 

2 

1 

2 

l 

l 

l 

l 

l 

 

 

 

 

 

 

 

3 

1 

2 

2 

A 

0 

1 

1 

2 

2 

0 

4 

3 

1 

2 

4 

2 

4 

2 

1 

2 

1 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

x 

x 

l 

l 


58 

زا 

هطبار 

لبق 

هلداعم 

ریز 

هب 

تسد 

یم 

دیآ 

و 

اب 

نتفرگ 

يرادقم 

هاوخلد 

يارب 

x 1 

لاثم) 

(c 

ناوتیم 

x 2 

ار 

نییعت 

.درک 

لاومعم 

تباث 

c هاوخلد 

ار 

رد 

رظن 

میریگیمن 

و 

:میسیونیم 

نیمه 

دنور 

يارب 

نیمود 

رادقم 

هژیو 

زین 

ماجنا 

:دوشیم 

رطاخ هب 

هتشاد 

،دیشاب 

ره 

برضم 

رفص ریغ 

نیا 

اهرادرب 

زین 

يرادرب 

هژیو 

.تسا 

0 

1 

1 

x 

0 

2 

2 

(1) 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 

c 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

1 

x (1) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

2 

x 

2 

0 

2 

0 

2 

1 

2 

1 

1 

(2) 

2 

1 

2 

1 

2 

1 

2 x 

x 

x 

x 

x 

x 

l 

l

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٣٠ 


59 

نوچ 

17-4 هلداعم 

کی 

هلداعم 

n هجرد 

l بسحرب 

n ،تسا 

رادقم 

هژیو 

l 1 

ات 

l n 

دوجو 

دراد 

هک 

یخرب 

زا 

اهنآ 

نکمم 

تسا 

يرارکت 

.دنشاب 

رگا 

کی 

رادقم 

رابm هژیو 

هشیر 

17-4 

،دشاب 

نآ 

ار 

رادقم 

هژیو 

اب 

m یگناگدنچ 

.دنمانیم 

ره 

رادقم 

هژیو 

لقادح 

کی 

رادرب 

هژیو 

رظانتم 

،دراد 

رادقم 

هژیو 

اب 

m یگناگدنچ 

نکمم 

q تسا 

رادرب 

هژیو 

لقتسم 

یطخ 

هتشاد 

دشاب 

هک 

.1≤q ≤ m 

:لاثم 

ریداقم 

هژیو 

و 

رادرب 

هژیو 

سیرتام 

لباقم 

ار 

.دیبایب 

:لح 

اب 

ماجنا 

دنور 

ریز 

ود 

رادقم 

هژیو 

هب 

تسد 

یم 

:دنیآ 

ینعی 

رادقم 

2 هژیو 

2 یگناگدنچ ياراد 

.تسا 

0 

3 

1 

1 

1 

0 

3 

1 

1 

1 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 

l 

l 

l 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 

2 

0 

4 

4 

2 

1 

2 

l 

l 

l 

l 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

1 

1 

1 

A 


60 

لاح 

يارب 

نییعت 

ياهرادرب 

هژیو 

لکش هب 

ریز 

لمع 

:مینکیم 

هنوگنامه 

هک 

هظحلام 

،دوشیم 

رد 

نیا 

هلاسم 

اهنت 

کی 

رادرب 

هژیو 

رظانتم 

اب 

رادقم 

هژیو 

فعاضم 

دوجو 

.دراد 

:لاثم 

ریداقم 

هژیو 

و 

رادرب 

هژیو 

سیرتام 

لباقم 

ار 

.دیبایب 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

2 

3 

1 

1 

2 

1 

2 

2 

1 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

x 

x 

l 

0 

1 

1 

x 

0 

(1) 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 

c 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

A

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٣١ 


61 

:لح 

اب 

ماجنا 

دنور 

ریز 

ود 

رادقم 

هژیو 

هب 

تسد 

یم 

:دنیآ 

2 ،نیاربانب 

رادقم 

هداس هژیو 

-1 و 

رادقم 

هژیو 

یگناگدنچ اب 

2 

.تسا 

يارب 

نییعت 

رادرب 

هژیو 

رظانتم 

اب 

نآ 

رادقم 

هژیو 

لوا 

:میراد 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

(*) 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

