FORMATO MEMORIE SIIV

X CONVEGNONAZIONALES.I.I.V.SIMULAZIONE FEM DELLA PROVA SU PIASTRA.ANALISI NUMERICA E CORRELAZIONISPERIMENTALIMauro ConiDipartimento di Ingegneria del Territorio – Facoltà di IngegneriaUniversità degli Studi di Cagliari – Piazza d’Armi – 09123 – Cagliari – ItalyTel: +39.070.6755275Fax: +39.070.6755266E-mail: mconi@unica.itAlessio PisuDipartimento di Ingegneria del Territorio – Facoltà di IngegneriaUniversità degli Studi di Cagliari – Piazza d’Armi – 09123 – Cagliari – ItalyX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000

diffusa. Questa è stata aggiornata dalla SN 670317a nel 1981 [6]. Ulteriori modalitàstandard della prova sono quelle indicate dalle ASTM D1194-5-6 [7], [8], [9].Dalla teoria dell’elasticità si ha che un sovraccarico p applicato ad una piastra didimensioni d, poggiante su un terreno avente modulo di elasticità E, provoca uncedimento della piastra δ ricavabile dalla seguente espressione:pd 2δ = (1 −ν ) C C d zEdove ν è il coefficiente di Poisson e C d rappresenta un fattore che tiene conto dellaforma e della rigidezza della fondazione. Il parametro C z è funzione della profonditàdella prova e assume valore unitario nel caso di prove superficiali, che rappresentano lanorma. Il cedimento è quindi direttamente proporzionale alla dimensione della piastra,ovvero al lato minore nel caso di piastra rettangolare o il diametro nel caso di formacircolare. La Tabella 1 riassume i valori del fattore C d [1] per diverse forme di piastra.FormaC dCircolare 1.00Circolare rigida 0.79Quadrata 1.12Quadrata rigida 0.99Rettangolare a/b=1.5a/b= 2a/b= 31.361.521.78Tabella 1 – Valori del fattore di formaNell’interpretazione dei risultati occorre tenere conto dei fattori che influiscono sullaprova (dimensioni della piastra, tempi di applicazione dei gradini di carico, dimensionidei grani, etc.). Anche altri fattori possono alterare i risultati della prova [2]:- il rifluimento del terreno ai bordi della piastra che influenza in modo diverso, inrelazione al diametro, la forma del diagramma di carico;- i fenomeni di plasticizzazione del terreno al contatto con la piastra;- la dipendenza del modulo di elasticità dalla tensione ottaedrica efficace la quale variacon la profondità;- le possibili differenze del coefficiente di attrito fra piastra (o fondazione) e terreno.In sintesi, il modulo di elasticità può essere valutato tramite le seguente espressione:p2E = d(1−ν) C dC zδLa normativa DIN propone la valutazione del modulo di deformazione:pE = υ0. 75dδche per le piastre circolari (C d = 0.79) e per prove superficiali (C z = 1), corrisponde almodulo di Young per un coefficiente di Poisson ν = 0.21, tipico delle sabbie. Il modulodi deformazione E ν e il modulo di Young E sono quindi equivalenti solo per proveeseguite nei terreni granulari. La norma SN 670317a fa riferimento al modulo dicompressione M E valutato con piastra circolare pari a:pM E= dδX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 3

