NOZIONI DI GEOMETRIA PIANA Marino prof. Mazzoni CLASSI I / II ...

1NOZIONI DI GEOMETRIA PIANAMarino prof. MazzoniCLASSI I / II / III indirizzo - Meccanici1) PUNTO:A B C. . .IL punto è adimensionale, cioè, è infinitesimamente piccolo.Può giacere su un piano o nello spazio.Il punto geometrico viene indicato con la lettera maiuscola.2) LINEE:Possono essere: rettilinee, spezzate, curve, circolari, ecc.Sono però sempre una sequenza di punti infinitesimamente piccoli euno vicino all’altro in secessione.3) SUPERFICIE:E’ bidimensionale. Ha una base ed una altezza.L x L = Quadrato, rettangoloπ per r² = Superficie del cerchioB per h= Superficie del triangolo2

2Si misura in cm², m², mm², e così via…..4) SPAZIO:E’ tridimensionale. Ha base, altezza e profondità.L per L per L = parallelepipedo di forma regolare detto cubo.π per r² per h = Cilindro (Alesaggio x corsa)43π per r³ = Volume della sfera5) LA RETTA:aLa linea retta è estesa senza limiti sia a destra che a sinistra di quellatracciata, cioè, all’infinito.Se non importa specificare nessun punto che determina una retta, lastessa verrà designata con una lettera minuscola.6) RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI:ABPassa una e una sola retta. Sia sul piano che nello spazio.La retta che passa per due punti A – B si dice Congiungente.7) PIANI PASSANTI PER UNA RETTA NELLO SPAZIO:Passano infiniti piani. (Fare l’esempio della porta e dei cardini)8) SEMIRETTA:A

3Il punto A divide una retta in due semirette di cui il punto A nerappresenta l’origine.Si dice che una delle due semirette è il prolungamento dell’altra.9) SEGMENTO:ABIl tratto di semiretta racchiuso dai due punti A e B si definiscesegmento. A e B ne rappresentano gli estremi.Segmento è una parte di retta delimitata da due punti.Segmenti uguali sono quando i loro estremi combaciano.E si scrive:ABAB = CDCDSono invece disuguali quando i loro estremi non combaciano.E si scrive:AB ≠ CDE più esattamente AB < CD oppure AB > CDNel primo caso si legge AB minore di CD ().10) SEGMENTI CONSECUTIVI:CABHanno uno stesso “estremo” B ma nessun altro punto in comune.A B C

4Si dicono adiacenti quando giacciono sulla stessa retta.ANGOLIabOa e b sono due semirette che hanno un punto in comune O dettoorigine.Le due semirette consecutive dividono il piano in due parti : quellatratteggiata e quella non tratteggiata.Le semirette si definiscono lati di un triangolo e la loro origine sidefinisce vertice.Potremmo pertanto scrivere a Ô b1) ANGOLO PIATTO:A O BSe i lati sono adiacenti e l’origine o vertice giace sullo stesso piano, sidefinisce l’angolo piatto. A Ô B = 180°2) ANGOLI CONVESSI E CONCAVI:ABOQuello distinto con il tratteggio si dice convesso, l’altro nontratteggiato si dice concavo.X

5Il prolungamento X entra nell’angolo concavo.Concavo se contiene i prolungamenti – Convesso se non li contiene.3) ANGOLI UGUALI:Due angoli convessi o concavi sono uguali quando coincidono i latidell’uno posti sopra l’altro.4) ANGOLI DISUGUALI:Risultano disuguali quando posti uno sopra l’altro i lati noncoincidono.5) ANGOLI CONSECUTIVI:CA Ô B e B Ô C sono consecuti-O B vi avendo O come vertice in comuneed un lato.A6) ANGOLI ADIACENTI:BAÔB + BÔC = AÔC = 180°CAOOltre ad avere il vertice O in comune, hanno un lato in comune e glialtri due sulla stessa retta.7) ANGOLO RETTO: Gli angoli piatti sonoBuguali fra loro! Sonouguali anche le loroC A metà. AÔB = BÔC

6La metà di un angolo piatto si dice angolo retto.8) ANGOLI ACUTI E OTTUSI:CBOASi dice acuto un angolo minore di uno retto AÔBSi dice ottuso un angolo maggiore di uno retto BÔC9) ANGOLI COMPLEMENTARI:CBOASono complementari due angoli la cui somma è pari ad un angoloretto.10) ANGOLI SUPPLEMENTARI:BCOASono supplementari due angoli la cui somma è pari ad un angolopiatto.1) RETTE PERPENDICOLARI E RETTE OBLIQUE:

