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Fronte 1..1 - Scuolabook

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N. Dodero - P. Baroncini - R. Manfredi<br />

LINEAMENTI DI<br />

GEOMETRIA RAZIONALE<br />

IL PIANO E LO SPAZIO EUCLIDEO<br />

PER LA SCUOLA SECONDARIA<br />

DI SECONDO GRADO<br />

Ghisetti e Corvi Editori<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara


internet: www.ghisettiecorvi.it<br />

e-mail: sedes.spa@sedes-spa.it<br />

Proprietà letteraria riservata<br />

© Copyright 2002 by SEDES spa - Milano<br />

Ghisetti e Corvi Editori ®<br />

1ª edizione: 2002<br />

Printed in Italy<br />

Ristampa riveduta e corretta<br />

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da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito<br />

web www.aidro.org<br />

Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte operate dagli autori e<br />

dalla Casa Editrice possono essere inviate all’indirizzo di posta elettronica della redazione.<br />

Stampa: Litostampa Istituto Grafico - Bergamo<br />

Edizione: V VI VII VIII IX X<br />

Anno: 2007 2008 2009 2010 2011 2012<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara


Presentazione a Studenti e Insegnanti<br />

I vari argomenti di geometria euclidea, nel piano<br />

e nello spazio, sono riportati in capitoli. Ciascun<br />

capitolo è suddiviso in sezioni che hanno un titolo<br />

tipograficamente contraddistinto da un particolare<br />

carattere. Le sezioni di un capitolo sono anche<br />

riassunte in un sommario posto nella prima<br />

pagina di ciascun capitolo. Ogni sezione è poi<br />

suddivisa, di solito, in sottosezioni che sono caratterizzate<br />

da un numero di paragrafo e da un titolo<br />

secondario.<br />

La teoria è esposta nella forma più semplice possibile,<br />

ma sempre in modo organico, esauriente e<br />

con quel rigore logico che è caratteristico della<br />

materia.<br />

La teoria, come noto, necessita di un’adeguata<br />

esemplificazione per poter essere consolidata. Lo<br />

studente viene pertanto guidato, nella comprensione<br />

della teoria, da esempi esplicativi nei quali<br />

si chiariscono i concetti esposti oppure si guida lo<br />

studente alla stesura di dimostrazioni e alla risoluzione<br />

di problemi.<br />

Assai ampia è la raccolta di esercizi opportunamente<br />

graduati e diversificati: dai più semplici si<br />

passa ad altri più impegnativi adatti a stimolare<br />

l’intelligenza dello studente.<br />

Oltre ai tradizionali e numerosissimi esercizi (teoremi<br />

da dimostrare e problemi da risolvere) lo studente<br />

incontrerà talvolta gruppi di esercizi contraddistinti<br />

da un simbolo particolare:<br />

Quesiti . Si tratta per lo più di domande volte<br />

ad accertare la comprensione dei concetti fondamentali<br />

studiati nella parte di teoria. Lo studente<br />

potrà rispondere a tali quesiti oralmente o per<br />

iscritto, secondo le indicazioni del proprio docente.<br />

Lo studente può considerare questi quesiti come<br />

domande che l’insegnante potrebbe rivolgergli<br />

in una eventuale interrogazione.<br />

Esercizi guidati . Si propongono allo studente<br />

dei teoremi da dimostrare o dei problemi da risolvere<br />

dandone lo schema risolutivo. Lo studente,<br />

così guidato, dovrà completare l’esercizio (volendo,<br />

direttamente sul testo) sostituendo al posto dei<br />

puntini di sospensione le opportune frasi, formule,<br />

simboli, ... per giungere alla completa soluzione<br />

del quesito.<br />

Quesiti a risposta multipla . In questo tipo<br />

di test viene proposto un quesito o un esercizio<br />

con tre o più possibili risposte precedute da un<br />

quadratino: lo studente, dopo aver risolto l’esercizio,<br />

dovrà barrare con una crocetta la risposta ritenuta<br />

esatta.<br />

Vero o falso . In quest’ultimo tipo di test viene<br />

proposta un’affermazione, che esprime, per esempio,<br />

una proprietà che può essere o vera o falsa<br />

(non sono previste altre possibilità). Se lo studente,<br />

dopo un breve ragionamento ritiene che l’affermazione<br />

fatta è vera, barrerà la casella V e se<br />

invece la ritiene falsa barrerà al casella F .<br />

È ovviamente auspicabile che la risposta venga<br />

motivata.<br />

Auguriamo a studenti e docenti buon lavoro!<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara<br />

3<br />

Gli Autori


Simboli<br />

Simboli<br />

usati<br />

nel testo<br />

R insieme dei numeri reali<br />

4<br />

R þ insieme dei numeri reali positivi<br />

R þ 0<br />

insieme dei numeri reali positivi e dello zero<br />

R insieme dei numeri reali negativi<br />

[ simbolo di unione tra insiemi<br />

\ simbolo di intersezione tra insiemi<br />

simbolo di inclusione tra insiemi in senso stretto<br />

simbolo di inclusione tra insiemi in senso largo<br />

[ insieme vuoto<br />

_ simbolo di disgiunzione tra proposizioni o predicati ( leggi «vel», «o», «oppure»)<br />

^ simbolo di congiunzione tra proposizioni o predicati ( leggi «et», «e contemporaneamente»)<br />

! simbolo di implicazione materiale tra proposizioni o predicati (usato anche per collegare due<br />

passaggi algebrici )<br />

! simbolo di coimplicazione materiale tra proposizioni o predicati<br />

simbolo di composizione tra funzioni<br />

== simbolo di parallelismo tra rette<br />

? simbolo di perpendicolarità tra rette<br />

ffi simbolo di congruenza tra figure<br />

simbolo di coincidenza tra punti o tra figure<br />

¼ simbolo di uguaglianza<br />

¼ :<br />

simbolo di equivalenza<br />

¼) simbolo di implicazione logica<br />

() simbolo di coimplicazione logica<br />

’ simbolo di uguaglianza numerica approssimata<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara


Indice<br />

CAPITOLO 1 Introduzione alla geometria razionale 9<br />

Notizie storiche introduttive, 9. Introduzione alla geometria euclidea, 10.<br />

Applicazioni della logica alla geometria, 11. Principi fondamentali, 11. Teoremi,<br />

12. Dimostrazione diretta, 12. Dimostrazione per assurdo, 13. Teoremi derivati,<br />

14. Teorema reciproco o inverso, 14. Teorema contronominale, 15. Teorema contrario,<br />

15. Seconda legge delle inverse, 15. Esercizi, 17.<br />

CAPITOLO 2 Nozioni fondamentali di geometria razionale 18<br />

Concetti primitivi, 18. Postulati fondamentali, 19. Postulati di appartenenza,<br />

19. Il postulato d’ordine, 20. Rette, semirette, segmenti, linee, 20. Semirette e<br />

segmenti, 20. Il postulato di partizione del piano, 22. Osservazione sulla continuità della<br />

retta, 23. Posizioni reciproche tra rette, 23. Figure convesse e concave, 24. Linee<br />

curve, 24. Angoli, 25. Poligoni, 27. Congruenza tra figure piane, 28. Proprietà<br />

delle congruenze, 29. Confronto di segmenti e angoli, 29. Somma e differenza<br />

di segmenti e di angoli, 31. Somma e differenza di segmenti, 31. Multipli<br />

e sottomultipli di un segmento, 32. Punto medio di un segmento, 33. Somma e differenza<br />

di angoli. Bisettrice di un angolo, 33. Angoli supplementari ed esplementari, 34.<br />

Angoli retti, acuti, ottusi. Rette perpendicolari, 35. Angoli opposti al vertice, 37. Misura<br />

dei segmenti, 37. Relazioni in un insieme, 38. Lunghezza di segmento, 39. Misura<br />

degli angoli, 39. Ampiezza di un angolo, 40. Misura delle superfici, 41.<br />

Area di una figura piana, 41. Un po’ di storia, 42. Esercizi, 44.<br />

CAPITOLO 3 I triangoli 51<br />

Definizioni, 51. Criteri di congruenza dei triangoli. Triangoli isosceli, 52.<br />

Primo criterio di congruenza, 53. Osservazione sulla dimostrazione di un teorema, 54.<br />

