Algebra Relazionale - Virgilio

Algebra Relazionale 

Linguaggi di query per database relazionali 

• Operazioni su database: 

– query: “legge" dati dal database 

– aggiornamenti: cambia il contenuto del database 

• Entrambe possono essere viste come trasformazioni da database a 

database 

• Strumenti teorici per lo studio dei linguaggi di query: 

– Algebra relazionale, un linguaggio “procedurale” 

– Calcolo relazionale, un linguaggio “dichiarativo” 

– Datalog, formalismo basato sulla programmazione logica 

• SQL: linguaggio esistente (con caratteristiche sia procedurali che 

dichiarative) ) per query e aggiornamenti 

(c) Carlo Mereghetti Algebra Relazionale 2

Algebra Relazionale 

• Un insieme di operatori 

– Definiti su relazioni 

– Che producono relazioni 

e, quindi, possono essere combinati in espressioni complesse 

• Operatori 

– Unione, intersezione, differenza 

– Ridenominazione 

– Selezione 

– Proiezione 

– Join (naturale, prodotto cartesiano, theta join) 

(c) Carlo Mereghetti Algebra Relazionale 3 

Una visione d'insieme 

unarie 

ridenominazione 

selezione 

proiezione 

operazioni 

binarie 

unione 

intersezione 

differenza 

join 


Unione, intersezione, differenza 

• Le relazioni sono insiemi; possiamo applicare le classiche 

operazioni insiemistiche 

• Attenzione! Vogliamo che I risultati siano relazioni (cioė, 

insiemi omogenei di tuple) 

• Quindi: 

– È necessario applicare gli operatori di unione, 

intersezione e differenza solamente su relazioni definite 

sugli stessi attributi 


Unione 

CICLISMO 

CF Cognome Eta` 

RSSX Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

CALCIO 


RSSY Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

Persone Persone che che hanno hanno 

l’hobby l’hobbydel del ciclismo ciclismo 



oppure oppuredel del calcio calcio 

CICLISMO ∪ CALCIO 


RSSX Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

RSSY Rossi 20 


l’hobby l’hobbydel del calcio calcio 


Intersezione 

CICLISMO 


RSSX Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

CALCIO 


RSSY Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 




entrambi entrambigli gli hobby hobby 

CICLISMO ∩ CALCIO 


NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 




CICLISMO 


RSSX Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

CALCIO 


RSSY Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

Differenza 



CICLISMO - CALCIO 


solo solol’hobby l’hobby del del ciclismo ciclismo 


RSSX Rossi 20 

Differenza: Differenza: operazione operazione 

non non commutativa 

commutativa 

CALCIO - CICLISMO 


RSSY Rossi 20 




solo solol’hobby l’hobby del del calcio calcio 


Un semplice esempio di query 

CICLISMO 




RSSX Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 

Persone che che hanno 

solamente uno uno 

dei deidue due hobby 

CALCIO 


RSSY Rossi 20 

NRXY Neri 21 

VRDX Verdi 20 



CICLISMO – CALCIO ∪ CALCIO – CICLISMO 

oppure 

CICLISMO ∪ CALCIO – CICLISMO ∩ CALCIO 


RSSX Rossi 20 

RSSY Rossi 20 


Cardinalità (numero delle tuple) 

Siano R e S due relazioni con cardinalità | R | e | S | 

Qual è la cardinalità delle relazioni 

R ∪ S 

| R ∪ S | = | R | + | S | - | R ∩ S | 

R - S 

| R - S | = | R | - | R ∩ S | 


Un’unione significativa ma impossibile 

Tabella1 

Attore Età 

Paolo Rossi 34 

Mario Bianchi 35 

Carlo Verdi 43 

Tabella2 

Attrice Età 

Sara Blu 24 

Eva verdi 27 

Sara Neri 32 

Tabella1 ∪ Tabella2 ??? 

• PROBLEMA: Attore e Attrice sono nomi differenti, ma 

entrambi denotano il fatto di far parte del cast 

• SOLUZIONE: rinominare gli attributi 


Ridenominazione 

• Operatore unario 

• Cambia il NOME degli attributi senza cambiarne il valore 

• Consente alcune operazioni di tipo insiemistico 

• Notazione: 

– ρ Y← X (r) 

• esempio: 

– ρ Genitore← Padre (Paternità) 

• Se sono coinvolti più attributi, l’ordine è importante: 

– ρ A,B ← C,D (Impiegati) 


Esempio di ridenominazione 

Tabella1 

Attore Età 




ρ Nome ← Attore (Tabella1) 

Nome Età 





Ridenominazione ed Unione 

Tabella1 Attore Età 

Tabella2 Attrice Età 


Sara Blu 24 


Eva verdi 27 


Sara Neri 32 

ρ Nome ← Attore (Tabella1) ∪ ρ Nome ← Attrice. (Tabella2) 

