Fronte 1..1 - Scuolabook

N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi 

LINEAMENTI DI 

GEOMETRIA RAZIONALE 

IL PIANO E LO SPAZIO EUCLIDEO 

PER LA SCUOLA SECONDARIA 

DI SECONDO GRADO 

Ghisetti e Corvi Editori 

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara

internet: www.ghisettiecorvi.it 

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1ª edizione: 2002 

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dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica della redazione. 

Stampa: Litostampa Istituto Grafico - Bergamo 

Edizione: V VI VII VIII IX X 

Anno: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 


Presentazione a Studenti e Insegnanti 

I vari argomenti di geometria euclidea, nel piano 

e nello spazio, sono riportati in capitoli. Ciascun 

capitolo è suddiviso in sezioni che hanno un titolo 

tipograficamente contraddistinto da un particolare 

carattere. Le sezioni di un capitolo sono anche 

riassunte in un sommario posto nella prima 

pagina di ciascun capitolo. Ogni sezione è poi 

suddivisa, di solito, in sottosezioni che sono caratterizzate 

da un numero di paragrafo e da un titolo 

secondario. 

La teoria è esposta nella forma più semplice possibile, 

ma sempre in modo organico, esauriente e 

con quel rigore logico che è caratteristico della 

materia. 

La teoria, come noto, necessita di un’adeguata 

esemplificazione per poter essere consolidata. Lo 

studente viene pertanto guidato, nella comprensione 

della teoria, da esempi esplicativi nei quali 

si chiariscono i concetti esposti oppure si guida lo 

studente alla stesura di dimostrazioni e alla risoluzione 

di problemi. 

Assai ampia è la raccolta di esercizi opportunamente 

graduati e diversificati: dai più semplici si 

passa ad altri più impegnativi adatti a stimolare 

l’intelligenza dello studente. 

Oltre ai tradizionali e numerosissimi esercizi (teoremi 

da dimostrare e problemi da risolvere) lo studente 

incontrerà talvolta gruppi di esercizi contraddistinti 

da un simbolo particolare: 

Quesiti . Si tratta per lo più di domande volte 

ad accertare la comprensione dei concetti fondamentali 

studiati nella parte di teoria. Lo studente 

potrà rispondere a tali quesiti oralmente o per 

iscritto, secondo le indicazioni del proprio docente. 

Lo studente può considerare questi quesiti come 

domande che l’insegnante potrebbe rivolgergli 

in una eventuale interrogazione. 

Esercizi guidati . Si propongono allo studente 

dei teoremi da dimostrare o dei problemi da risolvere 

dandone lo schema risolutivo. Lo studente, 

così guidato, dovrà completare l’esercizio (volendo, 

direttamente sul testo) sostituendo al posto dei 

puntini di sospensione le opportune frasi, formule, 

simboli, ... per giungere alla completa soluzione 

del quesito. 

Quesiti a risposta multipla . In questo tipo 

di test viene proposto un quesito o un esercizio 

con tre o più possibili risposte precedute da un 

quadratino: lo studente, dopo aver risolto l’esercizio, 

dovrà barrare con una crocetta la risposta ritenuta 

esatta. 

Vero o falso . In quest’ultimo tipo di test viene 

proposta un’affermazione, che esprime, per esempio, 

una proprietà che può essere o vera o falsa 

(non sono previste altre possibilità). Se lo studente, 

dopo un breve ragionamento ritiene che l’affermazione 

fatta è vera, barrerà la casella V e se 

invece la ritiene falsa barrerà al casella F . 

È ovviamente auspicabile che la risposta venga 

motivata. 

Auguriamo a studenti e docenti buon lavoro! 

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara 

3 

Gli Autori

Simboli 

Simboli 

usati 

nel testo 

R insieme dei numeri reali 

4 

R þ insieme dei numeri reali positivi 

R þ 0 

insieme dei numeri reali positivi e dello zero 

R insieme dei numeri reali negativi 

[ simbolo di unione tra insiemi 

\ simbolo di intersezione tra insiemi 

simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto 

simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo 

[ insieme vuoto 

_ simbolo di disgiunzione tra proposizioni o predicati ( leggi «vel», «o», «oppure») 

^ simbolo di congiunzione tra proposizioni o predicati ( leggi «et», «e contemporaneamente») 

! simbolo di implicazione materiale tra proposizioni o predicati (usato anche per collegare due 

passaggi algebrici ) 

! simbolo di coimplicazione materiale tra proposizioni o predicati 

simbolo di composizione tra funzioni 

== simbolo di parallelismo tra rette 

? simbolo di perpendicolarità tra rette 

ffi simbolo di congruenza tra figure 

simbolo di coincidenza tra punti o tra figure 

¼ simbolo di uguaglianza 

¼ : 

simbolo di equivalenza 

¼) simbolo di implicazione logica 

() simbolo di coimplicazione logica 

’ simbolo di uguaglianza numerica approssimata 


Indice 

CAPITOLO 1 Introduzione alla geometria razionale 9 

Notizie storiche introduttive, 9. Introduzione alla geometria euclidea, 10. 

Applicazioni della logica alla geometria, 11. Principi fondamentali, 11. Teoremi, 

12. Dimostrazione diretta, 12. Dimostrazione per assurdo, 13. Teoremi derivati, 

14. Teorema reciproco o inverso, 14. Teorema contronominale, 15. Teorema contrario, 

15. Seconda legge delle inverse, 15. Esercizi, 17. 

CAPITOLO 2 Nozioni fondamentali di geometria razionale 18 

Concetti primitivi, 18. Postulati fondamentali, 19. Postulati di appartenenza, 

19. Il postulato d’ordine, 20. Rette, semirette, segmenti, linee, 20. Semirette e 

segmenti, 20. Il postulato di partizione del piano, 22. Osservazione sulla continuità della 

retta, 23. Posizioni reciproche tra rette, 23. Figure convesse e concave, 24. Linee 

curve, 24. Angoli, 25. Poligoni, 27. Congruenza tra figure piane, 28. Proprietà 

delle congruenze, 29. Confronto di segmenti e angoli, 29. Somma e differenza 

di segmenti e di angoli, 31. Somma e differenza di segmenti, 31. Multipli 

e sottomultipli di un segmento, 32. Punto medio di un segmento, 33. Somma e differenza 

di angoli. Bisettrice di un angolo, 33. Angoli supplementari ed esplementari, 34. 

Angoli retti, acuti, ottusi. Rette perpendicolari, 35. Angoli opposti al vertice, 37. Misura 

dei segmenti, 37. Relazioni in un insieme, 38. Lunghezza di segmento, 39. Misura 

degli angoli, 39. Ampiezza di un angolo, 40. Misura delle superfici, 41. 

Area di una figura piana, 41. Un po’ di storia, 42. Esercizi, 44. 

CAPITOLO 3 I triangoli 51 

Definizioni, 51. Criteri di congruenza dei triangoli. Triangoli isosceli, 52. 

Primo criterio di congruenza, 53. Osservazione sulla dimostrazione di un teorema, 54. 

Secondo criterio di congruenza, 55. Triangoli isosceli, 56. Terzo criterio di congruenza, 

57. Proprietà del triangolo isoscele, 59. Classificazione dei triangoli rispetto 

agli angoli, 60. Il primo teorema dell’angolo esterno, 60. Conseguenze, 61. Disuguaglianze 

tra elementi di un triangolo, 62. Osservazione, 62. Costruzioni 

geometriche fondamentali, 64. Bisettrice di un angolo, 64. Trasporto di un angolo 

dato, 65. Punto medio di un segmento, 66. Esistenza e unicità della retta perpendicolare 

da un punto a una retta data, 66. Un po’ di storia, 68. Necessità della dimostrazione, 

68. Esercizi, 70. 

CAPITOLO 4 Rette parallele. Applicazioni ai triangoli 85 

Teoremi fondamentali sulle rette parallele, 85. Rette tagliate da una trasversale, 

85. Costruzione della parallela a una retta, 87. Il postulato di Euclide, 87. Criteri di 

parallelismo, 87. Proprietà fondamentali delle rette parallele, 88. Osservazione, 89. 

Osservazione, 90. Semirette parallele, 91. Distanza di due rette parallele, 92. Applicazioni 

ai triangoli, 93. Secondo teorema dell’angolo esterno, 93. Somma degli angoli 

interni di un triangolo, 93. Proprietà del triangolo isoscele, 94. Somma degli angoli 

interni di un poligono, 95. Congruenza dei triangoli rettangoli, 95. Criterio particolare 

di congruenza dei triangoli rettangoli, 96. Un po’ di storia, 96. Esercizi, 

100. 

CAPITOLO 5 Luoghi geometrici. Parallelogrammi 111 

Luoghi geometrici, 111. Asse di un segmento, 111. Bisettrice di un angolo, 112. 

