LABORATORIO DI ANALISI 2 - Esercizi e Dispense

Corso di
Laurea in
Ingegneria
Edile-
Architettura
LABORATORIO DI ANALISI 2
http://dispense.dmsa.unipd.it
VOL.I. . . N o 8 MERCOLEDÌ 15 DICEMBRE 2010 e: ∅
INTEGRALI DOPPI SU DOMINI
RETTANGOLARI
Esercizio 1 — Calcolare ciascuno dei seguenti
integrali sul dominio indicato
• ∫∫ D x2 y 2 + cos (πx) + sin (πy)dA, D =
[−2, −1] × [0, 1]
Sol.: 7/9 + 2/π
• ∫∫ D
1
dA, D = [0, 1] × [1, 2]
(2x + 3y) 2
Sol.: − 1 (ln 8 − ln 2 − ln 5)
6
• ∫∫ D xexy dA, D = [−1, 2] × [0, 1]
Sol.: e 2 − e −1 − 3. Attenzione perchè delle
due possibili strade da percorrere, una
porta ad un integrale difficile da risolvere!
• ∫∫ D x cos2 (y)dA,
Sol.: 5π/8
D = [−2, 3] × [0, π/2]
Esercizio 4 — Calcolare ciascuno dei seguenti
integrali sul dominio indicato. Del
dominio di integrazione si faccia il grafico.
• ∫∫ D x3 e y3 dA con
D = { (x, y) t.c. 0 ≤ x ≤ √ y, 0 ≤ y ≤ 9 }
1
Sol.:
12 (e729 − 1)
• ∫∫ D
√
x 4 + 1dA con
D = { (x, y) t.c. 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x 3}
Sol.: 1 6 (173/2 − 1)
• ∫∫ D
16xy + 200dA, con
D = { (x, y) t.c. |x| ≤ 2, x 2 ≤ y ≤ 8 − x 2}
Sol.: 12800/3
• ∫∫ D
10 − 4x − 2ydA, con
D triangolo di vertici A(0, 0), B(1, 3), C(0, 5)
Sol.: 25/3
Esercizio 2 — Provare che il volume sotto la
superficie f(x, y) = y/x per e ≤ x ≤ e 3 e
1 ≤ y ≤ 2 vale V = 3.
Esercizio 3 — Provare che il volume sotto la
y
superficie f(x, y) =
1 + x per 0 ≤ x ≤ 1 e
2
0 ≤ y ≤ 1 vale V = π/8.
INTEGRALI DOPPI SU DOMINI
NORMALI
Esercizio 5 — Dopo aver disegnato il dominio
di integrazione, provare che I =
∫∫ dxdy
√ = 2 nella regione data da D =
D x + 2y 3
{(x, y) t.c. x − 2y ≤ 1, x ≥ y 2 + 1}.
Esercizio 6 — Disegnare il dominio di integrazione
per I = ∫ 4
dy ∫ x= √ y
0 x=y/2 ey/x dx e cambiare
l’ordine di integrazione (integrando
prima in y e poi in x, quindi cambiando
in modo opportuno gli estremi di integrazione)
per trovare che vale I = e 2 −
1.

VOL.I. . . No.8 Laboratorio MERCOLEDÌ 15 DICEMBRE 2010 2
INTEGRALI DOPPI CON
CAMBIAMENTO DI VARIABILI
Esercizio 7 — Calcolare ciascuno dei seguenti
integrali sul dominio indicato passando
a coordinate polari. Del dominio di
integrazione si faccia il grafico.
• ∫∫ 2xydA dove D è la regione compresa
tra il cerchio di raggio 2 e il cer-
D
chio di raggio 5 centrati nell’origine,
che giace nel primo quadrante.
Sol.: 609/4
• ∫∫ D ex2 +y 2 dA dove D è il cerchio unitario
centrato nell’origine.
Sol.: π(e − 1)
• ∫ 1 ∫ √ 1−y 2
0 0 cos (x 2 + y 2 )dxdy
Sol.: π sin (1)
4
Esercizio 8 — Calcolare lo Jacobiano dei
seguenti cambi di coordinate:
•x = 2u + 4v, y = 3u + 5v
Sol.: |J| = 2 (si deve prendere il valore
assoluto del determinante della matrice
jacobiana)
•x = αβ, y = α 2 + β 2
Sol.: |J| = 2|β 2 − α 2 |