Nome Età 




Sara Blu 24 

Eva Verdi 27 

Sara Neri 32 


Ridenominazione ed Unione su più 

attributi 

Impiegati 

Cognome Agenzia Salario 

Rossi Roma 45 

Neri Milano 53 

Operai 

Cognome Fabbrica Stipendio 

Bianchi Roma 45 

Verdi Firenze 53 

ρ Sede,Paga ← Agenzia,Salario (Impiegati) ∪ 

ρ Sede,Paga ← Fabbrica,Stipendio (Operai) 

Cognome Sede Paga 

Rossi Roma 45 

Neri Milano 53 

Bianchi Roma 45 

Verdi Firenze 53 


Selezione e Proiezione 

• Due operatori unari “ortogonali” 

– Selezione: decomposizione orizzontale 

– Proiezione: decomposizione verticale 

A B C 

Selezione 

A B C 

A B C 

Proiezione 

A B 


Selezione 

• Produce relazioni 

– con lo stesso schema di quelle cui è applicata 

– con un sottoinsieme di tuple (QUELLE CHE 

SODDISFANO UNA CONDIZIONE) 

σNome=‘Paolo’ (r) 

• Notazione: 

– σ F (r) 

r 

Matricola Nome 

40445 Paolo 

43555 Piero 

43566 Piero 

• Semantica: 

– σ F (r) = { t | t ∈ r e t soddisfa F} 

Matricola 

Nome 

40445 Paolo 

σ Nome=‘Paolo’ (r) 


Selezione, esempio 

Studenti 

Matricola Nome Cognome CdL 

40445 Paolo Rossi Fisica 

43555 Piero Bianchi Matematica 

43566 Piero Verdi Informatica 

55655 Marco Rossi Lettere 

σ Nome = ‘Piero’ or CdL = ‘Fisica’ (Studenti) 





Studenti che hanno Nome Piero 

OPPURE 

frequentano il CdL di Fisica 


Selezione, un altro esempio 

Studenti 






Studenti che se ferquentano matematica NON si chiamano ‘Piero’ 

σ CdL = ‘Matematica’ ⇒ Nome ’Piero’ (Studenti) 

Studenti 

not(Nome = ‘Piero’ and CdL = ‘Matematica’) 

Nome ‘Piero’ or CdL ‘Matematica’ 






Proiezione 

• Produce relazioni 

– su un SOTTOINSIEME degli attributi della relazione 

cui è applicata 

– tuple ristrette al sottoinsieme 

• Notazione: sia una relazione r(X) e Y ⊆ X: 

– π Y (r) 

r Matricola Nome 

• Semantica: 

– π Y (r) = { t [Y] | t ∈ r } 

40445 Paolo 

43555 Piero 

43566 Piero 

π Matricola (r) 

Matricola 

40445 

43555 

π 43566 

(c) Carlo Mereghetti Algebra Relazionale Matricola (r) 

20

Proiezione, esempio 

Studenti 

Cognome Nome CdL Univ 

Bianchi Carlo Fisica MI 

Rossi Marco Matematica TO 

Verdi Silvia Matematica MI 

Scuri Giorgio Biologia MI 

π Cognome,Nome (Studenti) 

Cognome 

Bianchi 

Rossi 

Verdi 

Scuri 

Nome 

Carlo 

Marco 

Silvia 

Giorgio 


Un esempio più difficile 

Studenti 






Cognome e nome degli Studenti MILANESI 

π Cognome,Nome σ Univ=‘MI’ (Studenti) 





π 

Cognome 

Bianchi 

Verdi 

Scuri 

Nome 

Carlo 

Silvia 

Giorgio 


Proiezione e selezione commutano tra loro ? 

Studenti 






Che tabella denota la seguente espressione 

π Cognome,Nome (Studenti) 

σ Univ=‘MI’ π Cognome,Nome (Studenti) 

Cognome 

Bianchi 

Rossi 

Verdi 

Scuri 

Nome 

Carlo 

Marco 

Silvia 

Giorgio 

σ Univ = ‘MI’ 

Cognome 

Nome 


Studenti 

Problema inverso 






σ Cognome=‘Bianchi’ π Cognome,Nome,Univ σ CdL=‘Biologia’ or CdL=‘Fisica’ (Studenti) ? 

