＜演習＞ 材料の機械的性質の解析 - Tsuji Lab - 京都大学

演 習 > 材 料 の 機 械 的 性 質 の 解 析
材 料 科 学 実 験 および 演 習
2012 (H24) 担 当 ・ 辻 伸 泰
0. 材 料 の 力 学 的 性 質 を 学 ぶ 理 由 :
金 属 材 料 は、 比 較 的 大 きな 強 度 を 有 しながら、 展 延 性 に 富 んでいる。そのため、 単 に 強 度 が 高 いと
いうだけでなく、 様 々な 形 に 加 工 することが 可 能 であり、また 衝 撃 力 等 に 対 して 脆 く 破 壊 する 危 険 性
も 少 ない。このことが、 金 属 材 料 の 有 用 性 を 際 立 たせており、 構 造 材 料 として 多 量 に 使 われている 理
由 となっている。 金 属 材 料 は、 素 材 として 製 造 する 際 に 圧 延 、 鍛 造 、 線 引 き 等 の 一 次 加 工 を 受 ける。
また、 厚 板 、 薄 板 、 棒 、 線 材 などの 形 状 になったあと、 実 際 の 製 品 とするために、 鍛 造 、 深 絞 り、 曲
げあるいは 切 削 などの 二 次 加 工 が 行 なわれる。いずれもそこで 起 こっていることは、 金 属 の 塑 性 変 形
である。そして 製 品 として 用 いられる 場 合 、 機 械 設 計 段 階 で 必 ず 材 料 の 強 度 ・ 延 性 等 が 問 題 となる。
すなわち、 金 属 材 料 の 変 形 の 原 理 を 知 ることは、 構 造 材 料 として 金 属 を 用 いるものにとって 避 けて 通
ることのできない 課 題 である。 本 講 義 ( 演 習 )では、 材 料 のマクロな 変 形 を、 弾 性 変 形 、 塑 性 変 形 に
分 けて 論 じ、 応 力 とひずみという 基 礎 概 念 から、 実 際 の 材 料 試 験 に 即 した 知 識 までを 概 説 する。 本 演
習 の 目 的 は、 材 料 の 機 械 的 性 質 の 基 本 的 概 念 を 学 び、 力 学 特 性 の 実 験 的 測 定 法 を 理 解 することである。
【 関 連 する 講 義 】
・ 材 料 科 学 実 験 D 材 料 の 変 形 と 結 晶 の 配 向 の 決 定
・ 「 材 料 科 学 基 礎 1」、「 結 晶 物 性 学 」、「 金 属 材 料 学 」、「 材 料 強 度 物 性 」
【より 詳 しく 学 ぶための 参 考 書 】
(1) Materials Science And Engineering, An Introduction: by William D. Callister, Jr., John
Wiley & Sons, Inc.
(2) Mechanical Metallurgy, G.E.Dieter, McGraw Hill, 1987
(3) Fundamentals of Metal Forming, Robert H. Wagoner, Jean-Loup Chenot, John Wiley &
Sons, 1996
(4) 材 料 の 科 学 と 工 学 、[2] 金 属 材 料 の 力 学 的 性 質 、W.D.キャリスター 著 入 戸 野 修 監 訳 、 培
風 館
(5) 材 料 強 度 の 原 子 論 、 日 本 金 属 学 会 、1985
(6) 金 属 塑 性 加 工 学 、 加 藤 健 三 、 丸 善 、1971
(7) 材 料 強 度 の 基 礎 、 高 村 仁 一 、 京 都 大 学 学 術 出 版 会 、1998
(8) 材 料 強 度 の 考 え 方 、 木 村 宏 、アグネ 技 術 センター、2000
【 講 義 情 報 および 資 料 のダウンロードサイト】( 以 下 の【 教 育 】から、 当 該 年 度 の「 材 料 科 学 実 験 およ
