Quesiti di esonero dalla prova scritta finale di Fisica 2
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<strong>Quesiti</strong> <strong>di</strong> <strong>esonero</strong> <strong>dalla</strong> <strong>prova</strong> <strong>scritta</strong> <strong>finale</strong> <strong>di</strong> <strong>Fisica</strong> 2<br />
Prof. R. Santonico – 12 novembre 2012<br />
Quesito 1<br />
Un condensatore piano <strong>di</strong> superficie S è isolato e carico con carica Q. Al suo interno si trova un <strong>di</strong>polo<br />
elettrico p (carica q), fermo e <strong>di</strong> momento d’inerzia I=mp 2 /2q 2 .<br />
1. Determinare le posizioni (orientazioni) <strong>di</strong> equilibrio del <strong>di</strong>polo, specificando <strong>di</strong> volta in volte se si<br />
tratti <strong>di</strong> equilibrio stabile o instabile.<br />
2. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni del <strong>di</strong>polo attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio<br />
stabile.<br />
Quesito 2<br />
Due lastre metalliche piane <strong>di</strong> superficie pari a = 0.8 m 2 sono affacciate alla <strong>di</strong>stanza h = 4 mm e formano<br />
quin<strong>di</strong> un condensatore piano. Le due armature sono connesse ad un generatore <strong>di</strong> tensione con <strong>di</strong>fferenza<br />
<strong>di</strong> potenziale V. L’armatura inferiore è fissa, quella superiore è mantenuta in equilibrio meccanico <strong>dalla</strong><br />
massa M = 0.8 Kg come in figura.<br />
1. Calcolare, trascurando gli effetti<br />
<strong>di</strong> bordo, la capacità del<br />
condensatore.<br />
2. Considerando trascurabili le<br />
masse delle lastre, della fune e<br />
della carrucola calcolare la<br />
tensione V alla quale il sistema è<br />
in equilibrio.<br />
Successivamente (tenendo connesso il generatore) viene bloccata la carrucola e si inserisce parallelamente<br />
alle armature una lastra conduttrice a facce piane e parallele ciascuna <strong>di</strong> area e <strong>di</strong> spessore d = 2 mm.<br />
3. Calcolare la nuova capacità, la variazione <strong>di</strong> energia elettrostatica del sistema e il lavoro compiuto<br />
dal generatore per compiere questo processo.<br />
2<br />
12<br />
C<br />
Si ricorda che 0 8.8542 10 .<br />
2<br />
Nm<br />
Quesito 3<br />
Si considerino due superfici conduttrici cilindriche, coassiali, <strong>di</strong> raggi r ed R (r>R), sulle quali<br />
siano <strong>di</strong>stribuite rispettivamente le cariche +q e –q. Il volume compreso tra le due sia riempito <strong>di</strong> un<br />
materiale <strong>di</strong>elettrico omogeneo, isotropo e lineare, <strong>di</strong> costante <strong>di</strong>elettrica relativa . Si determinino:<br />
1. Il vettore <strong>di</strong> induzione elettrica in funzione della <strong>di</strong>stanza dall’asse geometrico del sistema.<br />
2. Il potenziale elettrico in funzione della <strong>di</strong>stanza dall’asse geometrico del sistema.<br />
3. La densità superficiale <strong>di</strong> carica <strong>di</strong> polarizzazione sulle pareti del <strong>di</strong>elettrico.<br />
4. La densità <strong>di</strong> carica all’interno del <strong>di</strong>elettrico.<br />
Si trascurino gli effetti <strong>di</strong> bordo.
Soluzioni<br />
Quesito 1<br />
Il campo elettrico all’interno del condensatore è<br />
condensatore. L’energia elettrostatica del <strong>di</strong>polo è quin<strong>di</strong><br />
tra il <strong>di</strong>polo e il campo.<br />
, <strong>di</strong>retto ortogonalmente alle armature del<br />
, dove θ in<strong>di</strong>ca l’angolo<br />
Ci sono quin<strong>di</strong> due posizioni <strong>di</strong> equilibrio, tali che , ovvero e . Dallo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> si<br />
vede che la prima è <strong>di</strong> equilibrio stabile, mentre la seconda è <strong>di</strong> equilibrio instabile.<br />
L’energia attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio si può esprimere anche come<br />
, quin<strong>di</strong> per piccole oscillazioni il momento della forze elettrostatica si può scrivere<br />
. Dall’equazione fondamentale della <strong>di</strong>namica rotazionale , si ricava<br />
<strong>di</strong>rettamente il periodo delle piccole oscillazioni .<br />
Quesito 2<br />
Il condensatore ha capacità:<br />
<br />
h<br />
0<br />
C 0<br />
1.77nF<br />
La tensione deve bilanciare la forza <strong>di</strong> attrazione elettrostatica che si calcola nota la pressione<br />
elettrostatica:<br />
1 2<br />
P<br />
<br />
0E<br />
2<br />
2<br />
1 2 1 V<br />
F 0E 0 Mg 7.84N<br />
2<br />
2 2 h<br />
V <br />
2Mgh<br />
<br />
0<br />
2<br />
5951V<br />
Quando la lastra è completamente inserita c’è induzione completa tra i conduttori. Una volta inserita la<br />
lastra conduttrice il sistema è equiparabile a due condensatori in serie per cui la capacità è data da:<br />
1 1 1<br />
d d h<br />
d<br />
<br />
1 2<br />
<br />
C C1 C2 0 0 0<br />
0<br />
C 3.54nF<br />
h d<br />
<br />
L’inserzione della lastra avviene a potenziale costante quin<strong>di</strong> il campo elettrico deve aumentare per<br />
compensare il fatto <strong>di</strong> essere nullo dentro la lastra.
E<br />
'<br />
<br />
<br />
V<br />
h<br />
d<br />
<br />
2<br />
' 1 '2 1 V<br />
W 0h d E 0 0.063J<br />
2 2 h<br />
d<br />
1 2 1 V<br />
W0 0hE<br />
0 0.031J<br />
2 2 h<br />
0.032J<br />
'<br />
W W W0<br />
<br />
<br />
In corrispondenza deve essere aumentata la carica sulle armature del condensatore <strong>di</strong> una quantità<br />
'<br />
q q q 0<br />
.<br />
Risulta che:<br />
0 0 0 <br />
L qV q q V C C V 2 W W 2 W 0.064J<br />
' 2 ' '<br />
gen<br />
<br />
Quesito 3<br />
Considerazioni <strong>di</strong> simmetria permettono <strong>di</strong> stabilire che l’induzione <strong>di</strong>elettrica abbia <strong>di</strong>rezione ortogonale<br />
all’asse geometrico del sistema e sia funzione della sola <strong>di</strong>stanza da tale asse. Applicando il teorema <strong>di</strong><br />
Gauss a una superficie cilindrica centrata sull’asse, <strong>di</strong> raggio variabile d e altezza l (l