x - Pioneer.chula.ac.th

2301113 บทที่ 7 118
บทที่ 7
ทฤษฎีบทคามัชฌิมและทฤษฎีบทตางๆ ที่เกี่ยวของ
7.1 ทฤษฎีบทคามัชฌิม
บทนิยาม 7.1
เรากลาววาฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธ (relative maximum) ที่จุด c ถามีชวงเปด I
ชวงหนึ่งซึ่ง fx () ≤ fc () ทุกๆ x ในสวนรวมของ I กับโดเมนของ f และเรียกจุด ( cfc , ())
วาจุดสูงสุดสัมพัทธ
เรากลาววาฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธ (relative minimum) ที่จุด c ถามีชวงเปด
I ชวงหนึ่งซึ่ง fx () ≥ fc () ทุกๆ x ในสวนรวมของ I กับโดเมนของ f และเรียกจุด
(, cfc ()) วาจุดต่ําสุดสัมพัทธ
จุดสูงสุดสัมพัทธ
a
จุดต่ําสุดสัมพัทธ
รูปแสดงจุดสูงสุดสัมพัทธและจุดต่ําสุดสัมพัทธบนชวง [ a, ∞)
ทฤษฎีบท 7.1
ให f เปนฟงกชันที่มีโดเมนเปน [ ab ,] และ c เปนจุดซึ่ง a < c < b ถา f ดิฟเฟอเรน
ชิเอตไดที่ c และ f มีคาสูงสุดสัมพัทธหรือคาต่ําสุดสัมพัทธที่ c ยอมไดวา f′ () c = 0
แนวทางพิสูจน ให a < c < b และ f ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ c และ f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่ c
ดังนั้น พิจารณาอนุพันธจากทางซาย
x
< c และ ()
fx ( ) − fc ( )
f−′ ( c) = lim−
x→c
x −c
fx fc
fc เปนคาสูงสุดสัมพัทธ จึงได () ≤ () ฉะนั้น f () c 0
เนื่องจาก x c − → ดังนั้น
− ′ ≥

2301113 บทที่ 7 119
fx ( ) − fc ( )
พิจารณาอนุพันธจากทางขวา f+
′() c = lim เนื่องจาก x → c + ดังนั้น x > c
+
x→c
x −c
และ fc () เปนคาสูงสุดสัมพัทธ จึงได fx () ≤ fc () ฉะนั้น f+ ′ () c ≤ 0
เนื่องจาก f ดิฟเฟอเรนชิเอตไดที่ c ดังนั้น f− ′() c = f+
′() c = f′
() c
จึงได 0 ≤ f′
( c) ≤ 0 นั่นคือ f′ () c = 0ตามตองการ
สําหรับกรณีคาต่ําสุดสัมพัทธ พิสูจนไดในทํานองเดียวกัน
ทฤษฎีบท 7.2 (ทฤษฎีบทของรอล)
ให f เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องใน [ ab ,] และ ดิฟเฟอเรนชิเอตไดใน ( ab ,)
ถา f(a) = f(b) ยอมมี c ใน ( ab ,) ซึ่ง f′ () c = 0
f′ () c = 0
fa ( ) = fb ( )
a
b
ทฤษฎีบท 7.3 (ทฤษฎีบทคามัชฌิม)
ถา f เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องใน [ ab ,] และ ดิฟเฟอเรนชิเอตไดใน ( ab ,)
แลวจะมี c ใน ( ab ,) ซึ่ง
f′ () c =
fb () − fa ()
b−a
f () b − f()
a
b
−a
a
b