3 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l 

l 

l 

l 

l 

l 

x 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

1 

2 

0 

2 

3 

2 

2 

1 

3 

l 

l 

l 

l 

l 

0 

2 

1 

1 

1 

2 

1 

1 

1 

2 

3 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

x 


62 

اب 

لیدبت 

نیا 

هاگتسد 

اب 

يرطس تایلمع 

هب 

هاگتسد 

لداعم 

،لباقم 

قباطم 

،ریز 

رادرب 

هژیو 

نییعت 

:دوشیم 

هلداعم 

(*) 

هب 

l1 يازا 

هب 

کت 

هلداعم 

لباقم 

رجنم 

دوشیم 

:(؟ارچ) 

سپ 

اب 

باختنا 

ود 

رادقم 

زا 

تایمک 

،x 1 

x 2 

و 

x 3 

هب 

هاوخلد 

و 

نییعت 

یموس 

زا 

هلداعم 

لااب 

ناوتیم 

رادرب 

هژیو 

رظانتم 

اب 

رادقم 

هژیو 

ار 

نییعت 

.درک 

اب 

ياهباختنا 

،توافتم 

قباطم 

يدنور 

هک 

رد 

همادا 

هدروآ 

هدش 

،تسا 

ناوتیم 

ود 

رادرب 

هژیو 

لقتسم 

يارب 

نیا 

رادقم 

هژیو 

فعاضم 

.تفای 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

2 

3 

2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

1 

1 

x (1) 

0 

3 

2 

1 

 

 

x 

x 

x 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

0 

1 

x 

1 

0 

1 (2) 

3 

2 

1 

x 

x 

x

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

پس در این مثال بر خلاف مثال قبل،‏ براي مقدار 

ویژه مضاعف دو بردار ویژه متناظر وجود دارد.‏ 

ماتریسهاي هرمیتی 

**************** 

ماتریسهاي خودالحاقی یا هرمیتی،‏ که در آنها =*A، A دسته مهمی از ماتریسها را تشکیل میدهند.‏ ماتریسهاي حقیقی 

متقارن،‏ یعنی ماتریسهایی که درایه هاي حقیقی دارند و براي 

آنها ،A T =A 

زیر دسته 

مقادیر ویژه و بردارهاي ویژه ماتریسهاي هرمیتی همواره داراي ویژگی هاي مفید زیر هستند:‏ 

1. تمام مقادیر ویژه حقیقی هستند.‏ 

0 

 

 

 

1 

 

 

 

1 

2. همیشه n بردارهاي ویژه مستقل خطی وجود دارند،‏ چه مقادیر ویژه مکرر باشند یا نباشند.‏ 

x 

 

x 

1 

2 

 

x 

1 

0 

(3) 

3 

1 

x 

اي از ماتریسهاي هرمیتی هستند.‏ 

3. اگر (1) x و (2) x بردارهاي ویژه متناظر با مقادیر ویژه متفاوت،‏ باشند آنگاه 0=( (2) x x). (1) , پس اگر تمام مقادیر ویژه 

63 

قطري کردن ماتریس 

.4 

64 

ساده باشند،‏ آنگاه بردارهاي ویژه یک مجموعه بردار متعامد را تشکیل میدهند.‏ 

متناظر با هر مقدار ویژه با 

چندگانگی m، میتوان m 

ویژه را به نحوي برگزید که علاوه بر استقلال خطی،‏ متعامد نیز باشند.‏ 

قطري کردن یک ماتریس:‏ 

بردار ویژه دو به دو متعامد یافت.‏ پس همیشه 

در برخی کاربردها،‏ تبدیل ماتریس به ماتریس قطري مفید است.‏ اگر بردارهاي ویژه 

کنار هم در یک ماتریس بچینیم و این ماتریس جدید 

ماتریس قطري خواهد بود که عناصر روي قطر آن،‏ مقادیر ویژه A هستند.‏ 

پس اگر مقادیر و بردارهاي ویژه 

تشابهی مینامند 

مستقل 

میتوان n 

A 

و A 

مشابه ماتریس 

را داشته باشیم،‏ با 

است.‏ قطري D 

بردار 

ماتریس A n*n را به صورت ستونی 

را T بنامیم،‏ ماتریس D که از رابطه زیر به دست می آید،‏ یک 

استفاده از 17-5 میتوان آن را قطري کرد.‏ این فرآیند را تبدیل 

اگر A 

خطی A 

n کمتر از 

نیست ‏(قطري شدنی نیست).‏ 

باشد 

هرمیتی باشد 

 