Secondo criterio di congruenza, 55. Triangoli isosceli, 56. Terzo criterio di congruenza,<br />

57. Proprietà del triangolo isoscele, 59. Classificazione dei triangoli rispetto<br />

agli angoli, 60. Il primo teorema dell’angolo esterno, 60. Conseguenze, 61. Disuguaglianze<br />

tra elementi di un triangolo, 62. Osservazione, 62. Costruzioni<br />

geometriche fondamentali, 64. Bisettrice di un angolo, 64. Trasporto di un angolo<br />

dato, 65. Punto medio di un segmento, 66. Esistenza e unicità della retta perpendicolare<br />

da un punto a una retta data, 66. Un po’ di storia, 68. Necessità della dimostrazione,<br />

68. Esercizi, 70.<br />

CAPITOLO 4 Rette parallele. Applicazioni ai triangoli 85<br />

Teoremi fondamentali sulle rette parallele, 85. Rette tagliate da una trasversale,<br />

85. Costruzione della parallela a una retta, 87. Il postulato di Euclide, 87. Criteri di<br />

parallelismo, 87. Proprietà fondamentali delle rette parallele, 88. Osservazione, 89.<br />

Osservazione, 90. Semirette parallele, 91. Distanza di due rette parallele, 92. Applicazioni<br />

ai triangoli, 93. Secondo teorema dell’angolo esterno, 93. Somma degli angoli<br />

interni di un triangolo, 93. Proprietà del triangolo isoscele, 94. Somma degli angoli<br />

interni di un poligono, 95. Congruenza dei triangoli rettangoli, 95. Criterio particolare<br />

di congruenza dei triangoli rettangoli, 96. Un po’ di storia, 96. Esercizi,<br />

100.<br />

CAPITOLO 5 Luoghi geometrici. Parallelogrammi 111<br />

Luoghi geometrici, 111. Asse di un segmento, 111. Bisettrice di un angolo, 112.<br />

Osservazione, 113. Dov’è l’errore, 113. Parallelogrammi e loro proprietà,<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara<br />

5<br />

Indice


Indice<br />

6<br />

114. Le proprietà dei parallelogrammi, 114. Criteri per stabilire quando un quadrilatero<br />

è un parallelogrammo, 116. Parallelogrammi particolari, 118. Rettangoli,<br />

118. Rombi, 119. Quadrati, 120. Un riscontro con la realtà, 120. Trapezi,<br />

121. Altezze dei parallelogrammi e dei trapezi, 122. Uno schema riassuntivo, 122.<br />

Esercizi applicativi, 122. Fascio di rette parallele, 124. Un po’ di storia, 126.<br />

Dov’è l’errore, 127. Esercizi, 129.<br />

CAPITOLO 6 Circonferenza. Poligoni inscritti e circoscritti 142<br />

Definizioni e proprietà della circonferenza e del cerchio, 142. Circonferenza<br />

e cerchio, 142. Archi e angoli al centro, 143. Confronto, somma, differenza di archi,<br />

144. Proprietà delle circonferenze, 145. Posizioni reciproche di una retta e di<br />

una circonferenza, 148. Posizioni reciproche di due circonferenze complanari,<br />

150. Distanza di un punto da una circonferenza, 152. Angoli alla circonferenza,<br />

152. Tangenti da un punto a una circonferenza, 156. Punti notevoli di<br />

un triangolo, 157. Il cerchio di Eulero o dei nove punti, 159. Poligoni inscritti<br />

e circoscritti, 159. Poligoni regolari, 162. Un po’ di storia, 164. Lunghezza<br />

della circonferenza, 165. Un riscontro con la realtà, 166. Esercizi,<br />

168.<br />

CAPITOLO 7 Trasformazioni isometriche nel piano euclideo 199<br />

Trasformazioni geometriche, 199. Isometrie, 200. Proprietà delle isometrie,<br />

200. Identità, 202. Simmetria centrale, 202. Centro di simmetria di una figura,<br />

203. Simmetria assiale, 204. Asse di simmetria di una figura, 206. Traslazione,<br />

207. Vettori, 207. Rotazione, 208. Composizione di isometrie, 209. Assi e<br />

centri di simmetria di particolari poligoni, 211. Le isometrie nella realtà,<br />

214. Esercizi, 216.<br />

CAPITOLO 8 Equivalenza delle superfici piane 223<br />

Definizioni e postulati, 223. Poligoni equivalenti, 226. Trasformazione di<br />

poligoni, 228. Teoremi di Euclide e di Pitagora, 230. Un po’ di storia,<br />

231. Misura delle aree di particolari poligoni, 232. Area del cerchio, 234.<br />

Un po’ di storia, 235. Esercizi, 237.<br />

CAPITOLO 9 Grandezze geometriche. Teorema di Talete 252<br />

Classi di grandezze omogenee, 252. Misura delle grandezze, 254. Postulato<br />

di continuità della retta, 257. Segmenti commensurabili e incommensurabili, 258.<br />

Un po’ di storia, 258. Incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato, 259.<br />

Rapporto di grandezze omogenee, 260. Proporzioni tra grandezze, 262. Proprietà<br />

delle proporzioni tra grandezze, 263. Grandezze proporzionali, 265. Criterio<br />

generale di proporzionalità, 267. Esempi di grandezze direttamente proporzionali,<br />

268. Area del rettangolo, 270. Rettangoli equivalenti e segmenti in proporzione,<br />

270. Grandezze inversamente proporzionali, 271. Teorema di Talete e sue conseguenze,<br />

272. Parallela a un lato di un triangolo, 273. Costruzioni con riga e compasso<br />

in applicazione del teorema di Talete, 274. I teoremi delle bisettrici, 276. Un<br />

po’ di storia, 276. Esercizi, 278.<br />

CAPITOLO 10 Triangoli simili e applicazioni 288<br />

Triangoli simili, 288. Criteri di similitudine dei triangoli, 289. Primo criterio,<br />

289. Secondo criterio, 290. Terzo criterio, 291. Proprietà dei triangoli simili,<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara


292. Basi e altezze in triangoli simili, 292. Perimetri di triangoli simili, 292. Aree di<br />

triangoli simili, 293. Esercizi di applicazione sui triangoli simili, 294. I teoremi di Euclide,<br />

295. Esercizi di applicazione dei teoremi di Euclide, 297. Corde, secanti e<br />

tangenti di una circonferenza, 299. Poligoni simili, 300. Perimetri di poligoni<br />

simili, 302. Aree di poligoni simili, 302. Perimetri e aree di poligoni regolari, 302.<br />

Concetto di similitudine in generale, 303. Riduzione e ingrandimenti di disegni,<br />

303. Sezione aurea di un segmento, 304. Rapporto aureo, 305. Proprietà della<br />

sezione aurea di un segmento, 305. Costruzione della sezione aurea di un segmento,<br />

305. Decagono, pentagono, pentadecagono regolari, 306. Rettangolo aureo, 308. Il<br />

rapporto aureo e la successione di Fibonacci, 308. Un po’ di storia, 308. Esercizi,<br />

310.<br />

CAPITOLO 11 Applicazioni dell’algebra alla geometria 331<br />

Problemi geometrici, 331. Risoluzione algebrica dei problemi geometrici, 331. Le<br />

fasi della risoluzione algebrica di un problema geometrico, 332. Osservazione sui poligoni<br />

inscritti, 333. Esempi di risoluzione algebrica di problemi geometrici, 335. Complementi<br />

di geometria piana, 340. Triangolo equilatero: relazione tra lato e altezze,<br />

340. Triangolo rettangolo con gli angoli di 30 e60, 340. Triangolo rettangolo<br />

con un angolo di 45 , 343. Trapezi circoscritti a una circonferenza, 344. Trapezi circoscritti<br />

a una semicirconferenza, 345. Area di un triangolo: formula di Erone, 346. Raggio<br />

della circonferenza circoscritta a un triangolo, 347. Raggio della circonferenza circoscritta<br />

a un triangolo isoscele, 348. Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo,<br />

349. Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo isoscele, 349. Raggio della<br />

circoferenza inscritta in un triangolo rettangolo, 350. Lati di poligoni regolari, 350.<br />

