ANALISI MATEMATICA - Metodi e Modelli matematici per le scienze ...

ANALISI MATEMATICA
Corso di Laurea di Ingegneria dell’Informazione
a.a. 04-05 (783°)
(proff. Oscar Stefani e Alessandra Zanardo)
Programma del corso
TOPOLOGIA
-Richiami: distanza in R 1 , R 2 , R 3 , R n ; intorni di un punto, punti interni, insiemi aperti.
Punti di accumulazione, punti isolati, punti frontiera. Insiemi chiusi e loro proprietà,
relazione tra chiusi e aperti. Frontiera di un insieme, interno, chiusura, derivato,
esterno di un insieme: proprietà. Insiemi limitati, insieme compatti. Domini. Distanza
di due insiemi. Diametro di un insieme.
-Successioni, sottosuccessioni, teorema di Bolzano-Weierstrass.
-Spazi metrici, completezza; funzioni continue fra spazi metrici; sottospazi chiusi e
sottospazi completi.
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI, SERIE DI POTENZE
- Spazi vettoriali normati, spazi di Banach,
(B(X,R), || || ), (C b ((X, R), || || ), ( C(K,R), || || ), (C([a,b]), || || 1 ).
-Completezza di (B(X,R), || || ) e di (C b ((X, R), || || ), incompletezza di
(C([a,b]), || || 1 ) (s.d.).
-Successioni di funzioni, convergenza puntuale, uniforme, in media; loro relazioni.
-Passaggio al limite sotto il segno di integrale e sotto il segno di derivata.
-Densità dei polinomi in (C([a,b]), || || ) (s.d) .
-Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme, convergenza totale, teoremi di
integrazione e di derivazione per serie.
-Funzioni complesse, limiti, continuità, funzioni olomorfe (cenni).
-Successioni e serie di funzioni complesse.
-Serie di potenze, raggio di convergenza, il calcolo del raggio di convergenza, tipi di
convergenza della serie nel cerchio di convergenza.
-La somma di una serie di potenze, il principio di identità, serie di potenze in campo
reale, unicità del prolungamento, teorema di Abel.
-Serie di Taylor e di Mac Laurin, criteri di sviluppabilità, sviluppi notevoli.
-Le funzioni esponenziali, trigonometriche e iperboliche in campo complesso, le
formule di Eulero, il logaritmo, le potenze.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIU' VARIABILI
-Continuità: teorema degli zeri su connessi (per archi), connessi in connessi; teorema di
Weierstrass, compatti in compatti .
-Differenziabilità; funzioni di classe C p .
-Relazioni fra: continuità, derivabilità parziale, differenziabilità.
-Derivata secondo una direzione; proprietà del gradiente.
-Piano tangente ad una superficie cartesiana.
-Derivata della funzione composta (s.d).
-La formula di Taylor; il teorema di Lagrange.
-Forme quadratiche definite positive (negative): condizioni necessarie e sufficienti.
-Massimi e minimi relativi interni: condizioni necessarie e condizioni sufficienti.
-Funzioni implicite; il teorema di U. Dini (c.d.), derivabilità.
-Funzioni implicite a più variabili; sistemi di equazioni (enunciati).
-Curve di livello, estremi condizionati, metodo dei moltiplicatori di Lagrange