T 1 

AT D 

17 -5 

داریم:‏ *T T. 1- = اگر تعداد بردارهاي ویژه 

نمیتوان Tرا به نحوي یافت که ‎17-5‎برقرار شود و A با هیچ ماتریس قطري مشابه 

٣٢

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

دستگاههاي معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول 

مشابه یک دستگاه معادلات خطی،‏ دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی زیر را میتوان به شکل ماتریسی 17-5 نوشت:‏ 

ابتدا معادله همگن 17-7 را در نظر میگیریم:‏ 

پس از حل معادله همگن،‏ راههاي مختلفی براي حل معادله ناهمگن وجود دارد.‏ در ادامه چند قضیه مربوط به 

17-7، بدون بررسی اثبات آنها،‏ آورده شده است.‏ 

دستگاه 

x 

p 

1 

x 

n 

11 

p 

n1 

( t) 

x 

1 

( t) 

x 

1 

 

p 

 

1n 

 

p 

x 

P( t)x 

g( t) 

x 

P( t)x 

( t) 

x 

nn 

n 

( t) 

x 

n 

g ( t) 

1 

g ( t) 

n 

17 -6 

17 -7 

65 


(1) x و (2) x جوابهاي دستگاه 17-7 باشند،‏ هر ترکیب خطی c c+ به ازاي هر 

2 x (2) 

1 x (1) 

قضیه 17-1: اگر توابع برداري 

مقدار ثابت c 1 و c 2 نیز جواب است.‏ 

c +c x (k) x (1) 

k x (k) 

از این قضیه میتوان نتیجه گرفت که اگر ، ...، جوابهاي دستگاه 17-7 باشند،‏ آنگاه (t) 1 x (1) (t) + ... 

x11 

( t) 

X( t) 

 

 

 

 

 

xn 

1( 

t) 

W[x (1) , …, x (n) ] 

به ازاي ثابتهاي دلخواه c k ، ... ، c 1 نیز جواب است.‏ 

اگر n جواب دستگاه )17-7 (1) x ( x (n) ،... ، را به صورت ستونی 

نیز 

در ماتریس X(t) بچینیم ‏(عبارت مقابل)،‏ با توجه به توضیحات 

بخشهاي قبل میدانیم که ستونهاي X به ازاي یک مقدار خاص 

t مستقل خطی هستند اگر و تنها اگر به ازاي آن مقدار t داشته 

باشیم:‏ X≠0 .det 

این دترمینان را رونسکین جوابها مینامیم و آن را با 

جوابهاي (1) x، x (n) ...، در یک نقطه مستقل خطی هستند اگر و تنها اگر رونسکین جوابها در آنجا صفر نباشد.‏ 

نشان میدهیم.‏ پس 

 

 

x1 

n( 

t) 

 

 

 

 

x ( t) 

 

nn 

66 

٣٣

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


قضیه 17-2: اگر توابع برداري (1) x، x (n) ...، در تمام نقاط یک بازه جوابهاي مستقل خطی دستگاه 17-7 باشند،‏ آنگاه هر 

جواب (t) x=f دستگاه ‎17-7‎را میتوان،‏ تنها به یک صورت،‏ به صورت ترکیب خطی (1) x، x (n) ...، نوشت:‏ 

دقت کنید که طبق قضیه 17-1 تمام جوابهاي به 

17 -8 

شکل عبارت 17-8، 

17 تمام جوابهاي دستگاه 17-7 به شکل عبارت 17-8 هستند.‏ 

(1) 

( n) 

f( 

t) 

c1x 

( t) 