2301113 บทที่ 7 120
แนวทางพิสูจน เสนตรง ที่ผานจุด ( afa , ()) และ ( bfb , ()) มีความชันเปน
ดังนั้น สมการของเสนตรง คือ
กําหนดให Fx () = fx () − yนั่นคือ
fb () − fa ()
y = ( x − a ) + f ( a )
b−a
fb () − fa ()
Fx ( ) = fx ( ) − ( x−a) −fa
( )
b−a
c a b F′ c =
ดังนั้น Fa () = Fb () = 0จากทฤษฎีบท 7.2 จะมี ∈ (, ) ที่ทําให () 0
ฉะนั้น
จึงได
f′ () c =
fb () − fa ()
b−a
fb () − fa ()
F′ () c = f′
() c − = 0
b−a
ตามตองการ
ทฤษฎีบท 7.4
ให f เปนฟงกชันที่ดิฟเฟอเรนชิเอตไดบน ( ab ,)
fb () − fa ()
b−a
(1) ถา f′ ( x) > 0สําหรับทุกๆ x ใน ( ab ,) f ยอมเปนฟงกชันเพิ่มบน ( ab ,)
(2) ถา f′ ( x) < 0สําหรับทุกๆ x ใน ( ab ,) f ยอมเปนฟงกชันลดบน ( ab ,)
(3) ถา f′ ( x) = 0สําหรับทุกๆ x ใน ( ab ,) f ยอมเปนฟงกชันคาคงตัวบน ( ab ,)
แนวทางพิสูจน
(1) สมมติ x1 < x2
บนชวง ( ab , )
fx ( ) − fx ( )
= f′
() c
x − x
2 1
จากทฤษฎีบท 7.3 จะมี c ซึ่ง x1 < c < x2
และ
แต f () c 0
fx ( ) − fx ( )
> 0
x − x
′ > เราจึงได
2 1
2 1
2 1
เนื่องจาก x1 < x2
ดังนั้น fx ( 1) < fx ( 2)
(2) และ (3) พิสูจนไดในทํานองเดียวกัน

2301113 บทที่ 7 121
5 3
ตัวอยาง 7.1 จงแสดงวา fx () = x + 2x
+ 7เปนฟงกชันเพิ่มบน ( −∞ , +∞ )
4 2
วิธีทํา f′ () x = 5x + 6x
เห็นไดชัดวา f′ ( x) > 0บนชวง ( −∞ ,0) กับ (0, ∞ )
ดังนั้น f เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง ( −∞ ,0) กับ (0, ∞ )
พิจารณาที่จุด x = 0
สําหรับ x1 ∈( −∞ ,0) จะไดวา fx ( 1) < 7 = f(0)
สําหรับ x2 ∈ (0, +∞ ) จะไดวา f(0) = 7 < f( x2)
ดังนั้น fx ( 1) < fx ( 2)
ทุกๆ x 1 ∈( −∞ ,0) และทุกๆ x2 ∈ (0, +∞ )
ฉะนั้น f เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง ( −∞ , +∞ )
ขอสังเกต
1. ในตัวอยาง 7.1 หลังจากไดวา f เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง ( −∞ ,0) กับ (0, ∞ ) เรา
อาจจะสรุปตามมาวา เนื่องจาก f ตอเนื่อง จึงไดวา f เปนฟงกชันเพิ่มบนชวง ( , )
อีกวิธีหนึ่ง
2. ฟงกชันอาจเปนฟงกชันเพิ่มเปนชวงๆ แตอาจไมเปนฟงกชันเพิ่มตลอดทั้งโดเมนก็ได
เชน
fx ()
1
x
= ดังแสดงในรูปตอไปนี้
y
−∞ +∞ ได
4
2
y= 1
x
-4 -2 2 4
x
-2
-4