7BBOOA' A A' AB'B'Sono perpendicolari le rette che tagliandosi formano quattro angoliretti.Oblique sono le rette che tagliandosi non formano nemmeno un angoloretto.2) PUNTO ESTERNO AD UNA RETTA:P .PC B APer un punto esterno ad una retta passa una e una sola rettaperpendicolare alla retta data. Le altre saranno tutte oblique.MISURA DEGLI ANGOLI:La novantesima parte di un angolo retto si dice grado.Il grado si divide a sua volta in sessanta parti uguali che si definiscono“Primo di grado” o semplicemente “Primo”.Il primo si divide a sua volta in sessanta parti uguali che si dicono“Secondi di primo” o comunemente “Secondi”.Esempio di scrittura: AÔB = 15° 22’ 12”INTERVALLO !!!Eseguire le seguenti divisioni senza la calcolatrice.

84140 : 12 = 34548442,75 : 12,5 = 3875,42Proviamo?484427,5 : 125 = 3875,43751094100094287567762552550025 resto 19787,36 : 168 =117,78=298O meglio: 1307=1313484427,5 : 125 = 3875,4 =14561094 =112 resto==942=677525=25 resto1875436698472,6 : 5357829 = 350036,6160734872680879926789145196548471607348735813602 Chiamare gli allievi alla lavagna32146974 per verificare la loro conoscenza36666286 sia della tavola pitagorica che la32146974 padronanza delle operazioni4519312 resto elementari: somma, sottrazione…

9CIRCONFERENZEBOAO = CentroOA = RaggioE’ una linea avente tutti i punti alla stessa distanza dal punto O.Due circonferenze descritte con raggi uguali , sono uguali.BOADue punti A – B dividono la circonferenza in due parti chiamati archi.I punti A B rappresentano gli estremi dei due archi.Essendo la retta passante per il centro, si formeranno duesemicirconferenze.ACOBDIl segmento A B avente gli estremi sulla circonferenza si chiama cordaSe la corda contiene il centro O si chiama diametro.Qualsiasi corda non passante per il centro sarà minore del diametrodella circonferenza in esame.ODCBAGli angoli al centro sono :AÔB ; BÔC ; CÔD ; AÔC ; AÔD ecc. ecc.

10e sono comprensivi dell’arco.AGOBCAĜB ; AĜC ; BĜCSono angoli inscritti in una circonferenza e comprendono i rispettiviarchi.L’angolo alla circonferenza e l’angolo al centro comprendente lostesso arco è uno il doppio dell’altro.2AĜB = AÔBGAOBCAngoli inscritti in mezza circonferenza sono retti cioè 90°AĜB = 90°Lo si deduce pensando ad un rettangolo, o meglio ad un quadratoinscritto in una circonferenza.BAOLa parte tratteggiata AÔB racchiusa in due raggi e dell’arcocompreso, viene definita Settore circolare.BALa parte tratteggiata che comprende la corda AB e l’arco compreso, sidice Segmento di cerchio.La lunghezza di una circonferenza si ottiene:

11moltiplicando il numero 6,28 per la lunghezza del raggio,C = 2 π rmoltiplicando il diametro per 3,14,π = 3,14 valore ordinario ; 3,1416 più prossimo alla realtà.RETTE PARALLELEAngoli che due rette parallele formano con una trasversale:DAD' C'A' B'CBD D’ = corrispondenti ; D B’ = alterni interni ; A C’ = alterni esterniC B’ = coniugati interni ; B C’ = coniugati esterniSe due rette parallele sono tagliate da una trasversale:a) due angoli corrispondenti sono uguali  ’b) due angoli alterni (interni od esterni) sono uguali Ĉ Â’ ;  Ĉ’c) due angoli coniugati (interni od esterni) sono supplementari, cioèformano un angolo piatto.A + D = 180° B + C = 180°TRIANGOLIIl lato del triangolo (e così vale per qualsiasi poligono) è sempreminore della somma degli altri due.La somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi è sempre di180°, cioè, di un angolo piatto.

12Se due angoli di un poligono misurano 90° non si tratta certamente diun triangolo.Se due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli di un altrotriangolo, anche i terzi angoli saranno uguali.CASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLICCABABRettangoloCOttusangoloCABABAcutangoloCScaleno a 3 lati disugualiCABABIsoscele 2 lati ugualiEquilatero 3 lati ugualiLa somma degli angoli interni di un poligono regolare è uguale a tantevolte un angolo piatto quanti sono i lati; diminuito di 2.Triangolo 180° x (3 – 2) = 180° x 1 = 180°Quadrilatero 180° x (4 – 2) = 180° x 2 = 360°Pentagono 180° x (5 – 2) = 180° x 3 = 540°Ecc. ecc.