び 演 習 」へ)
http://www.tsujilab.mtl.kyoto-u.ac.jp/01TsujiLab/index_j.html
【 教 員 連 絡 先 ・レポート 提 出 先 】
材 料 工 学 専 攻 教 授 辻 伸 泰 (つじ のぶひろ)
工 学 部 総 合 校 舎 6F 607 号 室
E-Mail nobuhiro-tsuji@mtl.kyoto-u.ac.jp
TEL 075-753-4868( 小 池 秘 書 、 梅 井 秘 書 :611 号 室 )
1

1. 材 料 のマクロ 変 形 の 基 礎
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1.1. 材 料 の 弾 性 変 形 と 塑 性 変 形
応 力
破 壊
B
A
加 工 硬 化
降 伏
C
O
ひずみ
塑 性 ひずみ
図 1.1 金 属 材 料 の 典 型 的 な 応 力 ひずみ 曲 線
弾 性 変 形 (Elastic Deformation)= 力 が 徐 荷 された 場 合 、 時 間 的 遅 れなしに 元 の 形 に 戻 るような 変 形
σ = E ε (1.1)
E : Young's modulus (ヤング 率 ( 縦 弾 性 係 数 ))
€
τ = G γ (1.2)
G : Shear modulus ( 剛 性 率 ( 横 弾 性 係 数 ))
€
G =
E
2 1+ ν ( )
(1.3)
ν : Poisson's ratio (ポアソン 比 )
€
表 1.1 典 型 的 な 金 属 材 料 の 弾 性 定 数
Material E (GPa) G (GPa) ν
Aluminum alloys 72.4 27.5 0.31
Copper 110 41.4 0.33
Steel (plain carbon & low-alloy) 200 75.8 0.33
Stainless steel (18Cr-8Ni) 193 65.6 0.28
Titanium 117 44.8 0.31
Tungsten 400 157 0.27
塑 性 変 形 (Plastic Deformation)= 力 を 徐 荷 しても 残 る 永 久 変 形
2

材 料 科 学 実 験 および 演 習
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1.2. 応 力 とひずみ
1.2.1.ひずみと 回 転
仮 定 : 連 続 体
線 形 弾 性 論
微 小 変 形 理 論 (ひずみ 成 分 の 大 きさが1に 比 べて 十 分 小 さい)
x3
変 形 後
変 形 前
0
x
u
x + u
x1
x2
図 1.2
変 位 (Displacement):
u ≡ ( u 1 ,u 2 ,u 3 ) (1.4)
u が 物 体 内 のどの 部 分 でも 同 一 なら、 単 に 平 行 移 動 しただけ。
€
変 形 ・・・u の 場 所 による 変 化 の 議 論
変 形 勾 配 (Distortion):
∂u i
∂x j
i,j =1,2,3
( )
(1.5)
変 形 勾 配 の 対 称 成 分 をひずみ(Strain)εij、 反 対 称 成 分 を 回 転 (Rotation) ωij と 定 義 する。( 対 称
化 操 作 による € 変 形 勾 配 テンソルからの 剛 体 スピン 成 分 の 除 去 )
ε ij + ω ij ≡ ∂u i
∂x j
€
ε ij ≡ 1 ⎛⎛
∂u i
+ ∂u ⎞⎞
j
⎜⎜
2⎜⎜
⎟⎟
⎝⎝ ∂x j ∂x ⎟⎟
i ⎠⎠
(1.6)
€
3

ω ij ≡ 1 ⎛⎛
∂u i
− ∂u ⎞⎞
j
⎜⎜
2 ⎜⎜
⎟⎟
⎝⎝ ∂x j ∂x ⎟⎟
i ⎠⎠
