Esercizi di Algoritmi e Strutture Dati - Moreno Marzolla

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2 Costruzione di ABRDimostrare che qualsiasi algoritmo basato su confronti per la costruzione di unABR con n nodi ha complessità asintotica Ω(n log n).Soluzione Supponiamo che sia possibile costruire un ABR con n nodi, utilizzandoconfronti, in tempo strettamente inferiore a Ω(n log n). Ricordiamoche, dato un ABR con n nodi, è possibile ottenere la lista ordinata delle chiaviin esso contenute mediante una visita simmetrica (detta anche visita inordine)dell’albero. La visita simmetrica ha costo Θ(n). Quindi, se potessimocostruire un ABR in tempo inferiore a Ω(n log n), riusciremmo anche aordinare un insieme di n elementi, usando solo confronti, in tempo inferiorea Ω(n log n), il che è impossibile dato il limite inferiore alla complessità delproblema dell’ordinamento mediante confronti3 Visita di un ABRL’operazione di visita di un ABR con n nodi può essere implementata determinandol’elemento minimo dell’ABR, e poi invocando n − 1 volte l’operazionesuccessor(). Fornire una giustificazione intuitiva del fatto che questo algoritmodi visita abbia complessità asintotica Θ(n).SoluzioneRicordiamo l’algoritmo per determinare il successore di un nodoalgorithm successor(nodo v) -> nodoif (v == null) thenreturn null;endifif (v.right != null) thenreturn min(v.right);elsep = v.parentwhile (p != null && v == p.right) dov = p;p = v.parent;endwhilereturn p;endifdove la procedura min() determina il nodo con chiave minima in un alberoradicato nel nodo v, ed è definita comealgorithm min(nodo v) -> nodowhile (v != null && v.left != null) dov = v.left;endwhile2
eturn v;Se proviamo a “visualizzare” il comportamento dell’operazione di visita implementatamediante determinazione dell’elemento minimo seguita da n − 1 invocazionidella procedura successor(), osserviamo che ciascun arco dell’alberoviene attraversato esattamente due volte: una volta “in discesa”, ad opera dellaprocedura min(), e una volta “in salita” ad opera della procedura successor(),che nel ramo else risale di figlio in padre fino alla prima “svolta a destra”. Èanche importante osservare che una volta attraversato in discesa e in salita, unarco non viene più attraversato. Osserviamo anche che vengono eseguite O(1)operazioni elementari per ogni attraversamento di arco.A questo punto, osserviamo che un albero on n nodi ha esattamente n − 1archi (si dimostra per induzione, e vale per qualsiasi albero, non solo per alberibinari). Quindi il costo dell’operazione di visita implementata come sopra è2(n − 1) = Θ(n).4 Incremento di chiavi in un albero AVLSi consideri un albero AVL contenente n chiavi numeriche. Supponiamo chele chiavi siano tutte distinte tra loro. Vogliamo implementare l’operazioneincrementaChiave(k, d) il cui scopo è quello di incrementare il valore dellachiave k di una quantità d (che potrebbe anche essere negativa), facendolo diventarek + d. Al termine di questa operazione, la struttura dati risultantedeve ancora essere un albero AVL. Per l’ipotesi di unicità delle chiavi, il nodocontenente la chiave k, se esiste, è sempre unico; supponiamo anche che ilvalore k + d sia unico. Descrivere un algoritmo per realizzare l’operazioneincrementaChiave(k,d), stimandone poi il costo computazionale.Soluzione Esiste una soluzione banale, che consiste nel rimuovere il nodo conchiave k (che per ipotesi è unico) e inserire un nuovo nodo con chiave k + d. Ilcosto complessivo risulta essere O(log n).5 Implementazione di un albero AVLA lezione abbiamo visto che per una corretta implementazione degli alberi AVLè necessario conoscere l’altezza dei sottoalberi radicati in ciascun nodo. Infatti,questa informazione consente poi di capire quali sono i sottoalberi “pesanti”,e quindi procedere alle operazioni di ribilanciamento appropriate. Ricordiamoche l’altezza di un albero è la massima profondità cui si trova una sua foglia.L’albero composto da un singolo nodo (la radice) ha altezza 0.1. Consideriamo innanzitutto un generico ABR (non bilanciato). Supponiamoche ciascun nodo v abbia un attributo intero v.h che corrispondeall’altezza del sottoalbero radicato in v. Mostrare come sia possibile estenderele operazioni di inserimento e rimozione di nodi di un ABR per3
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