Osservazione, 113. Dov’è l’errore, 113. Parallelogrammi e loro proprietà, 


5 

Indice

Indice 

6 

114. Le proprietà dei parallelogrammi, 114. Criteri per stabilire quando un quadrilatero 

è un parallelogrammo, 116. Parallelogrammi particolari, 118. Rettangoli, 

118. Rombi, 119. Quadrati, 120. Un riscontro con la realtà, 120. Trapezi, 

121. Altezze dei parallelogrammi e dei trapezi, 122. Uno schema riassuntivo, 122. 

Esercizi applicativi, 122. Fascio di rette parallele, 124. Un po’ di storia, 126. 

Dov’è l’errore, 127. Esercizi, 129. 

CAPITOLO 6 Circonferenza. Poligoni inscritti e circoscritti 142 

Definizioni e proprietà della circonferenza e del cerchio, 142. Circonferenza 

e cerchio, 142. Archi e angoli al centro, 143. Confronto, somma, differenza di archi, 

144. Proprietà delle circonferenze, 145. Posizioni reciproche di una retta e di 

una circonferenza, 148. Posizioni reciproche di due circonferenze complanari, 

150. Distanza di un punto da una circonferenza, 152. Angoli alla circonferenza, 

152. Tangenti da un punto a una circonferenza, 156. Punti notevoli di 

un triangolo, 157. Il cerchio di Eulero o dei nove punti, 159. Poligoni inscritti 

e circoscritti, 159. Poligoni regolari, 162. Un po’ di storia, 164. Lunghezza 

della circonferenza, 165. Un riscontro con la realtà, 166. Esercizi, 

168. 

CAPITOLO 7 Trasformazioni isometriche nel piano euclideo 199 

Trasformazioni geometriche, 199. Isometrie, 200. Proprietà delle isometrie, 

200. Identità, 202. Simmetria centrale, 202. Centro di simmetria di una figura, 

203. Simmetria assiale, 204. Asse di simmetria di una figura, 206. Traslazione, 

207. Vettori, 207. Rotazione, 208. Composizione di isometrie, 209. Assi e 

centri di simmetria di particolari poligoni, 211. Le isometrie nella realtà, 


CAPITOLO 8 Equivalenza delle superfici piane 223 

Definizioni e postulati, 223. Poligoni equivalenti, 226. Trasformazione di 

poligoni, 228. Teoremi di Euclide e di Pitagora, 230. Un po’ di storia, 

231. Misura delle aree di particolari poligoni, 232. Area del cerchio, 234. 

Un po’ di storia, 235. Esercizi, 237. 

CAPITOLO 9 Grandezze geometriche. Teorema di Talete 252 

Classi di grandezze omogenee, 252. Misura delle grandezze, 254. Postulato 

di continuità della retta, 257. Segmenti commensurabili e incommensurabili, 258. 

Un po’ di storia, 258. Incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato, 259. 

Rapporto di grandezze omogenee, 260. Proporzioni tra grandezze, 262. Proprietà 

delle proporzioni tra grandezze, 263. Grandezze proporzionali, 265. Criterio 

generale di proporzionalità, 267. Esempi di grandezze direttamente proporzionali, 

268. Area del rettangolo, 270. Rettangoli equivalenti e segmenti in proporzione, 

270. Grandezze inversamente proporzionali, 271. Teorema di Talete e sue conseguenze, 

272. Parallela a un lato di un triangolo, 273. Costruzioni con riga e compasso 

in applicazione del teorema di Talete, 274. I teoremi delle bisettrici, 276. Un 

po’ di storia, 276. Esercizi, 278. 

CAPITOLO 10 Triangoli simili e applicazioni 288 

Triangoli simili, 288. Criteri di similitudine dei triangoli, 289. Primo criterio, 

289. Secondo criterio, 290. Terzo criterio, 291. Proprietà dei triangoli simili, 


292. Basi e altezze in triangoli simili, 292. Perimetri di triangoli simili, 292. Aree di 

triangoli simili, 293. Esercizi di applicazione sui triangoli simili, 294. I teoremi di Euclide, 

295. Esercizi di applicazione dei teoremi di Euclide, 297. Corde, secanti e 

tangenti di una circonferenza, 299. Poligoni simili, 300. Perimetri di poligoni 

simili, 302. Aree di poligoni simili, 302. Perimetri e aree di poligoni regolari, 302. 

Concetto di similitudine in generale, 303. Riduzione e ingrandimenti di disegni, 

303. Sezione aurea di un segmento, 304. Rapporto aureo, 305. Proprietà della 

sezione aurea di un segmento, 305. Costruzione della sezione aurea di un segmento, 

305. Decagono, pentagono, pentadecagono regolari, 306. Rettangolo aureo, 308. Il 

rapporto aureo e la successione di Fibonacci, 308. Un po’ di storia, 308. Esercizi, 

310. 

CAPITOLO 11 Applicazioni dell’algebra alla geometria 331 

Problemi geometrici, 331. Risoluzione algebrica dei problemi geometrici, 331. Le 

fasi della risoluzione algebrica di un problema geometrico, 332. Osservazione sui poligoni 

inscritti, 333. Esempi di risoluzione algebrica di problemi geometrici, 335. Complementi 

di geometria piana, 340. Triangolo equilatero: relazione tra lato e altezze, 

340. Triangolo rettangolo con gli angoli di 30 e60, 340. Triangolo rettangolo 

con un angolo di 45 , 343. Trapezi circoscritti a una circonferenza, 344. Trapezi circoscritti 

a una semicirconferenza, 345. Area di un triangolo: formula di Erone, 346. Raggio 

della circonferenza circoscritta a un triangolo, 347. Raggio della circonferenza circoscritta 

a un triangolo isoscele, 348. Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, 

349. Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo isoscele, 349. Raggio della 

circoferenza inscritta in un triangolo rettangolo, 350. Lati di poligoni regolari, 350. 

Costruzione geometrica di espressioni algebriche, 352. Un po’ di storia, 


CAPITOLO 12 Rettificazione della circonferenza e quadratura del 

cerchio 392 

Classi contigue di grandezze omogenee, 392. Le linee, 392. Estensione lineare 

della circonferenza e sua misura, 393. Estensione lineare degli archi e 

loro misura, 395. Costruzioni approssimate della circonferenza rettificata, 

396. Estensione superficiale del cerchio e sua misura, 397. Superficie di un 

settore e sua misura, 398. Soluzioni approssimate della quadratura del cerchio, 

399. Un po’ di storia, 400. Esercizi, 404. 

CAPITOLO 13 Rette e piani nello spazio 412 

Preliminari, 412. Rette e piani nello spazio, 413. Posizione di una retta rispetto 

a un piano, 413. Posizione di due rette nello spazio, 413. Posizione di due piani nello 

spazio, 414. Retta e piano perpendicolari, 415. Rette parallele nello spazio, 418. 

Proiezioni – Angolo di una retta con un piano, 419. Retta e piano paralleli, 421. Piani 

paralleli, 423. Il teorema di Talete nello spazio, 425. Diedri, 426. Definizioni fondamentali, 

426. Misura di un diedro, 430. Piani perpendicolari, 430. Rette sghembe, 


CAPITOLO 14 Angoloidi. Trasformazioni nello spazio 446 

Angoloidi, 446. Definizioni, 446. Proprietà degli angoloidi, 447. Congruenza degli 

angoloidi, 447. Criteri di congruenza, 449. Trasformazioni geometriche nello 

spazio, 449. Isometrie nello spazio, 449. Simmetria rispetto a un punto, 450. 

Simmetria rispetto a una retta, 451. Simmetria rispetto a un piano, 452. 

Rotazione nello spazio intorno a un asse, 453. Traslazione nello spazio, 

453. Congruenza diretta e inversa, 454. Trasformazioni non isometriche nello 

spazio, 456. Omotetia, 456. Similitudine nello spazio, 457. Esercizi, 458. 


7 

Indice

Indice 

8 

CAPITOLO 15 Solidi notevoli 463 

Poliedri, 463. Prismi, 464. Parallelepipedo, 466. Cubo, 468. Piramide, 468. Tronco 

di piramide, 471. Poliedri regolari, 471. Teorema di Eulero e sue conseguenze, 

474. Simmetrie nel tetraedro e nell’ottaedro regolare, 474. I poliedri e i cristalli, 

475. Un po’ di storia, 476. I corpi rotondi, 477. Superfici e solidi di rotazione, 

477. Cilindro, 478. Cono, 480. Tronco di cono, 482. Superficie conica a due falde, 

482. Sezioni coniche, 483. Sfera, 484. Posizioni reciproche di rette, piani e superfici 

sferiche, 485. Posizioni reciproche di due sfere, 486. Figure inscritte e circoscritte a 

una superficie sferica e a una sfera, 487. Parti della sfera e della superficie sferica, 


CAPITOLO 16 Misure dell’area della superficie e del volume dei 

solidi 506 

Estensione della superficie di un solido, 506. Superficie di un prisma e misura 

della sua area, 506. Superficie di una piramide e di un tronco di piramide e misura della 

loro area, 507. Superficie di un cilindro e misura della sua area, 508. Superficie di 

un cono e di un tronco di cono e misura della loro area, 509. Superficie di una sfera e 

misura della sua area, 510. Baricentri e il primo teorema di Guldino, 514. 