13CRITERI DI UGUALIANZA DEI TRIANGOLII criterio di uguaglianza:Due triangoli aventi due lati uguali e uguale l’angolo fra essicompreso, sono uguali.ACACBBAC = A’C’ AB = A’B’ CÂB = C’Â’B’II Criterio di uguaglianza:Due triangoli aventi uguale un lato e gli angoli opposti ad essoadiacenti, sono uguali.CCABABAB = A’B’ CÂB = C’Â’B ABC = A’B’C’III Criterio di uguaglianza:Due triangoli aventi uguali i lati corrispondenti, sono uguali.CCABABAB = A’B’ BC = B’C’ CA = C’A’

14AREE DI SUPERFICIEUnità di misura m². I suoi multipli e sottomultipli, sempre al quadrato,devono risultare omogenei.m x m = m² km x km = km² cm x cm = cm²cm x m = errato !Quadrato: A = l²Rettangolo: A = b x h oppure A = lato maggiore x lato minoreTriangolo: A = ½ b x h = b x h / 2Trapezio: A = (a+b) x h /2 a = base minore ; b = base maggiorePOLIGONI REGOLARISe il centro di un poligono regolare si congiunge con i vertici, ilpoligono risulta scomposto in tanti triangoli quanti sono i lati.Potremmo calcolare l’area del poligono moltiplicando le aree deitriangoli per il numero dei lati.L’altezza dei singoli triangoli si dice apotema del poligono.Risulta pertanto la formula generale:l x a x n l = lato del poligono che è base del triangoloA =a = apotema che risulta altezza del triangolo2 n = numero dei lati del poligonoessendo l x n la misura della somma dei lati, la precedente diventerà:p x aA =dove p = perimetro2Alcuni valori di apotema:(poligoni regolari)Triangolo:Pentagono:Esagono:a3 = 0,288 x L3a5 = 0,688 x L5a6 = 0,866 x L6

15Area del cerchio e del settore circolare:O r π D²A = π r² conoscendo il diametro A =4BOAAÔBA = settore circolareL’area di un settore circolare si ottiene con il prodotto della lunghezzadell’arco moltiplicato metà raggio.AB x ½ AO = A sett. circ.COORDINATE CARTESIANERette e segmenti orientati:Una retta si dice orientata quando su di essa è fissato un verso che sichiama positivo. L’altro sarà negativo.In figura ci serviremo di una freccia che indicherà il verso positivo.

16ABPer convenzione A – B verso orientato positivo. Coppia orientata dipunti A e B estremi ad un segmento orientato.A = origine del segmento ; B = estremo dello stesso segmentoBAVerso orientato negativoA differenza di quanto è convenuto in geometria elementare ilsegmento orientato AB verrà indicato con la scrittura:Ascisse sulla retta:ABOaPXO punto origine che divide la retta in due semirette.

17Preso un punto qualsiasi P sulla retta X e fissata un’unità di misura,indicheremo con a la misura del segmento OP, il numero a si chiamaascissa del punto P.COORDINATE CARTESIANEortogonali nel piano.YBbPOaAX1) Fissiamo due rette orientate perpendicolari fra loro X e Y2) Chiamiamo origine il punto d’incontro =3) L’asse X risulterà quello delle ascisse4) L’asse Y risulterà quello delle ordinate5) Prendiamo un punto P qualunque del piano6) Tracciamo le perpendicolari agli assi X e Y e troveremorispettivamente i punti A e B7) Fissiamo l’unità di misura a e b dei segmenti orientatiOA = aOB = bI due numeri così trovati saranno le coordinate cartesiane ortogonalidel punto P.Precisamente a = ascissa del punto P b = ordinata del punto P

18YII QuadranteI QuadranteIII QuadranteOIV QuadranteXDue assi cartesiani ortogonali dividono il piano in quattro parti dettiquadranti.Esempio di coordinate cartesiane dei punti A B C DYABOXCDA (7 ; 5) B (-4 ; 2) C (-6 ; -5,5) D (5 ; -4)Il primo numero si riferisce all’ascissa del punto in esame. Il secondonumero all’ordinata dello stesso punto.

