3 LIMITI - Matematica e Applicazioni

3 LIMITI3.1 Operazioni in R ∪ {±∞}x ∈ R x + (+∞) = +∞ x + (−∞) = −∞x ∈ Rx+∞ = 0 x−∞ = 0x > 0 x · (+∞) = +∞ x · (−∞) = −∞x < 0 x · (+∞) = −∞ x · (−∞) = +∞x > 0x0 + = +∞ x0 − = −∞x < 0x0 + = −∞ x0 − = +∞(+∞) + (+∞) = +∞(−∞) + (−∞) = −∞(+∞) · (+∞) = +∞(+∞) · (−∞) = −∞Non è possibile dare una definizione nei seguenti casi:(−∞) + (+∞);0 · (±∞);±∞±∞ ; 00 . 28

3.2 DEFINIZIONE DI LIMITEDefinizione 3.1 Siano c ∈ (a, b) e f : (a , b) \ {c} −→ R.1. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a c è uguale ad l ∈ R e si scrivelim f(x) = l ∈ Rx→cse ∀ε > 0∃δ > 0 tale che|f(x) − l| < ε∀x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c}.2. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a c è uguale a +∞ e si scrivelim f(x) = +∞x→cse ∀M > 0∃δ > 0 tale chef(x) > M∀x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c}.3. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a c è uguale a −∞ e si scrivelim f(x) = −∞x→cse ∀M > 0∃δ > 0 tale chef(x) < −M∀x ∈ (c − δ, c + δ) \ {c}.Esempio 3.2 SiaVerifichiamo chef(x) = 1 , ∀x ∈ R \ {0}.x2 lim f(x) = +∞.x→0Per calcolare il limite sostituiamo 0 alla x. Allora otteniamo:limx→01x 2 = 1 0 2 = 10 + = +∞.Fissato un qualsiasi M > 0 possiamo prendere δ = 1 √Me otteniamo: f(x) > M∀x ∈( )− √ 1 1M, √M.yy = 1x 2 29x

Esempio 3.3 SiaAbbiamo lim f(x) = +∞ e lim f(x) = −∞.x→0 + −xx→0f(x) = 1 , ∀x ∈ R \ {0}.xyy = 1 xDefinizione 3.4 Limite destro Sia f : (a , b) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f(x) per x che tende acda destra è uguale a +∞ e si scrivelimx→c + f(x) = +∞se ∀M > 0∃δ > 0 tale chef(x) > M∀x ∈ (c, c + δ) \ {c}.Analoghe definizioni valgono per il limite sinistro e per i casi in cui il valore del limite è finito oppure è−∞.Definizione 3.5 . Sia f : (a , b) \ {c} −→ R.1. Sia f : (a , +∞) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a +∞ è uguale ad l ∈ R esi scrivelim f(x) = lx→+∞se ∀ε > 0∃M > 0 tale che|f(x) − l| < ε ∀x > M.2. Sia f : (−∞ , b) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a −∞ è uguale ad l ∈ R esi scrivelim f(x) = lx→−∞se ∀ε > 0∃M > 0 tale che|f(x) − l| < ε∀x < −M.Esempio 3.6 Siaf(x) = 1 , ∀x ∈ R \ {0}.x30

Abbiamo limx→+∞ f(x) = 1+∞ = 0 e limx→−∞ f(x) = 1−∞ = 0.Definizione 3.7 .1. Sia f : (a , +∞) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a +∞è uguale a +∞ (−∞)e si scrivese ∀M > 0∃N > 0 tale chelim f(x) = +∞(−∞)x→+∞f(x) > M (f(x) < −M) ∀x > N.2. Sia f : (−∞ , b) \ {c} −→ R. Si dice che il limite di f(x) per x che tende a −∞è uguale a +∞ (−∞)e si scrivese ∀M > 0∃N > 0 tale chelim f(x) = +∞ (−∞)x→−∞f(x) > M (f(x) < −M) ∀x < −N.Esempio 3.8 Sia f(x) = 1 − x 2 , ∀ x ∈ R.Allora lim f(x) = 1 − ∞ = −∞x→+∞elim f(x) = 1 −x→−∞ (−∞)2 = 1 − ∞ = −∞.yxy = 1 − x 2Teorema 3.9 (Unicità del limite) Se una funzione ammette limite in un punto, il limite è unico.Dimostrazione. Dimostriamo il teorema nel caso di una funzione f : (a , b) \ {c} −→ R che ammette limitein c ∈ (a , b) e supponiamo che esistano l 1 , l 2 ∈ R tali checon l 1 ≠ l 2 .lim f(x) = l 1 e lim f(x) = l 2x→c x→cDalla definizione di limite si ha che per ogni ε > 0 esistono δ 1 , δ 2 > 0 tali che|f(x) − l 1 | < ε∀x ∈ (c − δ 1 , c + δ 1 ) \ {c}e|f(x) − l 2 | < ε∀x ∈ (c − δ 2 , c + δ 2 ){c}.31