Cognome Nome Univ 

Bianchi Carlo MI 

Studenti che frequentano Biologia o Fisica, hanno cognome ‘Bianchi’ 

e relativa Università d’appartenenza 

equivalentemente 

π Cognome,Nome,Univ σ (CdL=‘Biologia’ or CdL=‘Fisica’) and Cognome=‘Bianchi’ (Studenti) 


Cardinalità delle Proiezioni 

Studenti 


Rossi Marco Fisica MI 

Neri Massimo Fisica FI 

Viola Mary Matematica TO 

Blu Sara Matematica TO 

π Cognome, Nome (Studenti) 

Cognome 

Rossi 

Neri 

Viola 

Blu 

Nome 

Marco 

Massimo 

Mary 

Sara 



Studenti 


Rossi Marco Fisica MI 

Neri Massimo Fisica FI 

Viola Mary Matematica TO 

Blu Sara Matematica TO 

π CdL, Univ (Studenti) 

CdL 

Fisica 

Fisica 

Matematica 

Univ 

MI 

FI 

TO 

Unione delle 

due tuple 

uguali 



• Il risultato di una proiezione contiene AL PIÙ lo stesso 

numero di tuple di partenza 

• Alcune tuple, diventando uguali dopo la proiezione, 

collassano 

• π Y (r) contiene lo stesso numero di tuple di r se e solo se Y 

è una SUPERCHIAVE di r. 

– Ciò è vero anche quando Y è casualmente una 

superchiave per l’istanza r. 


Cardinalità delle Proiezioni, esempio 

Studenti 

Cognome Nome CdL Matricola 

Rossi Marco Fisica 305011 

Neri Massimo Fisica 345526 

Viola Mary Matematica 554363 

Blu Sara Matematica 565544 

π Cognome, Matricola π CdL π Cognome, Nome 

Cognome Matricola 

Rossi 305011 

Neri 345526 

Viola 554363 

Blu 565544 

| π | = | Studenti | 

CdL 

Fisica 

Matematica 

| π | < | Studenti | 

Cognome 

Rossi 

Neri 

Viola 

Blu 

Nome 

Marco 

Massimo 

Mary 

Sara 

| π | = | Studenti | 

casualmente 


SQL si comporta diversamente sulle proiezioni ! 

Diversamente dall’algebra relazionale, in SQL le proiezioni 

non collassano 

Studenti 

Cognome Nome CdL Matricola 

Rossi Marco Fisica 305011 

Neri Massimo Fisica 345526 

Viola Mary Matematica 554363 

Blu Sara Matematica 565544 

Algebra relazionale 

π CdL Studenti 

CdL 

Fisica 

Matematica 

Proiezione di CdL 

SQL 

Select CdL 

from Studenti 

CdL 

Fisica 

Fisica 

Matematica 

Matematica 


Join 

• Principale operatore dell’algebra relazionale 

• Consente di stabilire connessioni tra dati in tabelle 

differenti grazie al fatto che il modello relazionale è un 

modello “per valori” 

• Due forme principali di join: 

– join NATURALE: è importante il nome degli attributi 

– THETA join 

• Entrambi i tipi di join sono denotati dal simbolo 


Un esempio di join NATURALE 

Studenti 

Nome Cognome Matricola 


Piero Bianchi 43555 

Piero Verdi 43566 

Marco Rossi 55655 

Esami 

Matricola Materia Voto 

40445 Informatica 18 

55655 Fisica 24 

40445 Matematica 30 

43555 Algoritmi 27 

40445 Fisica 23 

Studenti 

Esami 

Nome Cognome Matricola Materia Voto 

Paolo Rossi 40445 Informatica 18 

Paolo Rossi 40445 Matematica 30 

Paolo Rossi 40445 Fisica 23 

Piero Bianchi 43555 Algoritmi 27 

Marco Rossi 55655 Fisica 24 


Join naturale: definizione 

• Due relazioni r 1 (X 1 ) e r 2 (X 2 ) 

• r 1 r 2 (join naturale di r 1 e r 2 ) è una relazione su X 1 ∪ X 2 avente come 

tuple l’insieme 

{ t su X 1 ∪ X 2 | t [X 1 ] ∈ r 1 e t [X 2 ] ∈ r 2 } 

o, equivalentemente 

{ t su X 1 ∪ X 2 | esiste t 1 ∈ r 1 e t 2 ∈ r 2 con 

t [X 1 ] = t 1 e t [X 2 ] = t 2 } 

Le tuple del join si ottengono come concatenazione di tuple che 

CONCORDANO SUI CAMPI COMUNI 


Join naturale: esempio 

Studenti ⇐ r 1 

Nome Cognome Matricola 


Piero Bianchi 43555 

Piero Verdi 43566 

Marco Rossi 55655 

Esami ⇐ r 2 

Matricola Materia Voto 

40445 Informatica 18 

55655 Fisica 24 

40445 Matematica 30 

43555 Algoritmi 27 

40445 Fisica 23 

Studenti Esami= { tsu X 1 ∪ X 2 | t [X 1 ] ∈ r 1 e t [X 2 ] ∈ r 2 } 

{ t su X 1 ∪ X 2 | esiste t 1 ∈ r 1 e t 2 ∈ r 2 con t [X 1 ] = t 1 e t [X 2 ] = t 2 } 