19Ripetizione e aggiuntaAngoli: chiamasi angolo ciascuna delle due parti di un piano in cuiesso è diviso da due semirette uscenti da uno stesso punto O chiamatoorigine. (incluse queste due semirette)Misura elementare degli angoli:Unità pratica: grado 1/60 di grado = primo 1/60 di primo =secondoUnità teorica: radianteOR'Raa'a ed a’ hanno lo stesso angolo al centro.a : a’ = R : R’per un noto teorema di geometriaponendo a = R e a’ = R’ si enuncia:Chiamasi angolo Radiante, l’angolo al centro di una circonferenza, diraggio arbitrario, che ha come base un arco di lunghezza uguale aquella del suo raggio.Ponendo il raggio come unità di misura cioè:2πr essendo r = 1 risulterà:Angolo giro = 2πAngolo piatto = πAngolo retto = π/2

20Risulterà per il calcolo:360 : 2π =y : x x = misura di un angolo in radiantiy = misura di un angolo in gradine derivano:x = (π / 180) yy = (180 / π) xFUNZIONI GONIOMETRICHE DI UN ANGOLO ORIENTATONelle applicazioni si presentano continuamente dei problemi di questotipo:Noti tre elementi di un triangolo, fra i quali sia compreso almeno unlato, determinare la misura degli altri tre.Gli elementi di un triangolo sono 6 : 3 angoli e 3 latiLa geometria ci permette di misurare con approssimazione glielementi di un triangolo, in particolar modo i valori angolari.Con il calcolo algebrico si raggiunge l’approssimazione desiderata.La trigonometria utilizza il calcolo algebrico nella risoluzione deitriangoli.Goniometria = misura dell’angoloTrigonometria = Trigonon = Triangolo Metron = misuraDefinizione del Seno di un angolo orientatoYOX

21Convenzione: in un sistema di assi cartesiani ortogonali O x y sonoconsiderati positivi se coincidono con il verso, negativi se noncoincidonoIndicheremo sempre con la lettera u l’unità di misura per i segmenti ,segmenti scelti ad arbitrio:YuPbOQaXYbaQPuOXDato un angolo orientato ab, di vertice O, si consideri il sistemacartesiano ortogonale ad esso associato.Si prenda sul secondo lato b il punto P tale che OP = u e si considericon Q la sua proiezione ortogonale sul primo lato a.

22Chiamasi Seno dell’angolo orientato ab e si scrive:sen abl’ordinata del punto P, cioè la misura del segmento orientato QP, fattarispetto all’unità di misura OP = usarà pertanto:sen ab =ricordo che OP = u e u = 1QPOP= QPIl seno di un angolo orientato è una frazione dell’angolo stesso cioèdella sua ampiezza.Esiste il seno di qualsiasi angolo orientato?Casi particolari:sen 0° = 0sen 90° = 1sen 180°= 0sen 270°= -1sen 360°= 0Il seno di un angolo orientate non potrà mai essere un numerosuperiore ad 1 sia esso positivo che negativo.Sono assurde scritte tipo: senα = 2 senα = 1,0001Fare qualche esempio sia alla lavagna che con la calcolatrice.

23Definizione del Coseno di un angolo orientatoDato un angolo orientato ab , a’b’, di vertice O, si consideri il sistemacartesiano ad esso associato.YuPba' Q'u'OaQXb'P'Si prende sul secondo lato b o b’ il punto P o P’ tale che sia OP = u ;O’P’ = u’ e si indichi con Q o Q’ la sua proiezione ortogonale sul lato ao a’.Chiamasi Coseno dell’angolo orientato ab o a’b’ e si scrive:cos abcos a’b’l’ascissa del punto P o P’, cioè la misura del segmento orientato OQ oOQ’, fatta rispetto all’unità di misura OP = u oppure OP’ = u’.Sarà pertanto:OQO’Q’cos ab = = OQ cos a’b’ = = OQ’OPOP’Ricordo che OP = u oppure OP’ = u’Il coseno di un angolo orientato è una funzione dell’ampiezzadell’angolo stesso.

24Esiste il coseno di qualsiasi angolo orientato.Casi particolari:cos 0° = 1cos 90° = 0cos 180° = -1cos 270° = 0cos 360° = 1Come per il seno, così anche per il coseno di un angolo orientato, nonpotrà mai essere un numero superiore a 1 sia esso positivo chenegativo.Fare qualche esempio sia con la calcolatrice che con qualche triangoloalla lavagna.Definizione di Tangente di un angolo orientatoYuPbOaQXDato un angolo orientato ab , di vertice O, ecc. ecc.Chiamasi tangente dell’angolo orientato ab , e si scrive:tg ab