Costruzione geometrica di espressioni algebriche, 352. Un po’ di storia,<br />

353. Esercizi, 357.<br />

CAPITOLO 12 Rettificazione della circonferenza e quadratura del<br />

cerchio 392<br />

Classi contigue di grandezze omogenee, 392. Le linee, 392. Estensione lineare<br />

della circonferenza e sua misura, 393. Estensione lineare degli archi e<br />

loro misura, 395. Costruzioni approssimate della circonferenza rettificata,<br />

396. Estensione superficiale del cerchio e sua misura, 397. Superficie di un<br />

settore e sua misura, 398. Soluzioni approssimate della quadratura del cerchio,<br />

399. Un po’ di storia, 400. Esercizi, 404.<br />

CAPITOLO 13 Rette e piani nello spazio 412<br />

Preliminari, 412. Rette e piani nello spazio, 413. Posizione di una retta rispetto<br />

a un piano, 413. Posizione di due rette nello spazio, 413. Posizione di due piani nello<br />

spazio, 414. Retta e piano perpendicolari, 415. Rette parallele nello spazio, 418.<br />

Proiezioni – Angolo di una retta con un piano, 419. Retta e piano paralleli, 421. Piani<br />

paralleli, 423. Il teorema di Talete nello spazio, 425. Diedri, 426. Definizioni fondamentali,<br />

426. Misura di un diedro, 430. Piani perpendicolari, 430. Rette sghembe,<br />

432. Esercizi, 435.<br />

CAPITOLO 14 Angoloidi. Trasformazioni nello spazio 446<br />

Angoloidi, 446. Definizioni, 446. Proprietà degli angoloidi, 447. Congruenza degli<br />

angoloidi, 447. Criteri di congruenza, 449. Trasformazioni geometriche nello<br />

spazio, 449. Isometrie nello spazio, 449. Simmetria rispetto a un punto, 450.<br />

Simmetria rispetto a una retta, 451. Simmetria rispetto a un piano, 452.<br />

Rotazione nello spazio intorno a un asse, 453. Traslazione nello spazio,<br />

453. Congruenza diretta e inversa, 454. Trasformazioni non isometriche nello<br />

spazio, 456. Omotetia, 456. Similitudine nello spazio, 457. Esercizi, 458.<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara<br />

7<br />

Indice


Indice<br />

8<br />

CAPITOLO 15 Solidi notevoli 463<br />

Poliedri, 463. Prismi, 464. Parallelepipedo, 466. Cubo, 468. Piramide, 468. Tronco<br />

di piramide, 471. Poliedri regolari, 471. Teorema di Eulero e sue conseguenze,<br />

474. Simmetrie nel tetraedro e nell’ottaedro regolare, 474. I poliedri e i cristalli,<br />

475. Un po’ di storia, 476. I corpi rotondi, 477. Superfici e solidi di rotazione,<br />

477. Cilindro, 478. Cono, 480. Tronco di cono, 482. Superficie conica a due falde,<br />

482. Sezioni coniche, 483. Sfera, 484. Posizioni reciproche di rette, piani e superfici<br />

sferiche, 485. Posizioni reciproche di due sfere, 486. Figure inscritte e circoscritte a<br />

una superficie sferica e a una sfera, 487. Parti della sfera e della superficie sferica,<br />

487. Esercizi, 490.<br />

CAPITOLO 16 Misure dell’area della superficie e del volume dei<br />

solidi 506<br />

Estensione della superficie di un solido, 506. Superficie di un prisma e misura<br />

della sua area, 506. Superficie di una piramide e di un tronco di piramide e misura della<br />

loro area, 507. Superficie di un cilindro e misura della sua area, 508. Superficie di<br />

un cono e di un tronco di cono e misura della loro area, 509. Superficie di una sfera e<br />

misura della sua area, 510. Baricentri e il primo teorema di Guldino, 514.<br />

Equivalenza dei solidi, 516. Preliminari, 516. Principio di Cavalieri, 517. Equivalenza<br />

dei poliedri, 518. Misura dei volumi dei poliedri, 519. Tronco di prisma triangolare<br />

e misura del suo volume, 521. Equivalenza dei solidi rotondi e misura del loro volume,<br />

522. Un po’ di storia, 527. Il secondo teorema di Guldino, 529. Esercizi<br />

svolti tratti da temi assegnati agli esami di stato del liceo scientifico,<br />

531. Esercizi, 548.<br />

CAPITOLO 17 Geometrie non euclidee 591<br />

Gli ‘‘Elementi’’ di Euclide e il postulato delle parallele, 591. Termini, assiomi<br />

e postulati, 592. Il ruolo del postulato delle parallele, 593. I tentativi di dimostrare<br />

il postulato delle parallele e la nascita delle geometrie non-euclidee, 594.<br />

Saccheri e Lambert, 595. Geometrie non euclidee, 597. Lobac˘evskij e la geometria<br />

iperbolica, 597. Riemann e la geometria ellittica, 598. Geometria e spazio fisico,<br />

600.<br />

Lineamenti di geometria razionale - Ghisetti e Corvi © 2009 De Agostini Scuola S.p.A. - Novara


CAPITOLO 1<br />

Notizie storiche introduttive<br />

Introduzione alla geometria<br />

euclidea<br />

Applicazioni della logica<br />

alla geometria<br />

Notizie storiche introduttive<br />

INTRODUZIONE ALLA<br />

GEOMETRIA RAZIONALE<br />

Per la comprensione del successivo studio<br />

della geometria, può essere sufficiente soffermarsi<br />

solo sulle due prime sezioni del capitolo<br />

(notizie storiche e introduzione alla<br />

geometria euclidea) e lasciare la sezione relativa<br />

all’applicazione della logica per uno<br />

studio più approfondito sia della logica sia<br />

della geometria. Può essere utile però ricorrere<br />

a questa terza sezione ogni qualvolta si<br />

facesse, nel testo, qualche riferimento esplicito<br />

a concetti espressi in quei paragrafi prima<br />

trascurati. Non si richiedono, per la<br />

comprensione di questo capitolo, precedenti<br />

nozioni di geometria.<br />

1 La parola geometria deriva dal greco e significa misura della terra. Le origini della geometria<br />

sono antichissime e, per lo più, legate a necessità pratiche. Le tavolette e i papiri egiziani, risalenti al<br />

2000 a.C., mettono in evidenza che gli antichi Egizi avevano conoscenze geometriche, anche se queste<br />

sembrano aver avuto il solo scopo di servire come pratico strumento per misurare e per costruire.<br />

Nell’antica Grecia si pensava che la geometria fosse nata in Egitto: per esempio, le periodiche inondazioni<br />

del Nilo costringevano gli Egiziani a ridisegnare frequentemente i confini delle proprie terre e<br />

quindi a misurarle. Anche i Babilonesi (*), che possedevano notevoli conoscenze matematiche, utilizzavano<br />

la geometria a fini pratici, per esempio, per progettare opere di bonifica delle loro terre, per<br />

risolvere problemi legati alla distribuzione, tra gli eredi, di proprietà terriere, ecc. Ma la geometria<br />

come vera scienza nasce quando l’interesse per la matematica non è più soltanto utilitaristico, ma risponde<br />

al desiderio di pura conoscenza. Tale desiderio fu una caratteristica del pensiero greco, già<br />

nel primo millennio avanti Cristo. Durante il VI secolo a.C. furono introdotte in Grecia le conoscenze<br />

geometriche degli Egiziani e dei Babilonesi, specialmente per opera di Talete di Mileto e di Pitagora<br />

di Samo. Essi, infatti, ebbero la possibilità di recarsi presso quei popoli che erano allora i centri del<br />

sapere. Ciò contribuì allo sviluppo dello studio della geometria inteso come ricerca di leggi generali e<br />

di giustificazioni di tutto ciò che veniva affermato. Per circa tre secoli lo studio della geometria progredì,<br />

in Grecia, notevolmente, per opera di uomini di grande intelligenza tra i quali possiamo ricordare,<br />

oltre ai già citati Talete e Pitagora, Euclide (III secolo a.C.).<br />

L’opera di quest’ultimo, gli ‘‘Elementi’’, ebbe, per lo sviluppo della geometria, una notevole importanza<br />

e costituì il punto di partenza per l’insegnamento elementare della geometria nel corso di vari<br />

secoli. Infatti, ancora oggi, la geometria di cui tratteremo nei prossimi capitoli viene chiamata geometria<br />

euclidea.<br />

(*) I Babilonesi abitavano la Mesopotamia meridionale (attuale Iraq).<br />

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9<br />

Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

TEORIA


TEORIA Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

10<br />

In questo affresco egizio sono rappresentati alcuni schiavi intenti a opere di muratura.<br />

