12 Spazi connessi - Matematica e Applicazioni

Geometria e Topologia I 20 aprile 2005 3912 Spazi connessiIl teorema del valore intermedio si può esprimere in termini di connessione:(12.1) Definizione. Uno spazio topologico X è detto connesso se gli unici sottoinsiemi di Xsimultaneamente aperti e chiusi 7 sono ∅ e X.Quando si considera un sottospazio Y ⊂ X, allora Y è connesso se è connesso nellatopologia indotta da X. Osserviamo che se A ⊂ X è un sottoinsieme sia chiuso che aperto,anche il suo complementare X A è sia chiuso che aperto. Quindi X = A ⊂ (X A), cioè Xè unione disgiunta di due aperti non vuoti.(12.2) Teorema. Uno spazio topologico X è connesso se e solo se X non è unione di dueaperti non vuoti e disgiunti X = A 1 ∪ A 2 . (Equivalentemente: uno spazio topologico X non èconnesso se e solo se X è unione di due aperti non vuoti e disgiunti X = A 1 ∪ A 2 ).(12.3) Esempio. Sia S 0 = {−1, +1} la sfera di dimensione 0 (soluzioni dell’equazione x 2 = 1).Entrambi i punti sono chiusi in R, quindi S 0 non è connesso.(12.4) Definizione. Un intervallo in R è un insieme I ⊂ R contentente più di un punto, taleche x, y ∈ I, s ∈ R, x < s < y =⇒ s ∈ I.Dato che R ha la proprietà dell’estremo superiore e dell’estremo inferiore, gli intervalli sonotutti gli insiemi del tipo (−∞, b],(−∞, b),(a, b),(a, b], [a, b), [a, b], [a, +∞), (a, +∞), con a < b.Mostreremo che tutti gli intervalli sono connessi. Cominciamo dall’intervallo compatto [a, b].(12.5) Teorema. Ogni intervallo [a, b] ⊂ R è connesso.Dimostrazione. Per assurdo, supponiamo che l’intervallo [a, b] sia unione di due aperti disgiuntinon vuoti [a, b] = A 1 ∪ A 2 (dove A 1 , A 2 ≠ ∅, A 1 ∩ A 2 = ∅, e quindi A 1 e A 2 sono chiusi nellatopologia di [a, b]). Essendo [a, b] chiuso in R, A 1 e A 2 sono anch’essi chiusi e non vuoti in R(nota: non sono necessariamente aperti! Vedi esercizio (4.3)). Dato che gli estremi superioree inferiore di un sottoinsieme chiuso di R sono contenuti nell’insieme stesso (vedi esercizio(4.2)), risulta sup A i ∈ A i , inf A i ∈ A i per i = 1, 2. Consideriamo per ogni y ∈ [a, b] l’insiemechiusoB y = {x ∈ A 1 : x ≤ y} = [a, y] ∩ A 1 ⊂ A 1 .L’intersezioneB = ⋂y∈A 2B y = {x ∈ A 1 : ∀y ∈ A 2 , x ≤ y}.è dunque un chiuso contenuto in A 1 (che consiste di tutti i minoranti di A 2 in A 1 ). Ora, a menodi cambiare gli indici, possiamo supporre che a ∈ A 1 (e quindi a ∉ A 2 , poiché A 1 ∩ A 2 = ∅), equindi a ∈ B. L’estremo superiore s 1 = sup B (che esiste perché B ≠ ∅) appertiene al chiusoB (e quindi è un minorante di A 2 ), e dunque appartiene a A 1 (che contiene B). D’altra parte,consideriamo l’estremo inferiore s 2 di A 2 : si ha che s 2 ≤ t per ogni t ∈ A 2 , e7 In inglese: clopen.t ∈ [a, b] ∧ t > s 2 =⇒ ∃y ∈ A 2 : t > y,D.L. Ferrario 20 aprile 2005 39