Equivalenza dei solidi, 516. Preliminari, 516. Principio di Cavalieri, 517. Equivalenza 

dei poliedri, 518. Misura dei volumi dei poliedri, 519. Tronco di prisma triangolare 

e misura del suo volume, 521. Equivalenza dei solidi rotondi e misura del loro volume, 

522. Un po’ di storia, 527. Il secondo teorema di Guldino, 529. Esercizi 

svolti tratti da temi assegnati agli esami di stato del liceo scientifico, 


CAPITOLO 17 Geometrie non euclidee 591 

Gli ‘‘Elementi’’ di Euclide e il postulato delle parallele, 591. Termini, assiomi 

e postulati, 592. Il ruolo del postulato delle parallele, 593. I tentativi di dimostrare 

il postulato delle parallele e la nascita delle geometrie non-euclidee, 594. 

Saccheri e Lambert, 595. Geometrie non euclidee, 597. Lobac˘evskij e la geometria 

iperbolica, 597. Riemann e la geometria ellittica, 598. Geometria e spazio fisico, 

600. 


CAPITOLO 1 

Notizie storiche introduttive 

Introduzione alla geometria 

euclidea 

Applicazioni della logica 

alla geometria 

Notizie storiche introduttive 

INTRODUZIONE ALLA 


Per la comprensione del successivo studio 

della geometria, può essere sufficiente soffermarsi 

solo sulle due prime sezioni del capitolo 

(notizie storiche e introduzione alla 

geometria euclidea) e lasciare la sezione relativa 

all’applicazione della logica per uno 

studio più approfondito sia della logica sia 

della geometria. Può essere utile però ricorrere 

a questa terza sezione ogni qualvolta si 

facesse, nel testo, qualche riferimento esplicito 

a concetti espressi in quei paragrafi prima 

trascurati. Non si richiedono, per la 

comprensione di questo capitolo, precedenti 

nozioni di geometria. 

1 La parola geometria deriva dal greco e significa misura della terra. Le origini della geometria 

sono antichissime e, per lo più, legate a necessità pratiche. Le tavolette e i papiri egiziani, risalenti al 

2000 a.C., mettono in evidenza che gli antichi Egizi avevano conoscenze geometriche, anche se queste 

sembrano aver avuto il solo scopo di servire come pratico strumento per misurare e per costruire. 

Nell’antica Grecia si pensava che la geometria fosse nata in Egitto: per esempio, le periodiche inondazioni 

del Nilo costringevano gli Egiziani a ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e 

quindi a misurarle. Anche i Babilonesi (*), che possedevano notevoli conoscenze matematiche, utilizzavano 

la geometria a fini pratici, per esempio, per progettare opere di bonifica delle loro terre, per 

risolvere problemi legati alla distribuzione, tra gli eredi, di proprietà terriere, ecc. Ma la geometria 

come vera scienza nasce quando l’interesse per la matematica non è più soltanto utilitaristico, ma risponde 

al desiderio di pura conoscenza. Tale desiderio fu una caratteristica del pensiero greco, già 

nel primo millennio avanti Cristo. Durante il VI secolo a.C. furono introdotte in Grecia le conoscenze 

geometriche degli Egiziani e dei Babilonesi, specialmente per opera di Talete di Mileto e di Pitagora 

di Samo. Essi, infatti, ebbero la possibilità di recarsi presso quei popoli che erano allora i centri del 

sapere. Ciò contribuì allo sviluppo dello studio della geometria inteso come ricerca di leggi generali e 

di giustificazioni di tutto ciò che veniva affermato. Per circa tre secoli lo studio della geometria progredì, 

in Grecia, notevolmente, per opera di uomini di grande intelligenza tra i quali possiamo ricordare, 

oltre ai già citati Talete e Pitagora, Euclide (III secolo a.C.). 

L’opera di quest’ultimo, gli ‘‘Elementi’’, ebbe, per lo sviluppo della geometria, una notevole importanza 

e costituì il punto di partenza per l’insegnamento elementare della geometria nel corso di vari 

secoli. Infatti, ancora oggi, la geometria di cui tratteremo nei prossimi capitoli viene chiamata geometria 

euclidea. 

(*) I Babilonesi abitavano la Mesopotamia meridionale (attuale Iraq). 


9 

Introduzione alla geometria razionale 

1 

TEORIA

TEORIA Introduzione alla geometria razionale 

1 

10 

In questo affresco egizio sono rappresentati alcuni schiavi intenti a opere di muratura. 

Introduzione alla geometria euclidea 

2 Come già abbiamo detto, nel VI secolo a.C., ebbe origine in Grecia lo studio di una geometria 

astratta non più legata alle necessità delle diverse applicazioni pratiche. I Greci incominciarono infatti 

a considerare le figure geometriche idealmente staccate dalle cose che esse rappresentavano e dalle 

operazioni necessarie per la loro misura. S’introdussero così, per astrazione, punti privi di dimensione, 

linee con una dimensione (e quindi prive di spessore), superfici con due dimensioni (e quindi 

prive di spessore). 

Nello studio della geometria si parte da concetti edaenti primitivi, cioè che non si possono definire 

con idee più elementari, ma che sono espressi da parole il cui significato è noto a tutti. 

Tra i concetti primitivi della geometria vi sono, ad esempio, quello di movimento rigido (cioè quello 

per cui una figura può muoversi nel piano o nello spazio senza deformarsi) e quello di appartenenza. 

Sono enti primitivi gli enti fondamentali della geometria, quali il punto, laretta, ilpiano elospazio, 

che è l’insieme di tutti i punti. 

Oltre a questi quattro vocaboli, nello studio della geometria, se ne incontreranno altri, il cui significato, 

però, dovrà essere spiegato mediante altri vocaboli di significato noto. S’incontreranno cioè vocaboli 

che devono essere definiti; s’introduranno quindi delle definizioni, mediante le quali tutti i termini 

che vengono usati acquistano un ben preciso significato. 

Le definizioni serviranno anche per esprimere alcuni concetti (per esempio il concetto di perpendicolarità 

e di parallelismo tra rette) e quindi potremo dire che una definizione è una proposizione nella 

quale si caratterizza in modo inequivocabile un concetto o un ente, ricorrendo, di solito, ad altri concetti 

o enti precedentemente definiti. 

Per lo studio della geometria, oltre ai concetti primitivi e alle definizioni, si fa anche uso di postulati 

(o assiomi). 

Questi sono delle affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione 

e dalla nostra esperienza. I postulati, quindi, esprimono delle verità da tutti riconosciute: infatti, 

nella geometria che studieremo, i postulati sono tali da rendere la geometria stessa un modello della 

realtà che ci circonda. Un primo esempio di postulato è quello che caratterizza la retta e che ne esprime 

una proprietà fondamentale: per due punti passa una e una sola retta. 

Ma l’intuizione non basta per scoprire nuove verità e interviene allora il ragionamento, cioè l’elaborazione, 

fatta dal pensiero, dei dati forniti dall’intuizione e dall’esperienza. 

Oltre alle proprietà ‘‘evidenti’’, lo spazio risulta avere altre proprietà che però, essendo meno evidenti 

delle precedenti, per essere accettate devono essere dimostrate. Le proposizioni che enunciano tali 

proprietà si dicono teoremi e le considerazioni logiche che si debbono fare affinché, partendo dai 


concetti primitivi e dai postulati introdotti, si arrivi al teorema proposto, costituiscono la dimostrazione 

del teorema. Si dicono poi corollari quelle proposizioni che sono conseguenze immediate di un 

teorema. 

Il ragionamento, oltre a dimostrare ogni singolo teorema, serve anche a stabilire se vi sia un legame 

logico fra una qualunque proposizione e quelle trovate o ammesse precedentemente e quali di esse 

siano strettamente necessarie per costruire la geometria, che, per questo, è detta anche geometria razionale. 

Lo studente non deve quindi meravigliarsi se, qualche volta, vengono dimostrate certe proposizioni 

che pure hanno carattere intuitivo. 