Introduzione alla geometria euclidea<br />

2 Come già abbiamo detto, nel VI secolo a.C., ebbe origine in Grecia lo studio di una geometria<br />

astratta non più legata alle necessità delle diverse applicazioni pratiche. I Greci incominciarono infatti<br />

a considerare le figure geometriche idealmente staccate dalle cose che esse rappresentavano e dalle<br />

operazioni necessarie per la loro misura. S’introdussero così, per astrazione, punti privi di dimensione,<br />

linee con una dimensione (e quindi prive di spessore), superfici con due dimensioni (e quindi<br />

prive di spessore).<br />

Nello studio della geometria si parte da concetti edaenti primitivi, cioè che non si possono definire<br />

con idee più elementari, ma che sono espressi da parole il cui significato è noto a tutti.<br />

Tra i concetti primitivi della geometria vi sono, ad esempio, quello di movimento rigido (cioè quello<br />

per cui una figura può muoversi nel piano o nello spazio senza deformarsi) e quello di appartenenza.<br />

Sono enti primitivi gli enti fondamentali della geometria, quali il punto, laretta, ilpiano elospazio,<br />

che è l’insieme di tutti i punti.<br />

Oltre a questi quattro vocaboli, nello studio della geometria, se ne incontreranno altri, il cui significato,<br />

però, dovrà essere spiegato mediante altri vocaboli di significato noto. S’incontreranno cioè vocaboli<br />

che devono essere definiti; s’introduranno quindi delle definizioni, mediante le quali tutti i termini<br />

che vengono usati acquistano un ben preciso significato.<br />

Le definizioni serviranno anche per esprimere alcuni concetti (per esempio il concetto di perpendicolarità<br />

e di parallelismo tra rette) e quindi potremo dire che una definizione è una proposizione nella<br />

quale si caratterizza in modo inequivocabile un concetto o un ente, ricorrendo, di solito, ad altri concetti<br />

o enti precedentemente definiti.<br />

Per lo studio della geometria, oltre ai concetti primitivi e alle definizioni, si fa anche uso di postulati<br />

(o assiomi).<br />

Questi sono delle affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione<br />

e dalla nostra esperienza. I postulati, quindi, esprimono delle verità da tutti riconosciute: infatti,<br />

nella geometria che studieremo, i postulati sono tali da rendere la geometria stessa un modello della<br />

realtà che ci circonda. Un primo esempio di postulato è quello che caratterizza la retta e che ne esprime<br />

una proprietà fondamentale: per due punti passa una e una sola retta.<br />

Ma l’intuizione non basta per scoprire nuove verità e interviene allora il ragionamento, cioè l’elaborazione,<br />

fatta dal pensiero, dei dati forniti dall’intuizione e dall’esperienza.<br />

Oltre alle proprietà ‘‘evidenti’’, lo spazio risulta avere altre proprietà che però, essendo meno evidenti<br />

delle precedenti, per essere accettate devono essere dimostrate. Le proposizioni che enunciano tali<br />

proprietà si dicono teoremi e le considerazioni logiche che si debbono fare affinché, partendo dai<br />

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concetti primitivi e dai postulati introdotti, si arrivi al teorema proposto, costituiscono la dimostrazione<br />

del teorema. Si dicono poi corollari quelle proposizioni che sono conseguenze immediate di un<br />

teorema.<br />

Il ragionamento, oltre a dimostrare ogni singolo teorema, serve anche a stabilire se vi sia un legame<br />

logico fra una qualunque proposizione e quelle trovate o ammesse precedentemente e quali di esse<br />

siano strettamente necessarie per costruire la geometria, che, per questo, è detta anche geometria razionale.<br />

Lo studente non deve quindi meravigliarsi se, qualche volta, vengono dimostrate certe proposizioni<br />

che pure hanno carattere intuitivo.<br />

Nel far ciò si raggiunge anche lo scopo di controllare l’intuizione stessa, perché, mentre è vero ed<br />

essenziale che l’intuizione ci deve fornire i concetti fondamentali sui quali costruire tutto l’edificio<br />

geometrico, è pur vero che il ragionamento ci ha insegnato che qualche volta l’intuizione può condurre<br />

su falsa strada e ci ha costretto di conseguenza a modificare alcune idee primordiali.<br />

La geometria razionale non è peròuna scienza puramente astratta e puramente logica; si studiano anche<br />

le possibili applicazioni e per questo vi è la necessità di collegare le varie proposizioni con le esperienze<br />

effettuabili nel mondo esterno. Le proposizioni che studieremo sono tutte perfettamente aderenti a<br />

quella che noi chiamiamo realtà. Da ciò deriva l’utilità pratica della geometria e si giustifica uno dei<br />

suoi compiti, che è quello di fornire certe conoscenze che da tutti devono essere possedute. Ai nostri<br />

giorni si può dire che in ogni settore si sfruttano proprietà geometriche e, nello stesso tempo, si danno<br />

alla geometria spunti per l’approfondimento di alcuni argomenti: per esempio, in biologia per lo studio<br />

delle forme poliedriche degli esseri unicellulari, in mineralogia per lo studio dei cristalli, in architettura<br />

e in ingegneria per lo studio delle diverse strutture, in astronomia per lo studio del moto degli astri, ecc.<br />

Anche gli artigiani ricorrono a cognizioni geometriche, se pur semplici, tutte le volte che, nel loro<br />

lavoro, vogliono seguire la via più corretta ed evitare così sprechi del materiale che essi usano.<br />

Applicazioni della logica alla geometria<br />

Principi<br />

fondamentali<br />

11<br />

3 Nello studio della geometria si schematizza una situazione reale mediante<br />

modelli ai quali si applicano i metodi del ragionamento propri della<br />

logica.<br />

I principi fondamentali della logica, di cui viene fatto uso, sono i seguenti (*):<br />

1. il principio d’identità: ogni ente è identico a se stesso;<br />

2. il principio di non contraddizione: una proposizione non può essere contemporaneamente vera e<br />

falsa;<br />

3. il principio del terzo escluso: una proposizione o è vera o è falsa;<br />

4. la proprietà transitiva dell’implicazione: se una proposizione ne implica una seconda e questa a<br />

sua volta ne implica una terza, allora la prima implica la terza.<br />

Quest’ultima proprietà vale anche per i predicati (**) e per l’implicazione logica relativa ai predicati<br />

(***) e può essere schematizzata nel seguente modo:<br />

½ðP1 ¼) P2Þ^ðP2 ¼) P3ÞŠ ¼) ðP1 ¼) P3Þ:<br />

(*) Si tratta di alcune tautologie che s’incontrano nello studio della logica.<br />

(**) Per predicato s’intende un’espressione linguistica, contenente una o più variabili, che diventa una proposizione vera o falsa<br />

secondo i valori assegnati alle variabili (scelti in un prefissato dominio).<br />

(***) Dati due predicati AðxÞ e BðxÞ, quando ogni valore di x (appartenente al dominio) che rende vero AðxÞ rende vero anche<br />

BðxÞ, si ha un’implicazione logica e si scrive AðxÞ ¼) BðxÞ, che si legge AðxÞimplica BðxÞ. Si scrive anche che BðxÞ è una deduzione<br />

logica da AðxÞ.<br />

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Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

TEORIA


TEORIA Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

4 Un concetto fondamentale per lo sviluppo della geometria è quello di<br />

Teoremi<br />

implicazione logica. Infatti il teorema si può definire come una implicazione<br />

logica tra due predicati detti ipotesi ðIÞ e tesi ðTÞ, implicazione che deve<br />

ovviamente essere verificata:<br />

I ¼) T:<br />

Nel caso che I non implichi logicamente TðI 6¼) TÞ si suole parlare di teorema non vero.<br />