FUNZIONI A VALORI VETTORIALI
-Orientamento del piano e dello spazio.
-Funzioni vettoriali e loro proprietà; cond. nec. e suff. per l'esistenza del limite.
-Il differenziale, la matrice jacobiana (s.d).
-Le curve: rappresentazioni equivalenti, regolarità, curve orientate, curve rettificabili,
rettificabilità e lunghezza di una curva regolare, ascissa curvilinea, curvatura, triedro
fondamentale
-Trasformazioni piane: globale invertibilità, locale invertibilità,
regolarità, jacobiano non nullo, teorema dell'invertibilità locale(s.d) , coordinate
curvilinee, significati geometrici dello jacobiano , coordinate polari.
-Superficie, coordinate curvilinee su una superficie, piano tangente,
2 2 2 1/2
significato geometrico di M=( J 1 + J2 + J3 ) , regolarità, superficie orientate.
-Trasformazioni tra spazi (cenni).
CALCOLO INTEGRALE
-Misura di Peano-Jordan in R n e sue proprietà (s.d).
-Misurabilità del trapezoide e del cilindroide(s.d).
-Integrali doppi, loro proprieta' (s.d.).
-Integrali dipendenti da parametro, proprietà, interpretazione geometrica (s.d).
-Domini normali rispetto ad x, rispetto ad y, teoremi di riduzione(s.d).
-Cambiamento di variabili negli integrali doppi; casi particolari (s.d).
-Integrali tripli (multipli); diversi tipi di riduzione, cambiamento di variabili, casi
particolari.
-Funzioni sommabili,loro proprietà, criteri di sommabilità.
-Integrale di Gauss.
-Area di una superficie.
-Integrali curvilinei, interpretazione geometrica, integrali superficiali.
-Baricentri di curve, superficie e solidi. Volumi e superficie di rotazione: i teoremi di
Guldino (c.d.) .
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
-Lemma delle contrazioni (Banach-Caccioppoli).
-Equazioni differenziali ordinarie di ordine n; equazioni in forma normale; sistemi di
equazioni differenziali.
-Il problema di Cauchy in piccolo e in grande; teoremi di esistenza e unicità in grande
(c.d) e in piccolo (s.d.).
-Equazioni lineari del primo ordine (s.d); equazioni a variabili separabili (s.d).
-Equazioni lineari di ordine n; integrale generale dell'omogenea associata; integrale
generale della non omogenea.
-Equazioni lineari a coefficienti costanti; metodo dei coefficienti indeterminati..
FORME DIFFERENZIALI E LORO INTEGRALI
-Forme differenziali lineari, loro integrali.
-Forme differenziali lineari esatte, condizioni equivalenti (teorema fondamentale) (c.d.);
primitive di una forma differenziale esatta e loro proprietà.
-Forme differenziali lineari chiuse. Insiemi semplicemente connessi, relazioni tra forme
chiuse e forme esatte. Chiusa in un semplicemente connesso implica esatta (dim. solo
nel caso di un intervallo).
-Equazioni differenziali esatte.

-Forme differenziali lineari a tre variabili; applicazioni fisiche: campi newtoniani,
campo elettromagnetico.
-Le k-forme; loro prodotto esterno.
-Il differenziale delle k-forme; k-forme esatte e k-forme chiuse.
-Integrazione delle k-forme.
-Il teorema di Stokes (s.d.) e sue applicazioni, in particolare: i teoremi della rotazione,
di Green, della divergenza.
-Un metodo per il calcolo dell'area di insiemi piani.
-2-forme esatte condizioni equivalenti (s.d).
-2-forme chiuse su un semplicemente connesso nella seconda dimensione.
-Forme chiuse e forme esatte: interpretazioni fisiche.
Legenda: c.d = con dimostrazione, anche se sul Chiffi è fra asterischi; s.d. = senza
dimostrazione.
Testi di riferimento:
-A. Chiffi, Analisi matematica, vol. II, Alceo, Padova 1998.
-Dispense e appunti distribuiti dal Dipartimento di Metodi e Modelli Matematici:
a) Lo spazio R n : Complementi di topologia ed esercizi di Topologia (a cura di O.
Stefani e A. Zanardo)
b) Spazi Metrici (a cura di O.Stefani)
c) Massimi e minimi vincolati (a cura di O.Stefani)
d) Teorema di Bolzano-Weierstrass (a cura di O.Stefani)
Testi di esercizi consigliati:
O. Stefani, Analisi Matematica 2, Temi d'esame, L.I. Cortina, Padova 2004.
O. Stefani, G. Zilli, Esercizi di Analisi matematica II, Imprimitur, Padova 1985.
Autori vari, Esercizi di Analisi matematica II, Cleup 1976