t 

Nome Cognome Matricola Materia Voto 

Paolo Rossi 40445 Informatica 18 

Paolo Rossi 40445 Matematica 30 

Paolo Rossi 40445 Fisica 23 

Piero Bianchi 43555 Algoritmi 27 

Marco Rossi 55655 Fisica 24 

X 1 X 2 

X1 ∩ X 2 


Join naturale: osservazioni 

• Le tuple nel join sono ottenute combinando tuple 

dalle relazioni di partenza che concordano sugli 

attributi comuni 

• Gli attributi comuni tipicamente formano una 

chiave per una delle due relazioni coinvolte 


Join naturale su più attributi 

Studenti 

Nome Cognome Matr Univ 

Paolo Rossi 40445 MI 

Piero Bianchi 43555 MI 

Marco Verdi 43566 TO 

Paolo Rossi 40445 FI 

Esami 

Materia Voto Univ Matr 

Informatica 18 TO 43566 

Fisica 24 MI 40445 

Matematica 30 MI 43555 

Algoritmi 27 MI 43555 

Fisica 23 FI 40445 

Studenti 

Esami 

Nome Cognome Matr Univ Materia Voto 

Paolo Rossi 40445 MI Fisica 24 

Piero Bianchi 43555 MI Matematica 30 

Piero Bianchi 43555 MI Algoritmi 27 

Marco Verdi 43566 TO Informatica 18 

Paolo Rossi 40445 FI Fisica 23 

•Quali chiavi? 

•Quali vincoli 

d’integrità? 

•Join naturale? 


I join possono essere “incompleti” 

Se una tupla in una relazione non ha una “controparte” nell’altra 

allora essa non partecipa al join (tupla “pendente”) 

Professori 

Dipartimenti 

Professore 

Rossi 

Bianchi 

Verdi 

Dipartimento 

Informatica 

Fisica 

Fisica 

Dipartimento 

Fisica 

Matematica 

Direttore 

Blu 

Neri 

Professori 

Dipartimenti 

Professore Dipartimento Direttore 

Bianchi Fisica Blu 

Verdi Fisica Blu 


I join possono essere vuoti 

Se nessuna tupla in una relazione ha una “controparte” nell’altra, 

cioè, se ogni tupla è “pendente” 

Professori 

Dipartimenti 

Professore 

Rossi 

Bianchi 

Verdi 

Dipartimento 

Informatica 

Fisica 

Fisica 

Dipartimento 

Biologia 

Matematica 

Direttore 

Blu 

Neri 

Professori 

Dipartimenti 

Professore Dipartimento Direttore 


Professore 

Rossi 

Bianchi 

Verdi 

I join possono essere “pieni” 

Se ogni tupla in una relazione ha una “controparte” nell’altra abbiamo 

un join di massima cardinalità pari al prodotto delle cardinalità 

Professori 

Dipartimento 

Fisica 

Fisica 

Fisica 

Professori 

Università 

Università 

Dipartimento 

Fisica 

Fisica 

Professore Dipartimento Città 

Rossi Fisica MI 

Rossi Fisica TO 

Bianchi Fisica MI 

Bianchi Fisica TO 

Verdi Fisica MI 

Verdi Fisica TO 

Città 

MI 

TO 


Cardinalità di un join 

Siano r 1 (X 1 ) e r 2 (X 2 ) due relazioni. In generale, vale che 

0 ≤ | r 1 r 2 | ≤ | r 1 | . | r 2 | 

( Notazione: | r | è la cardinalità dell’istanza r ). Inoltre: 

• Se il join è completo, allora 

| r 1 r 2 | ≥ max{| r 1 | , | r 2 |} 

• Se X 1 ∩ X 2 contiene una chiave per r 2 , allora 

| r 1 r 2 | ≤ | r 1 | 

• Se X 1 ∩ X 2 è una chiave primaria per r 2 ed esiste un vincolo 

di integrità referenziale tra X 1 ∩ X 2 in r 1 e tale chiave, allora 

| r 1 r 2 | = | r 1 | 


Join esterni (outer joins) 

• Variante del join che permette di mantenere informazioni 

da OGNI tupla 

• Le tuple che non hanno controparte vengono completate 

con dei NULL 

• Tre tipi di join esterno 

– Destro (right): sono completate solo le tuple della prima 

relazione 

– Sinistro (left): sono completate solo le tuple della 

seconda relazione 

– Pieno (full): sono completate le tuple di entrambe 

relazione 


Join esterni (outer joins) 

Esame 

Corsi 

Studente 

Rossi 

Verdi 

Bianchi 

Materia 

Fisica 

Fisica 

Informatica 

Professore 

Neri 

Scuri 

Materia 

Matematica 

Informatica 

Esame 

Esame 

LEFT Corsi 

RIGHT Corsi 

Studente Materia Professore 

Rossi Fisica NULL 

Verdi Fisica NULL 

Bianchi Informatica Scuri 


NULL Matematica Neri 


Esame 

FULL Corsi 


Rossi Fisica NULL 

Verdi Fisica NULL 


NULL Matematica Neri 


Il join naturale è 

Join n-ario 

• commutativo: r 1 r 2 = r 2 r 1 

• associativo: (r 1 r 2 ) r 3 = r 1 (r 2 r 3 ) 

