Esercizi di Analisi Mat. 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

6.3. Cambiamento di variabili negli integraliEs. 6.45 — ∫∫ ydA dove D è la regione del primo quadrante delimitata dalle circonferenzeDcirconferenze x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 2y.Es. 6.46 — ∫∫ D arctan ( y )dA dove D è il semicerchio di centro (0, 0) e raggio 2 nel semipianoxpositivo delle y.Trovare lo jacobiano delle seguenti trasformazioniEs. 6.47 —{x = u + 2vy = 5u − v.Es. 6.48 —{x = u 2 + v 2y = v 2 − u 2 .Es. 6.49 —{x = uvy = u + v.Fare il grafico dell’insieme trasformato di S mediante la trasfromazione assegnata:Es. 6.50 — S = {(u, v)|0 ≤ u ≤ 4, 0 ≤ v ≤ 3}. Trasformazione{x = 3u + 4vy = u − v.Es. { 6.51 — S è il quadrato limitato da u = 0, u = 2, v = 0 e v = 2.x = uy = v(2 + u 2 .)TrasformazioneEs. 6.52 — S è il triangolo di vertici A(0, 0), B(2, 2), C(2, 0). Trasformazione{x = 2u 2y = 2v.Es. { 6.53 — S è la regione delimitata dalla circonferenza u 2 + v 2 = 4. Trasformazionex = au/2con a e b parametri assegnati positivi.y = bv/2.Calcolare i seguenti integrali utilizzando la trasformazione indicata (ed eventualmentefacendo un ulteriore cambiamento di variabili)Es. 6.54 — ∫∫ D{y2 dA dove D è la regione limitata dall’ellisse 4x 2 + 25y 2 = 100. Si usi lax = 5utrasformazione.y = 2v51