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( 注 ) 「ひずみ」という 場 合 、 工 学 せん 断 ひずみ
€
γ ij ≡ ∂u i
+ ∂u j
= 2ε ij ( i ≠ j)
∂x j ∂x i
を 用 いる 場 合 もある。
(1.7)
€
€
⎡⎡ ε 11 ε 12 ε 13
⎤⎤
⎢⎢
⎥⎥
ε ij =
⎢⎢
ε 21 ε 22 ε 23 ⎥⎥
⎣⎣ ⎢⎢ ε 31 ε 32 ε 33 ⎦⎦ ⎥⎥
⎡⎡ ∂u 1 1⎛⎛
∂u 1
+ ∂u ⎞⎞
2 1⎛⎛
∂u 1
⎜⎜ ⎟⎟ + ∂u ⎞⎞ ⎤⎤
3
⎢⎢
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎥
⎢⎢ ∂x 1 2⎝⎝
∂x 2 ∂x 1 ⎠⎠ 2⎝⎝
∂x 3 ∂x 1 ⎠⎠ ⎥⎥
1⎛⎛
∂u
= 2
+ ∂u ⎞⎞
1 ∂u 2 1 ∂u 2
⎜⎜ ⎟⎟
+ ∂u ⎡⎡ ε
⎢⎢
⎛⎛ ⎞⎞ ⎥⎥ 11 ε 12 ε 13
⎤⎤
3 ⎢⎢
⎥⎥
⎢⎢
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎥ =
2⎝⎝
∂x 1 ∂x 2 ⎠⎠ ∂x 2 2⎝⎝
∂x 3 ∂x 2 ⎠⎠
⎢⎢
ε 12 ε 22 ε 23 ⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢ 1⎛⎛
∂u 3
+ ∂u ⎞⎞
1 1⎛⎛
∂u 3
⎜⎜ ⎟⎟ + ∂u ⎥⎥
⎞⎞
⎣⎣ ⎢⎢ ε
2 ∂u 13 ε 23 ε 33 ⎦⎦ ⎥⎥
3 ⎥⎥
⎢⎢
⎜⎜ ⎟⎟
⎣⎣ 2⎝⎝
∂x 1 ∂x 3 ⎠⎠ 2⎝⎝
∂x 2 ∂x 3 ⎠⎠ ∂x ⎥⎥
3 ⎦⎦
(1.8)
€
⎡⎡
1 ⎛⎛ ∂u
0
1
− ∂u ⎞⎞
2 1 ⎛⎛ ∂u 1
⎜⎜ ⎟⎟ − ∂u ⎞⎞ ⎤⎤
3
⎢⎢
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎥
⎡⎡ ω 11 ω 12 ω 13
⎤⎤ ⎢⎢
2 ⎝⎝ ∂x 2 ∂x 1 ⎠⎠ 2 ⎝⎝ ∂x 3 ∂x 1 ⎠⎠ ⎥⎥
⎢⎢
⎥⎥ ⎢⎢ 1⎛⎛
∂u
ω ij =
⎢⎢
ω 21 ω 22 ω 23 ⎥⎥
= 2
− ∂u ⎞⎞
1
1 ⎛⎛ ∂u
⎜⎜ ⎟⎟ 0
2
− ∂u ⎞⎞ ⎥⎥
3
⎢⎢
⎜⎜ ⎟⎟ ⎥⎥
2⎝⎝
∂x
⎣⎣ ⎢⎢ ω 31 ω 32 ω 33 ⎦⎦ ⎥⎥ ⎢⎢ 1 ∂x 2 ⎠⎠
2 ⎝⎝ ∂x 3 ∂x 2 ⎠⎠
1⎛⎛
∂u 3
− ∂u ⎞⎞
1 1 ∂u 3
⎜⎜ ⎟⎟ − ∂u ⎥⎥
⎢⎢
⎛⎛ ⎞⎞
2
⎥⎥
⎢⎢
⎜⎜ ⎟⎟ 0
⎣⎣ 2⎝⎝
∂x 1 ∂x 3 ⎠⎠ 2 ⎝⎝ ∂x 2 ∂x 3 ⎠⎠
⎥⎥
⎦⎦
(1.9)
一 般 に、 行 列 の 対 角 成 分 の 和 (trace)は 座 標 系 の 取 り 方 によらない 不 変 量 (invariant)である。
€
ε 11 + ε 22 + ε 33 = 不 変 量 (1.10)
V + ΔV = V( 1+ ε 11 )( 1+ ε 22 )( 1+ ε 33 )
€
≅ V( 1 + ε 11 + ε 22 + ε 33 ) (1.11)
よって、 € 微 小 変 形 の 場 合 、
€ ε 11 + ε 22 + ε 33 = ΔV V (1.12)
ひずみ 行 列 のトレース = 物 体 の 体 積 変 化 率
€
4

1.2.2. 応 力
力 ( force, load )
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表 面 力 ( traction ); 物 体 表 面 に 作 用
体 積 力 ( body force ); 物 体 全 体 に 作 用 ( 電 磁 力 、 重 力 、etc.)