Possiamo definire un join n-ario come: 

n 

r i 

i = 1 

Abbreviazione 

= r 1 r 2 … r n 


Cliente 

Cognome 

ID_Cliente 

Rossi 10 

Bianchi 11 

Verdi 9 

Join n-ario: esempio 

Noleggio 

ID_Cliente 

ID_CD 

10 1 

9 1 

10 2 

CD 

ID_CD 

Artista 

1 REM 

2 U2 

Cliente Noleggio CD 

Cognome ID_Cliente ID_CD Artista 

Rossi 10 1 REM 

Rossi 10 2 U2 

Verdi 9 1 REM 


Prodotto cartesiano di tabelle 

• Il join naturale è definito anche su tabelle che non 

hanno attributi comuni 

• In tal caso non imponiamo alcuna condizione sulle 

concatenazioni. Il join conterrà tutte le possibili 

concatenazioni ⇒ prodotto cartesiano 

• A volte il prodotto cartesiano viene indicato con 

r 1 ×r 2 


Prodotto cartesiano: esempio 

Studenti 

Cognome 

Corso 

CdL 

Nome 

Materia 

Rossi 

Bianchi 

Neri 

Fisica 

Fisica 

Matematica 

Fisica 

Matematica 

Meccanica 

Algebra 

Studenti 

CdL 

Cognome Corso Nome Materia 

Rossi Fisica Fisica Meccanica 

Rossi Fisica Matematica Algebra 

Bianchi Fisica Fisica Meccanica 

Bianchi Fisica Matematica Algebra 

Neri Matematica Fisica Meccanica 

Neri Matematica Matematica Algebra 


Join n-ario: esempio 

Cliente 

Cognome 

ID_Cliente 

Rossi 10 

Bianchi 11 

Verdi 9 

Noleggio 

ID_Cliente 

ID_CD 

10 1 

9 1 

10 2 

CD 

ID_CD 

Artista 

1 REM 

2 U2 

Cliente Noleggio CD 

Cognome ID_Cliente ID_CD Artista 

Rossi 10 1 REM 

Rossi 10 2 U2 

Bianchi 11 1 REM 

Bianchi 11 2 U2 

Verdi 9 1 REM 

Verdi 9 2 U2 


Theta join 

A volte, vedi l’esempio precedente, il prodotto cartesiano non 

è molto significativo: 

Theta join: join + selezione 

r 1 ϑ r 2 = σ ϑ (r 1 r 2 ) 

ϑ congiunzione di uguaglianze ⇒ equi-join 

es: ϑ = (ID = Matr) and (Ditta = Sede) and (Paga = Stipendio) 


Equi join: esempio 

Studenti 

Cognome 

Corso 

CdL 

Nome 

Materia 

Rossi 

Bianchi 

Neri 

Fisica 

Fisica 

Matematica 

Fisica 

Matematica 

Meccanica 

Algebra 

σ Corso = Nome (Studenti CdL) = Studenti Corso = Nome CdL 

Cognome Corso Nome Materia 

Rossi Fisica Fisica Meccanica 

Rossi Fisica Matematica Algebra 

Bianchi Fisica Fisica Meccanica 

Bianchi Fisica Matematica Algebra 

Neri Matematica Fisica Meccanica 

Neri Matematica Matematica Algebra 


Join naturale via equi join 

Di fatto, il join naturale viene realizzato mediante equi join. 

In che modo??? 

X ,Y campi comuni 

•INPUT: r(W,X,Y), s(X,Y,Z) 

•OUTPUT: r(W,X,Y) s(X,Y,Z) 

senza utilizzare il join naturale 



I step 

Ridenominazione dei campi comuni, così applico tranquillamente 

join naturali ottenendo prodotti cartesiani 

s(X,Y,Z) ⇒ ρ X’,Y’ ← X,Y (s) 

relazione su (X’,Y’,Z) 

II step 

Equi join sui campi ridenominati 

r(W,X,Y) X=X’ and Y=Y’ ρ X’,Y’ ← X,Y s(X,Y,Z) relazione su (W,X,Y,X’,Y’,Z) 



III step 

Proiezione degli attributi che effettivamente intervengono in 

r(W,X,Y) 

s(X,Y,Z) 

π W,X,Y,Z 

r(W,X,Y) 

X=X’ and Y=Y’ ρ X’,Y’ ← X,Y s(X,Y,Z) 


Query 

• Una query è una funzione da istanze di database a 

relazioni 

• Le query sono formulate in algebra relazionale 

mediante espressioni su relazioni 


Esempi di query: Esercizio 1 

Si assuma il seguente schema di data base per la gestione di una biblioteca: 

