Lezione del 29/31 ottobre 2003. - Matematica

Formula dei trapeziIntegrazione con la formula dei trapeziInterpoliamo f con il polinomio lineare Π 1 che passa per i punti(a, f(a)) e (b, f(b)).L’integrale si calcola facilmente usando la formula dell’area deltrapezio:I 1 (f) =∫ baΠ 1 (x) dx = b − a2 (f(a) + f(b)). 4Formula di SimpsonIntegrazione con la formula di Simpson5Usiamo ora il polinomio Π 2 che interpola la funzione nei nodi(a, f(a)), (b, f(b)) e (c, f(c)) essendo c = (a + b)/2. Introducendoi polinomi di Lagrange L 0 , L 1 e L 2 associati rispettivamente ai 3nodi x 0 = a, x 1 = c e x 2 = b, si ottiene la seguente espressione perl’integrale approssimato:I 2 (f) =∫ ba+ f(c)Π 2 (x) dx = f(a)∫ ba∫ baL 1 (x) dx + f(b)L 0 (x) dx∫ baL 2 (x) dx.Dobbiamo calcolare gli integrali dei polinomi di Lagrange.67

Come calcolare gli integrali dei polinomi di LagrangeIntroduciamo un cambiamento di variabili in modo che il genericointervallo [a, b] sia trasformato nell’intervallo [−1, 1]. La nuovavariabile t si ottiene da x mediante la sostituzionet = −1 + 2 (x − a)b − a quindix = a + b − a (t + 1).2L’integrale del polinomio di Lagrange diventa:∫ baL i (x) dx = b − a2∫ 1−1L i(a + b − a2 (t + 1) )dt.a + bLa sostituzione è lineare: a → −1, → 0, b → 1.2I polinomi di Lagrange L i rispetto alla variabile x vengonotrasformati in polinomi di Lagrange ˆL i rispetto alla variabile t.ˆL 0 (t) =Si ottiene quindi:∫ 1−1t(t − 1), ˆL1 (t) = 1 − t 2 , ˆL2 (t) =2ˆL 0 (t) dt = 1 3 , ∫ 1−1ˆL 1 (t) dt = 4 3 , ∫ 1−1(t + 1)t.2ˆL 2 (t) dt = 1 3 ,che sostituiti nella formula per I 2 (f) danno la formula di SimpsonI 2 (f) = b − a ( ( ) )a + bf(a) + 4f + f(b) .62Grado di precisione della formula di quadratura8Stima dell’errore nell’integrazione numerica9Si dice che una formula di integrazione numerica ha grado diprecisione p se vale chePer le formule presentate si hanno le seguenti stime dell’errore:I(f) = Ĩ(f) per ogni polinomio f di grado ≤ p;I(f) ≠ Ĩ(f) per ogni polinomio f di grado > p.I(f) − I 0 (f) =(b − a)3f ′′ (ξ 0 )24Esempi1. La formula del punto medio ha g.d.p. 1.2. La formula dei trapezi ha g.d.p. 1.3. La formula di Simpson ha g.d.p. 3.I(f) − I 1 (f) = −(b − a)3f ′′ (ξ 1 )12I(f) − I 2 (f) = − 1 (b − a) 516 180 f (4) (ξ 2 )1011

Formule di Newton–CotesFormule compositeLe formule del punto medio, dei trapezi e di Simpson sono casiparticolari delle formule di Newton–Cotes basate sull’approssimazionedella funzione da integrare mediante polinomi interpolatori digrado n in nodi equispaziati nell’intervallo [a, b].Formule di GaussLe formule di Gauss raggiungono il massimo grado di precisioneuna volta fissato il numero dei nodi.Suddividiamo l’intervallo [a, b] in N sottointervalli I k = [x k−1 , x k ]k = 1, · · · , N con x k = kH essendo H = (b − a)/N.Applicando la proprietà di additività dell’integrale si ottiene:I(f) =N∑∫k=1I kf(x) dx.Su ogni intervallo I k applichiamo la formula di quadratura scelta.Formule composite (continua)12Formule composite (continua)13Formula del punto medioI 0N (f) = HN∑( )xk−1 + x kf.2k=1Formula dei trapeziI 1N (f) = H(f(a)N−12 + ∑k=1Formula di Simpson)f(x k ) + f(b) .2(I 2N (f) = H N∑( ))N−1xk−1 + x k∑f(a) + f(b) + 4 f+ 2 f(x k ) .62k=1k=1. . . con le seguenti stime dell’errore:I(f) − I 0N (f) = b − a24 H2 f ′′ (ξ 0 )I(f) − I 1N (f) = − b − a12 H2 f ′′ (ξ 1 )I(f) − I 2N (f) = − b − a H 4180 16 f (4) (ξ 2 )1415