外 力 が 物 体 に 作 用 すると、 物 体 は 自 ら 変 形 することにより 外 力 と 釣 り 合 う 内 力 を 生 じる。 内 力 の 分
布 状 態 は 材 料 の 形 状 寸 法 などにより 変 化 するため、ひずみ( 局 部 的 な 変 形 )に 対 応 する 局 所 的 な 内 力
( 応 力 (Stress))を 定 義 する 必 要 がある。
x3
x3
σ33
F = (F1, F2, F3)
σ32
F3
σ31
σ23
A
F2
x2
σ11
σ13
σ12
σ21
σ22
x2
F1
x1
図 1.3. 図 1.4.
x1
面 力
応 力 の 定 義
€
€
X = F A (1.13)
垂 直 応 力 (Normal Stress)
σ 33 ≡ F 3
A (1.14)
せん 断 応 力 (Shear stress)
σ 13 ≡ F 1
A , σ 23 ≡ F 2
A (1.15)
€
⎡⎡ σ 11 σ 12 σ 13
⎤⎤
⎢⎢
⎥⎥
σ ij =
⎢⎢
σ 21 σ 22 σ 23 ⎥⎥
⎣⎣ ⎢⎢ σ 31 σ 32 σ 33 ⎦⎦ ⎥⎥
€
⎡⎡ σ ii
⎤⎤ ⎡⎡
⎢⎢ 0 0
3
⎥⎥ σ 11 − σ ii
⎢⎢
3
⎢⎢ σ ⎥⎥ ⎢⎢
= ⎢⎢ 0 ii
0 ⎥⎥ + ⎢⎢ σ 12
⎢⎢ 3 ⎥⎥ ⎢⎢
⎢⎢ σ
0 0 ii ⎥⎥ ⎢⎢
⎣⎣ 3 ⎦⎦ ⎣⎣
σ 12 σ 13
σ 22 − σ ii
3
σ 23
σ 13 σ 23 σ 33 − σ ii
3
⎤⎤
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦⎦
(1.16)
€
静 水 圧 (Hydrostatic) 成 分
( σ ii = σ 11 + σ 22 + σ 33 )
偏 差 (Deviatoric) 成 分
5
€

1.3. 弾 性 変 形 における 応 力 とひずみの 関 係
線 形 弾 性 論 :フックの 法 則 (Hooke's law)
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σ ij = C ijkl e kl (1.17)
€
Cijkl: 弾 性 定 数 (Elastic Constant )
弾 性 スティフネス(Elastic Stiffness)
e ij = C −1 ijkl σ kl (1.18)
Cijkl -1 : 弾 性 コンプライアンス(Elastic Compliance)
応 力 成 分 、ひずみ 成 分 が 対 称 であること、 弾 性 ひずみエネルギーがひずみの2 次 形 式 で 表 されるこ
とから、 €
C ijkl = C jikl = C ijlk = C klij (1.19)
よって、 独 立 な 弾 性 定 数 は 最 大 で21 個 。
結 晶 のように 対 称 性 が 高 い 場 合 には 独 立 な 弾 性 定 数 の 数 はさらに 減 り、 立 方 晶 では3 個 。 等 方 体 で
€
は、2 個 の 独 立 な 弾 性 定 数 (Lame's constant:λ、μ)があるのみで、
σ 11 = ( λ+2µ ) e 11 + λ( e 22 +e 33 )
σ 22 = λ+2µ
( ) e 22 + λ( e 33 +e 11 )
σ 33 = ( λ+2µ ) e 33 + λ( e 11 +e 22 ) (1.20)
€
€ σ 12 = 2 µ e 12
σ 23 = 2 µ e 23
€ σ 31 = 2 µ e 31
等 方 体 € の 弾 性 定 数 としては、ヤング 率 E、ポアソン 比 ν、 体 積 弾 性 率 (Bulk Modulus)Kなども
用 いられる。 €