2301113 บทที่ 7 122
ตัวอยาง 7.2 (แสดงในหองเรียน)
1. จงแสดงวา
3
fx () x x
= + เปนฟงกชันเพิ่มบน ( −∞ , +∞ )
3
2. จงพิจารณาวา fx () = 3x−x
เปนฟงกชันลดบนชวงใดบางหรือไม (ตอบทุกชวงที่
กวางสุด)
3. จงพิจารณาวาฟงกชันในโจทยขอ 2 เปนฟงกชันเพิ่มบนชวงใดบาง และจงพิจารณาวา
จุดที่เปนรอยตอระหวางชวงที่ f เปนฟงกชันลดกับฟงกชันเพิ่มนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธหรือ
ต่ําสุดสัมพัทธหรือไม
4 2
4. จงพิจารณาวา fx () = x − 2x
มีคาสูงสุดสัมพัทธและคาต่ําสุดสัมพัทธที่ใดบาง
หรือไม
3
5. จงพิจารณาวา fx () = x มีคาสูงสุดสัมพัทธและคาต่ําสุดสัมพัทธที่ใดบางหรือไม
บทนิยาม 7.2
เรากลาววาฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมบูรณ (absolute maximum) ที่จุด c ถา
fx () ≤ fc () ทุกๆ x ในโดเมนของ f และเรียกจุด ( cfc , ()) วาจุดสูงสุดสัมบูรณ
เรากลาววาฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมบูรณ (absolute minimum) ที่จุด c ถา
fx () ≥ fc () ทุกๆ x ในโดเมนของ f และเรียกจุด ( cfc , ()) วาจุดต่ําสุดสัมบูรณ
ตัวอยาง 7.3 (แสดงในหองเรียน)
จงหาคาสูงสุดสัมบูรณและต่ําสุดสัมบูรณของ
fx x x
2
() 3 12 5
= − + บนชวง [0,3]

2301113 บทที่ 7 123
แบบฝกหัด 7.1
1. จงพิจารณาวาฟงกชันบนชวงที่กําหนดใหตอไปนี้ สอดคลองกับเงื่อนไขในทฤษฎีบทของรอล
และหาคา c ทั้งหมดที่ไดจากบทสรุปของทฤษฎีบทของรอล
1.1.
1.2.
fx x x
2
( ) = − 4 + 1, [0,4]
fx x x x
3 2
( ) = − 3 + 2 + 5, [0,2]
1.3. fx ( ) = sin2 πx, [ − 1,1]
1.4. fx ( ) = x x+ 6, [ − 6,0]
2. จงพิจารณาวาฟงกชันบนชวงที่กําหนดใหตอไปนี้ สอดคลองกับเงื่อนไขในทฤษฎีบทคามัชฌิม
และหาคา c ทั้งหมดที่ไดจากบทสรุปของทฤษฎีบทคามัชฌิม
2.1.
2.2.
fx x x
2
( ) = 3 + 2 + 5, [ − 1,1]
f x x x
3
() = + − 1,[0,2]
3
2.3. fx ( ) = x, [0,1]
x
2.4. fx ( ) = , [1,4]
x + 2
3. จงหาคาสูงสุดสัมบูรณและต่ําสุดสัมบูรณของฟงกชันบนชวงที่กําหนดใหตอไปนี้
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
fx x x x
3 2
() = 2 −3 − 12 + 1,[ − 2,3]
fx x x
4 2
() = − 2 + 3,[ − 2,3]
2
x − 4
fx () = ,[ −4,4]
x + 4
ft t t
2
() = 4 − , [ − 1,2]
π
3.5. fx ( ) = sinx+
cos x, [0, ]
3
4. สําหรับฟงกชันที่กําหนดใหดังตอไปนี้ จงพิจารณาวาเปนฟงกชันเพิ่มบนชวงใดและเปนฟงกชัน
ลดบนชวงใดบาง และจงหาจุดที่ใหคาสูงสุดสัมพัทธ และ จุดที่ใหคาต่ําสุดสัมพัทธ ทั้งหมด
4.1.
4.2.
4.3.
fx ( ) = 2+ 3x−
x
gx ( ) = x − 6x
4 2
fx x x
5 3
( ) = 3 − 5 + 3
4.4. hx ( ) = x x+
3
4.5. Ax ( ) = x−
4 x
4.6. ft () = t+ cos, t −2π
≤t≤
2π
3

