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CAPITOLO 11: COMPORTAMENTO TRIDIMENSIONALE
CAPITOLO 11: COMPORTAMENTO TRIDIMENSIONALE
Finora abbiamo analizzato alcuni problemi con riferimento allo stato di sforzo e di deformazione
monodimensionali. Con il titolo di questo capitolo “Comportamento tridimensionale” si pone in evidenza che non ci
riferiamo a stati di sforzo o di deformazione monodimensionali.
Meccanica dei continui multifase (mezzo bifase)
Per studiare un mezzo continuo bifase rinunciamo alla descrizione microscopica. L’astrazione che facciamo è quella di
far tendere a zero le dimensioni dei grani e quindi anche dei pori, per cui otteniamo due mezzi continui, sovrapposti e
interagenti. Utilizziamo due mezzi perché sia la fase solida che quella liquida se sottoposti a compressione sono
sostanzialmente incomprimibili se paragonati all’aria, hanno un comportamento non troppo dissimile. Esistono tuttavia
anche delle complesse trattazioni multifase.
Il passaggio al comportamento tridimensionale richiede qualche adattamento.
La prima ipotesi che viene fatta è quella di avere un mezzo saturo ( S=V w/V v=1 ) altrimenti nel mezzo non saturo le cose
risultano più complicate in quanto è necessario considerare anche le tensioni superficiali.
Anche in questo caso è possibile distinguere il contributo che compete allo scheletro solido e il contributo tensionale
relativo alla fase liquida.
Lo stato tensionale totale può essere scritto in forma indiciale come:
σ ij
=σ I ij
uδ ij
La delta di Kronecker vale:
δ ij
=
1 se i= j
0 se i≠ j
Lo stato di sforzo del mezzo è dato da un tensore di sforzo totale, la cui forma matriciale è:
Sforzo totale: σ ij
=
σ x
τ yx
τ xy
σ y
τ xz
τ yz
τ zx
τ zy
σ z
Fase solida:
σ I ij
=
σ x
I
τ yx
τ zx
τ xy
σ y
I
τ zy
τ xz
τ yz
σ z
I
Figura 11.1
Fase liquida: uδ ij
=
u
0
0
0
u
0
0
0
u
Figura 11.2
Per ricavare le tensioni efficaci si deve fare la differenza fra tensioni totali e pressioni interstiziali, ma il problema è in
genere accoppiato; vediamo di capire perché e con che cosa lo stato di sforzo nel terreno risulta accoppiato.
Appunti di GEOTECNICA. Versione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l’ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.

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Vediamo il computo incognite−equazioni che si presentano nella risoluzione di un problema tridimensionale.
INCOGNITE (19):
• 3 componenti di spostamento : U x, U y, U z ;
• 6 componenti di tensione totale : σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ xz ;
• pressione neutra della fase liquida : uδ ij ;
• 6 componenti di deformazione : ɛ x, ɛ y, ɛ z, γ xy, γ yz, γ xz ;
• 3 componenti della velocità di flusso: v x, v y, v z .
In totale il problema tridimensionale per un MEZZO BIFASE presenta 19 incognite, e quindi è necessario andare a
ricercare 19 equazioni che leghino tra loro queste grandezze.
EQUAZIONI (19):
• Equazioni indefinite di equilibrio quasistatico alla traslazione relativa agli sforzi totali.
∂σ ij
∂ x j
γδ iz
=0
3 equazioni
• Equazioni di congruenza tra le componenti di spostamento e le componenti di deformazione (ipotesi di piccoli
spostamenti), per evitare che non vi sia né lacerazione né sovrapposizione di materia.
ɛ ij
= 1 2
∂U i
∂U j
∂ x j
∂ x i
6 equazioni
il segno meno compare perché vengono assunte positive le compressioni.
• Legame costitutivo che descrive le relazioni tra gli sforzi efficaci e le deformazioni (comportamento dello scheletro
solido).
d ɛ ij
=C ijhk
I
σ hk
I
d σ hk
6 equazioni
Il legame costitutivo viene scritto in forma non differenziale in quanto generalmente è di tipo non lineare e questo è
evidenziato dal fatto che i coefficienti di legame sono funzione dello stato tensionale.
• Equazione di continuità che lega le velocità di flusso alla componente di deformazione volumetrica:
∂ v i
= ∂ɛ v
∂ x i
∂ t
1 equazione
dove v=ɛ hk δ hk rappresenta la variazione volumetrica.
• Legge di flusso di Darcy che lega le velocità alla quota piezometrica:
v i
=k ∂ h
∂ x i
3 equazioni con h=z u γ w
Abbiamo ottenuto un totale di 19 equazioni, e quindi il problema risulta essere ben posto.
