Capitolo 4 Laboratorio MATLAB sull - Esercizi e Dispense

Capitolo4
Laboratorio MATLAB sull’interpolazione
L’interpolazione viene implementata mediante il metodo dei coefficienti
indeterminati, i polinomi di Lagrange e le differenze divise di
Newton. I casi test permettono di capire meglio i diversi approcci.
Sommario
4.1 L’interpolazione in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Il metodo dei coefficienti indeterminati . . . . . . . . . . . . . 29
4.3 Interpolazione di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Formula di Newton con le differenze divise . . . . . . . . . . . 32
4.5 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.2 Esempio di Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.3 Effetti del malcondizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1 L’interpolazione in MATLAB
In MATLAB esiste la function polyfitche, dati i vettori contenenti le ascisse e
le ordinate da interpolare, di dimensione n + 1, e il grado m del polinomio(se m = n
si ha interpolazione, se m < n si ha approssimazione), dà in output il vettore contenente
i coefficienti del polinomio interpolante (o approssimante) in ordine decrescente
[a m a m−1 ... a 0 ] in modo che il polinomio è p(x) = a m x m + a m−1 x m−1 + ... a 0 .
L’algoritmo si basa sul processo di minimizzazione nel senso dei minimi quadrati.
Nell’applicazionedell’algoritmovienecreata,dunque,unamatricediVandermonde.
Questo può generare instabilità, come vedremo in alcuni esempi.
Si faccia >> help polyfitper approfondimenti su questa function.
Esempio:
28

4.2. Il metodo dei coefficienti indeterminati 29
>> x=[7 8 9 10];
>> y=[3 1 1 9];
>> p=polyfit(x,y,3)
p =
1.0000 -23.0000 174.0000 -431.0000
Significa che il polinomio di interpolazione è:
p(x) = x 3 − 23x 2 + 174x − 431
Una volta ricavati i coefficienti, si può fare un grafico del polinomio di interpolazione
utilizzandola function polyval.
>> xx=linspace(x(1), x(4));
>> yy=polyval(p,xx);
>> plot(x,y,’o’, xx,yy)
Con linspace viene creato un vettore di 100 punti equispaziati tra x(1) e x(4) -
chesonogliestremidell’intervalloincuisistainterpolando. Con polyvalsivaluta
il polinomio, i cui coefficienti sono dati dal vettore p, nei punti di xx.
4.2 Il metodo dei coefficienti indeterminati
Abbiamovisto che la manierapiù semplice (ma sconsigliata)per costruire il polinomio
di interpolazione è di applicare il metodo dei coefficienti indeterminati:
Con questo metodo si risolve il sistema la cui k-sima equazione è:
n∑
x k i a k = f(x i ),
k=0
e il cui determinate (di Vandermonde) è:
n∏
det(V ) = (x i − x j ), =
0≤jj

30 Capitolo 4. Laboratorio MATLAB sull’interpolazione
Osserviamochelaprimacolonnahatuttiglielementiugualia 1,lasecondacolonna
ha le ascisse dei nodi da interpolare, la terza colonna ha i quadrati delle ascisse, e
così via. Possiamo quindi pensare di scrivere questa matrice tenendo conto della
colonna immediatamente precedente.
Nel seguito riportiamo un semplice programmino MATLAB che trova i coefficienti
del polinomio di interpolazione applicando il metodo dei coefficienti indeterminati:
function p=interpmonom(x,y)
% function p=interpmonom(x,y)
% interpolazione monomiale
% dati i valori x e y da interpolare si costruisce il vettore p
% dei coefficienti del polinomio di interpolazione
% applicando il metodo dei coefficienti indeterminati
%
% se x e y non sono gia’ vettori colonna li rendiamo tali
% mediante le due istruzioni successive
x=x(:);
y=y(:);
if length(x)˜=length(y)
error(’MATLAB:interpmonom’,...
’i vettori x e y non hanno la stessa lunghezza’)
else
n=length(x)-1;
% V matrice di Vandermonde costruita in maniera ricorsiva
V(:,1)= ones(n+1, 1);
for i=2:n+1
V(:,i)= x.*V(:,i-1);
end
p=V\y;
% il vettore p contiene i coefficienti del polinomio interpolatore
% in ordine crescente - p0 p1 p2...
% se vogliamo usare la function del MATLAB polyval per valutare
% tale polinomio in piu’ punti, dobbiamo scriverli in ordine decrescente
for i=1:n+1
aux(i)=p(n+2-i);
end
p=aux;
end
✎ Osserviamo che abbiamousato l’istruzione error per mostrare un messaggio
di errore e far interrompere l’esecuzione della function,nel caso in cui i dati
diinput xeynonabbianolastessalunghezza. Lastringa ’MATLAB:interpmonom’
è una stringa di identificazione dell’errore (puù essere anche omessa), men-