2301113 บทที่ 7 124
7.2 สูตรของเทยเลอร
ทฤษฎีบท 7.5 (สูตรของเทยเลอร)
ให f เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอันดับที่ n + 1 บน ( ab ,) และอนุพันธอันดับต่ํากวา n + 1
ลวนมีความตอเนื่องบน [ ab ,] ให x กับ x 0 เปนสองจุดใดๆใน [ ab ,] ที่ตางกัน เรายอม
ไดวา
n ⎛f x x x ⎞ f c x x
fx ( ) = fx ( 0)
+ ∑
+
⎜ ⎝ k! ⎠⎟
( n + 1)!
k = 1
โดยที่ c อยูระหวาง x กับ x 0
เราเรียกพจนสุดทายในสูตรวา เศษเหลือ
( k) k ( n+ 1) n+
1
( 0)( − 0) ⎟ ( )( − 0)
และเรียกสูตรนี้วา สูตรของเทยเลอรพรอมดวยเศษเหลือ
เราเรียกการเขียนสูตรเชนนี้วาการกระจายฟงกชัน f ดวยสูตรของเทยเลอรพรอมดวย
เศษเหลือรอบจุด x 0
ตัวอยาง 7.4
จงกระจายฟงกชัน fx () = lnxดวยสูตรของเทยเลอรรอบจุด x 0 = 1 เมื่อ n = 10
วิธีทํา
แทนคา x 0 = 1 จะได
1 −1
f′ ( x)
= = x
x
−2
1
f′′ ( x)
=− x =−
2
x
2
−3
( −1) 2!
f′′′ ( x) = ( −1)( − 2) x =
3
x
3
(4) −4
( −1) 3!
f ( x) = ( −1)( −2)( − 3) x =
4
x
f
( n)
n−1
( −1) ( n −1)!
( x)
=
n
x

2301113 บทที่ 7 125
f (1) = ln 1 = 0
f ′(1) = 1
f ′′(1) =−1
f ′′′(1) = 2 !
f
f
(4)
( n)
ดังนั้น การกระจายของ ln x คือ
นั่นคือ
(1) =−3 !
⎧−
( n −1)!,
(1) = ⎪
⎨ ⎪ ( n − 1)!,
⎪⎩
n
n
เปนจํานวนคู
เปนจํานวนคี
1 2 3 4
ln x =
(1)( x −1) ( −1)( x −1) (2!)( x −1) ( −3!)( x −1)
0 + + + +
1! 2! 3! 4!
5 10 11
(4 !)( x −1) ( −9 !)( x −1) 10 ! ( x −1)
+ + + +
11
5! 10! c 11!
2 3 4
ln x =
( x −1) ( x −1) ( x −1) n−1
( x −1)
( x −1) − + − + + ( −1)
2 3 4
n
10 11
( x −1) ( x −1)
+ − +
11
10 11c
เมื่อ c อยูระหวาง 1 กับ x
n
ตัวอยาง 7.5 (แสดงในหองเรียน)
จงกระจายฟงกชันตอไปนี้ดวย สูตรของเทยเลอรพรอมดวยเศษเหลือรอบจุด x0
ที่กําหนดให
1. fx ( ) = 1 + x x = 0, n=
3
x
2. fx ( ) = e x = 0, n=
5
3. fx ( ) = ln(1 + x) x = 0, n=
5
4. fx ( ) = sinh( x) x = 0, n=
5
0
0
0
0
สมัยกอนคาของฟงกชันตางๆที่สําคัญจะถูกคํานวณเก็บไวในรูปของตาราง เชน ตาราง
ลอการิทึม ตารางฟงกชันตรีโกณ เปนตน การคํานวณคาฟงกชันตางๆ เหลานี้เขาทํากันโดยใช
สูตรของเทยเลอร ปจุบันนี้ เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอรก็คํานวณคาฟงกชันเหลานี้ใหเราโดยใช
สูตรของเทยเลอรเชนกัน ตอไปนี้เราจะดูกันวาเราใชสูตรของเทยเลอรคํานวณคาฟงกชันตางๆ ได
อยางไร