 

cnx 

( t) 

جواب دستگاه ‎17-7‎هستند،‏ ولی بنا به 

قضیه 2- 

اگر در 17-8 ثوابت را دلخواه در نظر بگیریم،‏ این عبارت جواب عمومی خوانده میشود.‏ هر مجموعه جواب (1) x، x (n) ...، 

که در تمام نقاط یک بازه مستقل خطی باشند،‏ یک مجموعه جوابهاي پایه در آن بازه خوانده میشوند.‏ 

قضیه 17-3: اگر (1) x، x (n) ...، جوابهاي دستگاه 17-7 در یک بازه باشند،‏ در این فاصله رونسکین جوابها یا متحد با صفر 

است یا در هیچ نقطه اي صفر نیست.‏ 

67 


اهمیت قضیه ‎17-3‎در این است که لازم نیست رونسکین جوابها را در تمام نقاط یک بازه بررسی کنیم و تنها با بررسی 

رونسکین دریک نقطه ازبازه میتوانیم تعیین کنیم که آیا (1) x، x (n) ...، یک مجموعه جوابهاي پایه را تشکیل میدهند یا نه.‏ 

بنا به قضیه زیر دستگاه 17-7 همیشه حداقل یک مجموعه جوابهاي پایه دارد.‏ 

قضیه 17-4: فرض کنید (1) e، e (n) ...، به صورت مقابل 

باشند وهمچنین فرض کنید (1) x، x (n) ...، جوابهایی از 

دستگاه 17-7 

در یک بازه هستند که شرایط اولیه زیر 

را برآورده میکنند،‏ که t 0 نقطه اي در بازه مذکور است.‏ 

در این صورت (1) x، x (n) ...، یک مجموعه جوابهاي پایه 

دستگاه 17-7 است.‏ 

به طورخلاصه میتوان گفت هرمجموعه از nجواب مستقل خطی 

0 

( n) 

دستگاه ‎17-7‎یک 

(1) 

( t 

0 

) e 

(1) 

, , 

x 

( n) 

( t 

) e 

مجموعه جوابهاي پایه تشکیل 

e 

x 

(1) 

1 

 

 

 

0 

 

0, 

e 

 

 

 

 

0 

 

(2) 

0 

 

 

1 

 

0, 

, e 

 

 

 

 

0 

 

( n ) 

0 

 

 

0 

 

 

 

 

0 

 

1 

 

 

میدهد.‏ 

68 

٣۴

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

دستگاههاي معادلات دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت 

یک دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت،‏ به شکل زیر بیان میشود که در آن A یک ماتریس n در n 

x 

A x 

rt 

x x e 

17 -9 

ثابت است:‏ 

براي حل این دستگاه جواب را به شکل زیر در نظر میگیریم که r و x در آن باید تعیین شوند:‏ 

17 -10 

rt 

rx e Ax 

e Ax 

rx 

(A-rI) 

x 0 

rt 

17 -11 

با قرار دادن 17-10 در 17-9 داریم:‏ 

پس براي حل دستگاههاي معادلات 

دیفرانسیل 17-9 باید دستگاههاي معادلات جبري 17-11 حل شود.‏ این مساله 

دقیقا همان مساله یافتن مقادیر و بردارهاي ویژه ماتریس A که قبلا مورد بررسی قرار گرفته است.‏ 

1 

x 

 

4 

1 

x 

1 

 

مثال:‏ جواب عمومی دستگاه مقابل را بیابید.‏ 

69 


حل:‏ براي یافتن جوابهاي صریح،‏ آنها را به 

میرسیم:‏ 

این معادله فقط وقتی جواب غیر صفر دارد که 

شکل زیر فرض کرده و در معادله قرار میدهیم و به دستگاه جبري بیان شده 

x ξ 

1 

r 

4 

1 

r 

1 

x 

 

0 

e rt 

 

4 

1 

rx 

2 0 

: 

1 

r 3 

2 

1 

0 (1 r) 