Sia δ = min{δ 1 , δ 2 }. Applicando la disuguaglianza triangolare otteniamo|l 2 − l 1 | ≤ |f(x) − l 1 | + |f(x) − l 2 | < 2ε ∀x ∈ (c − δ, c + δ){c}.Essendo ε piccolo a piacere, deve essere l 2 = l 1 .⊔⊓3.3 ASINTOTIDefinizione 3.10 Sia −∞ ≤ a < b ≤ +∞ e sia f : (a , b) \ {c} −→ R. Si dice che la funzione f ha unasintoto orizzontale di equazionese lim f(x) = l oppure lim f(x) = l.x→+∞ x→−∞y = lEsempio 3.11 La funzione f(x) =Infatti limx→±∞ f(x) = 11+ 1, ∀ x ∈ R, ha un asintoto orizzontale di equazione y = 1.1 + x2 1 + ∞ 2 + 1 = 0 + 1 = 1. yxy = 11+x 2 + 1y = 1Definizione 3.12 Sia c ∈ R e sia f : (a , b)\{c} −→ R. Si dice che la funzione f ha un asintoto verticaledi equazionex = cse limx→c + f(x) = +∞ oppure limx→c + f(x) = −∞ oppure limx→c − f(x) = +∞ oppure limx→c − f(x) = −∞.32

Esempio 3.13 La funzionef(x) = 1 , ∀x ∈ R \ {0}x + 1ha un asintoto verticale di equazione x = −1 e un asintoto orizzontale di equazione y = 0. Infattilim f(x) = +∞, lim f(x) = −∞. lim f(x) = 0,x→−1 + x→−1− x→±∞xyx = −1y = 1x+1Definizione 3.14 Sia −∞ ≤ a < b ≤ +∞ e sia f : (a , b) \ {c} −→ R. Si dice che la funzione f ha unasintoto obliquo per x che tende a +∞ di equazioney = mx + qseef(x)limx→+∞ x = m ∈ R \ {0}lim f(x) − mx = q ∈ R.x→+∞Si ha una definizione analoga per l’asintoto obliquo per x che tende a −∞.Esempio 3.15 La funzionef(x) = 1 + x, ∀x ∈ R \ {0}xha un asintoto obliquo di equazione y = x.Infattim = lim x→±∞f(x)x= lim x→±∞1x 2 + 1 = 1eq = lim x→+∞ f(x) − mx = lim x→+∞1x + x − x = 0.y = 1 x + xyxy = x33

3.4 ALGEBRA DEI LIMITIDefinizione 3.16 Le seguenti espressioni sono dette forme indeterminate:+∞ − ∞; 0 · (±∞);±∞±∞ ; 00 ; 1±∞ ; 0 0 ; (+∞) 0 .Teorema 3.17 (Algebra dei limiti) Siano f, g : (a, b) −→ R, e β, γ ∈ R ∗ . Supponiamo che lim x→a + f(x) =β e lim x→a + g(x) = γ. Valgono le seguenti implicazioni:(i) se β + γ non è una forma indeterminata, allora(ii) se β γ non è una forma indeterminata, alloralim f(x) + g(x) = β + γ;x→a +limx→a + f(x)g(x) = β γ;(iii) se γ ≠ 0 e β/γ non è una forma indeterminata, allora(iv) se β γ non è una forma indeterminata, alloraf(x)limx→a + g(x) = β γ ;( ) g(x)lim f(x) = β γ .x→a +Dimostrazione. Ricordiamo chelimx→aper ogni funzione ϕ : (a, b) −→ R.x→aϕ(x) = l ∈ R ⇐⇒ lim |ϕ(x) − l| = 0,+ +Se β, γ ∈ R le affermazioni (i), (ii), (iii) seguono dalla definizione di limite e dalle seguenti disuguaglianze|f(x) + g(x) − (β + γ)| ≤ |f(x) − β| + |g(x) − γ|;|f(x)g(x) − βγ|= |(f(x) − β)g(x) + β(g(x) − γ)|≤|f(x) − β| |g(x)| + |β| |g(x) − γ|;34