4.3. Interpolazione di Lagrange 31
tre la stringa ’i vettori x e y non hanno la stessa lunghezza’ è
quella che viene visualizzatadurante l’esecuzione del codice.
I tre puntini ... servono per andare a capo e continuare a scrivere un’istruzione
troppo lunga.
✎ La matrice V è stata costruita in maniera ricorsiva.
✎ Unavoltacalcolato ppossiamovalutareilpolinomiodiinterpolazionemediante
la polyval.
4.3 Interpolazione di Lagrange
Lo stesso polinomio di interpolazione può essere scritto mediante la formula di
Lagrange:
n∑
p(x) = L (n)
i
(x)y i
i=0
dove l’i-simo polinomio di Lagrange è dato da:
L (n)
i
(x) = (x − x 0)(x − x 1 )... (x − x i−1 )(x − x i+1 )... (x − x n )
(x i − x 0 )(x i − x 1 )... (x i − x i−1 )(x i − x i+1 )... (x i − x n )
Scriviamo ora due functions, una che valuta l’i-simo polinomio di Lagrange
e l’altra che valuta il polinomio di Lagrange in un assegnato punto (o nelle
componenti di un vettore) x.
function yval=lagrange(xval, x,i)
% function yval=lagrange(xval, x,i)
% function che calcola il polinomio i-simo di Lagrange
% valutandolo in xval
% xval puo’ essere uno scalare o un vettore
% x - vettore delle ascisse da interpolare
xval=xval(:);
n=length(x);
yval =ones(length(xval),1);
for j=1:n
if j˜=i
yval=yval.*(xval-x(j))/(x(i) -x(j) );
end
end
Osserviamocheinquestafunction xvalpuòesseresiaunoscalarecheunintero
vettore, per cui anche yvalècostruito inmodoche nonci sianoproblemi perchè sia
un vettore (si noti che è definito vettorialmente e che vi è .* nella produttoria, in
modo da fare quel prodotto componente per componente dei vettori coinvolti).

32 Capitolo 4. Laboratorio MATLAB sull’interpolazione
Scriviamo poi la function interplagrange.mche calcola il polinomio di Lagrange
in un punto (o vettore) xval assegnato:
function yval=interplagrange(xval, x,y)
% function yval=interplagrange(xval, x,y)
% dati i vettori x e y da interpolare
% la function implementa l’interpolazione di Lagrange valutandola
% in xval
% xval puo’ essere uno scalare o un vettore
% viene chiamata la function lagrange(xval, x,i)
if length(x)˜=length(y)
error(’MATLAB:interplagrange’, ...
’i vettori x e y non hanno la stessa lunghezza’)
else
xval=xval(:);
yval=zeros(length(xval),1);
n=length(x)-1;
% n grado del polinomio
for i=1:n+1
yval = yval + lagrange(xval,x,i)*y(i) ;
end
end
Eseguiamo l’esempio di prima per vedere cosa si ottiene:
>> yy=interplagrange(xx,x,y);
>> plot(x,y,’o’, xx,yy)
4.4 Formula di Newton con le differenze divise
Lo stesso approccio può essere utilizzato per scrivere delle function che calcolano
il valore del polinomio di interpolazione mediate le differenze divise di Newton.
In [4] vi è descritta una functionche implementa l’algoritmo delle differenze
divise.
Nel seguito scriviamo due functions, la prima che scrive la tabella delle differenze
divise esattamente come sono state studiate a lezione, la seconda che valuta
il polinomio di interpolazione implementando l’algoritmo di Horner in modo da
minimizzareil numero delle operazioni da eseguire.
function table=divdif(x,y)
% function table=divdif(x,y)
% x - ascisse dei dati da interpolare
% y - ordinate dei dati da interpolare
% table - tabella delle differenze divise

4.4. Formula di Newton con le differenze divise 33
x=x(:);
y=y(:);
n=length(x);
m=length(x);
if n˜=m
error(’MATLAB:differenze_divise’,’errore sui dati’)
else
table=zeros(n,n);
table(:,1)=y;
for j=2:n
for k=2:j
table(j,k)= ( table(j,k-1) - table(j-1,k-1) )/ (x(j) - x(j-k+1) );
end
end
end
La diagonale principale della matrice table ha i coefficienti a 0 , a 1 , ...a n del
polinomio di interpolazione. Il polinomio è dunque:
p(x) = a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) + ... + a n (x − x 0 )(x − x 1 ) · · · (x − x n−1 )
Per valutarloin un punto x eseguiamoiseguenti passaggi, applicando, in tal modo,
l’algoritmo di Horner:
p = a n
p = p(x − x n−1 ) + a n−1
= a n (x − x n−1 ) + a n−1
p = p(x − x n−2 ) + a n−2
.
= a n (x − x n−1 )(x − x n−2 ) + a n−1 (x − x n−2 ) + a n−2
p = p(x − x 0 ) + a 0
= a n (x − x n−1 )(x − x n−2 )... (x − x 1 )(x − x 0 ) + ... + a 1 (x − x 1 )(x − x 0 ) + a 0
= a 0 + a 1 (x − x 0 )(x − x 1 ) + ... + a n (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x n−2 )(x − x n−1 )
La functionda scrivere è dunque:
function yval=interpdivdif(xval,x,table)
% function yval=interpdivdif(xval,x,table)
% x - ascisse dei dati da interpolare
% table - tabella delle differenze divise, ottenuta dalla function divdif
% xval - array di valori in cui calcolare il polinomio interpolatore
% puo’ essere un singolo punto o un insieme di punti
% yval - valore (o valori) del polinomio interpolatore valutato in xval