Nel far ciò si raggiunge anche lo scopo di controllare l’intuizione stessa, perché, mentre è vero ed 

essenziale che l’intuizione ci deve fornire i concetti fondamentali sui quali costruire tutto l’edificio 

geometrico, è pur vero che il ragionamento ci ha insegnato che qualche volta l’intuizione può condurre 

su falsa strada e ci ha costretto di conseguenza a modificare alcune idee primordiali. 

La geometria razionale non è peròuna scienza puramente astratta e puramente logica; si studiano anche 

le possibili applicazioni e per questo vi è la necessità di collegare le varie proposizioni con le esperienze 

effettuabili nel mondo esterno. Le proposizioni che studieremo sono tutte perfettamente aderenti a 

quella che noi chiamiamo realtà. Da ciò deriva l’utilità pratica della geometria e si giustifica uno dei 

suoi compiti, che è quello di fornire certe conoscenze che da tutti devono essere possedute. Ai nostri 

giorni si può dire che in ogni settore si sfruttano proprietà geometriche e, nello stesso tempo, si danno 

alla geometria spunti per l’approfondimento di alcuni argomenti: per esempio, in biologia per lo studio 

delle forme poliedriche degli esseri unicellulari, in mineralogia per lo studio dei cristalli, in architettura 

e in ingegneria per lo studio delle diverse strutture, in astronomia per lo studio del moto degli astri, ecc. 

Anche gli artigiani ricorrono a cognizioni geometriche, se pur semplici, tutte le volte che, nel loro 

lavoro, vogliono seguire la via più corretta ed evitare così sprechi del materiale che essi usano. 

Applicazioni della logica alla geometria 

Principi 

fondamentali 

11 

3 Nello studio della geometria si schematizza una situazione reale mediante 

modelli ai quali si applicano i metodi del ragionamento propri della 

logica. 

I principi fondamentali della logica, di cui viene fatto uso, sono i seguenti (*): 

1. il principio d’identità: ogni ente è identico a se stesso; 

2. il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere contemporaneamente vera e 

falsa; 

3. il principio del terzo escluso: una proposizione o è vera o è falsa; 

4. la proprietà transitiva dell’implicazione: se una proposizione ne implica una seconda e questa a 

sua volta ne implica una terza, allora la prima implica la terza. 

Quest’ultima proprietà vale anche per i predicati (**) e per l’implicazione logica relativa ai predicati 

(***) e può essere schematizzata nel seguente modo: 

½ðP1 ¼) P2Þ^ðP2 ¼) P3ÞŠ ¼) ðP1 ¼) P3Þ: 

(*) Si tratta di alcune tautologie che s’incontrano nello studio della logica. 

(**) Per predicato s’intende un’espressione linguistica, contenente una o più variabili, che diventa una proposizione vera o falsa 

secondo i valori assegnati alle variabili (scelti in un prefissato dominio). 

(***) Dati due predicati AðxÞ e BðxÞ, quando ogni valore di x (appartenente al dominio) che rende vero AðxÞ rende vero anche 

BðxÞ, si ha un’implicazione logica e si scrive AðxÞ ¼) BðxÞ, che si legge AðxÞimplica BðxÞ. Si scrive anche che BðxÞ è una deduzione 

logica da AðxÞ. 



1 

TEORIA


1 

4 Un concetto fondamentale per lo sviluppo della geometria è quello di 

Teoremi 

implicazione logica. Infatti il teorema si può definire come una implicazione 

logica tra due predicati detti ipotesi ðIÞ e tesi ðTÞ, implicazione che deve 

ovviamente essere verificata: 

I ¼) T: 

Nel caso che I non implichi logicamente TðI 6¼) TÞ si suole parlare di teorema non vero. 

Nel teorema si distinguono 

l’enunciato che esprime il contenuto dell’implicazione logica da verificare; 

l’ipotesi che esprime quello che si suppone vero (antecedente dell’implicazione); 

la tesi (conseguente dell’implicazione) che esprime quello che si deve verificare; 

la dimostrazione che è il processo deduttivo che porta ad affermare la verità della tesi tutte le volte 

che si verifica l’ipotesi. 

Spesso i teoremi non sono enunciati esplicitamente sotto forma di implicazione logica; è però utile 

che lo studente si abitui ad esprimerli in tale forma. Consideriamo ad esempio la proposizione: 

un angolo ottuso è maggiore della metà di un angolo retto, (1) 

che è l’enunciato di un facilissimo teorema. 

La (1) può essere trasformata nella forma seguente: 

se un angolo è ottuso, allora esso è maggiore della metà di un angolo retto. (2) 

In questo caso, indicando con x un generico angolo, l’ipotesi è il predicato 

e la tesi è il predicato 

pðxÞ : x e ottuso 

qðxÞ : x e maggiore della meta di un angolo retto: 

La (2), pertanto, assume la forma dell’implicazione logica 

pðxÞ ¼) qðxÞ ðI ¼) TÞ; 

implicazione che, pur essendo ovvia, andrà verificata (dimostrata). 

Se vale il teorema I ¼) T, si dice che Iècondizione sufficiente per il verificarsi di T e che T è condizione 

necessaria per il verificarsi di I (*). 

Dimostrazione 

diretta 

12 

5 Il ragionamento che dalla verità diI conduce alla verità diT è ladimostrazione 

e tiene conto dei postulati, dei teoremi precedenti, di eventuali costruzioni 

e della proprietà transitiva dell’implicazione logica. Quando un teorema 

si dimostra secondo questo procedimento si dice che si è fatta una di- 

mostrazione diretta. 

Vediamo ora due esempi di dimostrazione diretta, uno in aritmetica e l’altro in geometria. 

(*) In generale, si dice che una condizione C è necessaria perché si verifichi una data proprietà P quando, dall’ammettere la P, si 

deduce il necessario verificarsi della C ðP ¼) CÞ; reciprocamente, la condizione C si dice sufficiente perché si verifichi la proprietà 

P quando, l’ammettere la C basta per concludere il verificarsi della P ðC ¼) PÞ. 


1 Dimostrare che un numero naturale divisibile per 6 è divisibile anche per 3. 

Dobbiamo verificare l’implicazione I ¼) T, essendo 

I : n e divisibile per 6 

T : n e divisibile per 3 

Consideriamo la seguente ‘‘catena’’ di implicazioni logiche: 

n 2 N: 

n divisibile per 6 ¼) n ¼ 6 m m 2 N 

n ¼ 6 m ¼) n ¼ð2 3Þ m 

n ¼ð2 3Þ m ¼) n ¼ 3 ð2mÞ 

n ¼ 3 ð2mÞ ¼) n divisibile per 3: 

Per la proprietà transitiva dell’implicazione logica si ha: 

Abbiamo così verificato l’implicazione I ¼) T. 

n divisibile per 6 ¼) n divisibile per 3: 

2 Dimostrare che un angolo ottuso è maggiore della metà di un angolo retto. 

Si tratta del teorema enunciato nel paragrafo precedente; dovendo ancora iniziare lo studio vero 

e proprio della geometria, supporremo noti i concetti espressi nel teorema (angolo ottuso, 

angolo retto, disuguaglianza tra angoli) e, per semplicità, ragioneremo sulle ampiezze, espresse 

in gradi, degli angoli che nomineremo. Occorre verificare l’implicazione I ¼) T, essendo 

I : x è ottuso; T : x è maggiore della metà dell’angolo retto, 

con x elemento dell’insieme degli angoli. 

Consideriamo la seguente catena di implicazioni logiche 

x ottuso ¼) x > 90 x > 90 ¼) x > 45 

e pertanto, in base alla proprietà transitiva dell’implicazione logica, 

x ottuso ¼) x > 45 ; 

cioè abbiamo verificato che, se un angolo è ottuso, allora esso è maggiore della metà di un angolo 

retto (45 ). 

Gli esempi svolti mostrano come si possa schematizzare una dimostrazione per via diretta; va però 

detto che in geometria le dimostrazioni si presentano talvolta più articolate e complesse, ma, dopo 

un’analisi della situazione, possono essere ricondotte a semplici schemi di ragionamento. 

Dimostrazione 

per assurdo 

6 Per dimostrare un teorema si ricorre anche al metodo indiretto della 

riduzione all’assurdo. Per dimostrare l’implicazione I ¼) T con tale procedimento, 

si suppone vera, oltre all’ipotesi I, la negazione della tesi; si suppone 

cioè vero il predicato T (cioè si ‘‘nega la tesi’’) (*) e si dimostra, per via 

diretta, l’implicazione T ¼) I. In tal caso vengono ad essere contemporaneamente vere I e I, il che è 

impossibile per il principio di non contraddizione; pertanto non potendo essere vera T (perché conduce 

alla contraddizione I ^ IÞ, per il principio del terzo escluso deve valere T. Si suol dire, in questo 

caso, che l’implicazione I ¼) T è stata verificata mediante una ‘‘dimostrazione per assurdo’’. 

