Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace Trasformata di Laplace

Concetti Principali Definizione Trasformate fondamentali Principali proprietàProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/092

Trasformata: Definizione La trasformata di Laplace di una funzione f(t) si definisce come−stf () t → F() s = L( f()) t = ∫ f()t e dt0 Si noti che t è una variabile reale, mentre s è una variabile complessa.+∞Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/093

Antitrasformata: Definizione Viceversa, data la F(s), è possibile ottenere la funzione originaria f(t)mediante anti-trasformazioneF12πjσ + j∞() s → f ( t)= ∫ F()sσ − j∞e st dsProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/094

Funzioni di Interesse Le funzioni di interesse per le applicazioni nel settore dell’automatica (di cuici interessa calcolare la trasformata di Laplace) sono Il gradino 1(t) La rampa t⋅1(t) L’impulso δ(t) Le funzioni polinomiali in generale Le funzioni esponenziali Le funzioni sinusoidaliProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/095

Trasformate dei Segnali Fondamentali(Ingressi) Queste trasformate rivestono una particolare importanza perché sono quellelegate ai tipici segnali di ingresso di un sistema di controlloL( δ ( t)) = 1L(1( t))=1s1n n!Lt ( ⋅ 1( t))= Lt ( ⋅ 1( t))=2n 1ss +Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/096

Trasformate dei Segnali Fondamentali(Modi di Evoluzione) Queste trasformate rivestono una particolare importanza perché sono quellelegate all’andamento temporale della risposta dei sistemi lineari (modi dievoluzione)αtLe ( 1( t))= 1sL(cos( ωt) ⋅ 1( t))=s − αs2 + ω2Lω+ ω( sin( ωt) ⋅1( t)) =2 2sProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/097

Principali proprietà –1 Linearità( )L af () t + bg() t = aF() s + bG()s Traslazione del dominio della s(αt) Traslazione nel dominio della tL e f() t = F( s−α)L−sT( f ( t − T )) = F(s)eProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/098

Esempio: Segnale a Finestra1u(t)u(t)=1(t)-1(t-T)Tt11(t)11(t-T)tTtProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/099

Esempio: Segnale a Finestra La trasformata della finestra si può quindi calcolare a partire dalletrasformate dei due gradiniL( u(t)) = L( 1( t) −1( t −T))= L( 1()t ) − L( 1( t −T))1=se−s1−e=s−sT −sTProf. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/0910

Esempi di Trasformate(αt1( t))L te⋅ =1( s −α) 2(αt( ω ) 1( ))L e sen t ⋅ t =(αtcos( ω ) 1( ))L e t ⋅ t =ωs − α +ω( )2 2s −αs − α + ω( ) 2 2Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/0911

Principali proprietà - 2 Derivazione nel dominio del tempo⎛L⎜⎝dfdt( t) Integrazione nel dominio del tempo⎞⎟⎠=sF() s − f () 0t1L⎜⎛ ∫ f ( τ)dτ⎟⎞ = F () s⎝s0 ⎠Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/0912

Principali proprietà - 3 Teorema del valore inizialef(0) = lim sF( s)s→∞ Teorema del valore finalelim f ( t) = lim sF( s)t→∞s→0Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 2008/0913