Il luogo delle radici: esercizi

Il luogo delle radici: esercizi
Università di Pisa
May 11, 2012

Luogo delle radici (Evans 1948)
◮ Il luogo delle radici è uno strumento grafico per l’analisi e la sintesi
di sistemi di controllo a retroazione.
r e y
G(s)
−
ym
H(s)
◮ Dinamica del sistema in ciclo chiuso
Y (s)
R(s) =
G(s)
1+G(s)H(s)
posizione nel piano complesso delle radici del polinomio
caratteristico 1 + G(s)H(s) = 0
dipende dalla

◮ 1 + KG1(s) = 0 possiamo scriverla come:
K > 0 |G1(s)| = 1
K
K < 0 |G1(s)| = − 1
K
∠G1(s) = (2k + 1)π
∠G1(s) = (2k)π
◮ Condizione d’angolo → disegnare il luogo delle radici (n.s.)
◮ Condizione modulo → per ogni punto s del luogo consente di
trovare il corrispondente valore di guadagno K.

Riassumendo
� m
i=1 (s−zi )
� n
i=1 (s−pi )
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.
I rami del luogo partono dai poli e terminano negli zeri (zeri finiti o
zeri all’infinito)
Dato un processo descritto da: G1(s) =
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo (per
K > 0 e/o K < 0).
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
◮ 5. Determinare intersezione con asse immaginario
◮ 6. Tracciare il luogo delle radici

Esercizio 1
r e y
G(s)
−
ym
G(s)H(s) =
◮ Luogo radiciK > 0 e K < 0
H(s)
K
s(s+1)(s+3)(s+4)

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.
Poli in ciclo aperto: s = 0, s = −1 s = −3 s = −4
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
dG1(s)
ds = −1 ∗ (4s3 + 24s + 38s + 12)
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4)) 2 = 0
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
1
1 + K
= 0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4) s=−3.5811
→ 1 + K 1
= 0 → K =
−2.25 −1
= 2.25
−0.4444
1
1 + K
= 0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4) s=−0.42
→ 1 + K 1
= 0 → K =
−2.25 −1
= 2.25
−0.4444

K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
G(s)H(s) =
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
dG1(s)
ds = −1 ∗ (4s3 + 24s + 38s + 12)
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4)) 2 = 0
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
K=2.25
K=2.25
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
K=2.25
K=2.25
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
K=2.25
K=2.25
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
σa =
0 − 1 − 3 − 4
4
ϑa = 45 ◦ (k = 0)
ϑa = 135 ◦ (k = 1)
ϑa = 225 ◦ (k = 2)
ϑa = 315 ◦ (k = 3)
= −1 ∈ R

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
Im
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
K=2.25
Centro asintoti
K=2.25
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
ricavare w e K.
1 + KG1(jw) = 0 →
�
Re(1 + KG1(jw)) = 0
Im(1 + KG1(jw)) = 0

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario
1
1 + K
= 0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4)
s 4 + 8s 3 + 19s 2 + 12s + K = 0
(jω) 4 + 8(jω) 3 + 19(jω) 2 + 12(jω) + K = 0
(ω 4 − 19ω 2 + K) + j(8ω 3 + 12ω) = 0
(ω 4 − 19ω 2 + K) = 0
(8ω 3 + 12ω) = 0
ω = ±1.2247, K = 26.25
ω = 0, K = 0

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario
Im
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
K=2.25
Centro asintoti
K=26.2482
K=2.25
K=26.2482
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 6. Tracciare il luogo delle radici
Imaginary Axis (seconds −1 )
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
Root Locus
K=2.25
K=26.2482
K=2.25
K=26.2482
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Real Axis (seconds −1 )

K < 0

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.
Poli in ciclo aperto: s = 0, s = −1 s = −3 s = −4
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K < 0).