(*) La negazione di una proposizione A si indica con A. 

13 



1 

TEORIA


1 

In geometria, talvolta, invece di dimostrare l’implicazione T ¼) I, si suppone vera T e si deduce 

qualche proprietà che è in contrasto con i postulati introdotti o con qualche teorema precedentemente 

dimostrato: da questa contraddizione segue che, non potendo sussistere la verità diT, risulta necessariamente 

vera la verità diT. 

Dimostriamo ora gli stessi due esempi del numero precedente mediante il metodo della riduzione 

all’assurdo. 

1 Dimostrare che un numero divisibile per 6 è divisibile anche per 3. 

Come già visto, si ha 

I : n e divisibile per 6 

T : n e divisibile per 3 

n 2 N 

e si deve dimostrare I ¼) T . 

Consideriamo un generico numero n divisibile per 6 (l’ipotesi I è sempre supposta vera) e neghiamo 

la tesi supponendo che n non sia divisibile per 3 (cioè supponiamo T falsa e quindi T 

vera). Se n non fosse divisibile per 3, nella sua scomposizione in fattori primi non comparirebbe 

il 3 e quindi, a maggior ragione non comparirebbe il 6 ¼ 2 3: questo significa che n non 

potrebbe essere divisibile per 6 (*). Si è così dimostrato che T ¼) I e pertanto, non potendo 

sussistere contemporaneamente I e I, si deduce che non può essere vera T, cioè che è vera T. 

Resta così dimostrata, per via indiretta, l’implicazione I ¼) T. 

2 Dimostrare che un angolo ottuso è maggiore della metà di un angolo retto. 

Occorre dimostrare I ¼) T , essendo 

I : x e ottuso e T : x e maggiore della meta dell’angolo retto: 

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che l’angolo x (ottuso per ipotesi) non sia maggiore della 

metà dell’angolo retto; allora risulta x 45 e quindi, a maggior ragione, è x < 90 e perciò 

x è acuto, cioè x non è ottuso, il che è in contraddizione con l’ipotesi. Poiché la negazione 

della tesi ha condotto alla negazione dell’ipotesi ðT ¼) I ) si conclude che non è possibile negare 

la tesi e che quindi essa è senz’altro vera ogni volta che è vera l’ipotesi. Si è così dimostrato 

per via indiretta che I ¼) T . 

Teoremi 

derivati 

7 Data l’implicazione I ¼) T che supporremo verificata e che chiameremo 

teorema diretto, da essa si possono ricavare altre tre implicazioni che 

non è detto siano verificate. Esse sono le seguenti. 

1. Teorema reciproco o inverso, che è ottenuto scambiando l’ipotesi con la tesi del teorema diretto. 

Quindi, se I ¼) T è il teorema diretto, il suo teorema reciproco è l’implicazione T ¼) I. 

2. Teorema contronominale (o contrapposto), che ha per ipotesi la negazione della tesi del teorema 

diretto e per tesi la negazione dell’ipotesi del diretto. 

Quindi il teorema contrapposto al teorema I ¼) T è l’implicazione T ¼) I. 

3. Teorema contrario, che è ottenuto sostituendo all’ipotesi e alla tesi del teorema diretto le rispettive 

negazioni. 

Quindi il teorema contrario del teorema I ¼) T è l’implicazione I ¼) T. 

Teorema 

reciproco 

o inverso 

14 

8 Il teorema reciproco non è sempre vero. 

Infatti consideriamo i due seguenti teoremi, che sono entrambi veri. 

(*) Giunti a questo punto si suol dire che l’ultima affermazione è in contrasto con l’ipotesi e quindi era assurdo negare la tesi, che 

resta così dimostrata. 


1º) Se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto. 

2º) Se x è un angolo maggiore di un angolo retto, allora il doppio di x è maggiore di un angolo piatto. 

Il teorema reciproco del primo non è vero, perché sex è maggiore della metà di un angolo retto può 

non essere ottuso (ad es. l’angolo di 60º), mentre il reciproco del secondo è vero, perché, se il doppio 

di x è maggiore di un angolo piatto, x deve essere maggiore di un angolo retto. 

Quando di un teorema I ¼) T è vero anche l’inverso, cioè T ¼) I, si ha la coimplicazione logica 

I () T 

e i due predicati I e T si dicono equivalenti. 

In tal caso si dice anche che I è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di T e viceversa. 

Teorema 

9 Il teorema contronominale è sempre vero. (*) 

contronominale Viceversa, se di un teorema è vero il contronominale, allora è vero il teorema 

diretto. 

Infatti, poiché il contronominale di un teorema vero è vero, in questo caso sarà vero il contronominale 

del contronominale, cioè il teorema diretto. 

Questa è laprima legge delle inverse: se un teorema è vero, allora è vero anche il suo contronominale e 

viceversa. 

10 Il teorema contrario non è sempre vero. 

Teorema 

contrario 

Infatti riprendendo gli esempi del n. 8 si vede che il contrario del primo non 

è vero, perché se un angolo non è ottuso può essere però maggiore della metà 

di un angolo retto (ad es. 60º), mentre il contrario del secondo è vero perché se un angolo non è 

maggiore di un angolo retto, allora il suo doppio non è maggiore di un angolo piatto. 

L’implicazione ðI ¼) TÞ, cioè il teorema contrario del teorema dato I ¼) T, èvera se, e solo se, è 

vero il teorema ðT ¼) IÞ, cioè il teorema inverso del teorema dato. 

Si può infatti osservare che il teorema contrario del teorema diretto è il contronominale del teorema 

inverso e pertanto (vedi n. 9), l’essere vero il teorema inverso di un dato teorema porta alla verità del 

teorema contrario del teorema dato e viceversa. 

Seconda legge 

delle inverse 

15 

11 Siano veri i teoremi 

I1 ¼) T1 I2 ¼) T2 ::: In ¼) Tn: 

relativi a tutte le possibili ipotesi I1, I2, ..., In su uno stesso soggetto. Se le tesi T1, T2, ..., Tn si escludono 

a vicenda, cioè se due qualsiasi di esse non possono essere vere contemporaneamente, allora 

sono validi i teoremi reciproci 

T1 ¼) I1; T2 ¼) I2; :::; Tn ¼) In: 

È questo l’enunciato della seconda legge delle inverse. 

Consideriamo i seguenti tre teoremi veri 

a) se un angolo convesso è ottuso, il doppio di tale angolo è maggiore di un angolo piatto; 

(*) Nello studio della logica si dimostra che, in generale, l’implicazione contronominale di una data implicazione è logicamente 

uguale all’implicazione diretta data. 



1 

TEORIA


1 

16 

b) se un angolo è retto, il doppio di tale angolo è un angolo piatto; 

c) se un angolo è acuto, il doppio di tale angolo è minore di un angolo piatto. 

Osserviamo ora che un angolo convesso, cioè il soggetto in esame, può essere solo ottuso, o 

retto, o acuto: sono queste tutte le possibili ipotesi sull’angolo. Inoltre le tre tesi si escludono a 

vicenda, nel senso che due qualsiasi di esse non possono valere contemporaneamente: infatti 

un angolo non può contemporaneamente essere maggiore e uguale né maggiore e minore né 

minore e uguale a un angolo piatto. Possiamo quindi applicare la seconda legge delle inverse 

e concludere che sono senz’altro veri i teoremi reciproci che qui enunciamo: 

a) se il doppio di un angolo convesso è maggiore di un angolo piatto, l’angolo è ottuso; 

b) se il doppio di un angolo è uguale a un angolo piatto, l’angolo è retto; 

c) se il doppio di un angolo è minore di un angolo piatto, l’angolo è acuto. 


CAPITOLO 1 

17 

INTRODUZIONE ALLA 


1 Data l’implicazione «Se piove esco con l’ombrello», enunciare le implicazioni reciproca, 

contrapposta e contraria. 

2 Dire se è vera o falsa la seguente affermazione, giustificando la risposta: «Il teorema contrario 

è il contrapposto del reciproco». 

3 Tradurre in implicazione la proposizione: «Condizione necessaria perché un numero diverso 

da 2 sia primo è che sia dispari». 

4 Tradurre in implicazione «Condizione sufficiente perché un numero sia pari è che sia 

divisibile per 6». 

5 Tradurre in coimplicazione «Condizione necessaria e sufficiente perché un triangolo sia 

equilatero è che sia equiangolo». 

6 Nel teorema «Un triangolo equilatero è isoscele» specificare l’ipotesi e la tesi, la condizione 

necessaria e la sufficiente. 

7 Enunciare il reciproco e il contrario del teorema «La metà di un angolo convesso ottuso è un 

angolo acuto» e dire se essi sono veri. 