2301113 บทที่ 7 126
ตัวอยาง 7.6
จงใชสูตรเทยเลอรประมาณคา 0.2 e ใหถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่สี่
วิธีทํา เราจะใชสูตรของเทยเลอรประมาณคา e x รอบจุด x 0 = 0 ซึ่งไดวา
เมื่อแทนคา x = 0.2 จะไดเศษเหลือคือ
2 3 n c n+
1
x x x x e x
e = 1 + x + + + + +
2! 3! n! ( n + 1)!
R
n
c
n+
1
e (0.2)
=
( n + 1)!
ตองการหาคา n ที่ให R n < 0.00001 เราจึงประมาณขอบเขตของ n
R n
n+
1
3(0.2)
<
( n + 1)!
R ดังนี้
n 1 2 3 4
R n < 0.06 0.004 0.0002 0.000008
ดังนั้น จึงพอเพียงที่จะใช n = 4 ในการประมาณคา e
0.2
ตัวอยาง 7.7
จงใชสูตรเทยเลอรแสดงวา
ทุกๆ x ซึ่ง x > 0
2 3 4
0.2 (0.2) (0.2) (0.2)
e ≈ 1 + 0.2 + + + = 1.2214
2! 3! 4!
2 3 4 2 3
x − x + x − x < ln(1 + x)
< x − x +
x
2 3 4 2 3
วิธีทํา
แทนคา x 0 = 0 และ n = 4
f
( n+
1)
fx ( ) = ln(1 + x)
1
f′ ( x)
=
1 + x
1
f′′ ( x)
=−
(1 + x)
n
( −1) n !
( x)
=
(1 + x)
2
n + 1

2301113 บทที่ 7 127
2 3 4 5
(4) (5)
x x x x x
fx ( ) = f(0) + f′ (0) + f′′ (0) + f′′′
(0) + f (0) + f ( c)
1! 2! 3! 4! 5!
2 3 4 5
x x x x
= 0 + x − + − +
5
2 3 4 5(1 + c)
เนื่องจาก x > 0 และ 0 < c < x ดังนั้น
กระจาย fx () รอบจุด x 0 = 0 ใช 3
5
x
5(1 + c)
n = ไดวา
เนื่องจาก x > 0 และ 0 < c < x ดังนั้น
5
> 0
นั่นคือ
2 3 4
x x x
fx ( ) = 0+ x− + −
2 3 4(1 + c)
4
x
4(1 + c)
4
> 0
นั่นคือ
2 3 4
x x x
x − + − < f( x)
2 3 4
4
2 3
x x
fx ( ) < x− +
2 3
ตัวอยาง 7.8
จงใชสูตรเทยเลอรแสดงวา
ทุกๆ x ซึ่ง 0< x < 0.5
วิธีทํา
แทนคา x 0 = 0 และ n = 4
2 3 4 2 3
x x x x x
x + + + 0
4