外 部 応 € 力 としてσ11 のみの 一 軸 応 力 を 付 加 した 場 合 、
E ≡ σ 11 e 11
体 積 弾 性 € 率 は、 静 水 圧 σ11=σ22=σ33=σH の 付 加 の 下 で、
€
以 上 の 式 より、
€
ν ≡ −e 22 e 11 ≡ −e 33 e 11 (1.21)
K ≡ σ 11 +σ 22 +σ 33
3( e 11 +e 22 +e 33 ) ≡ σ H
e ii (1.22)
E = µ ( 3λ+2µ )
λ+µ
€
€
€
ν =
λ
2 λ+µ ( )
E = 2µ ( 1+ ν) (1.23)
K = 3λ+2µ
3
=
E
3 1−2ν ( )
6
€

1.4. 弾 性 ひずみエネルギー
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力 F
k
F
図 1.5. 伸 びたバネに 蓄 えられる 弾 性 エネルギー
伸 び x
E S = 1 2 k x2 = 1 2 F x (1.24)
単 位 体 積 あたりの 弾 性 ひずみエネルギー( 弾 性 エネルギー 密 度 )E0 は、
E 0 = 1
€
2 C ijkl e ji e kl = 1 2 σ kl e kl
(1.25)
一 般 に 応 力 、ひずみは 場 所 によって 異 なるので、 体 積 Vの 物 体 に 蓄 えられる 弾 性 ひずみエネルギー
Eel は、
€
E el = 1 2
∫ C ijkl e ji e kl dV = 1 2
V
∫
V
σ kl e kl dV
(1.26)
€
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1.5. 降 伏 条 件 ・・・ 等 方 弾 性 体 の 降 伏 現 象
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金 属 材 料 の 塑 性 変 形 機 構 は 一 般 にすべり 変 形 であることから、 体 積 ひずみ 変 化 dεii(=dε11+ dε22
+ dε33 )は、ほとんど 無 視 することができる。 塑 性 仕 事 増 分 dW は、 偏 差 応 力 成 分 σ’ij、 圧 力 P を
用 いて、
dW = σ ij dε ij = σ ʹ′ ij dε ij + P dε ij (1.27)
金 属 材 料 に 対 して 提 唱 ・ 使 用 されている2つの 降 伏 条 件
1 Tresca の 降 伏 条 件 : 物 体 内 で 最 大 せん 断 応 力 が 降 伏 せん 断 応 力 (χ)に 達 すると 降 伏 する。
2 € von Mises の 降 伏 条 件 : 偏 差 応 力 の 二 次 不 変 量 (J'2)が 一 定 値 に 達 すると 降 伏 する。・・・
Taylor と Quinney の 組 み 合 わせ 応 力 実 験 により 妥 当 性 が 確 認 され、 塑 性 流 動 解 析 にも 有 用 。
von Mises の 条 件 を、
と 書 くと、
より、
€
€
となる。
J ʹ′ 2 = − ʹ′
− ʹ′
σ xx
σ x
σ ʹ′ y − ʹ′
σ ʹ′ yy − ʹ′
σ yy
σ y
σ ʹ′ z −σ ʹ′ z σ ʹ′ x + σ xy
σ ʹ′ zz − ʹ′
σ zz
2 +σ 2 yz +σ 2
( ) zx
(1.28)
σ ʹ′ xx = 1⎡⎡
6
σ xx −σ yy
⎣⎣ ⎢⎢
J ʹ′ 2 = ( σ xx −σ yy ) 2 + ( σ yy −σ zz ) 2 + σ zz −σ xx
いま、 € 単 軸 引 張 り(σ xx = Y、 他 の 成 分 はゼロ)を 考 えると、
J ʹ′ 2 = 2 Y 2 =const.
