La formula di sdoppiamento - Francescopoli.net

Dilatazioni
Formule generiche
Formula diretta (per i punti)
x
mx
y ny
Formula inversa (per le curve)
x x
/ m
y
y/
n
Per ricavare l’equazione di una traslazione bisogna individuare un punto, prima e dopo, inserire le
coordinate nella formula diretta, quindi risolvere rispetto a m,
n . In figura il caso m 1 , n 1.
y
ny
y
P
P
x x mx
Dilatazione circonferenza -ellisse
2 2
2 2
x y
Troviamo l’equazione della dilatazione che manda la circonferenza x y 1 nell’ellisse 1 .
2 2
a b
Individuiamo sulla circonferenza l’intersezione con l’asse delle ascisse A (1; 0) e quella con l’asse delle
ordinate B(0;1)
che vengono mandate rispettivamente nei vertice dell’ellisse A ( a; 0) e B
(0; b)
A(1; 0) A( a; 0) x mx a m 1 m = a
B(0;1) B(0; b) y
ny b n 1
n = b
Diretta
x
ax
y by
Inversa
x x
/ a
y
y/
b
B (0; b)
B(0;1)
A (1;0) A(
a; 0)

Tangente alla circonferenza di centro l’origine e raggio unitario
Per scrivere la tangente alla circonferenza
x
2 2
y 1 nel suo punto P ( x , y ) calcoliamo
0 0 0
il coefficiente angolare m della retta che
r
contiene il raggio, e da questo il coefficiente
angolare della tangente
m :
t
1
y0
m r
P ( x ; y )
0 0 0
m
r
y
1 x
x m y
0 0
mt
0 r 0
1
x0
Sostituiamo il valore trovato nell’equazione del
fascio di rette y y m( x x ) di centro
0 0
P ( x , y ) :
0 0 0
x
y y ( x x ) xx yy x y xx yy 1
0
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
y0
2 2
Avendo sfruttato che per ogni punto sulla circonferenza di raggio unitario si ha x y . Dilatando la
0 0
1
retta ottenuta si ottiene la tangente all’ellisse. Usando la relazione formula inversa per le curve si ha:
x
x
a
y
y 1
0 0
b
Vogliamo però esprimere la retta tangente in funzione delle coordinate del punto P( x , y ) appartenente
0 0 0
all’ellisse, immagine di P ( x , y ) . Usando la formula diretta per i punti si ha x ax e y by :
0 0 0
0 0 0 0
x x
a a
y
y
b b
0 0
1
Facendo cadere gli apici che ora non occorrono più si arriva alla cosiddetta formula di sdoppiamento, che
permette di scrivere l’equazione della tangente ad un ellisse in un suo punto ( x , y )
0 0
xx
a
yy
1
b
0 0
2 2