Lezione 4

Lezione 4Prerequisiti: Lezioni 1,2,3.Riferimento al testo: [H] Sezione 2.4; [PC] Sezione 5.5Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange per i gruppi finiti.In questa lezione, G denoterà sempre un gruppo finito, ed H un suo sottogruppo.Lemma 4.1 Per ogni x ∈ G , Hx = xH = H .Dimostrazione: Proviamo che HxSia x ∈G.Basta osservare che l’applicazione= H . L’altra uguaglianza si prova in modo del tutto analogo.è biiettiva.φ : H → Hxh ↦ hxTeorema 4.2 (Teorema di Lagrange) Per ogni sottogruppo H di un gruppo finito G, si ha cheHdivide G .Dimostrazione: Le classi laterali destre Hx sono le classi di equivalenza di ρd; in quanto tali, esseformano un partizione di G. Pertanto G può essere rappresentato come unione disgiuntatG = ∪ Hx ,i=1idove Hx , , 1… Hxtsono le classi laterali a due a due distinte (si dice anche che x ,..., 1xtè un sistemacompleto di rappresentanti per la relazione ρd). Dal Lemma 4.1 segue cheda cui la tesi.tG = Hx = t H ,Corollario 4.3 Per ogni g appartenente al gruppo finito G, si ha che∑i=1o( g) divide G .iDimostrazione: Basta ricordare che o( g ) è l’ordine del sottogruppo di G generato da g.Osservazione 4.4 Alla luce della dimostrazione del Teorema 4.2, è chiaro che il numero t delleclassi laterali destre è uguale al numero delle classi laterali sinistre. Ciò giustifica la seguente

Definizione 4.5 Se G è un gruppo finito, ed H un suo sottogruppo, si dice indice di H in G ilnumero( G : H ) = Hx x ∈ G = xH x ∈ G .{ } { }Possiamo allora riscrivere l’enunciato del Teorema di Lagrange nella forma:G = ( G : H ) H .Osserviamo che, se H ⊲ G , allora G / H = ( G : H ) , quindiNe ricaviamo un nuovo criterio di normalità:G / H =Corollario 4.6 Dato un sottogruppo H di un gruppo finito G, se (G:H) = 2, allora H ⊲ G.Dimostrazione: Se (G:H) = 2, i laterali destri sono:- H=Hx per ogni x ∈ H , (v. Osservazione 1.4)- ed il suo complementare in G, che è G − H = Hx , per ogni x ∈Gtale che x ∉ H.Vale l’analogo discorso per i laterali sinistri. Segue che Hx = xH per ogni x ∈ G .Osservazione 4.7 Dal Corollario 4.6 segue subito quanto avevamo stabilito, con calcoli espliciti,nell’Esempio 1.7 b), ossia che ( 123) ⊲ S3.Corollario 4.8 Sia G un gruppo. Sono equivalenti le seguenti condizioni:a) G è ciclico di ordine primo;b) G è di ordine primo;c) G ha due soli sottogruppi (se stesso ed il sottogruppo banale).Dimostrazione: L’implicazione a) ⇒ b) è banale. L’implicazione b) ⇒ c) segue immediatamentedal Teorema di Lagrange. Proviamo ora c) ⇒ a) . Supponiamo che valga c). Allora, in particolare,G non è un gruppo banale. Esiste allora g ∈G, g ≠ 1 G, e necessariamente g = G . Quindi G èciclico. Se G fosse infinito, sarebbe isomorfo a Z (v. Osservazione 3.10) e quindi avrebbe infinitisottogruppi. Dunque G è finito. Posto G = n , per ogni divisore m di n si ha chennmm| < g > | = o( g ) = m , e quindi m = 1 oppure m = n. Ma ciò implica che n è primo.GHEsercizio 4.9 Utilizzando il Teorema di Lagrange, provare che, se G è un gruppo moltiplicativofinito, allora per ogni g ∈ G ,Ricavare da ciò una nuova dimostrazione del Teorema di Eulero.Gg = 1 .(1)G