Nel teorema si distinguono<br />

l’enunciato che esprime il contenuto dell’implicazione logica da verificare;<br />

l’ipotesi che esprime quello che si suppone vero (antecedente dell’implicazione);<br />

la tesi (conseguente dell’implicazione) che esprime quello che si deve verificare;<br />

la dimostrazione che è il processo deduttivo che porta ad affermare la verità della tesi tutte le volte<br />

che si verifica l’ipotesi.<br />

Spesso i teoremi non sono enunciati esplicitamente sotto forma di implicazione logica; è però utile<br />

che lo studente si abitui ad esprimerli in tale forma. Consideriamo ad esempio la proposizione:<br />

un angolo ottuso è maggiore della metà di un angolo retto, (1)<br />

che è l’enunciato di un facilissimo teorema.<br />

La (1) può essere trasformata nella forma seguente:<br />

se un angolo è ottuso, allora esso è maggiore della metà di un angolo retto. (2)<br />

In questo caso, indicando con x un generico angolo, l’ipotesi è il predicato<br />

e la tesi è il predicato<br />

pðxÞ : x e ottuso<br />

qðxÞ : x e maggiore della meta di un angolo retto:<br />

La (2), pertanto, assume la forma dell’implicazione logica<br />

pðxÞ ¼) qðxÞ ðI ¼) TÞ;<br />

implicazione che, pur essendo ovvia, andrà verificata (dimostrata).<br />

Se vale il teorema I ¼) T, si dice che Iècondizione sufficiente per il verificarsi di T e che T è condizione<br />

necessaria per il verificarsi di I (*).<br />

Dimostrazione<br />

diretta<br />

12<br />

5 Il ragionamento che dalla verità diI conduce alla verità diT è ladimostrazione<br />

e tiene conto dei postulati, dei teoremi precedenti, di eventuali costruzioni<br />

e della proprietà transitiva dell’implicazione logica. Quando un teorema<br />

si dimostra secondo questo procedimento si dice che si è fatta una di-<br />

mostrazione diretta.<br />

Vediamo ora due esempi di dimostrazione diretta, uno in aritmetica e l’altro in geometria.<br />

(*) In generale, si dice che una condizione C è necessaria perché si verifichi una data proprietà P quando, dall’ammettere la P, si<br />

deduce il necessario verificarsi della C ðP ¼) CÞ; reciprocamente, la condizione C si dice sufficiente perché si verifichi la proprietà<br />

P quando, l’ammettere la C basta per concludere il verificarsi della P ðC ¼) PÞ.<br />

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1 Dimostrare che un numero naturale divisibile per 6 è divisibile anche per 3.<br />

Dobbiamo verificare l’implicazione I ¼) T, essendo<br />

I : n e divisibile per 6<br />

T : n e divisibile per 3<br />

Consideriamo la seguente ‘‘catena’’ di implicazioni logiche:<br />

n 2 N:<br />

n divisibile per 6 ¼) n ¼ 6 m m 2 N<br />

n ¼ 6 m ¼) n ¼ð2 3Þ m<br />

n ¼ð2 3Þ m ¼) n ¼ 3 ð2mÞ<br />

n ¼ 3 ð2mÞ ¼) n divisibile per 3:<br />

Per la proprietà transitiva dell’implicazione logica si ha:<br />

Abbiamo così verificato l’implicazione I ¼) T.<br />

n divisibile per 6 ¼) n divisibile per 3:<br />

2 Dimostrare che un angolo ottuso è maggiore della metà di un angolo retto.<br />

Si tratta del teorema enunciato nel paragrafo precedente; dovendo ancora iniziare lo studio vero<br />

e proprio della geometria, supporremo noti i concetti espressi nel teorema (angolo ottuso,<br />

angolo retto, disuguaglianza tra angoli) e, per semplicità, ragioneremo sulle ampiezze, espresse<br />

in gradi, degli angoli che nomineremo. Occorre verificare l’implicazione I ¼) T, essendo<br />

I : x è ottuso; T : x è maggiore della metà dell’angolo retto,<br />

con x elemento dell’insieme degli angoli.<br />

Consideriamo la seguente catena di implicazioni logiche<br />

x ottuso ¼) x > 90 x > 90 ¼) x > 45<br />

e pertanto, in base alla proprietà transitiva dell’implicazione logica,<br />

x ottuso ¼) x > 45 ;<br />

cioè abbiamo verificato che, se un angolo è ottuso, allora esso è maggiore della metà di un angolo<br />

retto (45 ).<br />

Gli esempi svolti mostrano come si possa schematizzare una dimostrazione per via diretta; va però<br />

detto che in geometria le dimostrazioni si presentano talvolta più articolate e complesse, ma, dopo<br />

un’analisi della situazione, possono essere ricondotte a semplici schemi di ragionamento.<br />

Dimostrazione<br />

per assurdo<br />

6 Per dimostrare un teorema si ricorre anche al metodo indiretto della<br />

riduzione all’assurdo. Per dimostrare l’implicazione I ¼) T con tale procedimento,<br />

si suppone vera, oltre all’ipotesi I, la negazione della tesi; si suppone<br />

cioè vero il predicato T (cioè si ‘‘nega la tesi’’) (*) e si dimostra, per via<br />

diretta, l’implicazione T ¼) I. In tal caso vengono ad essere contemporaneamente vere I e I, il che è<br />

impossibile per il principio di non contraddizione; pertanto non potendo essere vera T (perché conduce<br />

alla contraddizione I ^ IÞ, per il principio del terzo escluso deve valere T. Si suol dire, in questo<br />

caso, che l’implicazione I ¼) T è stata verificata mediante una ‘‘dimostrazione per assurdo’’.<br />

(*) La negazione di una proposizione A si indica con A.<br />

13<br />

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Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

TEORIA


TEORIA Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

In geometria, talvolta, invece di dimostrare l’implicazione T ¼) I, si suppone vera T e si deduce<br />

qualche proprietà che è in contrasto con i postulati introdotti o con qualche teorema precedentemente<br />

dimostrato: da questa contraddizione segue che, non potendo sussistere la verità diT, risulta necessariamente<br />

vera la verità diT.<br />

Dimostriamo ora gli stessi due esempi del numero precedente mediante il metodo della riduzione<br />

all’assurdo.<br />

1 Dimostrare che un numero divisibile per 6 è divisibile anche per 3.<br />

Come già visto, si ha<br />

I : n e divisibile per 6<br />

T : n e divisibile per 3<br />

n 2 N<br />

e si deve dimostrare I ¼) T .<br />

Consideriamo un generico numero n divisibile per 6 (l’ipotesi I è sempre supposta vera) e neghiamo<br />

la tesi supponendo che n non sia divisibile per 3 (cioè supponiamo T falsa e quindi T<br />

vera). Se n non fosse divisibile per 3, nella sua scomposizione in fattori primi non comparirebbe<br />

il 3 e quindi, a maggior ragione non comparirebbe il 6 ¼ 2 3: questo significa che n non<br />

potrebbe essere divisibile per 6 (*). Si è così dimostrato che T ¼) I e pertanto, non potendo<br />

sussistere contemporaneamente I e I, si deduce che non può essere vera T, cioè che è vera T.<br />

Resta così dimostrata, per via indiretta, l’implicazione I ¼) T.<br />

2 Dimostrare che un angolo ottuso è maggiore della metà di un angolo retto.<br />

Occorre dimostrare I ¼) T , essendo<br />

I : x e ottuso e T : x e maggiore della meta dell’angolo retto:<br />

Ragioniamo per assurdo e supponiamo che l’angolo x (ottuso per ipotesi) non sia maggiore della<br />

metà dell’angolo retto; allora risulta x 45 e quindi, a maggior ragione, è x < 90 e perciò<br />

x è acuto, cioè x non è ottuso, il che è in contraddizione con l’ipotesi. Poiché la negazione<br />

della tesi ha condotto alla negazione dell’ipotesi ðT ¼) I ) si conclude che non è possibile negare<br />

la tesi e che quindi essa è senz’altro vera ogni volta che è vera l’ipotesi. Si è così dimostrato<br />

per via indiretta che I ¼) T .<br />

Teoremi<br />

derivati<br />

7 Data l’implicazione I ¼) T che supporremo verificata e che chiameremo<br />

teorema diretto, da essa si possono ricavare altre tre implicazioni che<br />

non è detto siano verificate. Esse sono le seguenti.<br />

1. Teorema reciproco o inverso, che è ottenuto scambiando l’ipotesi con la tesi del teorema diretto.<br />

Quindi, se I ¼) T è il teorema diretto, il suo teorema reciproco è l’implicazione T ¼) I.<br />