4 0 

1 

r 

r 

بردارهاي ویژه متناظر با هر یک از مقادیر 

ویژه و 

دترمینان ضرایب صفر باشد.‏ پ س 

در نتیجه جوابهاي معادله دیفرانسیل عبارتند از:‏ 

 

r1 

3 2x1 

x2 

0 x 

 

 

r 1 

2 0 

 

2 

x1 

x2 

x 

 

1 

(1) 

(2) 

1 

 

 

2 

1 

 

 

 

2 

2 

 

1 

 

x 

 

 

x 

 

 

(1) 

(2) 

1 

3t 

( t) 

e 

2 

1 

 

( t) 

e 

 

2 

t 

70 

٣۵

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 


حال با قرار دادن جوابهاي معادله به صورت ستونی در یک ماتریس رانسکین جوابها حاصل میشود:‏ 

W[x 

(1) 

, x 

(2) 

3t 

e 

]( t) 

 

2e 

3t 

e 

t 

2e 

t 

4e 

2t 

0 

چون رانسکین جوابها برابر صفر نشد،‏ جوابها مستقل خطی هستند و جواب عمومی را میتوان به صورت زیر نوشت:‏ 

1 

 

 

2 

(1) 

(2) 

3t 

x c1x 

( t) 

c2x 

( t) 

c1 

e c2 

1 

 

e 

 

2 

مطالعه سایر بخشهاي تکمیل کننده این بحث،‏ مانند مقادیر ویژه مکرر و مختلط و نیز بررسی دستگاههاي خطی ناهمگن 

t 

به عهده دانشجو گذاشته میشود.‏ 

71 


معادلات انتگرالی 

جلسه 18 



٣۶

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٣٧ 

یلارگتنا تلاداعم عاونا 

73 

لیدبت 

«نیلم» 

یکی 

رگید 

زا 

تلایدبت 

تسا 

هک 

هعلاطم 

نآ 

هب 

وجشناد 

راذگاو 

.ددرگیم 

***** 

یتلاداعم 

هک 

رد 

اهنآ 

عبات 

لوهجم 

ریز 

لارگتنا 

رارق 

هتشاد 

،دشاب 


یلارگتنا 

.دنیوگ 

نیا 


عاونا 

یفلتخم 

دراد 

هک 

رد 

ریز 

حرطم 

:دوشیم 

- 

دودح رگا 


تباث 

،دشاب 

هلداعم 

،رظندم 

هلداعم 

ملهدرف 

(Fredholm) 

هدیمان 

.دوشیم 

- 

رگا 

یکی 

دودح زا 


تباث 

،دشابن 

هلداعم 

،رظندم 

هلداعم 

ارتلو 

(Volterra) 

هدیمان 

.دوشیم 

- 

رگا 

عبات 

لوهجم 

طقف 

ریز 

،دوش رهاظ لارگتنا 

هلداعم 

،رظندم 

هلداعم 

عون 

لوا 

هدیمان 

.دوشیم 

- 

رگا 

عبات 

لوهجم 

طقف 

ریز 


جراخ و 

زا 

نآ 

،دوش رهاظ 

هلداعم 

،رظندم 

هلداعم 

عون 

مود 

هدیمان 

.دوشیم 

لاثم 

(9-1) 

کی 

هلداعم 

ملهدرف 

عون 

لوا 

.تسا 

(9-1) 

یلارگتنا تلاداعم عاونا 

74 

هلداعم 

(9-2) 

کی 

هلداعم 

ملهدرف 

عون 

مود 

.تسا 

هلداعم 

(9-3) 

کی 

هلداعم 

ارتلو 

عون 

لوا 

.تسا 

هلداعم 

(9-4) 

کی 

هلداعم 

ارتلو 

عون 

مود 

.تسا 

رد 

مامت 


لااب 

f 

عبات 

،لوهجم 

f 

کی 

عبات 

مولعم 

لنرکK و 

هلداعم 

.دنتسه 

رگا 

f 

رفص ربارب 

،دشاب 

هلداعم 

ار 

نگمه 

و 

رد 

ریغ 

تروصنیا 

هلداعم 

ار 

نگمهان 

.دنیوگ 

:لاثم 

هلداعم 

یلارگتنا 

ملهدرف 

عون 

مود 

نگمهان 

ریز 

لح ار 

.دینک 

(9-2) 

