ESERCIZIO SVOLTO - Sei

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura1ESERCIZIOSVOLTOLa verifica di stabilità dell’arco di Navier-MéryEffettuare il progetto di massima e le verifiche del ponte ad arco destinato al solo transito pedonale,da realizzare in conci di materiale lapideo, per il superamento di un canale di irrigazione conlarghezza di 6,00 m in corrispondenza dei cigli laterali e che costituisce la luce del manufatto.Sono noti i seguenti elementi:– quota del piano stradale +70,00 m;– quota massima dell’acqua +66,45 m;– quota del fondo canale +64,30 m;– larghezza della strada 3,00 m;– resistenza del terreno σ Ed,t ≈ 0,25 MPa.Il manufatto verrà realizzato con le seguenti caratteristiche:– pavimentazione stradale: sarà costituita dalla massicciata in ghiaia e pietrisco rullati, sulla qualeverrà steso il binder di collegamento formato da una miscela di pietrisco e bitume, e quindi saràrealizzato il tappeto di usura in calcestruzzo bituminoso ottenuto con bitume e inerti di piccoladimensione; lo spessore complessivo sarà di 25 cm, con un peso volumico γ s = 18,00 kN/m 3 ;– riempimento: verrà realizzato con una miscela di terra e ghiaia a strati innaffiati e costipati, conuno spessore in chiave di 0,40 m e un peso volumico γ t = 16,00 kN/m 3 ;– rinfianco e cappa: il rinfianco verrà eseguito in calcestruzzo cementizio dosato a 2,50 kN/m 3 diimpasto, con un peso volumico di 23 kN/m 3 , sul quale sarà realizzata la cappa di protezione conlo spessore di 10 cm, la cui superficie avrà la pendenza di circa il 15% a protezione del rinfianco,ottenuta con malta cementizia e superiore strato di asfalto;– muri andatori: vengono previsti in calcestruzzo semplice con uno spessore da 20 cm alla sommitàe variabile da 35 cm a 80 cm alla base;– arco: per il materiale lapideo dei conci, di peso volumico γ c = 24 kN/m 3 , verrà considerata laresistenza caratteristica a compressione f bk = 7,50 N/mm 2 e la malta impiegata sarà del tipo M5;viene fissato il ribassamento di 1/5 con una freccia f = 1,20 m; considerando la luce l = 8,00 m,abbastanza modesta, l’arco viene progettato a spessore costante;– spalle: sono previste in calcestruzzo semplice con altezza H = 3,00 m dal piano della risega difondazione a quello di imposta all’intradosso dell’arco [fig. f].I calcoli di verifica vengono sviluppati considerando 1,00 m di larghezza della volta.Dimensionamento di massimaSpessore in chiaveFormula di Lesguiller:sc = 0, 10 + 0, 20 ⋅ 2 ⋅ c = 0, 10 + 0, 20 × 6, 00 ≈0, 59 mFormula di Sejourné:f fsc = (, 015 + 015 , ⋅ l ) 4⋅ ×⎛1− +3 ⎝ l l= (, + , × , ) 4× ×⎛ , ,0 15 0 15 6 00 1− 1202120+⎞⎝ , , ⎠ ≈ 058 ,3 600 600Formula di Leveillé:1 csc = + 0, 10 × 2 ⋅ 1= + 0, 10 × 6,00≈ 053 , m332mIn base ai valori ottenuti viene fissato uno spessore costante della volta s c = 60 cm.22⎞⎠ =U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura2Raggio di intradosso [fig. a]:ri =c + f2 ⋅ f300 , + 120 ,=2×120 ,2 2 2 2= 435 , mper cui:cα = arctg arctgr− f= 300 ,≈ 43° , 60 < 60°435 , −120,SpalleFormula di Lesguiller:lS =⎡⎛+ ⋅ + ⋅ H⎞′ l H f sch⎣⎢⎝055 , 020 , 0, 04⋅ f + s ⎠ ⋅ ⎤c⎦⎥ + [ 0,01852⋅ ( ′+ + )]⋅==⎡⎛+ × + ×⎞⎣⎢ ⎝055 , 020 , 600 ,004 , 300 , × + ⎠ × 600 ,⎤2 1, 20 0,60 ⎦⎥ ++ [ 0, 0185 × ( 3, 00 + 1, 20 + 0, 60)]× 0, 75 ≈2, 70 mFormula di Leveillé:S= (, 0 33+ 0, 212 ⋅l)⋅H′⋅l=( f + s ) ⋅ ( H′+ s + h)cc= (, 0 33+ 0, 212 × 6, 00)×300 , × 600 ,( 1, 20 + 0, 60) × ( 3, 00 + 0, 60 + 0, 75)≈ 243m ,Formula del Genio Civile Italiano:lS= 0, 05 ⋅ H′ + 0, 20 ⋅ l+ ⋅ ( 0, 10 + 0,005 ⋅l)=f= 005× 300+ 020× 600+ 600 ,, , , , × ( 0, 10 + 0, 005 × 6, 00)≈2, 00 m120 ,In base ai valori ottenuti viene fissato un valore della spalla S = 2,40 m.Essendo il ponte simmetrico e simmetricamente caricato, viene considerata solo metà volta compresafra le sezioni in chiave e all’imposta per la larghezza di 1,00 m.aU. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura3Dopo aver tracciato la metà volta con i relativi strati sovrastanti, la volta stessa viene suddivisa inconci ideali, in questo caso sei [fig. b], e dai punti di estradosso dei giunti si innalzano le verticaliche delimitano i volumi dei vari strati, i quali sono costituiti di materiali diversi con pesi volumicidifferenti, e analogamente si ha per il carico variabile dovuto al traffico.Per una semplificazione dei calcoli, le varie altezze reali h r degli strati in corrispondenza dei giuntivengono trasformate in altezze ideali h i riferite al peso volumico γ c del materiale costituente lavolta, per cui gli strati reali, compreso il carico variabile, vengono trasformati in altri ideali equipesanti,immaginando di realizzarli con lo stesso materiale della volta.Indicando genericamente con γ il peso volumico del materiale di uno strato e con q il carico variabile,deve quindi sussistere l’uguaglianza:h i ⋅ γ c = h r ⋅ γda cui:γh i = h r ⋅ =h r ⋅ cγ cbAnalisi dei carichiPermanente strutturale [figg. a e b]Ogni concio ideale viene assimilato a un prisma con altezza di 1,00 m a basi trapezoidali di altezzauguale allo spessore s c della volta e basi curve assimilabili a trapezi di lunghezza uguale a 1/6degli sviluppi di intradosso Sv i e di estradosso Sv e che risultano:π ⋅ rSv i =i ⋅ α π ⋅ 4,35 × 43°,60= ≈3,31 m180° 180°π ⋅ (rSv e =i + s c ) ⋅ α π ⋅ (4,35 + 60) × 43°,60= ≈3,77 m180°180°Il peso di ogni concio, applicando il coefficiente parziale di sicurezza γ G1 = 1,35, risulta:3,31 + 3,77G c = ⎛ 1× ×0,60 × 1,00⎞m 3 × 24 kN/m 3 × 1,35 ≈ 11,48 kN⎝ 6 2⎠e il vettore che lo rappresenta viene applicato nel baricentro di ogni concio [fig. c].Permanente non strutturaleIn tabella 1 sono riportate le diverse altezze reali h r , misurate sul grafico [fig. b], e le relative altezzeideali h i .Le diverse strisce sono prismi con altezza orizzontale di 1,00 m e basi assimilabili a trapezi conbasi corrispondenti alle altezze ideali h i,p .U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura4cTabella 1GiuntoPavimentazioneRinfianco e cappaRiempimentoe massicciata23,0016,0018,00c = ª 0,96 c = ª 0,67 c = ª 0,7524,0024,0024,00h r h i h r h i h r h ih i,p = S h i0 0,10 0,096 0,40 0,268 0,25 0,188 0,5521 0,10 0,096 0,43 0,288 0,25 0,188 0,5722 0,13 0,125 0,53 0,355 0,25 0,188 0,6683 0,22 0,211 0,62 0,415 0,25 0,188 0,8144 0,40 0,384 0,72 0,482 0,25 0,188 1,0545 0,65 0,624 0,82 0,550 0,25 0,188 1,3626 0,98 0,941 0,90 0,603 0,25 0,188 1,732Il calcolo dei pesi delle varie strisce, applicando il coefficiente parziale di sicurezza γ M = 1,5, èriportato in tabella 2.Carico variabile per trafficoViene considerato lo schema di carico 5 con intensità q = 5 kN/m 2 gravante sulla superficie pedonabileper la larghezza di 1,00 m, corrispondente all’altezza ideale:q 5,00h i,var = = ≈ 0,208 mγ c 24,00I pesi del sovraccarico, omogeneizzato al materiale della volta, relativi a ogni striscia, applicandoil coefficiente di sicurezza γ Q = 1,35, sono riportati in tabella 3.Le altezze ideali totali h i,tot = h i,p + h i,var di tabella 4 vengono riportate sulle corrispondenti verticalia partire dall’estradosso della volta [fig. c] e la spezzata congiungente le loro estremità definisceil diagramma del carico omogeneizzato che grava sulla volta.I pesi dei conci e delle relative strisce sovrastanti sono riportati in tabella 5.U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura5Tabella 2Striscia Volume (m 3 ) [a] Peso volumico ¥ g M (kN/m 3 ) [b] Peso (kN) [a⋅ b]0,552 + 0,572G1 S ¥ 0,63 ¥ 1,00 ª 0,35420,572 + 0,668G2 S ¥ 0,61 ¥ 1,00 ª 0,37820,668 + 0,814G3 S ¥ 0,60 ¥ 1,00 ª 0,44520,814 + 1,054G4 S ¥ 0,55 ¥ 1,00 ª 0,51421,054 + 1,362G5 S ¥ 0,54 ¥ 1,00 ª 0,65221,362 + 1,732G6 S ¥ 0,48 ¥ 1,00 ª 0,743224,00 ¥ 1,5 2 12,7424,00 ¥ 1,5 2 13,6124,00 ¥ 1,5 22 16,0224,00 ¥ 1,5 2 18,5024,00 ¥ 1,5 22 23,4724,00 ¥ 1,5 2 26,75Tabella 3Striscia Volume (m 3 ) [a] Peso volumico ¥ g Q (kN/m 3 ) [b] Peso (kN) [a⋅ b]Q 1 0,208 ¥ 0,63 ¥ 1,00 ª 0,131Q 2 0,208 ¥ 0,61 ¥ 1,00 ª 0,127Q 3 0,208 ¥ 0,60 ¥ 1,00 ª 0,125Q 4 0,208 ¥ 0,55 ¥ 1,00 ª 0,114Q 5 0,208 ¥ 0,54 ¥ 1,00 ª 0,112Q 624,00 ¥ 1,3524,00 ¥ 1,3524,00 ¥ 1,3524,00 ¥ 1,350,208 ¥ 0,48 ¥ 1,00 ª 0,010 224,00 ¥ 1,3524,00 ¥ 1,354,244,124,053,693,633,23Tabella 4Giunto h i,p (m) h i,var (m) h i,tot (m)Tabella 50123456G S 1 = 12,74G S 2 = 13,61G S 3 = 16,02G S 4 = 18,50G S 5 = 23,47G S 6 = 26,75Q 1 = 4,24Q 2 = 4,12Q 3 = 4,05Q 4 = 3,69Q 5 = 3,63Q 6 = 3,230,5520,5720,6680,8141,0541,3621,732G 1 = 16,98G 2 = 17,73G 3 = 20,07G 4 = 22,17G 5 = 27,10G 6 = 29,980,2080,2080,2080,2080,2080,2080,208G c = 11,48G c = 11,48G c = 11,48G c = 11,48G c = 11,48G c = 11,480,7600,7800,8761,0221,2621,5701,940Permanente non Variabile daPermanentestrutturale (kN) traffico (kN)G i = G s + Q k (kN)strutturale (kN)Pesi parziali (kN)[a] [b] [c = a + b] [d] [c + d]P 1 = 28,46P 2 = 29,21P 3 = 31,55P 4 = 33,65P 5 = 38,58P 6 = 41,46S G i = 134,03 N d =SP = 202,91U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura6Calcolo delle spinte in chiave H e all’imposta SI vettori che rappresentano i pesi G i delle strisce e G c dei conci vengono applicati nei relativi baricentri[fig. c] e quindi graficamente vengono determinati i baricentri g di ogni figura formata dalconcio e striscia sovrastante, per i quali passa la linea di azione dei relativi pesi P, con le intensitàriportate in tabella 5.Con il poligono funicolare a, b, c, ..., g ottenuto proiettando i vettori che rappresentano i pesiP dal polo C 1 [fig. e] si ottiene la posizione della risultante totale R =ΣP dei pesi del semiarco considerato[fig. d].La risultante R dei pesi si scarica in parte sull’altro semiarco attraverso la sezione in chiave tramitela spinta H, la cui linea di azione, essendo l’arco simmetrico e simmetricamente caricato,è perpendicolare alla sezione in chiave e passa per l’estremo superiore del nocciolo, e in partesulla spalla attraverso la sezione di imposta tramite la spinta S, con linea di azione passante perl’estremo inferiore del nocciolo di tale sezione e, per l’equilibrio, per il punto O di intersezionedella H con la R.Le intensità delle due spinte H ed S vengono determinate scomponendo la retta delle forze,con intensità uguale alla R, secondo due componenti parallele alle rette di azione della H edella S che, lette sul grafico nella scala forze assunta, presentano i valori:H ≈ 180 kNS ≈271 kNdeU. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura7La curva delle pressioniSi deve ora verificare che anche lungo tutto lo sviluppo dell’arco non si abbiano sforzi di trazione,e ciò viene controllato completando il procedimento del Mèry per cui, assumendo il punto C 2di intersezione della H con la S nel poligono di equilibrio come nuovo polo di proiezione, si proiettala retta delle forze e si traccia un secondo poligono funicolare [figg. d ed e] che rappresentala poligonale delle pressioni in quanto i suoi lati sono paralleli ai raggi proiettanti, ognuno deiquali è la risultante di tutte le forze precedenti.Affinché la verifica risulti positiva è necessario che la poligonale delle pressioni, come si verificain questo Esercizio, sia tutta contenuta entro il terzo medio dell’arco, assicurando così che tutte lesezioni siano soggette unicamente a tensioni di compressione.Verifica delle tensioni nella voltaL’analisi statica dell’arco viene completata controllando ancora che le resistenze di calcolo a compressionee a scorrimento presentino in ogni sezione un valore inferiore a quello della resistenza diprogetto; se l’arco presenta uno spessore variabile, tali verifiche sono necessarie per le sezioni inchiave, all’imposta e in altre intermedie, mentre se lo spessore è costante, ci si può limitare alledue sezioni di estremità.Per queste verifiche la spinta S, inclinata rispetto al piano della sezione, viene scomposta nelledue componenti N 6 e V 6 rispettivamente perpendicolare e parallela al piano della sezione di imposta,le cui intensità graficamente risultano:N 6 ≈ 270 kNV 6 ≈ 22 kNPonendo che vengano utilizzati per la costruzione della volta elementi resistenti di categoria II,con classe di esecuzione 2, il coefficiente parziale di sicurezza è γ M = 3.In base alle caratteristiche del materiale impiegato si ha:– resistenza di progetto a compressione (vedi tabella 5 a pag. 505 del Volume 4):ff d =k 4,10= ≈1,37 N/mm 23γ M– resistenza di progetto a taglio (vedi tabella 7 a pag. 507 del Volume 4):N 270 × 10σ n = = 36=0,45 N/mm 2A 1000 × 600f vk0 = 0,10 N/mm 2f vd = f vk0 + 0,4 ⋅ σ n = 0,10 + 0,4 × 0,45 = 0,28 N/mm 2Sezione in chiaveLa spinta H, perpendicolare al piano della sezione, è applicata all’estremo del terzo medio dellasezione stessa che è quindi soggetta a sola compressione; si ha quindi:– eccentricità strutturale: e s1 = 0 e s2 = 10 cm per cui: e s = e s1 + e s2 = 10 cm– eccentricità per tolleranze di esecuzione:300e a = =1,50 cm200– eccentricità dovuta al vento: e v = 0 in quanto l’azione del vento si considera trascurabile;– eccentricità convenzionale: e = ⏐e s ⏐ + e a = 10 + 1,50 = 11,50 cm6 ⋅ e 6 × 11,50– coefficiente di eccentricità: m = = =1,15t 60h 300– coefficiente di riduzione: dalla tabella 9 a pag. 518 del Volume 4, per0= =5si ricava Φ = 0,502.t 60U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura8Lo sforzo di compressione massimo che può sopportare la sezione risulta:N Rd = Φ ⋅ f d ⋅ A = 0,502 × 1,37 × 1000 × 600 = 412,644 × 10 3 N = 412,644 kN > HSezione di impostaLa sezione è soggetta a compressione dalla componente N 6 applicata all’estremo del terzo medio,con una resistenza di progetto N Rd = 412,644 kN > N 6 = 270 kN.La componente V 6 produce scorrimento; lo sforzo di scorrimento resistente è:V Rd = β ⋅ A ⋅ f vd = 1 × 1000 × 600 × 0,28 = 168 × 10 3 N = 168 kN > V 6Verifiche di stabilità della spalla [fig. f]Analisi dei carichiSi procede alla trasformazione delle altezze reali in altezze ideali; le due somme delle altezze idealiparziali vengono riportate sulle verticali per A e B a partire da tali punti.Carico per traffico:Massicciata:Riempimento:Cappa:h s = q γ c= 5,0024,00 ≈ 0,208 mh m= c⋅ 0, 25 = 0, 75 × 0, 25 ≈0, 188 mh r = c ⋅ 1, 25 = 0, 67 × 1, 25 ≈ 0, 838 mAh r = c ⋅ 0, 90 = 0, 67 × 0, 90 ≈ 0, 603 mBh c= c⋅ 0, 10 = 0, 96 × 0, 10 = 0, 096 mfU. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura9Altezze ideali totali:h A = 0,208 + 0,188 + 0,838 + 0,096 =1,330 mh B = 0,208 + 0,188 + 0,603 + 0,096 =1,095 mCon procedimento analogo a quanto è stato fatto per la volta, viene calcolato, in funzione dellealtezze ideali h A e h B , il peso della striscia, comprensiva del carico per traffico, soprastante la spalla,applicando il vettore che lo rappresenta nel suo baricentro.Si calcola ora il peso della spalla in calcestruzzo, che viene scomposta in due trapezi per la profonditàdi 1,00 m:343 300= ⎛ , + ,× 0, 40 × 1, 00⎞m × 24 kN/m ≈ 30,86 kN⎝ 2⎠33G 15 427 5 362= ⎛ , + ,× 2, 00 × 1, 00⎞m × 24 kN/m ≈258,94 kN⎝ 2⎠33G 2I vettori che rappresentano tali pesi vengono applicati nei baricentri dei corrispondenti trapezi chedistano dalle relative basi maggiori delle quantità:0, 40 × ( 3, 43+ 2 × 3,00)d 1 =≈ 0, 196 m3× ( 3, 43+3,00)2, 00 × ( 5, 427 + 2 × 5,362)d 2 =≈ 0, 998 m3× ( 5, 427 + 5,362)A tutti i carichi vengono applicati i coefficienti parziali di sicurezza.Le verifiche della spalla a ribaltamento, a schiacciamento e a scorrimento sono analoghe a quellegià studiate per i muri di sostegno, per cui vengono qui tralasciate, e devono essere effettuate siaa livello del piano di imposta della spalla sulla fondazione, sia a livello del piano di appoggio diquest’ultima sul terreno.Le verifiche della spalla devono essere svolte per le condizioni di carico limite, per cui si devonoconsiderare situazioni di carico diverse, e precisamente:a) spinta S dell’arco, considerata tramite le sue componenti R e H, e spinta idrostatica S i dovutaall’acqua al livello massimo;b) spinta S t del terrapieno con relativo sovraccarico e pesi G 1 e G 2 ;c) spinta S dell’arco e spinta S t del terrapieno e relativo sovraccarico con i pesi G 1 e G 2 .U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011

modulo D I pontiUnità 3 I ponti in muratura10VERIFICALa volta ribassata in muratura di mattoni pieni (f bk = 5 N/mm 2 , γ m = 16 kN/m 3 ) e malta M5, in classe2, per un ponte pedonale presenta lo spessore costante di 70 cm e la luce netta fra gli appoggil = 8,00 m; le sue caratteristiche sono riportate in figura a.I pesi P dei conci e delle strisce sovrastanti, comprensivi dei coefficienti parziali di sicurezza,sono risultati i seguenti [fig. b]: P 1 ≈ 29,85 kN, P 2 ≈ 30,35 kN, P 3 ≈ 33,85 kN, P 4 ≈ 37,35 kN,P 5 ≈ 41,85 kN, P 6 ≈ 44,85 kN.Dopo aver determinato la risultante dei carichi, calcolare le intensità delle spinte in chiave H eall’imposta S; verificare quindi che la volta risulti tutta compressa ed effettuare la verifica a taglioin corrispondenza della sezione di imposta.a568 10 145 2560454005002570 10 40200400b0,58 0,67 0,74 0,82 0,85 0,904,265P 63,3650,257P 52,6350,3062,0450,32P 45P 341,6350,3753P 21,4450,382P 11,3950,4651[f d = 1,10 N/mm 2 ; f vd = 0,25 N/mm 2 ; H ≈ 145 kN;S ≈ 260 kN; V 6 ≈ 13,50 kN;N 6 ≈ 257,50 kN; V Rd ≈ 175 kN]U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 5 © SEI, 2011