LIBRO(codice_libro, autore, titolo) 

LETTORE(codice_lettore, nome, cognome) 

PRESTITO(codice_lettore, codice_libro, data_prestito) 

Si esprima, nell’algebra relazionale, ciascuna delle seguenti affermazioni: 

a) Titoli dei libri presi a prestito il giorno 12/5/99; 

b) Autori dei libri presi a prestito dai signori Paolo Rossi; 

c) Codici dei lettori che hanno preso a prestito libri scritti da Gibson 

oppure da Sterling. 

a) a) π titolo titolo 

σ data_prestito=12/5/99 data_prestito=12/5/99 

PRESTITO LIBRO 

b) b) π autore autore 

σ nome=‘Paolo’ nome=‘Paolo’ and and cognome=‘Rossi’ cognome=‘Rossi’ 

LETTORE PRESTITO LIBRO 

c) c) π codice_lettore σ codice_lettore autore=‘Gibson’ autore=‘Gibson’ or or autore=‘Stirling’ LIBRO autore=‘Stirling’ PRESTITO 


Ulteriori aspetti dell’algebra relazionale 

 

 

 

Valori nulli nelle espressioni algebriche 

Viste 

Equivalenza di espressioni algebriche 


Come gestire NULL nelle espressioni 

condizionali? 

Esame 

Matricola Cognome Voto 

305011 Bianchi 23 

324511 Verdi 21 

308666 Neri NULL 

• σ Voto>22 (Esame) 

• Quali ennuple compaiono nel risultato? 

• La prima sì, la seconda no; e la terza? 


Una logica a tre valori 

• Vero (V) , Falso (F), Sconosciuto (U, unknown) 

• Tabelle di verità: 

not 

F 

U 

V 

V 

U 

F 

or F U V 

F F U V 

U U U V 

V V V V 

and F U V 

F F F F 

U F U U 

V F U V 

• Una selezione produce come risultato le ennuple per cui il 

predicato di selezione è VERO 

• In molti casi la logica a tre valori produce un risultato 

“sensato,“ in altri no 


Esame 

Qualche problema col NULL 


305011 Bianchi 23 

324511 Verdi 21 


Che tabella denota la seguente espressione? 

σ Voto > 22 (Esame) ∪ σ Voto ≤ 22 (Esame) 

• Intuitivamente: 

• Di fatto: 

Esame 

Esame - σ Matricola = 308666 (Esame) 

Cio` perche’ le le selezioni vengono valutate 

SEPARATAMENTE 


Esame 

Qualche problema col NULL 


305011 Bianchi 23 

324511 Verdi 21 


Che tabella denota la seguente espressione? 

σ Voto > 22 or Voto ≤ 22 (Esame) 

• Intuitivamente: 

• Di fatto: 

Esame 

Esame - σ Matricola = 308666 (Esame) 

Cio` perche’ anche le le condizioni atomiche vengono valutate 

SEPARATAMENTE 


Come ottenere risultati sempre sensati? 

Trattare il valore nullo "sintatticamente," con 

condizioni atomiche specifiche: 

A is NULL 

A is not NULL 

Anche in in SQL 

Vero quando A contiene NULL 

Vero quando A non contiene NULL 


Come ottenere Esami con la selezione su Voto? 

Esame 


305011 Bianchi 23 

324511 Verdi 21 


σ Voto > 22 (Esame) ∪ σ Voto ≤ 22 (Esame) ∪ σ Voto is NULL (Esame) 

σ Voto > 22 or Voto ≤ 22 or Voto is NULL (Esame) 

La presenza di NULL va gestita esplicitamente 


Viste e Architettura ANSI/SPARC per DBMS 

utenti 

Schema esterno 


utenti 



utenti 



Schema logico 

Schema logico 

Schema interno (fisico) 

Schema interno (fisico) 

Possono essere 

realizzate 

tramite VISTE 


Afferenza 

Impiegato 

Rossi 

Neri 

Bruni 

Mori 

Viste, esempio 

Direzione 

Reparto 

Reparto 

Vendite 

Acquisti 

Acquisti 

Vendite 

Vendite 

Personale 

Personale 

Direttore 

Leoni 

Falchi 

Leoni 

Supervisione 

Impiegato Reparto Direttore 

Rossi Vendite Falchi 

Neri Acquisti Leoni 

Bruni Vendite Falchi 

Mori Personale Leoni 

Relazioni base base 

Vista = Relazione derivata da da quelle base 


Viste (relazioni derivate) 

• Possono esistere rappresentazioni diverse per gli stessi dati 

(cfr. architettura ANSI/SPARC a tre livelli) 

• In una base dei dati relazionale, relazioni derivate: 

– relazioni il cui contenuto è funzione del contenuto di 

altre relazioni (definito per mezzo di interrogazioni) 