2. Teorema contronominale (o contrapposto), che ha per ipotesi la negazione della tesi del teorema<br />

diretto e per tesi la negazione dell’ipotesi del diretto.<br />

Quindi il teorema contrapposto al teorema I ¼) T è l’implicazione T ¼) I.<br />

3. Teorema contrario, che è ottenuto sostituendo all’ipotesi e alla tesi del teorema diretto le rispettive<br />

negazioni.<br />

Quindi il teorema contrario del teorema I ¼) T è l’implicazione I ¼) T.<br />

Teorema<br />

reciproco<br />

o inverso<br />

14<br />

8 Il teorema reciproco non è sempre vero.<br />

Infatti consideriamo i due seguenti teoremi, che sono entrambi veri.<br />

(*) Giunti a questo punto si suol dire che l’ultima affermazione è in contrasto con l’ipotesi e quindi era assurdo negare la tesi, che<br />

resta così dimostrata.<br />

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1º) Se x è un angolo ottuso, allora è maggiore della metà di un angolo retto.<br />

2º) Se x è un angolo maggiore di un angolo retto, allora il doppio di x è maggiore di un angolo piatto.<br />

Il teorema reciproco del primo non è vero, perché sex è maggiore della metà di un angolo retto può<br />

non essere ottuso (ad es. l’angolo di 60º), mentre il reciproco del secondo è vero, perché, se il doppio<br />

di x è maggiore di un angolo piatto, x deve essere maggiore di un angolo retto.<br />

Quando di un teorema I ¼) T è vero anche l’inverso, cioè T ¼) I, si ha la coimplicazione logica<br />

I () T<br />

e i due predicati I e T si dicono equivalenti.<br />

In tal caso si dice anche che I è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di T e viceversa.<br />

Teorema<br />

9 Il teorema contronominale è sempre vero. (*)<br />

contronominale Viceversa, se di un teorema è vero il contronominale, allora è vero il teorema<br />

diretto.<br />

Infatti, poiché il contronominale di un teorema vero è vero, in questo caso sarà vero il contronominale<br />

del contronominale, cioè il teorema diretto.<br />

Questa è laprima legge delle inverse: se un teorema è vero, allora è vero anche il suo contronominale e<br />

viceversa.<br />

10 Il teorema contrario non è sempre vero.<br />

Teorema<br />

contrario<br />

Infatti riprendendo gli esempi del n. 8 si vede che il contrario del primo non<br />

è vero, perché se un angolo non è ottuso può essere però maggiore della metà<br />

di un angolo retto (ad es. 60º), mentre il contrario del secondo è vero perché se un angolo non è<br />

maggiore di un angolo retto, allora il suo doppio non è maggiore di un angolo piatto.<br />

L’implicazione ðI ¼) TÞ, cioè il teorema contrario del teorema dato I ¼) T, èvera se, e solo se, è<br />

vero il teorema ðT ¼) IÞ, cioè il teorema inverso del teorema dato.<br />

Si può infatti osservare che il teorema contrario del teorema diretto è il contronominale del teorema<br />

inverso e pertanto (vedi n. 9), l’essere vero il teorema inverso di un dato teorema porta alla verità del<br />

teorema contrario del teorema dato e viceversa.<br />

Seconda legge<br />

delle inverse<br />

15<br />

11 Siano veri i teoremi<br />

I1 ¼) T1 I2 ¼) T2 ::: In ¼) Tn:<br />

relativi a tutte le possibili ipotesi I1, I2, ..., In su uno stesso soggetto. Se le tesi T1, T2, ..., Tn si escludono<br />

a vicenda, cioè se due qualsiasi di esse non possono essere vere contemporaneamente, allora<br />

sono validi i teoremi reciproci<br />

T1 ¼) I1; T2 ¼) I2; :::; Tn ¼) In:<br />

È questo l’enunciato della seconda legge delle inverse.<br />

Consideriamo i seguenti tre teoremi veri<br />

a) se un angolo convesso è ottuso, il doppio di tale angolo è maggiore di un angolo piatto;<br />

(*) Nello studio della logica si dimostra che, in generale, l’implicazione contronominale di una data implicazione è logicamente<br />

uguale all’implicazione diretta data.<br />

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Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

TEORIA


TEORIA Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

16<br />

b) se un angolo è retto, il doppio di tale angolo è un angolo piatto;<br />

c) se un angolo è acuto, il doppio di tale angolo è minore di un angolo piatto.<br />

Osserviamo ora che un angolo convesso, cioè il soggetto in esame, può essere solo ottuso, o<br />

retto, o acuto: sono queste tutte le possibili ipotesi sull’angolo. Inoltre le tre tesi si escludono a<br />

vicenda, nel senso che due qualsiasi di esse non possono valere contemporaneamente: infatti<br />

un angolo non può contemporaneamente essere maggiore e uguale né maggiore e minore né<br />

minore e uguale a un angolo piatto. Possiamo quindi applicare la seconda legge delle inverse<br />

e concludere che sono senz’altro veri i teoremi reciproci che qui enunciamo:<br />

a) se il doppio di un angolo convesso è maggiore di un angolo piatto, l’angolo è ottuso;<br />

b) se il doppio di un angolo è uguale a un angolo piatto, l’angolo è retto;<br />

c) se il doppio di un angolo è minore di un angolo piatto, l’angolo è acuto.<br />

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CAPITOLO 1<br />

17<br />

INTRODUZIONE ALLA<br />

GEOMETRIA RAZIONALE<br />

1 Data l’implicazione «Se piove esco con l’ombrello», enunciare le implicazioni reciproca,<br />

contrapposta e contraria.<br />

2 Dire se è vera o falsa la seguente affermazione, giustificando la risposta: «Il teorema contrario<br />

è il contrapposto del reciproco».<br />

3 Tradurre in implicazione la proposizione: «Condizione necessaria perché un numero diverso<br />

da 2 sia primo è che sia dispari».<br />

4 Tradurre in implicazione «Condizione sufficiente perché un numero sia pari è che sia<br />

divisibile per 6».<br />

5 Tradurre in coimplicazione «Condizione necessaria e sufficiente perché un triangolo sia<br />

equilatero è che sia equiangolo».<br />

6 Nel teorema «Un triangolo equilatero è isoscele» specificare l’ipotesi e la tesi, la condizione<br />

necessaria e la sufficiente.<br />

7 Enunciare il reciproco e il contrario del teorema «La metà di un angolo convesso ottuso è un<br />

angolo acuto» e dire se essi sono veri.<br />

8 Enunciare il reciproco, il contrario e il contrapposto del teorema «Un numero divisibile per 8<br />

è pari».<br />

9 Dimostrare per via diretta il teorema «Se un numero è divisibile per 10, allora è divisibile per<br />

2 e per 5».<br />

10 Dimostrare per assurdo il teorema: «Se un numero non è divisibile per 2 e per 5, allora non è<br />

divisibile per 10».<br />

11 Nei seguenti teoremi riconoscere in quali si può applicare la seconda legge delle inverse e in<br />

caso affermativo enunciare i teoremi reciproci:<br />

a) «Se un numero è pari termina con cifra pari, mentre se è dispari termina con cifra dispari».<br />

b) «Se un numero è divisibile per 4 termina con cifra pari, mentre se è dispari termina con<br />

cifra dispari».<br />

c) «Il doppio di un angolo acuto è un angolo convesso, mentre il doppio di un angolo ottuso<br />

è un angolo concavo».<br />

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Introduzione alla geometria razionale<br />

1<br />

ESERCIZI


TEORIA Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

CAPITOLO 2<br />

Concetti primitivi<br />

Postulati fondamentali<br />

Rette - semirette - segmenti - linee<br />

Angoli. Poligoni<br />

Congruenza tra figure piane<br />

Confronto di segmenti e di angoli<br />

Somma e differenza di segmenti e<br />

di angoli<br />

Misura dei segmenti, degli angoli,<br />

delle superfici<br />

Concetti primitivi<br />

NOZIONI FONDAMENTALI<br />

DI GEOMETRIA RAZIONALE<br />

È questo un capitolo il cui studio è indispensabile<br />

per la comprensione del successivo<br />

sviluppo della geometria: vengono qui date<br />

tutte le fondamentali nozioni relative alle figure<br />

geometriche piane.<br />

1 I concetti primitivi, cioè i concetti dei quali non si dà alcuna definizione, si formano nella mente<br />

di tutti gli uomini vedendo e toccando gli oggetti da cui sono circondati. Tale è, ad esempio, l’idea<br />

di spazio, che è l’ambiente in cui viviamo. Lo spazio viene pensato continuo (cioè senza interruzioni)<br />

e illimitato (cioè senza confini).<br />

Altri concetti sono quelli di punto, retta e piano, che costituiscono gli enti geometrici fondamentali.<br />