Geometria e Topologia I 20 aprile 2005 40(cioè non esistono minoranti più grandi di s 2 , s 2 è il massimo dei minoranti). Dato che perdefinizione di s 1 (estremo superiore di B)si ha, equivalentemente,t ∈ [a, b] ∧ t > s 1 =⇒ t ∉ B,t ∈ [a, b] ∧ t > s 1 =⇒ ¬ (∀y ∈ A 2 , t ≤ y) .Ma allora s 1 = s 2 , e dunque s = s 1 = s 2 ∈ A 1 ∩ A 2 = ∅, che è assurdo.q.e.d.(12.6) Nota. Usando la stessa tecnica di dimostrazione di (12.5), si può dimostrare che A ⊂ Rnon è connesso se e solo se esistono x, y ∈ A, s ∉ A tali che x < s < y (cioè A è connesso see solo se x, y ∈ A, x < s < y =⇒ s ∈ A). Infatti, se A non fosse connesso, si definiscono A 1 ,A 2 , B, s 1 e s 2 come sopra (s 1 = sup B e s 2 = inf A 2 ), e deve risultare s 1 < s 2 . Ma allora esistes ∉ A tale che s 1 < s < s 2 – basta prendere s = 1 2 (s 1 + s 2 ). Questo fa seguire dall’ultimoassioma di (9.1) la connessione di R. Viceversa, se esistono x, y ∈ A e s ∉ A tali che x < s < y,allora si possono definire i seguenti sottoinsiemi (chiusi e aperti) di A:la cui intersezione è vuota e la cui unione è A.A 1 = {x ∈ A : x ≤ s} = {x ∈ A : x < s}A 2 = {x ∈ A : x ≥ s} = {x ∈ A : x > s}(12.7) Teorema. Se X è connesso e f : X → Y è una funzione continua, allora f(X) ⊂ Y èconnesso (con la topologia indotta da Y – si dice che l’immagine di un connesso è connessa).Dimostrazione. Se f(X) fosse non connesso, esisterebbero A 1 ⊂ f(X) e A 2 ⊂ f(X) apertidisgiunti (nella topologia indotta) e non vuoti tali che f(X) = A 1 ∪ A 2 . Le controimmaginif −1 A 1 e f −1 A 2 sarebbero aperti disgiunti non vuoti in X tali che X = f −1 A 1 ∪ f −1 A 2 , edunque X non sarebbe connesso.q.e.d.(12.8) Corollario. Se X e Y sono due spazi topologici omeomorfi, allora X è connesso se esolo se Y è connesso.Dimostrazione. Come nella dimostrazione del corollario (9.13)q.e.d.(12.9) Siano B ⊂ X e {Y w } w∈W sottoinsiemi connessi di uno spazio topologico X tali che∀w ∈ W, B ∩ Y w ≠ ∅. Allora l’unione Y = B ∪ ⋃ w∈W Y w è connesso.Dimostrazione. Supponiamo che A 1 e A 2 siano aperti disgiunti tali che Y = A 1 ∪ A 2 . Per ogniw ∈ W , A 1 ∩ Y w e A 2 ∩ Y w sono aperti disgiunti in Y w , e quindi non possono essere entrambinon vuoti, visto che Y w è connesso: cioè, Y w ⊂ A 1 oppure Y w ⊂ A 2 . Lo stesso per A 1 ∩ B eA 2 ∩ B: supponiamo senza perdere in generalità che B ⊂ A 1 . Ma allora, poiché per ipotesiB ∩ Y w ≠ ∅, deve anche essere ∀w ∈ W, Y w ⊂ A 1 , e cioè Y ⊂ A 1 . Ma allora A 2 = ∅. q.e.d.(12.10) Corollario. La retta reale R è connessa.Dimostrazione. Basta osservare che si può scrivere R = {0} ∪ ⋃ R>0[−R, R] e applicare (12.9).q.e.d.(12.11) Esempio. R n è connesso: è unione di rette per l’origine. R n {0} è connesso.Perché? Vedi esercizio (7.2).D.L. Ferrario 20 aprile 2005 40

Geometria e Topologia I 20 aprile 2005 41(12.12) Teorema. Due spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il prodotto X × Yè connesso.Dimostrazione. Se X × Y è connesso, allora X e Y , in quanto immagini delle proiezionicanoniche p 1 : X × Y → X e p 2 : X × Y → Y , sono connessi (vedi (12.7)). Viceversa, se Xe Y sono connessi, allora si scelga y 0 ∈ Y : per ogni x ∈ X i sottospazi {x} × Y ⊂ X × Y eX × {y 0 } ⊂ X × Y sono omeomorfi rispettivamente a Y e X, e quindi entrambi connessi. MaalloraX × Y = X × {y 0 } ∪ ⋃ x∈X({x} × Y ),e quindi possiamo applicare (12.9) con B = X × {y 0 } e Y x = {x} × Y .q.e.d.