8 Enunciare il reciproco, il contrario e il contrapposto del teorema «Un numero divisibile per 8 

è pari». 

9 Dimostrare per via diretta il teorema «Se un numero è divisibile per 10, allora è divisibile per 

2 e per 5». 

10 Dimostrare per assurdo il teorema: «Se un numero non è divisibile per 2 e per 5, allora non è 

divisibile per 10». 

11 Nei seguenti teoremi riconoscere in quali si può applicare la seconda legge delle inverse e in 

caso affermativo enunciare i teoremi reciproci: 

a) «Se un numero è pari termina con cifra pari, mentre se è dispari termina con cifra dispari». 

b) «Se un numero è divisibile per 4 termina con cifra pari, mentre se è dispari termina con 

cifra dispari». 

c) «Il doppio di un angolo acuto è un angolo convesso, mentre il doppio di un angolo ottuso 

è un angolo concavo». 



1 

ESERCIZI

TEORIA Nozioni fondamentali di geometria razionale 

2 

CAPITOLO 2 

Concetti primitivi 

Postulati fondamentali 

Rette - semirette - segmenti - linee 

Angoli. Poligoni 

Congruenza tra figure piane 

Confronto di segmenti e di angoli 

Somma e differenza di segmenti e 

di angoli 

Misura dei segmenti, degli angoli, 

delle superfici 

Concetti primitivi 

NOZIONI FONDAMENTALI 

DI GEOMETRIA RAZIONALE 

È questo un capitolo il cui studio è indispensabile 

per la comprensione del successivo 

sviluppo della geometria: vengono qui date 

tutte le fondamentali nozioni relative alle figure 

geometriche piane. 

1 I concetti primitivi, cioè i concetti dei quali non si dà alcuna definizione, si formano nella mente 

di tutti gli uomini vedendo e toccando gli oggetti da cui sono circondati. Tale è, ad esempio, l’idea 

di spazio, che è l’ambiente in cui viviamo. Lo spazio viene pensato continuo (cioè senza interruzioni) 

e illimitato (cioè senza confini). 

Altri concetti sono quelli di punto, retta e piano, che costituiscono gli enti geometrici fondamentali. 

2 Si ricordi che il concetto di punto geometrico si ha soltanto per astrazione, quando, per esempio, 

si pensa a un piccolo segno fatto sopra un foglio o sopra la lavagna, privato di qualsiasi estensione. 

Nello studio della geometria i punti vengono designati (fig. 1) con le lettere maiuscole dell’alfabeto: 

A, B, C. 

A 

C 

B 

A, B, C, sono tre punti 

18 

r è una retta 

r 

� 

� è un piano 

Figura 1 

Un insieme qualunque di punti si dice figura geometrica o semplicemente figura. Anche un singolo 

punto costituisce una figura geometrica. 

Si ha così una prima definizione. 

D Si definisce figura un insieme, non vuoto, di punti. 

In generale, quando si parlerà diunione odiintersezione tra figure, si intenderà operare in senso insiemistico. 

Lo spazio è l’insieme di tutti i possibili punti e può considerarsi, perciò, come la figura che contiene 

tutti i punti e quindi tutte le figure. Quando facciamo scorrere la punta di una matita sopra un foglio 

di carta tracciamo una linea: il concetto di linea geometrica si forma nella nostra mente quando la 

traccia della matita venga pensata priva di qualsiasi spessore, come se fosse descritta da un punto 

geometrico: la linea è quindi un insieme di punti. 


Fra tutte le linee che si possono immaginare, la più importante è laretta. Il concetto di retta viene 

dato dalle linee tracciate con la riga e prolungate indefinitamente col pensiero da una parte e dall’altra 

(fig. 1). 

Tra le idee primitive vi è anche quella di superficie, che si forma nella nostra mente considerando, per 

esempio, un velo, di qualsiasi forma, ma pensato privo di spessore. Come ogni linea si può considerare 

generata da un punto mobile nello spazio, così ogni superficie può considerarsi generata da una 

linea che si muove. 

Fra le varie superfici, la più importante è lasuperficie piana, che si chiama semplicemente piano 

(fig. 1). 

L’idea di piano nasce in noi pensando a un foglio esteso indefinitamente in tutte le direzioni. 

Postulati fondamentali 

3 Come già abbiamo visto nel capitolo precedente, i postulati sono proposizioni che esprimono 

proprietà degli enti geometrici che si chiedono di accettare per vere senza dimostrazione (postulare, 

in latino, significa chiedere). 

Tutti i postulati della geometria euclidea esprimono delle proprietà evidenti e intuitive in modo che la 

geometria risulti effettivamente un modello della realtà come noi la percepiamo. 

I primi postulati sono: 

P Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani. 

P Un piano contiene infiniti punti e infinite rette. 

P Una retta contiene infiniti punti. 

Postulati di 

appartenenza 

4 P1 Due punti distinti appartengono a una e a una sola retta o anche 

per due punti distinti passa una e una sola retta. 

Ne segue che, se due rette hanno due punti in comune, esse coincidono. Perciò due rette distinte o non 

hanno alcun punto in comune o ne hanno uno soltanto, punto che in tal caso si dice punto d’intersezione 

o punto d’incontro delle due rette. 

Le rette si indicano con le lettere minuscole come a, b, c, r, s..., oppure si designano col nome di due 

loro punti: la retta individuata dai punti A e B si chiama «retta AB». Un punto di una retta si dice che 

appartiene alla retta (che giace sulla retta o che è interno alla retta). Osservando la figura 2 e ricordando 

che una retta è un insieme di punti, si può scrivere 

A 2 r; B 2 r; C 62 r: ðil punto C e esterno alla retta). 

Se tre o più punti appartengono a una stessa retta si dice che essi sono allineati. 

Questo postulato esprime quella proprietà che, nel linguaggio comune, si enuncia dicendo che «la 

retta è una linea diritta»: è infatti evidente che se noi chiamassimo retta una qualsiasi altra linea passante 

per due punti determinati, allora la retta potrebbe essere... curva (fig. 3). 

C 

A B 

r 

19 

Figura 2 Figura 3 


A 

B 

Nozioni fondamentali di geometria razionale 

2 

TEORIA


2 

P2 Tre punti non allineati appartengono a uno e a un solo piano o anche per tre punti non allineati 

passa uno e un solo piano oppure ancora tre punti non allineati individuano un piano e uno 

solo. 

Questo postulato caratterizza quella proprietà che, nel linguaggio comune, si esprime dicendo che «il 

piano è una superficie piatta»: è infatti evidente che, se noi chiamassimo piano una qualsiasi superficie 

che passa per tre punti non allineati, il piano potrebbe essere... 

ondulato. 

P3 Se due punti di una retta appartengono a un piano, allora 

la retta è contenuta (o giace) nel piano. A 

Dalla figura 4 si può dedurre che A 2 , B 2 , C 2 , A 2 r, 

B 2 r, r . 

Il postulato 

d’ordine 

� 

B 

r 

C 

Figura 4 

5 È noto che una strada rettilinea può essere percorsa secondo due versi 

di percorrenza. Lo stesso accade per una retta, nella quale vi sono due versi o 

sensi di percorrenza: questa proprietà èdel tutto intuitiva. È anche intuitivo 

che rispetto a ciascuno di questi due versi non vi sia né il primo né l’ultimo 

punto, cioè, come si suol dire, la retta è una linea aperta: in altre parole, fissato un verso e un punto A 

della retta esiste sempre un punto che precede A e un punto che segue A. Queste osservazioni vengono 

espresse dal seguente postulato d’ordine. 

P Si può stabilire una relazione d’ordine tra i punti di una retta, ossia si possono ordinare i punti 

di una retta in modo che 

dati due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A; 

se A precede B e B precede C, allora A precede C. 

Tale ordinamento dei punti di una retta, detto anche verso della retta, si può stabilire in due modi 

opposti: se in un verso A precede B, nel verso opposto B precede A (figg. 5, 6, 7). Rispetto a ciascuno 

dei due versi la retta è una linea aperta, cioè non ha né un primo né un ultimo punto. 

A B 

A precede B 

A B 

A segue B 

Figura 5 Figura 6 

A B C 

A precede B; B precede C �� precede C 

Figura 7 

Quando su una retta è fissato un verso si parla di retta orientata. 

Parlando di retta orientata AB si intende che il verso sulla retta è tale che A precede B (come nella 

figura 5); invece, relativamente alla figura 6, si parlerà di retta orientata BA. 

Rette, semirette, segmenti, linee 

Semirette 

e segmenti 

20 

6 D Data una retta orientata r (fig. 8) e un suo punto qualsiasi O, si 

chiama semiretta di origine O l’insieme costituito dal punto O stesso e dai 

punti di r che precedono (oppure che seguono) O nel verso fissato. 