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K < 0).
◮ P5
Se K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K < 0).
◮ P5
Se K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
Asse reale
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
dG1(s)
ds = −1 ∗ (4s3 + 24s + 38s + 12)
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4)) 2 = 0
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
1
1 + K
= 0
s(s + 1)(s + 3)(s + 4) s=−2.0
→ 1 + K 1
−1
= 0 → K = = −4
4 −0.25

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
dG1(s)
ds = −1 ∗ (4s3 + 24s + 38s + 12)
(s(s + 1)(s + 3)(s + 4)) 2 = 0
−1 ∗ (4s 3 + 24s + 38s + 12) = 0 → s1 = −3.5811; s2 = −2.0; s3 = −0.42
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
K=−4
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ P7 In corrispondenza di una radice di ordine µ il luogo presenta µ
rami entranti e µ rami uscenti (alternati tra loro).
Le tangenti di tali rami dividono lo spazio circostante in settori
uguali di π/µ radianti.
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
K=−4
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
σa =
0 − 1 − 3 − 4
4
ϑa = 0 ◦ (k = 0)
ϑa = 90 ◦ (k = 1)
ϑa = 180 ◦ (k = 2)
ϑa = 270 ◦ (k = 3)
= −1 ∈ R

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
real axis and root locus
K=−4
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
ricavare w e K.
1 + KG1(jw) = 0 →
�
Re(1 + KG1(jw)) = 0
Im(1 + KG1(jw)) = 0

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
1 + KG1(jw) = 0 →
ricavare w e K. Possiamo immaginarcelo...
�
Re(1 + KG1(jw)) = 0
Im(1 + KG1(jw)) = 0

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 5. Intersezione con asse immaginario
s = jω in eq. caratteristica
ricavare w e K.
1 + KG1(jw) = 0 →
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
�
Re(1 + KG1(jw)) = 0
Im(1 + KG1(jw)) = 0
real axis and root locus
K=−4
−1
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s)H(s) =
K
s(s+1)(s+3)(s+4)
◮ 6. Tracciare il luogo delle radici
Imaginary Axis (seconds −1 )
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
Root Locus
K=−4
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Real Axis (seconds −1 )

Esercizio 2

Esercizio 2
r e y
G(s)
−
ym
◮ Luogo radici K > 0
G(s) =
H(s)
s
s 3 +5s 2 +4s+20

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.
G(s) =
s
(s+j2)(s−j2)(s+5)
Poli in ciclo aperto: s = ±2j, s = −5
Zeri in ciclo aperto: s = 0
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
poli
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Re

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
poli
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Re

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo
(K > 0).
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
real axis and root locus
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Re

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
◮ Un polo va verso lo zero (s=0)
◮ Poli complessi vanno verso zeri all’infinito

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
◮ Un polo va verso lo zero (s=0)
◮ Poli complessi vanno verso zeri all’infinito
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
real axis and root locus
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Re

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
σa =
−5 − 0
3 − 1
= −5
2
ϑa = 90 ◦ (k = 0)
ϑa = 270 ◦ (k = 1)
= −2.5 ∈ R

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
Centro asintoti
−8 −6 −4 −2 0 2 4
Re

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
◮ Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
◮ Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
◮ Allora (condizione d’angolo):
o anche:
∠G(s) = ±(2k + 1)π
θ1 = 180 + 90 − 21.8 − 90 = 158.2
◮ angolo partenza p1 = θ1 = 158.2 ◦ , angolo partenza p2 = −158.2 ◦

s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
◮ Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
◮ Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
◮ Allora (condizione d’angolo):
G(s) =
o anche:
∠G(s) = ±(2k + 1)π
θ1 = 180 + 90 − 21.8 − 90 = 158.2
◮ angolo partenza p1 = θ1 = 158.2 ◦ , angolo partenza p2 = −158.2 ◦
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
Centro asintoti
21.8
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4
90
90

s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 5. Determinare angolo di partenza dei poli complessi e coniugati
◮ Scegliamo un punto molto vicino ad un polo complesso
◮ Somma degli angoli dagli altri poli e zeri è costante
◮ Allora (condizione d’angolo):
G(s) =
o anche:
∠G(s) = ±(2k + 1)π
θ1 = 180 + 90 − 21.8 − 90 = 158.2
◮ angolo partenza p1 = θ1 = 158.2 ◦ , angolo partenza p2 = −158.2 ◦
Im
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
real axis and root locus
158.2
−158.2
−8 −6 −4 −2
Re
0 2 4