(12.13) Definizione. Uno spazio non connesso è unione di sottospazi sia aperti che chiusi.Definiamo componenti connesse di X i sottospazi connessi massimali (cioè i sottospazi connessidi X che non sono contenuti in sottospazi connessi di X).(12.14) (Teorema del valore intermedio) Sia f : [a, b] → R una funzione continua taleche f(a) < 0 e f(b) > 0. Allora esiste x 0 ∈ (a, b) tale che f(x 0 ) = 0.Dimostrazione. L’intervallo [a, b] è connesso per (12.5), e quindi la sua immaginef([a, b]) = {f(x) : a ≤ x ≤ b}è connessa, e dunque un intervallo (vedi anche (12.6)). Cioè, visto che f(a) ∈ f([a, b]) ef(b) ∈ f([a, b]), anche tutti i valori intermedi y ∈ [f(a), f(b)] appartengono all’immaginef([a, b]). In particolare, 0 ∈ [f(a), f(b), e quindi 0 ∈ f([a, b]), cioè esiste x ∈ [a, b] tale chef(x) = 0.q.e.d.12.1 Spazi connessi per archiUn arco (oppure un cammino) in uno spazio X è una mappa γ : [0, 1] → X. Si dice che l’arcoparte da γ(0) e arriva a γ(1).(12.15) Definizione. Si dice che uno spazio X è connesso per archi se per ogni coppia dipunti x 0 , x 1 ∈ X esiste un arco γ tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1 .(12.16) Se f : X → Y è una funzione suriettiva e X è connesso per archi, allora Y è connessoper archi.Dimostrazione. Siano y 0 , y 1 due punti di Y . La funzione è suriettiva, e dunque esistono x 0e x 1 in X tali che f(x 0 ) = y 0 e f(x 1 ) = y 1 . Dato che X è connesso, esiste un camminoγ : [0, 1] → X tale che γ(0) = x 0 e γ(1) = x 1 . Ma la composizione di funzioni continue ècontinua, e quindi il cammino ottenuto componendo γ con f: f ◦ γ : [0, 1] → X → Y è uncammino continuo che parte da y 0 e arriva a y 1 .q.e.d.(12.17) Corollario. Se due spazi X e Y sono omeomorfi, allora X è connesso per archi see solo se Y è connesso per archi.Dimostrazione. Si dimostra come nel caso della connessione e della compattezza (9.13).q.e.d.(12.18) Teorema. Uno spazio connesso per archi è connesso.D.L. Ferrario 20 aprile 2005 41

Geometria e Topologia I 20 aprile 2005 42Dimostrazione. Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che non sia connesso, edunque che esista A ⊂ X, A ≠ ∅, A ≠ X sia aperto che chiuso. Dato che A ≠ ∅, possiamoscegliere un punto x 0 ∈ A. Dato che A ≠ X, possiamo scegliere un punto x 1 ∉ A. Dato che Xè connesso, esiste un cammino γ : [0, 1] → X che parte da x 0 e arriva a x 1 . La controimmagineγ −1 (A) è un sottoinsieme chiuso di [0, 1] (dato che γ è continua e A è chiuso) ed al tempostesso un sottoinsieme aperto (dato che γ è continua e A aperto). Ma [0, 1] è connesso, quindiγ −1 A può solo essere oppure tutto [0, 1]. Ma x 0 ∈ γ −1 A, e quindi γ −1 A ≠ ∅, e x 1 ∉ γ −1 A, equindi γ −1 A ≠ [0, 1], e questo ci porta ad una contraddizione.q.e.d.(12.19) Teorema. Se X è un sottoinsieme aperto e connesso di R n , allora X è connesso perarchi.Dimostrazione. Vedi esercizio (7.19)q.e.d.D.L. Ferrario 20 aprile 2005 42