よって、von Mises の 条 件 は、
σ xx −σ yy
€
となる。テンソル 表 記 を 用 いると、
€
( ) 2 + ( σ yy −σ zz ) 2 + σ zz −σ xx
( ) 2
⎤⎤
⎦⎦ ⎥⎥
(1.29)
( ) 2 +6 σ 2 xy +σ 2 yz +σ 2
( ) zx
= 一 定 (1.30)
( ) 2 + ( σ yy −σ zz ) 2 + σ zz −σ xx
⎧⎧ 3
⎨⎨
⎩⎩ 2 ʹ′
σ ij σ ij
と 書 けるため、 左 辺 を 相 当 応 力 σ と 定 義 すると、
( ) 2 +6 σ xy
(1.31)
2 +σ 2 yz +σ 2
( ) zx = 2Y 2 = 6χ 2 (1.32)
1
⎫⎫ 2
ʹ′ ⎬⎬ = Y
⎭⎭ (1.33)
€ von Mises の 条 件 =「 相 当 応 力 が 引 張 降 伏 応 力 に 達 すると 材 料 は 降 伏 する」
ということができる。
8

1.6. 材 料 試 験 による 応 力 -ひずみ 曲 線 の 測 定
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前 節 で 示 したように、 応 力 とひずみは3 次 のテンソル 量 である。しかし 我 々は、 行 列 形 式 の 複 雑 な
テンソル 量 を 直 感 的 に 理 解 することが 難 しい。 材 料 の 機 械 的 特 性 を 数 値 として 表 し、 理 解 するために、
単 純 な 変 形 様 式 を 用 いた 材 料 試 験 が 行 われ、 応 力 — ひずみ 曲 線 が 得 られる。 用 いられる 単 純 な 変 形 様
式 としては、 図 1.6に 示 す、「 引 張 」、「 圧 縮 」、「せん 断 」、「ねじり」などがある。
図 1.6 (a) 引 張 、(b) 圧 縮 、(c)せん 断 、(d)ねじり。
これらの 中 で、 信 頼 性 ある 応 力 — ひずみ 関 係 を 得 るためにもっとも 良 く 用 いられるのが、 引 張 試 験
(Tensile Test)である。 典 型 的 な 引 張 試 験 機 の 構 成 を 図 1.7に 示 す。
図 1.7 典 型 的 な 引 張 試 験 機 の 構 成
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1.6.1. 引 張 試 験
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引 張 試 験 片 : 丸 棒 状 、 板 状 ・・・JIS で 規 定 ( JIS Z2201 )
初 期 標 点 間 距 離 L 0 、 初 期 直 径 D 0 の 丸 棒 試 験 片 ( 初 期 断 面 積 A 0 = π D 0
2
/ 4 )の 単 軸 引 張 試 験 を
行 い、 標 点 間 距 離 がLとなった 時 点 ( 直 径 がD)の 垂 直 荷 重 がPだとすると、
公 称 応 力 (Nominal Stress):
s ≡ P A 0
公 称 ひずみ(Nominal Strain):
(1.34)
e ≡ L −L 0
€
L 0 (1.35)
真 応 力 (True Stress):
σ ≡ P
€
A
真 ひずみ(True Strain):
€
ε ≡ ln L L 0
= 2ln D 0
D
(1.36)
(1.37)
(1.34)〜(1.37)より、
σ = s 1 + e
€
ε = ln 1+ e
( ) (1.38)
( ) (1.39)
また、
€ ひずみ 速 度 (Strain Rate):
€ ε ˙ = dε
dt = 1 dL
L dt ≅ v
L p
(1.40)
L p : 各 時 刻 における 試 験 片 の 平 行 部 長 さ
v:クロスヘッドの 移 動 速 度
絞 り(Reduction in Area):
€
φ ≡ A 0 −A f
A 0 (1.41)
€
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公 称 応 力 - 公 称 ひずみ 曲 線
(a) 明 瞭 な 降 伏 ( 点 降 下 ) 現 象 (Yield Drop; Discontinuous Yielding)のある 場 合 ・・・ 軟 鋼 など
s
σB
M
N:くびれ 開 始 点
x 破 断
σyu
σyl
E
P
e
eu
el
図 1.8
P: 比 例 限
E: 弾 性 限
σ yu : 上 降 伏 応 力 (Upper Yield Stress)
σ yl : 下 降 伏 応 力 (Lower Yield Stress)
σ B : 引 張 強 さ(Tensile Strength )
e u : 均 一 伸 び(Uniform Elongation)