M E è sempre più elevato dei moduli di elasticità E e di deformazione E ν . La relazione2E M C C (1 −ν ) per piastre circolari (C d =π/4) e per prove superficiali (C z =1) diviene:=E d z2E = 0.785ME(1 −ν )Va, infine, richiamato il modulo edometrico (E ed ) ricavabile in laboratorio (prova adeformazione laterale impedita):(1 + ν )(1 − 2ν)E = E ed(1 −ν)e, pertanto, fra M E ed E ed esiste perciò la seguente relazione:2(1 −ν)E ed= 0.785ME(1 − 2ν)2. ANALISI SPERIMENTALEI dati sperimentali sono stati raccolti in occasione della recente realizzazione dialcune strade nella provincia di Cagliari. Sono stati effettuati 82 test a ciclo unicosecondo le modalità delle istruzioni CNR n° 9/67.Di ciascuna prova sono stati rilevati, oltre alla curva carico-cedimento il valori diMd, w, LL, LP, IP, IG, classifica HRB, δ p , δ e , granulometria, tipo di sezione e dimateriale (Tabella 2).1 sez. strato 0,200 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 0,200 Md W % LL LP IP HRB φ40φ10φ2 φ0,0751 m.cost base 0 0,147 0,260 0,523 0,740 0,987 1,260 0,313 647 2,5 27 17 10 A2-4 81,3 52,8 42,2 17,92 m.cost base 0 0,577 1,597 2,447 3,673 5,667 7,507 1,930 93 2,5 nd nd np A1-a 82,1 41,9 20,5 8,33 rilev. fond. 0 0,097 0,333 0,603 0,863 1,070 1,323 0,330 643 2,5 21 18 3 A1-a 61,5 46,3 37,3 13,74 rilev. fond. 0 0,700 0,327 0,543 0,743 0,923 1,143 0,290 789 2,5 22 19 3 A1-a 62,8 44,4 35,4 14,95 rilev. fond. 0 0,110 0,520 0,847 1,093 1,337 1,603 0,670 612 2,5 25 21 4 A1-a 53,0 37,0 30,1 10,86 rilev. base 0 0,070 0,210 0,620 0,753 0,920 1,087 0,543 1000 2,5 26 18 8 A2-4 70,8 45,4 36,7 13,67 rilev. base 0 0,080 0,417 0,703 0,857 1,070 1,230 0,570 818 2,5 26 20 6 A2-4 73,6 63,5 54,2 25,28 trincea base 0 0,020 0,173 0,330 0,410 0,567 0,670 0,253 1268 3,5 26 18 8 A2-4 59,7 46,6 38,5 16,2: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :82 p.cam. fond. 0 0,150 0,303 0,417 0,560 0,673 0,383 1169 0,5 nd nd np A1-a 54,3 16,6 8,9 3,7Tabella 2 – Dati sperimentali rilevatiFigura 5 – Inviluppo delle 82 curve Figura 6 – Tipiche curve sperimentalisperimentali rilevateX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 4

La Figura 5 mostra la totalità delle curve pressioni-cedimenti registrate in fasesperimentale, mentre la Figura 6 fornisce un’indicazione della qualità dei risultati attesi.Nell’insieme delle curve rilevate rappresentano quasi tutte le possibili risultanzequalitative e quantitative della prova, da valori scadenti sino a quelli ottimi, comemostrato dall’istogramma della Figura 7, che riproduce la distribuzione delle frequenzedei moduli M d rilevati in fase sperimentale.Figura 7 – Distribuzione delle frequenze dei moduli Md rilevati. Alcune fasi del rilievo.Una preliminare analisi dei dati mostra che le curve ottenute sono simili a quellericavate con prove edometriche. Esse manifestano una concavità verso il basso e,pertanto, al crescere della pressione il terreno diviene più rigido. Ciò può essereattribuito alla progressiva interconnessione tra i grani che modifica l’indice dei vuoti delmateriale originario. Durante la fase di scarico parte della deformazione viene restituita(δ e ) e mentre la restante parte (δ p ) modifica in modo permanente l’assetto delleparticelle di terreno (Figura 8).Figura 8 –Valutazione dei moduli (M d , E scar , E c , E regr ) di proporzionalità P-δ.X CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 5

