Algoritmi e Strutture Dati -- Esercizi - UniversitÃ degli Studi di Salerno

More documents

Recommendations

Info

14 INDICEEsercizio 9.3-8Siano X[1 . . . n] e Y [1 . . . n] due array, ciascuno contenente n interi già ordinati. Descrivete unalgoritmo che in tempo O(log n) trova la mediana dei 2n elementi degli array X e Y (cioè dell’insiemeX ∪ Y ).Soluzione. Assumiamo per semplicità che tutti gli elementi siano distinti e che vogliamo calcolare lamediana inferiore di X ∪ Y .Consideriamo due casi.n dispari: Siano m X e m Y le mediane degli array X e Y . Possiamo calcolare m X e m Y in tempocostante in quanto si trovano nella posizione ⌈n/2⌉ di X e Y , rispettivamente. Supponiamoche m X < m Y (l’altro caso è simile). Allora nessuno degli elementi di x ∈ X tali che x < m Xpuò essere mediana di X ∪ Y . Infatti contiamo il numero di elementi di X ∪ Y che sonomaggiori di x. In X ne esistono almeno ⌈n/2⌉ (m X e tutti gli elementi maggiori di m X ).Inoltre, poichè m X < m Y tutti gli ⌈n/2⌉ elementi di Y che sono ≥ m Y sono maggiori di m Xe quindi anche di x. In totale abbiamo quindi almeno 2⌈n/2⌉ = n + 1 elementi maggiori dix. Un simile ragionamento prova che nessuno degli elementi di Y che sono maggiori di m Ypuò essere una mediana di X ∪ Y . Quindi la mediana deve essere ricorsivamente ricercata inX[⌈n/2⌉, · · · , n] e Y [1 · · · ⌈n/2⌉].n pari: In questo caso ognuno dei due array ha due mediane. Consideriamo la mediana inferiorem X = X[n/2] di X e la mediana superiore m y = Y [n/2+1] di Y e supponiamo che m X < m Y(gli altri casi sono simili).Sia x ∈ X tale che x < m X . Contando gli elementi di X ∪ Y che sono maggiori di xotteniamo n/2 + 1 elementi da X (la mediana m X e gli n/2 elementi di X maggiori di m X )e n/2 elementi da Y (la mediana m Y e gli n/2 − 1 elementi di Y maggiori di m y ) per untotale di n + 1 elementi e quindi x non può essere mediana. Un simile ragionamento provache nessuno degli elementi di Y maggiori m Y può essere mediana. Quindi la mediana deveessere ricorsivamente ricercata in X[n/2, · · · , n] e Y [1 · · · n/2].In entrambi i casi abbiamo dimezzato la taglia degli array in tempo costante e quindi l’algoritmoprende tempo O(log n).Versione: 1.2 del 31 gennaio 2006.
ESERCIZIO 13.1-5 15Esercizio 13.1-5Dimostrate che, in un albero rosso-nero, il percorso semplice più lungo che va da un nodo x aduna foglia discendente di x ha un’altezza al massimo doppia di quello del percorso semplice più brevedal nodo x a una foglia discendente.Soluzione. Per le proprietà degli alberi rosso-neri tutti i cammini semplici da x ad una foglia discendentecontengono lo stesso numero di nodi neri b. Poiché lungo un cammino semplice non possiamoavere due nodi rossi consecutivi, denotando con r il numero di nodi rossi in un cammino semplice dax ad una foglia discendente, abbiamo che 0 ≤ r ≤ b + 1. Pertanto, per la lunghezza l = r + b di uncammino da un nodo x ad una foglia discendente, abbiamob ≤ l ≤ 2b + 1.Possiamo quindi concludere che il rapporto tra il più lungo e il più breve cammino semplice da x aduna foglia discendente è al più 2 + 1/b.Versione: 1.2 del 31 ottobre 2005.
Page 3 and 4: IndiceEsercizio 1.2-3 5Esercizio 2.
Page 5 and 6: ESERCIZIO 1.2-3 5Esercizio 1.2-3Qua
Page 7 and 8: ESERCIZIO 6.3-3 7Esercizio 6.3-3Si
Page 9 and 10: ESERCIZIO 6.5-8 9Esercizio 6.5-8Des
Page 11 and 12: ESERCIZIO 8.1-3 11Esercizio 8.1-3Di
Page 13: ESERCIZIO 9.3-7 13Esercizio 9.3-7De
Page 17 and 18: .D.ESERCIZIO 13.2-4 17Rotazione su
Page 19 and 20: ESERCIZIO 15-6 19Esercizio 15-6Moss
Page 21 and 22: ESERCIZIO 16.1-2 21Esercizio 16.1-2
Page 23: ESERCIZIO 28.2-3 23Esercizio 28.2-3

Algoritmi e Strutture Dati -- Esercizi - UniversitÃ degli Studi di Salerno

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?