34 Capitolo 4. Laboratorio MATLAB sull’interpolazione
% nel calcolo del polinomio interpolatore,
% si applica l’algoritmo di Horner
xval=xval(:);
x=x(:);
n=length(x)-1;
yval=table(n+1,n+1)*ones(length(xval),1);
for j=n:-1:1
yval=yval.*(xval-x(j)) + table(j,j);
end
4.5 Applicazioni
Per ciascuno dei casi test proposti nel seguito, si calcoli il polinomio di interpolazione
usando la polyfit del MATLAB e le functionsda noi scritte interpmonom,
lagrange, interplagrange, divdif, interpdivdif.
Si faccia il grafico dei polinomi di interpolazione.
4.5.1 Esempio
Data la tabella
x i -1 0 1 2
y i 1 1 2 0
determinare il polinomio di interpolazione di grado 3 e mostrare (mediante grafico)
che le functionesaminate prima danno i medesimi risultati.
4.5.2 Esempio di Runge
Si consideri la funzione di Runge
f(x) =
1
1 + 25x 2 x ∈ [−1,1]
Si scelgano n + 1 punti equidistanti nell’intervallo [−1,1] ponendo h = 2/n e
x i = −1 + ih, con i = 0,1,... ,n. Si calcolino i corrispondenti valori y i = f(x i ).
Con le varie tecniche esaminate prima si costruisca il polinomio di interpolazione
di grado n, prima con n = 5 e poi con n = 10 e si faccia un grafico in cui si
confrontino i profili dei polinomi ottenuti con le varie tecniche e il profilo della f.
4.5.3 Effetti del malcondizionamento
Si voglia studiare l’interpolazione dei seguenti dati 1 :
1 L’esempio è tratto da [1, 2]

4.5. Applicazioni 35
x i 1200.5 1201.5 1202.5 1203 1204 1205
y i 3 1.5 1.5 1 1 0
Confrontando i vari algoritmi di interpolazione, osserveremo che gli algoritmi
di Lagrange e delle differenze divise di Newton danno buoni risultati. Al contrario,
la polyfite il metodo dei coefficienti indeterminati dannorisultati disastrosi.
Osserviamo che, dal punto di vista teorico i risultati dovrebbero essere identici.
3.5
3
dati
polyfit
coefficienti indeterminati
lagrange
differenze divise
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
1200.5 1201 1201.5 1202 1202.5 1203 1203.5 1204 1204.5 1205
Perchè si hannoquesti risultati? Bisogna tener conto di tre aspetti:
✎ Il calcolo della matrice del sistema V;
✎ la soluzione del sistema lineare V p = y;
✎ il calcolo dei valori del polinomio.
La matrice di Vandermonde consiste di colonne che crescono di colonna in colonna
- 1, x i , x 2 i , x3 i , ..., x5 i . Per questo caso test, si va da 1 a elementi dell’ordine di
10 15 . La matrice è molto mal condizionata. Stesso discorso vale quando si applica
la polyfit.
A questo punto, la soluzione del sistema lineare - sia quello che si ha nella
interpmonom,siaquellochevienerisoltonella polyfit-nonpuòdarerisultatiaffidabili.
E difatti MATLAB fornisce un messaggio di warning durante l’esecuzione
di entrambe le function.
Quindi il il vettore che fornisce i coefficienti del polinomio interpolatore è completamente
errato - siache venga calcolatomedianteicoefficienti indeterminatisia
attraversola polyfit-elesuecomponentihannoun’enormedifferenza,intermini
di ampiezza:
>> c=interpmonom(x,y)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.017504e-31.
(Type "warning off MATLAB:nearlySingularMatrix" to suppress this warning.

36 Capitolo 4. Laboratorio MATLAB sull’interpolazione
)
> In /u1/dmsa/matlab/mazzia/programmivari/interpmonom.m at line 14
c =
-1.2871e-01 7.7407e+02 -1.8621e+06 2.2396e+09 -1.3469e+12 3.240
0e+14
>> p=polyfit(x,y,5)
Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data points
or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.
(Type "warning off MATLAB:polyfit:RepeatedPointsOrRescale" to suppress
this warning.)
> In /usr/local/matlab13/toolbox/matlab/polyfun/polyfit.m at line 75
p =
-5.9038e-02 3.5507e+02 -8.5421e+05 1.0275e+09 -6.1796e+11 1.4866e+14
A questo corrisponde, nell’algoritmo per la valutazione del polinomio stesso, il
fenomeno della cancellazione numerica per cui si ha una significativa perdita di
accuratezza e il grafico risultante presenta quel profilo altamente oscillante che si
è potuto osservare.
Si provi infatti a valutare il valore in 1200.5 e in 1204 del polinomio ottenuto
con il metodo dei coefficienti indeterminati e del polinomio ottenuto tramite la
polyfit.