L’entità della deformazione plastica residua δ p dipende da numerosi fattori maprincipalmente dal grado di addensamento ottenuto durante le operazioni dicompattazione.Poiché non è possibile definire in modo univoco un coefficiente di proporzionalità, lacurva P-δ viene utilizzata esclusivamente per stimare un valore convenzionale (M d )rappresentativo delle caratteristiche di portanza; a tale valore si rifanno diversi criterirazionali di calcolo, tra i quali anche il metodo di Biroulia-Ivanov, come stima delmodulo di elasticità.È possibile tuttavia ottenere dalla curva sperimentale informazioni più precise nonsolo sul valore di proporzionalità P-δ ma anche sul grado di addensamento raggiunto dalmateriale. Notevoli benefici potrebbero essere conseguiti se fosse possibile determinaredalla curva P-δ la percentuale di densità C = γmax/ γ situ⋅100, raggiunta rispetto aquella massima ottenibile con la prova AASHTO modificata. Questo aspetto assumeuna maggiore rilevanza in considerazione del fatto che numerosi Capitolati fannoriferimento a prove a ciclo unico e che, in genere, la determinazione del valore di Cpresenta una maggiore dispersione dei dati rispetto alla prova su piastra. Ulteriorevantaggio della prova è rappresentato dal fatto che essa fornisce il risultato direttamentein sito e non necessità di ulteriori fasi in laboratorio; queste sono, invece, semprenecessarie per la prova di densità in situ e per la determinazione diretta di C.Numerosi Autori, (es. Holtz e Kovaes [10]), pongono l’attenzione sul fatto chepoiché l’obiettivo della compattazione è quello di stabilizzare il suolo ed incrementarele proprietà meccaniche è importante tenere presente che le caratteristicheingegneristiche desiderate non sono la densità del secco e il contenuto d’acqua, mapiuttosto una elevata e costante rigidezza.Queste considerazioni e la necessità di sviluppare sistemi ad alto rendimento, hannoportato la FHA a sviluppare un programma di ricerca per la messa a punto di un nuovostrumento (SSG Soil Stiffness Gauge) basato sulla risposta dinamica del suolo [11].Figura 9. - SSG Soil Stiffness Gauge. Misuratore di rigidezza sviluppato dalla FHAX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 6

Gli Autori della ricerca promossa dalla FHA hanno evidenziato la correlazioneesistente tra il modulo di elasticità E e il grado di addensamento C (Figura 10).Figura 10. - Correlazione tra il modulo di elasticità E e grado di addensamento CIn Italia alcune indicazioni sul grado di compattazione C possono essere ottenute con'la prova a doppio ciclo (B.U. CNR n° 142/92 ) mediante il rapporto M d/M d. Tuttavianella norma non vengono precisati valori numerici di riferimento ma viene solospecificato che un valore M /M' d d⇒ 1 rappresenta la condizione migliore.L’obiettivo che si intende raggiungere nel prosieguo della ricerca è quello diestendere la correlazione E- C sulla base di con un maggior numero di dati e per diversilitoipi. Nella presente memoria l’attenzione viene rivolta ad alcune significativecorrelazioni riscontrate tra le differenti stime di E introdotte nelle simulazioninumeriche FEM e le relative curve P- δ registrate.3. ANALISI AGLI ELEMENTI FINITIPer valutare lo stato di sforzo e di deformazione è stata modellata una porzione (4.00m) di sottofondo nell’intorno della piastra per una profondità di 4.00 m.I materiali sono stati considerati in campo elastico e caratterizzati dal modulo diYoung E, dal coefficiente di Poisson ν e dalla densità ρ.Ciascuna delle prove sperimentali eseguite è stata riprodotta numericamenteintroducendo i valore di E stimati secondo i seguenti criteri:1) E=M d (M d valutato in modo standard)2) E=0.589M d (M d valutato in modo standard con coeff. di Poisson pari a 0.5)3) E regr =0.589 M d (M d valutato per interpolazione lineare su tutta la curva di carico)4) E c =0.589 M d (M d valutato tra 0.2 kg/cm² e la pressione massima di 3 kg/cm²)X CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 7