EsercizioScrivere un programma di tipo function che calcoli il valore approssimatodell’integrale di una funzione mediante le formule composite.La riga di dichiarazione della function deve essere del seguente tipo:function[I] = nome function(a,b,f,N)dove i dati in input rappresentano:a,b gli estremi dell’intervallo;f il nome della funzione da integrare;N il numero degli inetervalli di suddivisione.Scrivere un programma di tipo script per calcolare i seguentiintegrali al variare di N=[5,10,50,100,200,500]:∫ 2−1x 4 dx = 33 ∫ π/25 , cos x dx = 2,π/2∫ 10e x dx = e − 1.Soluzione dell’esercizio functionfunction[I]=intcomposita(a,b,f,N,metodo)% a,b estremi dell’intervallo;% N numero delle suddivisioni;% f nome della funzione da integrare.% metodo=1 per punto medio; =2 per trapezi; =3 per Simpson% I valore dell’integrale;h=(b-a)/N;xn=linspace(a,b,N+1);if metodo==1x=xn(1:N)+h/2; ff=eval(f);I=h*sum(ff);elseif metodo==2x=xn; ff=eval(f);I=h*sum([ff(1)/2 ff(2:N) ff(N+1)/2]);elsex=[xn xn(1:N)+h/2]; ff=eval(f);I=h*sum([ff(1) ff(N+1) 2*ff(2:N) 4*ff(N+2:2*N+1)])/6;endSoluzione dell’esercizio script16L’integrazione numerica con MATLAB17if caso==1a=-1; b=2; f=’x.^4’; Iesatto=33/5;elseif caso==2a=-pi/2; b=-a; f=’cos(x)’ Iesatto=2;elsea=0; b=1; f=’exp(x)’; Iesatto=exp(1)-1;endN=[5 10 50 100 200 500];for metodo=1:3for k=1:length(N)I(metodo,k)=intcomposita(a,b,f,N(k),metodo);endendfigureloglog(N,abs(Iesatto-I))Funzionequadquadlquad8dblquadSignificatoQuadratura adattiva con formula di Simpson.Quadratura adattiva con formula diGauss-Lobatto (Matlab 6).Quadratura adattiva con formula diNewton–Cotes a 9 punti (Matlab 5).Formula di quadratura per integralidoppi su rettangoli.1819

Uso delle function quad e quadlIl calcolo dell’integrale ∫ bf(x)dx può essere effettuato con unoadei seguenti comandi indicando con f la funzione f.>> q=quad(f,a,b) formula di ordine basso;>> q=quadl(f,a,b) formula di ordine elevato in Matlab 6;>> q=quad8(’f’,a,b) formula a 9 nodi in Matlab 5,Ci sono tre modi per assegnare f>> q=quadl(’1./(1+10*x.∧2)’,-2,2)>> q=quadl(’funz’,-2,2) essendo funz.m il file:Formule adattiveIl passo di integrazione H può essere scelto in modo da garantireche l’errore sia inferiore ad una tolleranza ε prestabilita.Se usiamo la formula di Simpson si dovrebbe trovare H tale cheb − a180H 416M < ε, essendo M = maxx∈[a,b] |f (4) (x)|function[f]=funz(x)f=1./(1+10*x.^2);>> F=inline(’1./(1+10*x.∧2)’); >> q=quadl(F,-2,2)La funzione arctan(ax)20La funzione arctan(ax)21a = 1∫ 5−1arctan(ax)dx = 4.79913099259686a = 10∫ 5−1arctan(ax)dx = 6.12240101910318M=4.66560, tol=1.e-6imponendo b−a H 4180 16 M < tol si ricava H=0.140149 e N=43. 22M=4.647825e+04, tol=1.e-3imponendo b−a H 4180 16 M < tol si ricava H=0.0788870 e N=77. 23