2301113 บทที่ 7 128
2 3 4
x x x
fx ( ) = 0+ x+ + +
2 3 4(1 −c)
เนื่องจาก 0< x < 0.5 และ 0 < c < x ดังนั้น
นั่นคือ
2 3
4
x
4(1 −c)
4
> 0
x x
fx ( ) < x+ +
2 3
หมายเหตุ
โดยการใชผลลัพธจากตัวอยาง 7.7 กับตัวอยาง 7.8 ประกอบกัน เราจะไดชวงสําหรับ
⎛ 1 + x ⎞
ประมาณคาของ ⎜ ⎟ ซึ่งสามารถใชหา ln ของจํานวนที่มีคามากกวา 1
ln⎜
⎜⎝
1 − x ⎠⎟
ตัวอยาง 7.9 (แสดงในหองเรียน)
1. จงกระจายสูตรของเทยเลอรสําหรับ fx ( ) = e −x รอบจุด 0 เพื่อใหหาคา f (1) ไดถูกตองถึง
ทศนิยมตําแหนงที่สาม แลวแสดงการหาคา f (1)
2. จงกระจายสูตรของเทยเลอรสําหรับ fx ( ) = ln(1 + x)
รอบจุด 0 เพื่อใหหาคา f (0.1) ได
ถูกตองถึงทศนิยมตําแหนงที่สอง แลวแสดงการหาคา f (0.1)
ในแตละขอ จงใหเหตุผลวาจํานวนพจนที่กระจายนั้นเพียงพอและเหมาะสมดี
แบบฝกหัด 7.2
1. จงกระจายฟงกชันตอไปนี้ดวย สูตรของเทยเลอรพรอมดวยเศษเหลือรอบจุด x
0
1.1.
1.2.
fx x x n
−3
( ) = (1 + )
0
= 0, = 3
fx e x n
5
( ) = x
0
= 0, = 5
1.3. fx ( ) = ln( x− 1) x0
= 2, n=
5
π
1.4. fx ( ) = sin( x) x0
= , n=
5
2
1.5
2. จงใชสูตรเทยเลอรประมาณคา e โดยมีความคลาดเคลื่อนไมเกิน 0.0001
3. จงใชสูตรเทยเลอรแสดงวา
ทุกๆ x ซึ่ง x > 0
3 5 7 3 5
x − x + x − x ≤ sin x ≤ x − x +
x
3! 5! 7! 3! 5!
4

2301113 บทที่ 7 129
7.3 เกณฑโลปตาล
ทฤษฎีบท 7.6 (ทฤษฎีบทคามัชฌิมของโคชี)
ถา f,
g เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องบน [ ab ,] และดิฟเฟอเรนชิเอตไดบน( ab ,) ยอมมี
c ใน ( ,)
ab ซึ่ง g′ () c ( f() b − f() a ) = f′
() c ( g() b − g()
a )
⎛fb
() − fa () ⎞
⎜gb
() ga ()
⎝ − ⎠⎟
แนวทางพิสูจน ให hx ( ) = fx ( ) −fa ( ) −⎜
⎟( gx ( ) −ga
( ))
จะเห็นวา ha () = hb () = 0โดยทฤษฎีบท 7.2 และทฤษฎีบท 7.3 จะมี c ∈ (,) a b ซึ่ง
hb () − ha ()
h′ () c = = 0
b−a
fb () − fa ()
เนื่องจาก h′ ( x) = f′ ( x) − ⋅g′
( x)
gb () − ga ()
เมื่อแทนคา x = c ไดวา
ดังนั้น
fb () − fa ()
0 = h′ ( c) = f′ ( c) − ⋅g′
( c)
gb () − ga ()
f′ () c f() b − f()
a
=
g′ () c g() b − g()
a
โดยอาศัยทฤษฎีบทขางบนนี้เราจะไดทฤษฎีบทตอไปนี้ของโลปตาล ซึ่งจะชวยใหการ
พิจารณาหาลิมิตตางๆทําไดงายขึ้น เราเรียกทฤษฎีบทดังกลาวนี้วา เกณฑของโลปตาล
ขอสังเกต
*
ในทฤษฎีบทที่ 7.6 ถาเราให x เปนจุดใดๆ ใน ( ab ,) เราจะไดวามี x ระหวาง a กับ x
ซึ่ง g′ ( x * )( f( x) − f( a) ) = f′
( x * )( g( x) − g( a)
)
ถา fa () ga () 0
โดยที่ a < x*
< x
= = , และถา g′ ( x)
ไมเปนศูนยใน ( ab ,) เราจะไดวา
*
fx ( ) f′
( x)
=
*
gx ( ) g ′ ( x )
ในที่นี้
*
x ขึ้นอยูกับ x จึงเปนฟงกชันของ x เห็นไดวา
*
lim x = a
+
x→a