A titolo esemplificativo si riportano le stime dei moduli per una delle 82 curve P- δ.1 2 3 4 5 6 7Pressioni Kg/cm² 0.2 0.5 1 1.5 2 2. 3 0.2Cedimenti [mm] 0 0.12 0.36 0.547 0.657 0.77 0.87 0.2431)2)(1.5 − 0.5) *3002M d== 702.6 kg/cm(0.547 − 0.12)2 (1.5 − 0.5) *300 (1.5 − 0.5) *300E = π (1 − 0.5 )= 0.589= 413.8 kg/cm4 (0.547 − 0.12) (0.547 − 0.12)23) E =0.589m⋅300nm =∑ in∑P ⋅δ−iP2i∑Pi⋅∑2( ∑Pi)−δi= 0.312⇒0.589⋅300E = = 566.10.3122kg/cmm rappresenta il valore della pendenza della retta di regressione della curva P- δ infase di carico(3.0 − 0.2) *30024) E = 0 .589= 568.7 kg/cm0.87Pertanto, sono state ripetute le simulazione FEM per ciascuna prova e per ciascunvalore di E stimato (82x4 = 328).La modellazione FEM è stata sviluppata su una griglia quadrata di 5 cm di lato(Figura 11) utilizzando i codici ANSYS ® per la parte di simulazione numerica e ilcodice MATLAB ® per la visualizzazione grafica e l’analisi statistica dei risultati.Figura 11. – La mesh del modello FEMFigura 12. – Spostamenti orizzontaliLe Figure 12 – 17 mostrano la distribuzione degli spostamenti, degli sforzi e delledeformazioni ottenute dalle simulazioni FEM, mentre la Figura 18 mostra il confrontotra le curve di carico ottenute con le diverse stime del modulo e la corrispondente curvasperimentale.X CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 8

Figura 13. – Spostamenti verticali Figura 14. – Deformazioni verticaliFigura 15. – Sforzi orizzontali Figura 16. – Sforzi verticaliFigura 17. – Deformazioni verticaliFigura 18. – Curve ottenute con le 4 stimedel modulo e relativa curva sperimentale.X CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 9

4. RISULTATILa Tabella 3 successiva mostra i valori dei coefficienti di correlazione R tra iparametri misurati in situ e i valori derivanti dalle simulazione svolte.Tabella 3 – Correlazioni tra parametri sperimentali e della simulazione FEMFigura 19. – Correlazione tra E c e i δ sperimentali per diverse pressioni applicateX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 10

Le correlazioni maggiormente significative (R>0.92) si ottengono utilizzando nellesimulazioni FEM i valori di E regr .L’impiego del valore di M d quale stima del modulo conduce a valori di δ tdecisamente inferiori a quelli ottenuti durante le prove, mentre il valore di E=0.589 M drisulta ben correlato per bassi valori di pressione ma conduce a valori di δ t in generesuperiori rispetto ai valori di δ t ottenuti in corrispondenza delle massime pressioni (>1,5kg/cm²).È interessante osservare, inoltre che, il calcolo del modulo E c risulta ben correlatocon le risultanze sperimentali (R>0.9) per valori di pressione maggiori di 1 kg/cm²(Figura 19).Elevate correlazioni (R>0.94) si osservano anche tra i valori di cedimento elastico δ ee plastico δ p ricavati durante le prove sperimentali.Nelle Figure 20-22 sono mostrate le correlazioni ritenute più significative e lerelative forme analitiche.Figura 20. – Correlazione tra il valore di E c e E regrFigura 21. – Correlazione tra il valore di δ t e δ sX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 11

Figura 22. – Correlazione tra il valore di E s-teorico e il valore di E s-sperimentale5. CONCLUSIONILa ricerca condotta consente si svolgere le seguenti considerazioni:• la simulazione FEM della prova di carico su piastra risulta più rispondente allerisultanze delle prove sperimentali se, nel modello, si considerano i valori di E regr . inalternativa al valore di E ricavato dal valore convenzionale di M d .• l’introduzione nel modello di M d conduce a valori δ t inferiori rispetto a quellisperimentali, mentre il valore del modulo di Young valutato per un coeff. di Poissonpari a 0.5 (E=0.589 M d ) risulta ben correlato per bassi valori di pressione, maconduce a valori di δ t in genere superiori rispetto ai valori di δ t ottenuti incorrispondenza delle massime pressioni (>1,5 kg/cm²).• il calcolo del modulo E c , ottenuto unicamente dalla conoscenza della massimadeflessione a 3 kg/cm², risulta ben correlato con le risultanze sperimentali (R>0.94)per valori di pressione maggiori di 1 kg/cm².• Di particolare interesse risulta essere la correlazione sperimentale tra i valori dicedimento elastico δ e e plastico δ p . Questa è stata trovata essere:δp= 0.6946δT− 0.1735 con un valore di R=0.94.In sintesi, la conseguenza più rilevante dal punto di vista operativo e progettuale èquella che ai fini del dimensionamento della sovrastruttura è più opportuno l’impiegodel modulo di elasticità calcolato come valore di regressione E regr o, in alternativa, tra lepressioni P 1 =0.2 kg/cm² e P 2 = 3 kg/cm² (E c ). L’impiego di M d risulta a sfavore dellasicurezza mentre l’impiego di un valore pari a 0.589 M d (valore di E per v=0.5) risultaessere eccessivamente prudenziale. Inoltre, ciò implica che, assunto un valore di moduloE in sede di dimensionamento, il controllo in opera sia fatto con riferimento a E regr o, inalternativa a E c , piuttosto che al valore di M d .La ricerca, tuttora in corso, è finalizzata ad integrare i dati disponibili con lavalutazione della densità in situ e a esplicitare la correlazione sperimentale tra E ed ilgrado di addensamento dei materiali C. La relazione del tipo E = aC + b , giàX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 12