25il rapporto fra l’ordinata e l’ascissa del punto P, ossia il rapporto fra idue segmenti orientati QP e OQ.Sarà pertanto:QP QPtg α = ――=―― ma essendo QP = sen αOQ OQ e OQ = cos αsen αtg α = ――cos αNon esiste la tangente di tutti gli angoli orientati !!Non esiste la tangente degli angoli il cui coseno è zero!!tg 0° = 0 tg 180° = 0 tg 360° = 0essendo:sen 0° 0 sen 180° 0 sen 360° 0tg 0° = ―― = ― tg 180° = ―― ― = ― tg 360° = ――― = ―cos 0° 1 cos 180° -1 cos 360° 1Si usa dire che con l’aumento di α superiore a 0° e prossimo aπ90° = ― la tangente α cresce da 0 a più infinito ( + ∞ )2In realtà quando α assume il valore 90° non esiste la tangentePotremmo affermare che la tg α varia assumendo tutti i valori positivial variare di α da 0 a 90° e tutti i valori negativi al variare di α da 90°a 180°La tangente di un angolo orientato, al variare dell’angolo, puòassumere qualunque valore, positivo, negativo o nullo, cioè varia,come si suol dirsi da -∞ a + ∞La tangente di un angolo orientato è positiva se il secondo latodell’angolo cade nel 1° o 3° quadrante del sistema cartesiano ; è invecenegativa se cade nel 2° e 4° quadrante.

26Definizione di Cotangente di un angolo orientatoYuPbOaQXChiamasi cotangente dell’angolo orientato ab , e si scrive:ctg abil rapporto fra l’ascissa e l’ordinata del punto P, ossia il rapporto fra idue segmenti orientati OQ e QP.Sarà pertanto:OQctg α = ――QPcos αctg α = ――sen αma essendo OQ = cos αe QP = sen αNon esiste la cotangente di tutti gli angoli orientati !!Non esiste la cotangente il cui seno è 0 !!ctg 90° = 0 ctg 270° = 0Vale quanto detto per la tangente ma nel valore inverso.

27Relazioni fondamentali fra le funzioni goniometriche di uno stessoangolo orientato.YuPOQaXOP = u = 1 QP = sen α OQ = cos αPer il teorema di Pitagora :OP ² = OQ ² + QP ² quindi nella forma più comune:sen ² α + cos ² α = 1Valgono anche le relazioni:sen α cos α 1 1tg α = ―― ctg α =―― tg α = ―― ctg α = ――cos α sen α ctg α tg αNoto sen α si ricava:cos α = ± √ 1 – sen ² αche sostituita alle precedenti sarà:sen α± √ 1 – sen ² αtg α = ―――――― ctg α = ――――――± √ 1 – sen ² α sen α

28Noto cos α si ricava:sen α = ± √ 1 – cos ² α che sostituita alla precedente sarà :cos α± √ 1 – cos ² αctg α = ――――――tg α = ――――――± √ 1 – cos ² α cos αI segni ± davanti alle radici indicano solo in quale quadrante delsistema cartesiano cade il secondo lato b dell’angolo.Le formule trovate sono riunite, per maggior comodità nella seguentetabella.NOTO sen α cos α tg α ctg αsen α sen α ±√ 1 – sen ² αsen α――――――±√ 1 – sen ² α sen αcos α ±√ 1 – cos ² α cos αtg αctg αtg α―――――±√ 1 + tg ² α1――――――±√ 1 + ctg ² α1――――――±√ 1 + tg ² αctg α――――――±√ 1 + ctg ² α±√ 1 – cos ² α――――――cos αtg α1――――――ctg α±√ 1 - sen ² α――――――cos α――――――±√ 1 – cos ² α1―――tg αctg αAlcuni angoli notevoli:√ 2 √ 2sen 45° = ― cos 45° = ― tg 45° = 1 ctg 45° = 12 21 √ 3 √ 3sen 30° = ― cos 30° = ― tg 30° = ― ctg 30° = √ 32 2 3

29RELAZIONE FRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLORETTANGOLOSi tratta di relazioni che legano le misure dei lati di un triangolo aivalori delle funzioni trigonometriche degli angoli.Formuleremo alcune convenzioni che devono essere ricordate.AcabBί ?aCa , b , c lati opposti ad A , B , C verticiα, β, γ valore in gradi degli angoli il cui vertice è rispettivamente A -B - CSussistono le seguenti relazioni:1) In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale aquella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo oppostoal cateto.2) In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale aquella dell’ipotenusa moltiplicata per il coseno dell’angolo acutoadiacente al cateto stesso.3) In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale allamisura dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto alcateto cercato.

304) In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale allamisura dell’altro cateto per la cotangente dell’angolo acutoadiacente al cateto cercato.Si ricava:b = a sen β c = a cos β b = c tg β c = b ctg βc = a sen γ b = a cos γ c = b tg γ b = c ctg γFINE DELLA TRIGONOMETRIA PIANA DI BASE .