(9-3) 

(9-4) 

(9-5)

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

انواع معادلات انتگرالی 

75 

حل:‏ با در نظر گرفتن عبارت (9-6) به صورت یک ثابت و جاگذاري آن در (9-5) به (9-7) میرسیم.‏ 

حال (9-7) را در سمت راست (9-6) قرار میدهیم:‏ 

در نتیجه:‏ 

(9-6) 

(9-7) 

اگر l برابر 3/2 باشد،‏ به ازاي هیچ A رابطه (9-9) نمیتواند برقرار باشد.‏ در غیراینصورت:‏ 

(9-10) 

(9-8) 

(9-9) 

بنابراین به ازاي l 3/2 جوابی وجود ندارد و در غیر اینصورت جواب منحصر به فرد برابر است با:‏ 

(9-11) 

تبدیل معادله دیفرانسیل به معادله انتگرالی 

معادله خطی درجه دو (9-12) را با شرایط اولیه اش در نظر 

با انتگرالگیري داریم:‏ 

بگیرید:‏ 

(9-12) 

با انتگرالگیري جزء به جزء از انتگرال اول در بالا داریم:‏ 

ملاحظه میکنید که چگونه شرایط اولیه در معادله جدید اعمال شده است حال با یکبار دیگر انتگرالگیري داریم:‏ 

(9-13) 

76 

٣٨

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

٣٩ 

یلارگتنا هلداعم هب لیسنارفید هلداعم لیدبت 

77 

لاح 

يارب 

لیدبت 

(9-13) 

هب 

کی 

هطبار 

بترم 

رت 

زا 

هطبار 

(9-14) 


:مینکیم 

اب 

هب 

راک 

ندرب 

(9-14) 

رد 

(9-13) 

:میراد 

لاح 

K رگا 

و 

f 

ار 

لکش هب 

ریز 

فیرعت 

،مینک 

(9-15) 

هب 

(9-16) 

.دش دهاوخ لیدبت 

هطبار 

(9-16) 

کی 

هلداعم 

ارتلو 

عون 

مود 

.تسا 

(9-14) 

(9-15) 

(9-16) 

نیرگ عبات 

78 

عبات 

نیرگ 

کی 

عبات 

دنمدوس 

يارب 

نتفای 

باوج 



تسا 

هک 

رد 

اجنیا 

دصق 

میرادن 

دراو 

ثحب 

نآ 

میدرگ 

و 

طقف 

هب 

نایب 

کی 

فیرعت 

و 

کی 

هیضق 

رد 

نیا 

دروم 

افتکا 

.مییامنیم 

تاعلاطم 

رتشیب 

رد 

نیا 

هنیمز 

هب 

دهع 

دهاوخ نایوجشناد 

.دوب 

فیرعت 

:9-1 

هلداعم 


و 

طیارش 

يزرم 

نگمه 

ریز 

ار 

رد 

رظن 

دیریگب 

هک 

رد 

اهنآ 

ود 

بیرض 

دوجوم 

رد 

کیره 

زا 

طیارش 

يزرم 

رفص نامزمه 

.دنتسین 

یعبات 

نوچ 

g(x,s) 

هک 

طیارش 

ریز 

ار 

هتشاد 

،دشاب 

عبات 

نیرگ 

هلاسم 

يا 

تسا 

هک 

اب 

هلداعم 


ضورفم 

و 

طیارش 

شیزرم 

فیرعت 

.دوشیم 

.1 

g(x,s) 

رد 

نیا 

هلداعم 


هب 

a≤x

١۴٣۴/٠٧/٠٧ 

تابع گرین 

.3 

.4 

g(x,s) به ازاي a≤x b≥ تابع پیوسته اي از x باشد.‏ 

(x,s) gبه x ازاي a≤x

( )1 ïº£ïº´ïºØ¨ ïºï»ï¯¿ï¯¿ïº®Ø§Øª

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

( )1 ïº£ïº´ïºØ¨ ïºï»ï¯¿ï¯¿ïº®Ø§Øª