e l : 局 部 伸 び(Local Elongation)
e f : 全 伸 び( 破 断 伸 び;Total Elongation)
ef
(b) 明 瞭 な 降 伏 現 象 のない 場 合 ・・・アルミニウムなど
s
σB
x
σ0.2
e
e = 0.2%
図 1.9
σ 0.2 : 0.2% 耐 力 (0.2% Proof Stress; 0.2% Offset Stress )
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ところで、 引 張 試 験 の 途 中 で 除 荷 を 行 なうと、 図 1.10に 示 すように、 弾 性 定 数 の 傾 きに 平 行 に
左 斜 め 下 に 曲 線 が 推 移 し、 応 力 ゼロの 地 点 のひずみがその 応 力 での 塑 性 ひずみを 表 す。つまり、 降 伏
以 降 も、 材 料 の 変 形 には、 負 荷 荷 重 に 応 じた 弾 性 変 形 分 が 含 まれることに 注 意 しなければいけない。
図 1.10 除 荷 、 再 負 荷 時 の 挙 動
図 1.11には、 引 張 試 験 により 得 られる 公 称 応 力 — 公 称 ひずみ 曲 線 と、 真 応 力 — 真 ひずみ 曲 線 と
の 関 係 を 模 式 的 に 示 す。
図 1.11 公 称 応 力 — 公 称 ひずみ 曲 線 と 真 応 力 — 真 ひずみ 曲 線 の 関 係
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1.6.2.くびれの 発 展 条 件 ( 塑 性 不 安 定 (Plastic Instability))
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引 張 試 験 中 の 試 験 片 の 外 形 変 化 を、 応 力 — ひずみ 曲 線 に 対 応 させながら 模 式 的 に 示 したのが、
図 1.12である。 引 張 試 験 においては、いずれ 試 験 片 のくびれ(necking)が 生 じ、 破 断 に 至 る。
図 1.12 引 張 試 験 中 の 試 験 片 の 外 形 変 化 の 模 式 図
ここで、 試 験 片 のくびれが 発 展 していくかどうかの 条 件 を 考 察 してみる。
F
F
A
L
A + dA
L + dL
σ
σ + dσ
図 1.13
変 形 が 局 所 的 に 起 こり、 長 さLなる 領 域 のみが L+ dL(dL>0)に 変 形 し、 断 面 積 もA + dA(d
A0)へと 増 加 したとすると、くびれの 進
展 する 条 件 は、
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( σ + dσ )( A + dA) ≤ σ A
∴ A dσ + σ dA ≤ 0 (1.42)
体 積 一 定 条 件 (AL = 一 定 )および 真 ひずみの 定 義 より、
€ − dA
€ A = dL L = dε
(1.43)
よって、くびれの 開 始 条 件 ( 塑 性 不 安 定 条 件 )は、
dσ
€ dε ≤ σ
(1.44)
左 辺 は 加 工 硬 化 率 (Strain Hardening Rate)である。( 注 : 変 形 応 力 ( 変 形 抵 抗 ; flow stress )が
ひずみ 速 度 の 関 数 であれば、(1.44) 式 の 表 現 は 異 なるものとなる。)
€
いずれにせよ、
「 加 工 硬 化 が 大 きいほど、くびれは 発 生 しにくく、 材 料 の 塑 性 変 形 は 安 定 に 進 行 する」
1.6.3. 変 形 応 力 の 実 験 式
n 乗 硬 化 則 :
σ = K ε n
Ludwik の 式 :
€ σ = Y + K ε n
(1.45)
(1.46)
€
Swift の 式 :
( ) n (1.47)
σ = K B + ε
€
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1.6.4. 圧 縮 試 験
材 料 科 学 実 験 および 演 習
2012 (H24) 担 当 ・ 辻 伸 泰
圧 縮 試 験 では、 治 具 と 試 験 片 の 間 の 摩 擦 の 影 響 が 大 なり 小 なり 生 じ、 材 料 中 の 変 形 は 均 一 ではない
⇨ 潤 滑 の 重 要 性
図 1.9
I : 不 変 形 領 域 ( dead cone )、 II : 主 変 形 領 域 、III : 均 一 変 形 領 域
s
圧 縮
x
引 張
e
図 1.10 引 張 試 験 、 圧 縮 試 験 により 得 られる 公 称 応 力 - 公 称 ひずみ 曲 線
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