• In contrasto, le relazioni di base hanno un contenuto 

autonomo 

• Le relazioni derivate possono essere definite su altre 

derivate, a patto che non esistano definizioni circolari 

• Viste = Relazioni derivate 

• Anche in SQL 


Viste virtuali e materializzate 

• Due tipi di relazioni derivate: 

– viste materializzate: relazioni derivate memorizzate 

nella base di dati; 

VANTAGGI: immediatamente disponibili per le 

interrogazioni 

SVANTAGGI: appesantiscono gli aggiornamenti; 

non sono supportate dai DBMS 

– relazioni virtuali (o viste): sono supportate dai DBMS; 

una interrogazione su una vista viene eseguita 

"ricalcolando" la vista 


Viste, motivazioni 

• Schema esterno o vista d'utente: 

– ogni utente vede solo cio' che gli interessa e nel modo 

in cui gli interessa, senza essere distratto dal resto 

– ogni utente vede solo cio' che e' autorizzato a vedere 

(autorizzazioni sulle viste) 

• Strumento di programmazione: con le viste si puo' 

semplificare la scrittura di interrogazioni; molto utile per 

espressioni complesse e/o con sottoespressioni ripetute 

Invece: 

• L'utilizzo di viste non influisce sull'efficienza delle 

interrogazioni (salvo aspetti trascurabili) 


Afferenza 

Impiegato 

Rossi 

Neri 

Bruni 

Mori 

Viste, esempio 

Direzione 

Reparto 

Reparto 

Vendite 

Acquisti 

Acquisti 

Vendite 

Vendite 

Personale 

Personale 

Direttore 

Leoni 

Falchi 

Leoni 

Definizione della vista Supervisione 

Supervisione = Afferenza Direzione 

Operatore di creazione di una vista. Analogo all’assegnamento 

σ Direttore='Leoni' (Supervisione) eseguita come σ Direttore='Leoni' (Afferenza 

Direzione) 


Viste e aggiornamenti, attenzione 

Afferenza 

Impiegato Reparto 

Direzione 

Reparto Direttore 

Rossi Vendite 

Acquisti Leoni 

Neri Acquisti 

Vendite Falchi 

Supervisione 

Impiegato Direttore 

Rossi Falchi 

Neri Leoni 

Vista: 

Supervisione = 

π Impiegato, Direttore (Afferenza 

Direzione) 

• Vogliamo inserire, nella vista, il fatto che Mori ha come 

direttore Lupi; come facciamo? 

• Gli aggiornamenti possibili sulle viste sono limitati 


Viste come strumento di programmazione, 

per semplificare la stesura di query 

Afferenza 

Impiegato 

Rossi 

Neri 

Reparto 

Vendite 

Acquisti 

Direzione 

Reparto 

Acquisti 

Vendite 

Direttore 

Leoni 

Falchi 

Vista 

Supervisione = (Afferenza 

Direzione) 

Trovare gli impiegati che hanno lo stesso direttore di Rossi 


Trovare gli impiegati che hanno lo stesso direttore di Rossi 

AFFERENZA(Impiegato, Reparto) 

DIREZIONE(Reparto, Direttore) 

0 Passo 

Vista 

Supervisione = (Afferenza 

Direzione) 

I Passo 

Trovare il direttore di Rossi 

π Direttore (σ Impiegato=‘Rossi' (Afferenza 

Direzione)) 

II Passo Usare I Passo nella tabella Afferenza Direzione 

π Impiegato (π Direttore (σ Impiegato=‘Rossi' (Afferenza Direzione)) (Afferenza Direzione)) 

Con vista π Impiegato (π Direttore (σ Impiegato=‘Rossi‘ Supervisione) Supervisione) 


Equivalenza di espressioni algebriche 

Esempio dall’aritmetica 

Equivalente a 

x + y(z + x) x + yz + yx x(1 + y) + yz 

Applicazione di di proprietà dell’algebra 

Anche nell’algebra relazionale viene studiata l’equivalenza 

tra espressioni 


Equivalenze assolute e “in casi particolari” 

Esempio dall’aritmetica 

x + x = x. x non e` vera in generale ma in certi casi 

x ∈ {0,2} 

Esempio dall’algebra relazionale 

π A σ A > 0 (R) ≡ σ A > 0 π A (R) e` vera in generale (per ogni schema) 

π C (R S) ≡ R π C R π C S e` vera sse R ed S hanno in comune {C} 

Dipende dallo schema 


Equivalenza nell’algebra relazionale 

Due tipi di equivalenze 

Relativa: E 1 ≡ R E 2 se E 1 (r) = E 2 (r) per ogni istanza r di R 

Assoluta: E 1 ≡ E 2 se E 1 ≡ R E 2 per ogni R 

π A σ A > 0 (R) ≡ σ A > 0 π A (R) e` vera in generale (per ogni schema) 

