Matematica ed Elementi di Statistica Equazioni e disequazioni ...

a.a. 2011/12Laurea triennale in Scienze della NaturaMatematica ed Elementi di StatisticaEquazioni e disequazioni algebriche(di grado superiore al secondo),esponenziali e logaritmiche,trigonometriche1 / 7

Equazioni e disequazioni algebriche di grado superiore al secondoP(x) := a n x n + a n−1 x n−1 + · · · a 1 x + a 0 0, a n ≠ 0, n ≥ 3.Strategia: (non sempre praticabile. . . )• scomporre il polinomio P(x) in fattori di primo o secondo grado;• dedurre le radici e il segno di P(x) in base alle radici o il segnodei singoli fattori;• scegliere l’insieme delle soluzioni in base alla equazione /disequazione assegnata.Casi immediati (raccoglimento a fattor comune)6x 3 + 24x 2 + 18x = 0x 3 − x 2 + x − 1 ≥ 0x 4 + x 3 − 4x 2 − 4x ≤ 0(x − 2) 3 − x + 2 ≤ 02 / 7

Dal test di ingresso. . .Il polinomio P(x) = x 3 − 3x 2 + x − 3 verifica una sola delle seguentiaffermazioni. Quale?• P(x) ha tre radici reali [36/95]• P(x) ha due radici reali [17/95]• P(x) ha una radice reale [12/95]• P(x) non ha alcuna radice reale [11/95]• (nessuna risposta) [19/95]Il polinomio P(x) = x 3 − x 2 − x + 1 verifica una sola delle seguentiaffermazioni. Quale?• P(x) ha tre radici reali distinte [35/151]• P(x) ha due radici reali distinte [51/151]• P(x) ha un’unica radice reale [25/151]• P(x) non ha alcuna radice reale [20/151]• (nessuna risposta) [20/151]3 / 7

Fattorizzazione mediante la Regola di RuffiniDato il polinomio P(x), il numero x 0 è una radice di P(x) se e solose P(x) è divisibile per x − x 0 , ossia se esiste un polinomio Q(x), ilcui grado è inferiore di una unità rispetto al grado di P(x), tale cheP(x) = (x − x 0 )Q(x).Per utilizzare questo risultato occorre• determinare una radice di P(x)• determinare il polinomio Q(x) (mediante la Regola di Ruffini o,equivalentemente, l’algoritmo di divisione dei polinomi)Esempix 3 + 7x − 8 ≥ 0x 3 − 4x 2 + x + 6 < 0x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 6 < 04 / 7

Equazioni e disequazioni trinomiea x 2n + b x n + c 0Si risolvono ponendo t = x n , risolvendo l’equazione o disequazione int e poi ritornando alla incognita x .Esempix 4 − 5x 2 + 4 ≤ 0x 4 + 2x 2 − 8 > 0x 6 − 7x 3 − 8 > 0x 6 − 3x 3 + 4 ≤ 0x 8 + 3x 3 − 4 ≤ 09x 5 − 10x 3 + x ≥ 05 / 7

Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi2 x = 5 log 2 (x) = 52 x = −5 log 2 (x) = −52 x > 5 log 1/3 (x 2 − 1) > 12 x < 2 log 2 ( √ x + 5) ≤ 3√ln(x 2 − 1) > √ ln(2x + 1)9 x − 3 x+1 + 2 ≥ 0(log 3 (x)) 2 + 4 log 3 (x) + 3 ≥ 06 / 7

Equazioni e disequazioni trigonometriche√2 sin(x) − 1 ≥ 0 tan(2x) ≥ 1(sin(x)) 2 ≤ 1/4 (tan(x)) 2 − √ 3 tan(x) < 0−1 < cos(x) < 1/22 cos(2x) − √ 3 ≥ 0(sin(x)) 2 − 2 cos(x) + 1 < 0√1 + sin(x) > cos(x)2(√ )sin(x) + 32cos(3x)(tan(x)) 3 + 1≤ 07 / 7