2301113 บทที่ 7 130
ดังนั้น ถา
lim f′
() t
= L
t a
+
→ g′
() t
เราก็จะไดวา
*
fx ( ) f′
lim lim
( x
= ) = L
+ +
→
*
gx ( ) → g′
( x )
t a x a
ซึ่งเปนแนวคิดที่นําไปสูทฤษฎีบทไดดังตอไปนี้
ทฤษฎีบท 7.7
ให f,
g เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่อง และดิฟเฟอเรนชิเอตไดในชวงหนึ่งทางขวา
ของ c ถา
1) lim fx ( ) = 0
+
x→c
2) lim gx ( ) = 0
+
x→c
3) g′ ( x) ≠ 0
f′
( x)
4) lim = L
+
x→c
g′
( x )
ในชวงดังกลาว
จะไดวา
lim ( )
= L
+
→ gx ( )
x c
fx
โดยที่ในที่นี้ L อาจเปนจํานวนจริง −∞ หรือ +∞
ขอสังเกต
โดยการพิจารณาในแนวเดียวกันกับในขอสังเกตที่มากอนทฤษฎีบทที่ 7.7 จะเห็นไดวาเรา
อาจพิสูจนทฤษฎีบททํานองนี้สําหรับลิมิตแบบอื่นๆดวย คือ
ลิมิตจากทางซาย ( lim )
x→c −
ลิมิตสองทาง ( lim)
x→c
ลิมิตเมื่อ x เขาใกลอนันต ( lim
x →+∞
และ lim
x →−∞ )
เราจะถือวา ทฤษฎีบทที่ 7.7 ครอบคลุมกรณีของลิมิตแบบอื่นๆ เหลานี้ดวย เราเรียกลิมิต
ของเศษสวนที่ทั้งเศษและสวนมีลิมิตเปนศูนยวา รูปแบบยังไมกําหนด 0 ดังนั้นจึงเรียกทฤษฎี
0
บทที่ 7.7 นี้วาเกณฑโลปตาลสําหรับรูปแบบ
0
0

2301113 บทที่ 7 131
ตัวอยาง 7.10
จงแสดงการพิจารณาวาจะใชเกณฑโลปตาลในการหาลิมิตตอไปนี้ไดหรือไม ถาทําไดจงแสดงการ
ใชเกณฑดังกลาวหาลิมิต ถาทานเห็นวาใชเกณฑโลปตาลไมได จงบอกเหตุผล และแสดงการหา
ลิมิตดวยวิธีอื่น
2x
−6 2(3) −6
1. lim
2
=
2
= 0
x →3
x + 9 3 + 9
x
e − 1
2. lim
2
x →1
x + x − 2
(แทนคาไดเลย ใชเกณฑโลปตาลไมได)
(ใชเกณฑโลปตาลไมได แสดงวิธีทําในหองเรียน)
ขอ 3 – 9 เปนรูปแบบยังไมกําหนด 0 0 จึงใชเกณฑโลปตาลได
3.
4.
x
2 − 1 2 ln2 ln2
lim = lim
x =
3 − 1 3 ln3 ln3
x
x→0 x→0
x→0 x→0
x
1
− 1
ln(1 + x) − x
lim = lim
1 + x
= 0
sinh( x) cosh( x)
5.
3x 3x 3x
e −3x −1 3e −3 9e
9
lim = lim = lim =
x
2x
2 2
2
x→0 x→0 x→0
1
ln( x) 1
6. lim
2
= lim x =
x→1x
+ x − 2 x→1
2 x + 1 3
7.
8.
x x x x
5 −4 5 ln5−4 ln4 ln5−ln4 ln(5/4)
lim = lim
= =
3 −2 3 ln3−2 ln2 ln3−ln2 ln(3/2)
x x x x
x→0 x→0
1
2
ln( x) 1 0
lim lim x −
= x = lim
2
= = 0
x 1
x − 1
+
1 2
+ +
x→ x − 1
x→1 x→1
2