f(x)∣ g(x) − β γ ∣ =≤( ) f(x) − β γ + β(γ − g(x))∣ g(x)γ ∣|f(x) − β| |γ|) + |β| |g(x) − γ|.g(x)γI casi in cui β e γ non sono entrambi finiti si trattano in maniera analoga.⊔⊓Esempio 3.18 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)AbbiamoInfatti, per x → +∞,limx→−∞ x2 + x = +∞.(x 2 + x = x 2 1 + 1 ) (−→ +∞ 1 + 1 )= +∞ (1 + 0) = +∞x−∞Esempio 3.19 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)AbbiamoInfatti, per x → +∞,√lim x2 + x − x = 1x→+∞2 .√x2 + x − x = x2 + x − x 2√x2 + x + x= √xx 1 + 1 x + x=x) −→x(√1 1 + 1 x + 1 2 .Esempio 3.20 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)AbbiamoInfatti, per x → +∞,√lim x4 + x 3 − x 2 = +∞.x→+∞√x4 + x 3 − x 2 = x4 + x 3 − x 4√x4 + x 3 + x 2=x 3x 2 (√1 + 1 x + 1 ) −→ +∞.35

Esempio 3.21 (Forma indeterminata: +∞ − ∞)AbbiamoInfatti, per x → +∞,√lim x2 + 1 − x = 0.x→+∞√x2 + 1 − x = x2 + 1 − x 2√x2 + 1 + x=1) −→ 0.x(√1 + 1 x + 1Esempio 3.22 Forma indeterminata: ±∞±∞ .x• lim = 1. Infatti, per x → +∞,x→+∞ x + 1xx + 1 =xx ( 1 + 1 xx• lim √ = +∞. Infatti, per x → +∞,x→+∞ x + 1) = 11 + 1 x→ 11 + 0 = 1.x√ x + 1=x‘ √ √x 1 + 1 x=√ x√1 + 1 x→ +∞ √ 1 + 0= +∞x• lim = 0. Infatti, per x → +∞,x→+∞ (x + 1)2x(x + 1) 2 = xx 2 (1 + 1 = 1x )2 x(1 + 1 → 1x )2 +∞(1 + 0) 2 = 1+∞ = 0.3.5 CONFRONTO TRA INFINITIIl risultato del seguente teorema segue dal Teorema di de l’Hôpital (Teorema 5.23) che enunceremo nellaSezione 5.Teorema 3.23 Siano a > 0, a ≠ 1 e β, γ > 0. Allorax βlimx→+∞ a x = 0e(log a x) γlimx→+∞ x β = 0• Come conseguenza immediata del Teorema 3.23 abbiamo:36

⊲⊲⊲⊲(log a x) γlimx→+∞ b x = 0, ∀a, b > 1 ∀γ ∈ R.Infatti:limx→+∞Infatti:limx→+∞Infatti:limx→+∞Infatti:limx→+∞(log a x) γb x= limx→+∞(log a x) γa x= +∞, ∀a > 1 ∀β ∈ R.xβ a xlimx→+∞ x β = lim 1= 1x→+∞ x βa xx0 + = +∞.x· limx→+∞ b x = 0 · 0 = 0x β= +∞,(log a x)γ∀a > 1 ∀β > 0, ∀γ ∈ R.x βlimx→+∞ (log a x) γ = lim 1x→+∞ (log ax) γ = 10 + = +∞.x βb x= +∞, ∀a, b > 1 ∀γ ∈ R.(log a x)γlimx→+∞b x(log a x) γ = limx→+∞1= 1b x0 + = +∞(log ax) γEsempio 3.24 Abbiamo⊲⊲⊲x + (loglim 2 x) 100x→+∞ 3 x + 1)x(1 + (log 2 x)100x= limx→+∞ 3 x( 1 + 3−x) = limx→+∞x3 x · lim 1 + (log 2 x)100xx→+∞ 1 + 3 −x = 0 · 1 = 0.( )4 x + log 1/2 x 4 x 1 + log 1/2 x4limx→+∞ 2 x + x 3 = limxx→+∞ 2 ( 1 + log 1/2 x) = limx 1 + x3 x→+∞ 2x 4 · limx= +∞ · 1 = +∞.x→+∞21 + x3x 2 xlimx→−∞ x2x = lim −t tt→+∞ 2−t == limt→+∞ 2 t = 0.⊲ limx→0 + 3 − 1 x= limx10 t→+∞ t10 3 −t = 01⊲ lim xlnx = limx→0 + t→+∞ t ln 1 t = − lim lnt= 0t→+∞ t37