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Vediamo di semplificare le equazioni che abbiamo esposto:
1. Consideriamo l’equazione indefinita di equilibrio:
∂σ ij
∂ x j
γδ iz
=0
I
σ ij
=uδ ij
σ ij
⇒
I
∂σ ij
∂ u δ
∂ x j
∂ x
ij
γδ iz
=0
j
dove
∂ u
= ∂ u δ
∂ x i
∂ x
ij
j
ma secondo la definizione di quota piezometrica possiamo dire che:
h= z u γ w
⇒ u=γ w
hγ w
z
la quale può essere sostituita nella precedente equazione:
I
∂σ ij
∂ x j
γ w
∂ h
∂ x i
γ w
∂ z
∂ x i
γδ iz
=0
I
∂σ ij ∂ h
γ
∂ x
w
γ
j
∂ x
w
δ iz
γδ iz
=0
i
I
∂σ ij ∂ h
γ
∂ x
w
γγ
j
∂ x
w
δ iz
=0 con γγ w
=γ I
i
I
∂σ ij ∂ h
γ
∂ x
w
γ I δ
j
∂ x
iz
=0
i
Notiamo in quest’ultima equazione che la variazione di tensione efficace dipende da 2 fattori: da una componente che
dipende dal peso dell’unità di volume immerso in acqua e da una componente che è dovuta alla piezometrica che
determina il moto di filtrazione. L’effetto dell’acqua è duplice e non è dovuto tanto alla sua presenza quanto piuttosto
alla sua pressione.
2. Consideriamo l’equazione di continuità:
∂ v i
= ∂ɛ v
∂ x i
∂ t
all’interno di questa equazione è possibile sostituire la legge di Darcy:
v i
=k ∂ h
∂ x i
e quindi si ottiene che:
k ∂2 h
∂ x =∂ɛ v
2
i
∂ t
La deformazione volumetrica ɛ v può essere espressa in termini di tensore di deformazione ɛ ij nel modo seguente:
ɛ v
=ɛ ij
δ ij
e quindi abbiamo che:
k ∂2 h
∂ x =∂ɛ ij
2
i
∂ t δ ij
Facendo riferimento al legame costitutivo possiamo ricavare la quantità
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∂ɛ ij
∂ t
Per cui vale che:
ɛ ij
=C ijhk
I
σ hk
k ∂2 h
∂ x i
2 =C ijhk
k ∂2 h
∂ x i
2 =C ijhk
I
d σ hk
I
σ hk
I
∂σ hk
∂ t
I
∂σ hk
δ ij
∂ t
δ ij
⇒
∂ɛ ij
∂ t =C ijhk
Con queste semplificazioni abbiamo ottenuto due serie di equazioni in cui compaiono come incognite la sola quota
piezometrica h e le componenti della tensione efficace σ ij
I
.
Osserviamo che in generale il problema risulta essere accoppiato in quanto in entrambe le equazioni compaiono le
incognite sopra citate. C’è un problema idraulico e un problema statico, accoppiati.
In altre trattazioni il problema tridimensionale trova una soluzione accoppiata nel senso che in essa variano
contemporaneamente e indipendentemente sia le tensioni totali che le pressioni interstiziali.
Esistono però dei casi particolari in cui si annullano dei termini e quindi le equazioni si presentano in forma
disaccoppiata.
CASI PARTICOLARI:
A) TERRENO SECCO
Se il terreno è secco non vi sono interazione tra i due materiali: aria e solido.
La pressione dell’aria può variare dall’esterno all’interno del terreno ma con gradienti molto piccoli per l’elevata
comprimibilità dell’aria.
Il problema è disaccoppiato. Il mezzo terreno può essere affrontato come se il mezzo fosse secco e l’aria non ci
fosse: ho il MEZZO SOLIDO MONOFASE e l’analisi viene condotta in termini di TENSIONI TOTALI.
B) ACQUA IN QUIETE (IDROSTATICA)
Se siamo in condizioni idrostatiche, cioè non esistono gradienti idraulici che possono indurre dei moti di filtrazione,
allora nelle equazioni si annullano i termini che contengono le derivate parziali delle quote piezometriche; in questo
modo si determinano delle relazioni nelle sole incognite tensioni efficaci.
C) L’ACQUA FILTRA IN CONDIZIONI DI REGIME
Se ci troviamo in un regime di moto di filtrazione permanente (ad esempio non variano le condizioni al contorno nel
tempo) allora si annullano tutte le derivate temporali. In questo caso lo sforzo efficace non subisce alcuna variazione
nel tempo e la seconda equazione di Laplace applicata all’incognita quota piezometrica h.