G(s) =
s
s 3 +5s 2 +4s+20
◮ 6. Tracciare il luogo delle radici
Imaginary Axis (seconds −1 )
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
Root Locus
−20
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
Real Axis (seconds −1 )

Esercizio 3

Esercizio 3
r e y
G(s)
−
ym
◮ Luogo radici K > 0
G(s) =
H(s)
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 1. Tracciare poli {p1, ..., pn} e zeri {z1, ..., zm} sul piano complesso.
G(s) = K
0.1∗(s−1)
s(s+0.5)(s+0.2)(s+1)
Poli in ciclo aperto: s = −0.5, s = −0.2 s = −1
Zeri in ciclo aperto: s = 1
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Re

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Re

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Im
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
poli
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Re

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 2. Determinare i tratti dell’asse reale che appartengono al luogo.
◮ P5
Se K > 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale dispari di zeri e poli Se
K < 0, un punto dell’asse reale fa parte del luogo delle radici se
lascia alla sua destra un numero totale pari di zeri e poli
Im
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
poli
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Re

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
dG1(s)
ds =
(s − 1)
s4 + 1.7s3 + 0.8s2 + 0.1s
= 0
s 4 + 1.7s 3 + 0.8s 2 + 0.1s − (s − 1)(4s 3 + 5.1s 2 + 1.6s + 0.1)
den 2
s 4 + 1.7s 3 + 0.8s 2 + 0.1s+
4s 3 + 5.1s 2 + 1.6s + 0.1+
−4s 4 − 5.1s 3 − 1.6s 2 − 0.1s
−3s 4 + 0.6s 3 + 4.3s 2 + 1.6s + 0.1 = 0
s1 = 1.45, s2 = −0.81, s3 = −0.35, s4 = −0.078

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 3. Determinare i punti di distacco o di ingresso
◮ P8 dG1(s)
ds
= 0
s1 = 1.45, s2 = −0.81, s3 = −0.35, s4 = −0.078
Im
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−2 −1.5 −1 −0.5 0
Re
0.5 1 1.5 2

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
σa =
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
0 − 0.5 − 0.2 − 1 − 1
4 − 1
= −5
3
ϑa = 180/3 = 60 ◦ (k = 0) K > 0
= −0.9 ∈ R
ϑa = 3 ∗ 180/3 = 180 ◦ (k = 1) K > 0
ϑa = 5 ∗ 180/3 = 300 ◦ (k = 1) K > 0
ϑa = 0 ∗ 180/3 = 0 ◦ (k = 0) K < 0
ϑa = 2 ∗ 180/3 = 120 ◦ (k = 1) K < 0
ϑa = 4 ∗ 180/3 = 240 ◦ (k = 1) K < 0

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
K > 0
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
Im
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
−0.3
poli
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1
Re

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 4. Determinare gli asintoti del luogo
K < 0
�n i=1
σa =
pi − �m i=1 zi
n−m
ϑa,n = (2k+1)π
n−m
Im
(k = 0, 1, ..., n − m − 1) per K > 0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
poli
−1
−2 −1.5 −1 −0.5 0
Re
0.5 1 1.5 2

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 6. Tracciare il luogo delle radici
Imaginary Axis (seconds −1 )
5
0
−5
Root Locus
−6 −4 −2 0 2
Real Axis (seconds −1 )

G(s) =
(s−1)
s(1+2s)(1+5s)(1+s)
◮ 6. Tracciare il luogo delle radici
Imaginary Axis (seconds −1 )
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
Root Locus
−1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Real Axis (seconds −1 )