π C (R S) ≡ R π C R π C S 

e` vera sse R ed S hanno in comune {C} 


Importanza di stabilire equivalenze 

Esecuzione di una query in un DBMS 

Query SQL 

Trasformazione in in 

espressioni algebriche 

Ottimizzatore di di 

query 

Esecuzione 

della query 

Scelta dell’espressione 

di di “minor costo” 


Come eseguire una query 

STUDENTI(Nome, Cognome, Indirizzo, Matr) 

ESAMI(Matr, Materia, Voto, Data) 

Esami di Paolo Rossi 

1. 1. σ Nome=‘Paolo’ Nome=‘Paolo’ and and Cognome=‘Rossi’ (STUDENTI Cognome=‘Rossi’ ESAMI) 

2. 2. σ Nome=‘Paolo’ Nome=‘Paolo’ and andCognome=‘Rossi’ (STUDENTI) ESAMI 

Quale la più vantaggiosa in termini operativi? 

La seconda opera con tabelle più succinte 


Alcune equivalenze dell’algebra relazionale 

• σ P and Q R ≡ σ P (σ Q R) 

• π A (E) ≡ π A (π A,B (E)) 

Atomizzazione delle selezioni 

preparatoria 

Idempotenza delle proiezioni 

preparatoria 

• σ F (E 1 E 2 ) ≡ E 1 σ F (E 2 ) Pushing selections down 

se la condizione F fa riferimento 

unicamente ad attributi in E 2 

• σ F (E 1 E 2 ) ≡ E 1 F E 2 Selezione + Prod. cart. = theta join 


Anticipazione della proiezione rispetto al join 

Espressioni 

E 1 E 2 

Attributi 

X 1 X 1 ∩ X 2 

X 2 

E 2 

π X1 ,Y 2 

( E 1 

) ≡ E 1 π Y2 E 2 

Y 2 

Su cui viene fatto il join 

Non partecipano al join 


Esempio di query “inefficiente” 


ESAMI(Stud, Materia, Voto, Data) 

Nome e cognome degli studenti che hanno sostenuto l’esame di Fisica 

π Nome, Nome, Cognome (σ Cognome (σ Matr=Stud Matr=Stud and and Materia=‘Fisica’ (ESAMI Materia=‘Fisica’ STUDENTI)) 

Operativamente inefficiente: devo calcolare il prodotto cartesiano 

di due “grandi” tabelle per estrarre un numero ristretto di tuple 

Provo a trasformarla 


Trasformazione in query “efficiente” 


ESAMI(Stud, Materia, Voto, Data) 

π Nome, Nome, Cognome (σ Cognome (σ Matr=Stud Matr=Stud and and Materia=‘Fisica’ (ESAMI 

Materia=‘Fisica’ STUDENTI)) 

1° passo) π Nome, Cognome (σ Matr=Stud ( σ Materia=‘Fisica’ (ESAMI STUDENTI))) 

2° passo) π Nome, Cognome (σ Matr=Stud ( σ Materia=‘Fisica’ ESAMI) STUDENTI)) 

3° passo) π Nome, Cognome (( σ Materia=‘Fisica’ ESAMI) Matr=Stud STUDENTI) 

4° passo) π Nome, Cognome (π Matr ( σ Materia=‘Fisica’ ESAMI) Matr=Stud STUDENTI) 


Alcune equivalenze che coinvolgono 


• σ F (E 1 ∪ E 2 ) ≡ σ F (E 1 ) ∪ σ F (E 2 ) 

Distributività di σ su ∪ 

• σ F (E 1 -E 2 ) ≡ σ F (E 1 ) - σ F (E 2 ) Distributività di σ su - 

• π X (E 1 ∪ E 2 ) ≡ π X (E 1 ) ∪ π X (E 2 ) 

Distributività di π su ∪ 

Attenzione! 

π X (R (R 11 -R 22 )) ≠ π X (R (R 11 ))--π X (R (R 22 )) 


Studente1 

Matricola Cognome 

304 Rossi 

305 Blu 

Studente2 


304 Rossi 

305 Verdi 

π X (R 1 -R 2 ) 

Studente1 - Studente2 


305 Blu 

π X (R 1 ) - π X (R 2 ) 

π Matricola 

(Studente1) π Matricola 

(Studente2) 

Matricola 

304 

305 

Matricola 

304 

305 

π Matricola (Studente1 - Studente2) 

π Matricola 

(Studente1) - π Matricola 

(Studente2) 

Matricola 

305 

≠ 

Matricola 


Alcune equivalenze che coinvolgono 


• σ Por Q R ≡ σ P (R) ∪ σ Q (R) 

or = ∪ 

• σ P and Q R ≡ σ P (R) ∩ σ Q (R) 

and = ∩ 

•E (E 1 ∪ E 2 ) ≡ (E E 1 ) ∪ (E E 2 ) Distributività 

di su ∪

Algebra Relazionale - Virgilio

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