Risultati a confrontoStrategia adattivaa=1, tol=1.e-6a=10, tol=1.e-3Obiettivo: distribuire l’ampiezza dei sottointervalli in modonon uniforme, così da garantire la stessa accuratezza su ciascunsottointervallo.Ingredienti:a. stimatore dell’errore di quadratura;b. strategia per la scelta dell’ampiezza dei sottointervalli.Iesatto=4.79913099Isimp=4.79913093err simp=6.49e-8Iadat=4.79913097err adat=2.36e-8Iesatto=6.122401019Isimp=6.122401012err simp=7.02e-9Iadat=6.122079err adat=3.22e-4Stimatore dell’errore della formula di quadratura24Se f (4) (ξ) ≈ f (4) (η) allora si ricava:25Errore per la formula di Simpson sull’intervallo A = [α, β]:∫ βα(β − α)5f(x)dx − I S (f) = −2880 f (4) (ξ)f (4) (ξ) = 4608016(β − α) 5∆Iche dàErrore per la formula di Simpson composita sull’intervallo A = [α, β]suddivisiso in due parti:∫ βαf(x)dx − IS C (β − α)5(f) = −46080 f (4) (η)Sottraggo le due equazioni dell’errore:∫ βαf(x)dx − I C S (f) ≈ 115 ∆IL’ultima equazione fornisce uno stimatore dell’errore mediantequantità calcolabili.∆I = IS C (β − α)5(f) − I S (f) = −2880 f (4) (β − α)5(ξ) +46080 f (4) (η)2627

Strategia di scelta del passo di integrazioneStrategia di scelta del passo di integrazioneDividiamo l’intervallo di integrazione in tre parti:J A = I C S (f)formula composita1. A= [α, β] intervallo di integrazione attivo;2. S intervallo già esaminato (il valore dell’integrale è < tol);3. N intervallo da esaminare.All’inizio: N= [a, b], A= [a, b], S= ∅.calcolo ∆I∆I ≤ 15tolsì=⇒J S = J S + J AS = S ∪ AN = [a, b] \ SA = NJ S indica l’approssimazione dell’integrale calcolata sull’intervallo S;J A indica l’approssimazione dell’integrale calcolata sull’intervallo A.no=⇒A = [α, β ′ ] dove β ′ = (α + β)/2N = N ∪ [β ′ , β]torna alla stima dell’erroreIntegrazione di funzioni di 2 variabili28Suggerimenti per l’esercizio29Sia D = {(x, y) ∈ R 2 : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)} un dominionormale.Per calcolare l’integrale doppio di una funzione f(x, y) uso la formuladi riduzione:∫ ∫∫ (b ∫ )β(x)f(x, y) dx dy =f(x, y) dy dx.Daα(x)function[I] = intdoppio(a,b,Nx,Ny,alpha,beta,f)Input: a, b estremi dell’intervallo;Input: Nx, Ny numero delle suddivisioni;Input: alpha, beta nomi delle funzioni che descrivono il dominio;Input: f nome della funzione da integrare.Output: I valore dell’integrale.Esercizio Scrivere una function per il calcolo dell’integrale doppiosu una regione normale che usi le formule composite introdotte comeformule per integrali di linea.3031

Applicazione della formula composita del puntomedio1. Suddividere l’intervallo [a, b] in Nx parti di ampiezza hx. Indicareil punto medio del k-esimo intervallino con x k .2. Calcolare l’integrale di linea rispetto alla variabile x mediante∑Nxhxk=1∫ β(xk )α(x k )f(x k , y) dy.3. Per k fissato applicare la formula composita del punto medioall’integrale di linea in y, suddividendo l’intervallo [α(x k ), β(x k )]in Ny parti uguali di ampiezza hy e calcolando∫ β(xk )α(x k )Ny∑f(x k , y) dy ≈ hy f(x k , y j )j=132