2 Si ricordi che il concetto di punto geometrico si ha soltanto per astrazione, quando, per esempio,<br />

si pensa a un piccolo segno fatto sopra un foglio o sopra la lavagna, privato di qualsiasi estensione.<br />

Nello studio della geometria i punti vengono designati (fig. 1) con le lettere maiuscole dell’alfabeto:<br />

A, B, C.<br />

A<br />

C<br />

B<br />

A, B, C, sono tre punti<br />

18<br />

r è una retta<br />

r<br />

�<br />

� è un piano<br />

Figura 1<br />

Un insieme qualunque di punti si dice figura geometrica o semplicemente figura. Anche un singolo<br />

punto costituisce una figura geometrica.<br />

Si ha così una prima definizione.<br />

D Si definisce figura un insieme, non vuoto, di punti.<br />

In generale, quando si parlerà diunione odiintersezione tra figure, si intenderà operare in senso insiemistico.<br />

Lo spazio è l’insieme di tutti i possibili punti e può considerarsi, perciò, come la figura che contiene<br />

tutti i punti e quindi tutte le figure. Quando facciamo scorrere la punta di una matita sopra un foglio<br />

di carta tracciamo una linea: il concetto di linea geometrica si forma nella nostra mente quando la<br />

traccia della matita venga pensata priva di qualsiasi spessore, come se fosse descritta da un punto<br />

geometrico: la linea è quindi un insieme di punti.<br />

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Fra tutte le linee che si possono immaginare, la più importante è laretta. Il concetto di retta viene<br />

dato dalle linee tracciate con la riga e prolungate indefinitamente col pensiero da una parte e dall’altra<br />

(fig. 1).<br />

Tra le idee primitive vi è anche quella di superficie, che si forma nella nostra mente considerando, per<br />

esempio, un velo, di qualsiasi forma, ma pensato privo di spessore. Come ogni linea si può considerare<br />

generata da un punto mobile nello spazio, così ogni superficie può considerarsi generata da una<br />

linea che si muove.<br />

Fra le varie superfici, la più importante è lasuperficie piana, che si chiama semplicemente piano<br />

(fig. 1).<br />

L’idea di piano nasce in noi pensando a un foglio esteso indefinitamente in tutte le direzioni.<br />

Postulati fondamentali<br />

3 Come già abbiamo visto nel capitolo precedente, i postulati sono proposizioni che esprimono<br />

proprietà degli enti geometrici che si chiedono di accettare per vere senza dimostrazione (postulare,<br />

in latino, significa chiedere).<br />

Tutti i postulati della geometria euclidea esprimono delle proprietà evidenti e intuitive in modo che la<br />

geometria risulti effettivamente un modello della realtà come noi la percepiamo.<br />

I primi postulati sono:<br />

P Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette e infiniti piani.<br />

P Un piano contiene infiniti punti e infinite rette.<br />

P Una retta contiene infiniti punti.<br />

Postulati di<br />

appartenenza<br />

4 P1 Due punti distinti appartengono a una e a una sola retta o anche<br />

per due punti distinti passa una e una sola retta.<br />

Ne segue che, se due rette hanno due punti in comune, esse coincidono. Perciò due rette distinte o non<br />

hanno alcun punto in comune o ne hanno uno soltanto, punto che in tal caso si dice punto d’intersezione<br />

o punto d’incontro delle due rette.<br />

Le rette si indicano con le lettere minuscole come a, b, c, r, s..., oppure si designano col nome di due<br />

loro punti: la retta individuata dai punti A e B si chiama «retta AB». Un punto di una retta si dice che<br />

appartiene alla retta (che giace sulla retta o che è interno alla retta). Osservando la figura 2 e ricordando<br />

che una retta è un insieme di punti, si può scrivere<br />

A 2 r; B 2 r; C 62 r: ðil punto C e esterno alla retta).<br />

Se tre o più punti appartengono a una stessa retta si dice che essi sono allineati.<br />

Questo postulato esprime quella proprietà che, nel linguaggio comune, si enuncia dicendo che «la<br />

retta è una linea diritta»: è infatti evidente che se noi chiamassimo retta una qualsiasi altra linea passante<br />

per due punti determinati, allora la retta potrebbe essere... curva (fig. 3).<br />

C<br />

A B<br />

r<br />

19<br />

Figura 2 Figura 3<br />

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A<br />

B<br />

Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

TEORIA


TEORIA Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

P2 Tre punti non allineati appartengono a uno e a un solo piano o anche per tre punti non allineati<br />

passa uno e un solo piano oppure ancora tre punti non allineati individuano un piano e uno<br />

solo.<br />

Questo postulato caratterizza quella proprietà che, nel linguaggio comune, si esprime dicendo che «il<br />

piano è una superficie piatta»: è infatti evidente che, se noi chiamassimo piano una qualsiasi superficie<br />

che passa per tre punti non allineati, il piano potrebbe essere...<br />

ondulato.<br />

P3 Se due punti di una retta appartengono a un piano, allora<br />

la retta è contenuta (o giace) nel piano. A<br />

Dalla figura 4 si può dedurre che A 2 , B 2 , C 2 , A 2 r,<br />

B 2 r, r .<br />

Il postulato<br />

d’ordine<br />

�<br />

B<br />

r<br />

C<br />

Figura 4<br />

5 È noto che una strada rettilinea può essere percorsa secondo due versi<br />

di percorrenza. Lo stesso accade per una retta, nella quale vi sono due versi o<br />

sensi di percorrenza: questa proprietà èdel tutto intuitiva. È anche intuitivo<br />

che rispetto a ciascuno di questi due versi non vi sia né il primo né l’ultimo<br />

punto, cioè, come si suol dire, la retta è una linea aperta: in altre parole, fissato un verso e un punto A<br />

della retta esiste sempre un punto che precede A e un punto che segue A. Queste osservazioni vengono<br />

espresse dal seguente postulato d’ordine.<br />

P Si può stabilire una relazione d’ordine tra i punti di una retta, ossia si possono ordinare i punti<br />

di una retta in modo che<br />

dati due punti distinti A e B della retta, o A precede B oppure B precede A;<br />

se A precede B e B precede C, allora A precede C.<br />

Tale ordinamento dei punti di una retta, detto anche verso della retta, si può stabilire in due modi<br />

opposti: se in un verso A precede B, nel verso opposto B precede A (figg. 5, 6, 7). Rispetto a ciascuno<br />

dei due versi la retta è una linea aperta, cioè non ha né un primo né un ultimo punto.<br />

A B<br />

A precede B<br />

A B<br />

A segue B<br />

Figura 5 Figura 6<br />

A B C<br />

A precede B; B precede C ��� precede C<br />

Figura 7<br />

Quando su una retta è fissato un verso si parla di retta orientata.<br />

Parlando di retta orientata AB si intende che il verso sulla retta è tale che A precede B (come nella<br />

figura 5); invece, relativamente alla figura 6, si parlerà di retta orientata BA.<br />

Rette, semirette, segmenti, linee<br />

Semirette<br />

e segmenti<br />

20<br />

6 D Data una retta orientata r (fig. 8) e un suo punto qualsiasi O, si<br />

chiama semiretta di origine O l’insieme costituito dal punto O stesso e dai<br />

punti di r che precedono (oppure che seguono) O nel verso fissato.<br />

Il punto O 2 r determina su r due semirette ed è l’origine di ciascuna di esse. Si dice anche che le due<br />

semirette sono tra loro opposte o anche che sono l’una il prolungamento dell’altra. La retta r, che<br />

contiene le due semirette, è il loro sostegno. I punti di una semiretta diversi dall’origine si dicono interni<br />

a quella semiretta, mentre quelli che non le appartengono si dicono esterni.<br />

