Implementazione del metodo Galerkin/Elementi–Finiti in 1d

Implementazione del metodo Galerkin/Elementi–Finitiin 1dCorso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004

Definizione del problemaVogliamo risolvere il problema:{−u ′′ = 1 in (0, 1)u(0) = u(1) = 0(1)La soluzione di questo problema è :u(x) = 1 x(1 − x)20.12(1/2)*x*(1-x)0.10.080.060.040.0200 0.2 0.4 0.6 0.8 1xCorso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 1

Formulazione deboleLa forma debole del problema 1 è:⎧⎪⎨⎪⎩cercare u ∈ V = H 1 0(0, 1)t.c.∫ 1 ∫ 1− u ′′ ϕ dx = 1 · ϕ dx ∀ϕ ∈ V00(2)Integrando per parti si ottiene:−∫ 1u ′′ ϕ dx =∫ 1∫1u ′ ϕ ′ dx − ϕu ′ | 1 = 0u ′ ϕ ′ dx000Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 2

Il metodo di GalerkinV hSia V h ⊂ V un sottospazio di dimensione finita N h e sia {ϕ i } ⊆ V h una base dicercare u⎧⎪ h ∈ V h t.c.⎨⎪ ⎩∫ 10u ′ hϕ ′ i dx =∫ 101 · ϕ i dx ∀ϕ i ∈ V h(3)Possiamo esprimere u h come combinazione lineare dei vettori della base:u h =N h∑u j ϕ j ⇒ u ′ h =j=1N h∑u j ϕ ′ jj=1In questo modo la 3 2 diventa:N h∑∫u j1j=10ϕ ′ iϕ ′ j dx =∫ 10ϕ i dxi = 1, . . . , N hCorso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 3

doveAbbiamo un sistema lineareA ij =∫ 1Au = fϕ ′ iϕ ′ j dx, f i =∫ 1ϕ i dx0e il vettore delle incognite u è formato dalle componenti di u h rispetto alla base {ϕ i }0Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 4

Elementi finiti linearidefiniamo una triangolazione di (0, 1)φ ix 0 x 1x 2x 3x i-1 x ix i+1x N h-1 x Nh-1 x Nh+1Scegliamo come sottospazio V h lo spazio delle funzioni continue in (0, 1) e linearinei sottointervalli.una base di V h è:{ϕ i } = {ϕ i ∈ V h t.c. ϕ i (x j ) = δ ij }Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 5

Implementazione del metodo degli elementi finitiPer costruire la matrice A, spezziamo gli integrali in (0, 1) in integrali sugliintervalli:A ij =∫ 10ϕ ′ iϕ ′ j dx =N h +1∑k=1∫ x kx k−1ϕ ′ iϕ ′ j dxSfruttando il fatto che ϕ i (x) ≠ 0 solo se x ∈ (x i−1 , x i+1 ) otteniamo cheA ij =⎧⎪⎨⎪⎩0 se |i − j| > 1x∫i+12 se i = jϕ ′ ix i−1∫ x ix i−1ϕ ′ iϕ ′ i−1 se j = i − 1x i+1 ∫x iϕ ′ iϕ ′ i+1 se j = i + 1Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 6

• i termini di matrice diversi da 0 sono N h + 2 ∗ (N h − 1) (la matrice è sparsa etridiagonale)• ciascun termine della matricesottointervalliè dato dalla somma di pochi integrali suiPosso utilizzare il seguente algoritmo per costruire la matrice A:1. pongo a 0 tutti gli elementi di A2. calcolo tutti gli integrali su ciascun sottointervallo3. costruisco gli elementi di A come somma di integrali parzialiVantaggi:1. estensione al caso multidimensionale2. calcolo paralleloCorso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 7

In ogni sottintervallo (x k−1 , x k ) ho quattro integrali ≠ 0, posso organizzarli in unamatrice locale:A loc =i = k − 1, j = k − 1 i = k − 1, j = ki = k, j = k − 1 i = k, j = kA loc11 andrà sommato a A k−1,k−1A loc12 andrà sommato a A k−1,k etc...Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 8

Implementazione in matlaba=0;b=1;L= b-a;Nnodi = 100;Nelementi = Nnodi-1;h = L/Nelementi;nodi = [0:h:L];elementi = [1:Nnodi-1;2:Nnodi];nodidirichlet = [1,Nnodi];% ---------------------------------------------------------------% Costruzione della matrice dei coefficientiA = sparse(zeros(Nnodi));% Ciclo sugli elementi:for iel=1:NelementiCorso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 9

% Costruzione matrice localemloc = zeros(2);% ciclo sulle righe della matrice localefor inode =1:2% calcolo il gradiente della% fdf relativa al nodo inodeigrad = (-1)ˆinode/h;% ciclo sulle colonne della matrice localefor jnode =1:2% calcolo il gradiente della% fdf relativa al nodo jnodejgrad = (-1)ˆjnode/h;% calcolo l’integrale di igrad*jgrad% sull’elemento iel e lo assegno% all’elemento inode,jnode di mlocmloc(inode,jnode) = igrad*jgrad*h;end % fine ciclo sulle colonne della matrice localeend % fine ciclo sulle righe della matrice locale% Assemblaggio:Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 10

endfor inode =1:2for jnode =1:2A(elementi(inode,iel),elementi(jnode,iel)) = ...A(elementi(inode,iel),elementi(jnode,iel)) + ...mloc(inode,jnode);endend% fine ciclo sugli elementi.% ---------------------------------------------------------------% Costruzione del termine notof = zeros(Nnodi,1);% Ciclo sugli elementi:for iel=1:Nelementi% Costruzione termine noto localevloc = zeros(2,1);% ciclo sulle righe del termine noto localefor inode =1:2% calcolo l’integrale della fdf% relativa al nodo inode% sull’elemento iel e lo assegnoCorso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 11

% all’elemento inode di vlocvloc(inode) = h/2;end % fine ciclo sulle righe della matrice localeend% Assemblaggio:for inode =1:2b(elementi(inode,iel)) = ...vloc(inode);end% fine ciclo sugli elementi.% ---------------------------------------------------------------% Imposizione delle condizioni al contornoA(nodidirichlet,:)=[];A(:,nodidirichlet)=[];f(nodidirichlet)=[];% ---------------------------------------------------------------% Risoluzione del sistema lineareuh = [0; A\f; 0];Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 12

EsercizioDimostrare che, in questo caso, il metodo fornisce la soluzione esatta nei nodi.Corso di Metodi Numerici per La Microelettronica, 2 o Semestre A.A 2003–2004 13