Svolgimento: In base al Corollario 4.3, G = o(g)q per qualche intero q, e quindiL’enunciato del Teorema di Eulero è il seguente:Go(g)n( g ) = Gg = 1 .Dato un intero n>1, per ogni intero a coprimo con n, a n ≡ 1 (mod n),essendo ϕ la funzione di Eulero. Lo possiamo parafrasare come segue:ϕ ( n)Dato un intero n>1, per ogni x ∈ U( Zn) , x = [1]n .Poiché ϕ n)= U(Z ) , la tesi segue allora da (1).( nOsservazione 4.10 I risultati ottenuti finora ci consentono di trovare una dimostrazione elegante delfatto che, per ogni n ≥ 2,SnAn= .2Si può ragionare come segue: Nell’Esempio 3.9 a) abbiamo visto cheϕ ()Sn/ An≅ R2.Se ne deduce che2 = R2= Sn/ An=Sn,Anda cui la tesi. La dimostrazione si è dunque ridotta ad una riga. In essa sono confluiti i seguentinuovi strumenti:- la nozione di gruppo quoziente (Lezioni 1 e 2)- il teorema fondamentale di omomorfismo per gruppi (Lezione 3)- il Teorema di Lagrange per i gruppi finiti (Lezione 4)Esercizio 4.11 Sia G un gruppo abeliano finito, siano H e K suoi sottogruppi. Provare che alloraHK=H KH ∩ K. (1)Svolgimento: Consideriamo l’applicazioneϕ : H × K → HK( h, k)↦ hkÈ facile verficare che ϕ è un omomorfismo di gruppi suriettivo. Si ha−{ 1 −h h h H h 1 K}Ker ϕ = ( , ) ∈ , ∈ .

Per il Teorema 3.8 segue cheH × K ≅ HK(2)KerϕSi prova quindi che l’applicazioneσ : H ∩ K → Kerϕh ↦1( h, h − )è una biiezione. Dalla (2) e dal Teorema 4.2 discende allora cheHKH × K H K= =KerϕH ∩ K,come volevasi.Osservazione 4.12 L’identità (1) è, in realtà, vera in ogni gruppo finito. Lo proviamo.Si haIndividuiamo le classi uguali. Datih 1 , h 2 ∈ H si haHK = ∪ hK . (2)h∈H−1−12 .h1 K = h2K⇔ h2h1∈ K , cioè, equivalentemente, h h1∈ H ∩ KQuindi, nell’unione in (2), le classi sono uguali a gruppi diH ∩ K. Pertantocome volevasi.HK= K H ∩ K ,Dall’Esercizio 14.11 e dal Teorema di Lagrange segue, in particolare cheHK = H K se H,K sonosottogruppi finiti di un gruppo moltiplicativo abeliano G aventi ordini coprimi. Questo risultato siestende, per induzione al caso di n sottogruppi.Esercizio 4.13 Sianoi gruppiG ,...,GnG 1 ,...,Gngruppi finiti. Provare che il gruppo G 1 ×⋯× Gnè ciclico se e soloG 1 ,..., G sono a due a due coprimi.1 sono ciclici e nSvolgimento: Adottiamo la notazione moltiplicativa e procediamo per induzione su n. Sia dappriman = 2 , e sia m = mcm(G 1 , G2) . Allora, in base all’Esercizio 4.9, per ogni ( g 1 , g2) ∈ G1× G2si hammm( g 1,g2) = ( g1, g2) = (1G,1 )1 G . Se G 21 , G 2 non sono coprimi, allora m < G 1 G 2 , e quindi( g 1 , g2) ∈ G1× G2non è ciclico. Alla stessa conclusione si giunge se uno tra G 1,G2non è ciclico:infatti, G 1 è isomorfo al sottogruppo G 1 × { 1 G } di G2 1 × G2, ma ogni sottogruppo di un gruppociclico è ciclico.

Viceversa, se G 1 , G 2 sono coprimi e G1,G2sono ciclici, allora, detti a 1, a2generatori di G 1,G2rispettivamente, si ha che o ( a1 , a2) = m = G1G2= G1× G2, quindi G 1 × G2= ( a1,a2) è ciclico.Supponiamo allora che n > 2 e che la tesi sia vera per valori di n minori. Allora( G × × Gn) GnG G G×1 × ⋯ × n−1× n ≅ 1 ⋯ −1è ciclico se e solo se i gruppi ( G G n ),Gnl’ipotesi induttiva, se e solo se i gruppicoprimi a due a due tra loro e rispetto a×⋯ × sono ciclici ed hanno ordini coprimi, ossia, per1 −1G 1,..., G n − 1,Gnsono ciclici e gli ordini G n 1G n .G 1 ,..., − sonoEsercizio* Provare che, in un gruppo abeliano moltiplicativo G, se g1 ,..., gn ∈ G sono elementiperiodici di periodi a due a due coprimi, allora o g ⋯ g ) = o(g ) ⋯o(g ) .( 1 n 1 n