2301113 บทที่ 7 132
ทฤษฎีบท 7.8
ให f,
g เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่อง และดิฟเฟอเรนชิเอตไดในชวงหนึ่งทางขวา
ของ c ถา
1) lim fx ( ) =+∞
+
x→c
2) lim gx ( ) =+∞
+
x→c
3) g′ ( x) ≠ 0
f′
( x)
4) lim = L
+
x→c
g′
( x )
ในชวงดังกลาว
จะไดวา
lim ()
= L
+
→ gx ()
x c
fx
หมายเหตุ
โดยที่ในที่นี้ L อาจเปนจํานวนจริง −∞ หรือ +∞
ทฤษฎีบทนี้เปนจริงสําหรับลิมิตแบบอื่นๆดวย คือ ลิมิตจากทางซาย ( lim )
x→c −
ลิมิตสองทาง ( lim)
ลิมิตเมื่อ x เขาใกลอนันต ( lim และ lim )
x→c
x →+∞ x →−∞
เราจะถือวา ทฤษฎีบทที่ 7.8 ครอบคลุมกรณีของลิมิตแบบอื่นๆเหลานี้ดวย เราเรียกลิมิต
∞
ของเศษสวนที่ทั้งเศษและสวนมีลิมิตเปน ∞ วา รูปแบบยังไมกําหนด
∞
ดังนั้นจึงเรียกทฤษฎีบทที่ 7.8 นี้วา เกณฑโลปตาลสําหรับรูปแบบ
ตัวอยาง 7.11
จงแสดงการพิจารณาวาจะใชเกณฑโลปตาลในการหาลิมิตตอไปนี้ไดหรือไม ถาทําไดจงแสดงการ
ใชเกณฑดังกลาวหาลิมิต ถาทานเห็นวาใชเกณฑโลปตาลไมได จงบอกเหตุผล และแสดงการหา
ลิมิตดวยวิธีอื่น
1
3 +
3x + log 2( x) 3 ln2 1 ln3 ln3
1. lim lim x ln 2 ⎛ x + ⎞⎛x
⎞
= = lim
x +
0 2 log 3( ) x +
x x 0 1 0
2
x +
⎟
=
→ + → → ⎜2x ln3 1⎟⎜
⎜⎝x
ln2⎠⎟
+
⎝ + ⎠ ln2
x ln 3
2.
1
ln( x) 2
lim = lim x = lim = 0
→+∞ x →+∞ 1 →+∞ x
2 x
x x x
∞
∞

2301113 บทที่ 7 133
1
lim
ln( x) 1
= lim x = lim
x
2x
2x
= 0
3.
2 2
x→+∞ x→+∞ x→+∞
4.
3 2
x 3x 6x
6
lim = lim = lim = lim = 0
2 2 ln2 2 (ln 2) 2 (ln 2)
x x x 2 x 3
x→+∞ x→+∞ x→+∞ x→+∞
5.
+
x →0
−1
x
−t
e e t 1
lim = lim = lim
t
= lim
t
= 0
x t→+∞ 1/ t t→+∞e t→+∞e
แบบฝกหัด 7.3
จงแสดงการพิจารณาวาจะใชเกณฑโลปตาลในการหาลิมิตตอไปนี้ไดหรือไม ถาทําได
จงแสดงการใชเกณฑดังกลาวหาลิมิต ถาไมได จงบอกเหตุผล และแสดงการหาลิมิตดวยวิธีอื่น
x
e
1. lim
2
3.
5.
7.
9.
x →∞ x
ln x
lim
→∞ 3
x
x
sin x
lim
→π − 1 − cos x
x
x
lim
x
x →1
lim
+
x → 0
a
b
− 1
− 1
x
x
ln
x
e −1
−x
2. lim
2
x →0
x
x x
7 − 3
4. lim
x →0
x
−1
sin x
6. lim
x →0
x
x
8. lim ln(1 2
x
x →∞ + e )
10.
lim
x →1
1
1− x + lnx
+ cos πx
11.
ln(ln x)
lim
→∞ x
x
a
x − ax + a −1
12. lim
2
x →1
( x − 1)