Il punto O 2 r determina su r due semirette ed è l’origine di ciascuna di esse. Si dice anche che le due 

semirette sono tra loro opposte o anche che sono l’una il prolungamento dell’altra. La retta r, che 

contiene le due semirette, è il loro sostegno. I punti di una semiretta diversi dall’origine si dicono interni 

a quella semiretta, mentre quelli che non le appartengono si dicono esterni. 



2 

Un po’ di storia 

42 

Euclide 

Abbiamo già visto che, a differenza degli altri popoli antichi, come gli egiziani o i babilonesi i quali 

usavano la geometria per ottenere un risultato pratico, i greci studiarono la matematica in generale 

svincolandosi dalle conoscenze acquisite empiricamente, costruendola come un sistema di assiomi, 

definizioni e proposizioni dedotte logicamente l’una dall’altra. 

Anche se si ha notizia di qualche trattato precedente, il più antico trattato giunto fino a noi è l’opera 

di Euclide intitolata ‘‘Gli elementi’’. 

Euclide fu un matematico greco della cui biografia si sa molto poco. È noto che è vissuto tra la fine 

del IV e gli inizi del III secolo a.C., ma si ignora dove sia nato. Dopo la morte di Alessandro 

Magno avvenuta nel 323 a.C. i suoi generali si divisero il suo impero: Tolomeo divenne re dell’Egitto 

col nome di Tolomeo I Soter ed essendo un sovrano aperto alla cultura istituì ad Alessandria 

una scuola, nota come il ‘‘Museo’’, una specie di istituto superiore dei nostri giorni, destinata a diventare 

famosa in tutto il mondo come centro di studi. Qui venne chiamato a insegnare la matematica 

Euclide, noto per essere l’autore dei 13 libri di ‘‘ o ’’ (Elementi), che si possono considerare 

il più diffuso testo di matematica di tutti i tempi. Egli, per l’importanza del suo insegnamento 

nella scuola di Alessandria è chiamato ‘‘Euclide di Alessandria’’ anche se qualche volta è stato 

confuso con Euclide di Megara, un filosofo greco discepolo di Socrate, vissuto un secolo prima. 

Le leggende lo descrivono come un vecchio austero, ma nello stesso tempo affabile e gentile. Si 

narra che Tolomeo gli chiedesse una ‘‘scorciatoia’’ per apprendere la geometria e che Euclide gli rispondesse 

che ‘‘non esiste nessuna strada regia che porti alla geometria’’. Un’altra volta, avendogli 

un allievo chiesto quale fosse l’utilità dello studio della geometria, si sarebbe rivolto a uno schiavo 

invitandolo a dare all’allievo una moneta visto che questi ‘‘ha bisogno di trarre guadagno da ciò 

che impara’’. Evidentemente Euclide non dava importanza al lato pratico della geometria. 

Negli ‘‘Elementi’’ è raccolto tutto il sapere geometrico dell’epoca: i 13 libri non sono un’opera originale, 

cioè Euclide non è l’autore dei risultati qui raggiunti, ma ha organizzato in un sistema logico 

e completo tutto quanto era stato scoperto fino ad allora nel campo della matematica. 

I primi due libri trattano dei triangoli e dei parallelogrammi, il terzo e il quarto del cerchio e dei 

poligoni regolari, il quinto della teoria delle proporzioni, il sesto della similitudine piana, il settimo, 

l’ottavo e il nono dell’aritmetica dei numeri interi e delle frazioni, il decimo, in cui figura il noto algoritmo 

euclideo per la ricerca del M.C.D. di due numeri, degli irrazionali quadratici e biquadratici, 

infine gli ultimi tre della geometria dello spazio. 

Il metodo seguito è quello rigorosamente logico deduttivo. Egli parte da nozioni comuni, o assiomi, 

applicabili a tutte le scienze, e da postulati, validi per una scienza particolare, che vengono supposti 

veri perché intuitivamente evidenti, e, con deduzioni logiche, ricava teoremi e risolve problemi. 

Ogni dimostrazione rimanda alle proposizioni precedentemente enunciate o provate e viene chiusa 

dalla formula ‘‘come si doveva fare’’ che è diventata la nostra c.d.d. (‘‘come dovevasi dimostrare’’) 

o c.v.d. (‘‘come volevasi dimostrare’’). 

Data la loro diffusione ci sono arrivate diverse copie manoscritte degli ‘‘Elementi’’, più o meno modificate 

rispetto al testo originale che è andato perduto. Nella maggior parte di esse troviamo le 

prime 10 proposizioni: 

1) un punto è ciò che non ha parti 

2) una linea è lunghezza senza larghezza 

3) le estremità di una linea sono punti 

4) una linea retta è una linea costituita in modo uniforme dai suoi stessi punti 

5) una superficie è ciò che possiede solamente lunghezza e larghezza 


43 

6) le estremità di una superficie sono linee 

7) una superficie piana è una superficie che è costituita in modo uniforme dalle sue stesse linee 

8) un angolo piano è la inclinazione reciproca di due linee in un piano che si incontrano e non giacciono 

su una stessa retta 

9) quando le linee che definiscono l’angolo sono rette, l’angolo è detto rettilineo 

10) quando una linea retta che interseca un’altra linea retta determina due angoli adiacenti che sono 

uguali tra loro, ciascuno degli angoli uguali è retto, e la linea retta che interseca l’altra è chiamata 

perpendicolare alla retta che interseca. 

I primi 5 postulati sono i seguenti: 

1) si può tracciare una linea retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi 

2) si può prolungare una linea retta finita in modo continuo in una linea retta 

3) si può descrivere una circonferenza con centro e distanza qualsiasi 

4) gli angoli retti sono reciprocamente uguali 

5) se una linea retta cade su due linee rette rendendo gli angoli interni da una stessa parte minori di 

due angoli retti, le due linee rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla stessa parte 

dove si trovano i due angoli minori di due angoli retti. 

Le prime 5 nozioni comuni (assiomi) sono: 

1) cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra loro 

2) se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali 

3) se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali 

4) cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali 

5) l’intero è maggiore della parte. 



2 

TEORIA

ESERCIZI Nozioni fondamentali di geometria razionale 

2 

CAPITOLO 2 

Postulati fondamentali - Rette - Angoli 

QUESITI 

44 

NOZIONI FONDAMENTALI 

DI GEOMETRIA RAZIONALE 

a. Che cosa è una figura? 

b. Quando due figure sono complanari? 

c. Che cosa significa affermare che la retta è una linea aperta? 

d. Enunciare il postulato d’ordine. 

e. Definire la semiretta e il segmento. 

f. Quando due segmenti sono consecutivi e quando sono adiacenti? 

g. Enunciare il postulato di partizione del piano. 

h. Che cosa significa affermare che la retta è illimitata? E che la retta è densa? 

i. Enunciare il postulato di Euclide. 

l. Dare la definizione di figura convessa e di figura concava. 

m. Definire l’angolo, l’angolo convesso, l’angolo concavo, l’angolo piatto, l’angolo giro, l’angolo 

nullo. 

n. Definire quando due angoli sono consecutivi e quando adiacenti. 

o. In quale caso l’intersezione tra due semipiani può essere ancora un semipiano? E in quale 

caso l’intersezione dà luogo a un angolo? 

p. Formulare la definizione di poligono, poligono convesso, poligono concavo. 

q. Che cosa è un poligono regolare? Il triangolo equilatero è un poligono regolare? 

r. Definire la diagonale di un poligono. Un triangolo ha diagonali? 

1 Su una retta r si disegnino tre punti distinti A, B, C; quante e quali figure geometriche restano 

così determinate? 

2 Determinare tutti i segmenti orientati formati da tre punti A, B, C non appartenenti a una 

stessa retta e di ciascuno denominare il consecutivo. 

3 Disegnare due segmenti AB e AC consecutivi e non adiacenti. Disegnare poi due segmenti 

MN ed NP adiacenti; che cosa rappresenta il segmento MP ? 

4 Denominare tutti i segmenti orientati determinati da quattro punti A, B, C, D appartenenti a 

una retta. 


5 Segnare su un foglio quattro punti a tre a tre non allineati. Quanti segmenti si possono 

tracciare congiungendo quei punti a due a due? 

6 Date due semirette a e b di origine O, individuare l’angolo convesso così determinato. Come 

devono essere le due semirette per formare un angolo piatto? 

7 Disegnare due angoli consecutivi e determinare la loro somma; disegnare poi due angoli 

adiacenti: in questo caso qual è la loro somma? 

8 Date le semirette OA, OB, OC aventi l’origine O in comune, denominare tutti gli angoli che 

hanno per lati due di queste semirette. 