verificata da alcuni Autori [11] pari a E = 0 .0465C+ 0. 0005 , necessità di unamaggiore base di dati, oltre ad essere estesa per differenti tipologie di materiali.6. RINGRAZIAMENTISi ringrazia la Officine Maccaferri S.p.A. per il contributo finanziario alproseguimento della ricerca e il Laboratorio Prove Materiali dell’AmministrazioneProvinciale di Cagliari per la preziosa collaborazione e disponibilità.7. BIBLIOGRAFIA[1] Winterkorn H.F., Usau-Yang Fang, “Foundation Engineering Handbook” Edit..Van Nostrand Reinhold Co. (N.Y.), 1975.[2] F. Cestari “Prove geotecniche in sito”, - Geo-Graph Ed. Milano, 1990.[3] C.N.R. (1967). Sovrastrutture stradali:.determinazìone del modulo dideformazione di un sottofondo, di uno strato di fondazione o di uno strato base,Bollettino Ufficiale, Anno I - N. 9.[4] C.N.R. (1992). Determinazione dei moduli di deformazione Md e Md’ medianteprove di carico a doppio ciclo con piastra circolare. , Bollettino Ufficiale, AnnoXXV, N. 146, 1992[5] Association Suisse de Normalisation (1959). Norme Suisse SNV 670317. Essai decharge avec pia ques.[6] Association Suisse de Normalisation (1981). Norme Suisse SN 670317a. Terre -Prova di piastra M5.[7] A.S.T.M. D. 1194: Standard methodfor bearing capa city of soilfor static load onspreadfootings.[8] A.S.T.M. D. 1195: Standard Methodfor Repetitive static plate load test of soilsand flexible pave ment components, for use in evaluation anv design of airportand higway pavements.[9] A.S.T.M. D. 1196: Standard Methodfor Non Repetitive static plate load test ofsoils and flexibh pavement components, for use in evaluatioi and desgin of airportand higway pavemenls.[10] R.D. Holtz, W.D. Kovacs, “An introducion to geotechnical engineering, 1981,p.141[11] S.Fiedler, C.Nelson, E.F. Berkman, A.Dimillio, “Soil stiffness for soilcompactation control”, Pubblic Roads, march-april 1998[12] ANSYS®[13] MATLAB®[14] Brown P.T., “Interpretation of Plate Loading Test RuIta” . Proc. Spec. Geoinech.Symp. on Interpret. ofField Testing md Design Parameters. Adelaide, Australia,1986.[15] M.Castino, E. Rolletto, “Statistica Applicata”, Ed. Piccin, Padova,1991[16] T.W.Lambe, R.V. Whitman, “Meccanica dei Terreni”, Collana GeotecnicaItaliana, Ed. Flacovio, Palermo, 1997[17] G.N. Smith, I.G.N. Smith, “Elements of Soil Mechanics”, 7° edizione, ed.Blackwell ScienceX CONVEGNO S.I.I.V. – CATANIA – 26/28 OTTOBRE 2000 13