I
∂σ hk
∂ t
=0 da cui ∇ 2 h=0
D) IL TRANSITORIO 9
Per quanto riguarda il processo di CONSOLIDAZIONE non possono essere fatte particolari semplificazioni in
quanto abbiamo una variazione volumetrica nel tempo e le condizioni del problema sono di moto transitorio.
SOLUZIONE APPROSSIMATA.
Una ipotesi semplificativa potrebbe essere quella di considerare lo stato tensionale totale costante nel tempo durante
la fase transitoria. Questa ipotesi è corretta nel caso del problema monodimensionale, ma non è necessariamente vera
nel caso tridimensionale (troveremo in questa situazione una soluzione approssimata).
Con questa ipotesi possiamo dire che:
∂σ hk
∂ t
=0 σ I ij
=σ ij
uδ ij
⇒
I
∂σ hk
Secondo questa ipotesi possiamo andare a sostituire nella seconda equazione
∂ t
I
σ hk
I
∂σ hk
∂ t
= ∂ u
∂ t δ hk
9 Renato Lancellotta, Geotecnica, Zanichelli Editore, Bologna 1993, pp. 170−173.
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k ∂2 h
∂ x i
2 =C ijhk
I
∂σ hk
∂ t
δ ij
k ∂2 h
∂ x =C ∂ u
2 ijhk
i
∂ t δ δ hk ij
k ∂2 h
∂ x =C ∂ u
2 iihh
i
∂ t
Dalla definizione di quota piezometrica differenziata due volte rispetto ad x i:
h= z u ∂ h
=δ
γ w
∂ x
iz
1 ∂ u
i
γ w
∂ x i
Sostituendo nella relazione precedente:
k ∂ 2 u
γ w
∂ x i
2 =C iihh
∂ u
∂ t
∂ 2 h
∂ x = 1 ∂ 2 u
2 2
i
γ w ∂ x i
La quantità C iihh rappresenta la COMPRIMIBILITÀ VOLUMETRICA e viene indicata con la lettera m.
k
∂ 2 u
γ w ∂ x =m ∂ u
2
i
∂ t
questa equazione è l’analoga di quella che avevamo ricavato nel caso monoassiale (equazione della consolidazione
di Terzaghi).
Questa equazione può essere considerata anche nel caso si consolidazione tridimensionale nell’ipotesi che
l’andamento delle tensioni totali non vari nel tempo. Se l’ipotesi è accettabile possiamo risolvere un problema
disaccoppiato altrimenti è necessario andare a considerare il problema accoppiato.
La soluzione approssimata e disaccoppiata coincide abbastanza bene con la soluzione rigorosa e accoppiata, a meno
della fase iniziale. La soluzione approssimata non tiene conto dell’EFFETTO DI MANDEL−CRYER. Mandel e Cryer
furono i primi ad accorgersi e ad occuparsi di questo comportamento.
Facendo un’analisi secondo il problema accoppiato nella
prima fase del problema di consolidazione abbiamo una
riduzione delle tensioni neutre rispetto al problema
disaccoppiato. Questo significa che nel problema
accoppiato abbiamo un livello di stato tensionale
efficace superiore al problema disaccoppiato. Tutto
questo comporta che nella prima fase del processo con
la soluzione approssimata si ottiene un grado di
consolidazione inferiore e questo va sotto il nome di
EFFETTO DI MANDEL−CRYER.
Figura11.3
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Solitamente l’effetto Mandel−Cryer si rappresenta con il caso di una sfera di terreno alla quale applichiamo uno stato
tensionale isotropo.
Nell’istante t=0 di applicazione del carico non fa in tempo ad uscire
l’acqua e quindi abbiamo un incremento della pressione neutra. Si
realizza in questo modo un gradiente idraulico in prossimità della
superficie della sfera e quindi si instaura un regime di filtrazione
all’interno all’esterno; in questo modo si ottiene una progressiva
riduzione delle pressioni neutre lungo il contorno con un conseguente
incremento delle tensioni efficaci a parità di tensioni totali. Per effetto
di questo incremento di tensioni efficaci si registra una conseguenza
sullo scheletro solido: la striscia esterna tende a contrarsi e questo
provoca un ulteriore stato di sforzo in corrispondenza dell’interfaccia
e quindi cambia nuovamente la tensione neutra (questo succede perché
ci troviamo in una situazione tridimensionale). É un effetto di
cerchiatura che aumenta le tensioni efficaci all’interno della sfera.
Questo aspetto può essere di rilevante importanza quando si realizza
un rilevato su un terreno poco consistente; può succedere che il
rilevato si mantiene per qualche giorno, ma poi crolla a seguito
Figura11.4
dell’incremento dello stato tensionale quando il processo di
consolidazione ha raggiunto un certo livello. Questo significa che le
condizioni più gravose non si hanno subito ma si verificano dopo qualche giorno dalla costruzione.
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