9 Sono date in un piano tre rette non concorrenti in uno stesso punto e, a due a due, incidenti. 

In quante regioni il piano è diviso dalle tre rette? 

10 Giustificare che, se due segmenti hanno due punti in comune, giacciono sulla stessa retta. 

11 Giustificare la seguente proposizione: due rette distinte incidenti sono complanari. 

(Su ciascuna retta individuare un punto diverso dal punto di intersezione... si hanno così tre 

punti...). 

12 Giustificare il seguente enunciato: una retta e un punto P esterno a essa individuano uno e un 

solo piano. 

13 In un piano sono date due rette parallele r e s. Determinare, in tutti i casi possibili, 

l’intersezione dei semipiani generati rispettivamente da r edas. 

14 Determinare in quante regioni un piano è diviso da quattro rette a due a due incidenti e a tre a 

tre non concorrenti in uno stesso punto. 

15 Disegnare un pentagono ABCDE; denominarne gli angoli interni ed esterni; disegnare le 

diagonali: quante sono? 

16 Quante diagonali ha un esagono? E un poligono di nove lati? E in generale uno di n lati? 

VERO O FALSO 

45 

17 Un postulato esprime una proprietà evidente che può essere facilmente 

dimostrata 

18 Non è possibile dare la definizione di retta 

19 Si può definire il segmento come un sottoinsieme non illimitato della retta 

20 Due segmenti adiacenti sono anche consecutivi 

21 Se da una poligonale chiusa si tolgono due lati si ottiene una poligonale 

aperta 

22 Un semipiano è individuato dalla sua origine 


V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 


2 

ESERCIZI


2 

23 L’unione di due figure convesse può essere una figura concava 

24 La semiretta è illimitata in un solo verso 

25 Due angoli con un lato in comune sono consecutivi 

26 Due angoli consecutivi sono anche adiacenti 

27 L’angolo nullo è convesso 

28 L’angolo piatto è concavo perché i prolungamenti dei suoi lati gli 

appartengono 

29 L’intersezione di due semipiani opposti è una retta 

30 L’angolo può essere definito come l’intersezione di due semipiani 

(contenuti nello stesso piano) con le origini incidenti 

31 L’intersezione di due angoli consecutivi è una semiretta 

Congruenza. Somma e differenza di segmenti e di angoli 

QUESITI 

46 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

a. Definire due figure congruenti. 

b. Enunciare le proprietà fondamentali della congruenza tra figure. 

c. Enunciare il postulato del trasporto di segmenti. 

d. Che cosa s’intende per multiplo di un segmento? 

e. Enunciare il postulato del trasporto di un angolo. 

f. Che cosa s’intende per sottomultiplo di un angolo? 

g. Enunciare il postulato di divisibilità dei segmenti e degli angoli. 

h. Dare la definizione di punto medio di un segmento e di bisettrice di un angolo. 

i. Quando due punti A e B sono simmetrici rispetto a un punto O? 

l. Quando due punti A e B sono simmetrici rispetto a una retta r? 

m. Che cos’è l’asse di un segmento? 

n. Che cosa s’intende per distanza di un punto da una retta? Tale distanza può essere il segmento 

nullo? 

o. In quale caso la proiezione di un segmento (non nullo) sopra una retta è il segmento nullo? 

p. Dare le definizioni di angoli supplementari, angoli esplementari, angolo retto, angoli complementari, 

angolo acuto, angolo ottuso, angoli opposti al vertice. 

q. Dimostrare che gli angoli opposti al vertice sono congruenti. 

r. Definire la lunghezza di un segmento. 

s. Definire l’ampiezza di un angolo. 

t. Definire l’area di una superficie. 


VERO O FALSO 

47 

1 Si può sempre effettuare la somma di due segmenti 

2 Si può sempre effettuare la differenza di due segmenti 

3 La somma di due angoli piatti è un angolo giro 

4 Se AO ffi OB allora A e B sono simmetrici rispetto a O 

5 Due angoli supplementari hanno sempre un lato in comune 

6 La somma di due angoli acuti è un angolo acuto 

7 Fare la somma di due angoli è equivalente a farne la loro unione 

8 Due rette sono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli 

di cui uno è retto 

9 Se due segmenti sono congruenti, allora hanno lo stesso punto medio 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

V F 

10 Sia AB un segmento e O un suo punto tale che AO sia congruente a OB. Si consideri tra O e B 

un punto C; confrontare i segmenti AB, AC, CB scrivendo le disuguaglianze in modo che 

– una prima volta, il primo membro sia maggiore del secondo; 

– una seconda volta, il primo membro sia minore del secondo. 

11 Disegnare quattro segmenti, sommare i due maggiori e togliere dal segmento così ottenuto la 

somma degli altri due. Fare poi la differenza tra il maggiore e il minore e aggiungere la 

differenza degli altri due. Verificare che i risultati sono eguali. 

12 Su una semiretta, a partire dalla sua origine O, riportare successivamente e nel medesimo 

senso i segmenti OA; AB ffi 3 OA; BC ffi OA; CD ffi 2 OA; poi, in senso contrario, il 

segmento DE multiplo secondo 5 del sottomultiplo di OA secondo il numero 4. Rispetto a 

quale numero i segmenti OB, OD, CE, AC, BD, OE sono rispettivamente multipli di OA? 

13 Siano dati due segmenti a e b. 

a) Disegnare un segmento congruente alla loro somma, poi un segmento congruente alla loro 

differenza. 

b) Aggiungere la loro somma alla loro differenza e verificare che si ottiene il doppio del segmento 

maggiore. 

c) Sottrarre dalla loro somma la loro differenza e verificare che si ottiene il doppio del segmento 

minore. 

14 Dimostrare che la distanza del punto medio di un segmento da un qualunque punto preso 

sopra uno dei prolungamenti del segmento è congruente alla semisomma delle distanze di 

questo punto dagli estremi del segmento. 



2 

ESERCIZI


2 

48 

15 Dimostrare che la distanza del punto medio di un segmento da un qualunque punto del 

segmento è congruente alla semidifferenza delle distanze di questo punto dagli estremi del 

segmento. 

16 Su una semiretta, a partire dall’origine A, si prendano due segmenti AB e AC con AB > AC; 

siano M ed N i loro punti medi. Dimostrare che 

MN ffi 1 

ðAB ACÞ: 

2 

17 Siano A, B, C, D quattro punti in linea retta seguentisi nell’ordine alfabetico e tali che sia 

AB ffi CD. Dimostrare che AC ffi BD e che i due segmenti AD e BC hanno lo stesso punto 

medio. 

18 Siano A, B, C, D quattro punti in linea retta seguentisi nell’ordine alfabetico e siano M e N i 

punti medi di AB e CD. Dimostrare che: 

AC þ BD 

MN ffi : 

2 

19 Disegnare due angoli consecutivi supplementari; come risultano i due angoli? 

20 Disegnare due angoli consecutivi complementari; come risultano le due rette a cui appartiene 

ciascuno dei lati, non in comune, dei due angoli? 

21 Date le semirette OA, OB, OC aventi l’origine in comune, denominare tutti gli angoli (minori 

di un angolo giro) che hanno per lati due di queste semirette. 

22 Siano a, b, c tre semirette aventi la stessa origine O e disposte in modo che gli angoli b ab e b bc 

siano acuti ð b ab 6¼ b bc bcÞ. Siano a 0 , b 0 , c 0 le tre semirette opposte rispettivamente ad a, b, c; 

denominare tutti gli angoli che così si sono determinati e dire quali sono a due a due 

congruenti e perché. 

23 Verificare che, se due angoli sono supplementari, le loro metà sono complementari. 

24 Da un punto di un piano si facciano uscire quattro semirette in modo che il terzo angolo sia 

congruente al primo e il quarto al secondo. Verificare e dimostrare che la terza semiretta è il 

prolungamento della prima. 

25 Dimostrare che se due angoli consecutivi sono supplementari, essi sono adiacenti. 

26 Dimostrare che se due angoli acuti sono diseguali, i loro complementari sono diseguali in 

senso contrario. 

27 Dato l’angolo d AOB ottuso, disegnare l’angolo 2 d AOB AOB; perché esso è concavo? 

28 Da un punto O di un segmento AB e da parte opposta allo stesso, escono due semirette OC e 

OD, che formano gli angoli non consecutivi d AOD e d BOC congruenti. Dimostrare che le 

semirette OC e OD appartengono a una stessa retta. 

29 Dimostrare che l’angolo formato dalla bisettrice di un angolo con una semiretta qualunque 

condotta per il vertice è congruente alla semisomma o alla semidifferenza degli angoli formati 

da questa semiretta con i lati dell’angolo, secondo che essa è esterna o interna all’angolo.

Fronte 1..1 - Scuolabook

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