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TEORIA Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

Un po’ di storia<br />

42<br />

Euclide<br />

Abbiamo già visto che, a differenza degli altri popoli antichi, come gli egiziani o i babilonesi i quali<br />

usavano la geometria per ottenere un risultato pratico, i greci studiarono la matematica in generale<br />

svincolandosi dalle conoscenze acquisite empiricamente, costruendola come un sistema di assiomi,<br />

definizioni e proposizioni dedotte logicamente l’una dall’altra.<br />

Anche se si ha notizia di qualche trattato precedente, il più antico trattato giunto fino a noi è l’opera<br />

di Euclide intitolata ‘‘Gli elementi’’.<br />

Euclide fu un matematico greco della cui biografia si sa molto poco. È noto che è vissuto tra la fine<br />

del IV e gli inizi del III secolo a.C., ma si ignora dove sia nato. Dopo la morte di Alessandro<br />

Magno avvenuta nel 323 a.C. i suoi generali si divisero il suo impero: Tolomeo divenne re dell’Egitto<br />

col nome di Tolomeo I Soter ed essendo un sovrano aperto alla cultura istituì ad Alessandria<br />

una scuola, nota come il ‘‘Museo’’, una specie di istituto superiore dei nostri giorni, destinata a diventare<br />

famosa in tutto il mondo come centro di studi. Qui venne chiamato a insegnare la matematica<br />

Euclide, noto per essere l’autore dei 13 libri di ‘‘ o ’’ (Elementi), che si possono considerare<br />

il più diffuso testo di matematica di tutti i tempi. Egli, per l’importanza del suo insegnamento<br />

nella scuola di Alessandria è chiamato ‘‘Euclide di Alessandria’’ anche se qualche volta è stato<br />

confuso con Euclide di Megara, un filosofo greco discepolo di Socrate, vissuto un secolo prima.<br />

Le leggende lo descrivono come un vecchio austero, ma nello stesso tempo affabile e gentile. Si<br />

narra che Tolomeo gli chiedesse una ‘‘scorciatoia’’ per apprendere la geometria e che Euclide gli rispondesse<br />

che ‘‘non esiste nessuna strada regia che porti alla geometria’’. Un’altra volta, avendogli<br />

un allievo chiesto quale fosse l’utilità dello studio della geometria, si sarebbe rivolto a uno schiavo<br />

invitandolo a dare all’allievo una moneta visto che questi ‘‘ha bisogno di trarre guadagno da ciò<br />

che impara’’. Evidentemente Euclide non dava importanza al lato pratico della geometria.<br />

Negli ‘‘Elementi’’ è raccolto tutto il sapere geometrico dell’epoca: i 13 libri non sono un’opera originale,<br />

cioè Euclide non è l’autore dei risultati qui raggiunti, ma ha organizzato in un sistema logico<br />

e completo tutto quanto era stato scoperto fino ad allora nel campo della matematica.<br />

I primi due libri trattano dei triangoli e dei parallelogrammi, il terzo e il quarto del cerchio e dei<br />

poligoni regolari, il quinto della teoria delle proporzioni, il sesto della similitudine piana, il settimo,<br />

l’ottavo e il nono dell’aritmetica dei numeri interi e delle frazioni, il decimo, in cui figura il noto algoritmo<br />

euclideo per la ricerca del M.C.D. di due numeri, degli irrazionali quadratici e biquadratici,<br />

infine gli ultimi tre della geometria dello spazio.<br />

Il metodo seguito è quello rigorosamente logico deduttivo. Egli parte da nozioni comuni, o assiomi,<br />

applicabili a tutte le scienze, e da postulati, validi per una scienza particolare, che vengono supposti<br />

veri perché intuitivamente evidenti, e, con deduzioni logiche, ricava teoremi e risolve problemi.<br />

Ogni dimostrazione rimanda alle proposizioni precedentemente enunciate o provate e viene chiusa<br />

dalla formula ‘‘come si doveva fare’’ che è diventata la nostra c.d.d. (‘‘come dovevasi dimostrare’’)<br />

o c.v.d. (‘‘come volevasi dimostrare’’).<br />

Data la loro diffusione ci sono arrivate diverse copie manoscritte degli ‘‘Elementi’’, più o meno modificate<br />

rispetto al testo originale che è andato perduto. Nella maggior parte di esse troviamo le<br />

prime 10 proposizioni:<br />

1) un punto è ciò che non ha parti<br />

2) una linea è lunghezza senza larghezza<br />

3) le estremità di una linea sono punti<br />

4) una linea retta è una linea costituita in modo uniforme dai suoi stessi punti<br />

5) una superficie è ciò che possiede solamente lunghezza e larghezza<br />

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43<br />

6) le estremità di una superficie sono linee<br />

7) una superficie piana è una superficie che è costituita in modo uniforme dalle sue stesse linee<br />

8) un angolo piano è la inclinazione reciproca di due linee in un piano che si incontrano e non giacciono<br />

su una stessa retta<br />

9) quando le linee che definiscono l’angolo sono rette, l’angolo è detto rettilineo<br />

10) quando una linea retta che interseca un’altra linea retta determina due angoli adiacenti che sono<br />

uguali tra loro, ciascuno degli angoli uguali è retto, e la linea retta che interseca l’altra è chiamata<br />

perpendicolare alla retta che interseca.<br />

I primi 5 postulati sono i seguenti:<br />

1) si può tracciare una linea retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi<br />

2) si può prolungare una linea retta finita in modo continuo in una linea retta<br />

3) si può descrivere una circonferenza con centro e distanza qualsiasi<br />

4) gli angoli retti sono reciprocamente uguali<br />

5) se una linea retta cade su due linee rette rendendo gli angoli interni da una stessa parte minori di<br />

due angoli retti, le due linee rette, se indefinitamente prolungate, si incontrano dalla stessa parte<br />

dove si trovano i due angoli minori di due angoli retti.<br />

Le prime 5 nozioni comuni (assiomi) sono:<br />

1) cose uguali a una medesima cosa sono uguali anche tra loro<br />

2) se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi sono uguali<br />

3) se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti sono uguali<br />

4) cose che coincidono l’una con l’altra sono uguali<br />

5) l’intero è maggiore della parte.<br />

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Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

TEORIA


ESERCIZI Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

CAPITOLO 2<br />

Postulati fondamentali - Rette - Angoli<br />

QUESITI<br />

44<br />

NOZIONI FONDAMENTALI<br />

DI GEOMETRIA RAZIONALE<br />

a. Che cosa è una figura?<br />

b. Quando due figure sono complanari?<br />

c. Che cosa significa affermare che la retta è una linea aperta?<br />

d. Enunciare il postulato d’ordine.<br />

e. Definire la semiretta e il segmento.<br />

f. Quando due segmenti sono consecutivi e quando sono adiacenti?<br />

g. Enunciare il postulato di partizione del piano.<br />

h. Che cosa significa affermare che la retta è illimitata? E che la retta è densa?<br />

i. Enunciare il postulato di Euclide.<br />

l. Dare la definizione di figura convessa e di figura concava.<br />

m. Definire l’angolo, l’angolo convesso, l’angolo concavo, l’angolo piatto, l’angolo giro, l’angolo<br />

nullo.<br />

n. Definire quando due angoli sono consecutivi e quando adiacenti.<br />

o. In quale caso l’intersezione tra due semipiani può essere ancora un semipiano? E in quale<br />

caso l’intersezione dà luogo a un angolo?<br />

p. Formulare la definizione di poligono, poligono convesso, poligono concavo.<br />

q. Che cosa è un poligono regolare? Il triangolo equilatero è un poligono regolare?<br />

r. Definire la diagonale di un poligono. Un triangolo ha diagonali?<br />

1 Su una retta r si disegnino tre punti distinti A, B, C; quante e quali figure geometriche restano<br />

così determinate?<br />

2 Determinare tutti i segmenti orientati formati da tre punti A, B, C non appartenenti a una<br />

stessa retta e di ciascuno denominare il consecutivo.<br />

3 Disegnare due segmenti AB e AC consecutivi e non adiacenti. Disegnare poi due segmenti<br />

MN ed NP adiacenti; che cosa rappresenta il segmento MP ?<br />

4 Denominare tutti i segmenti orientati determinati da quattro punti A, B, C, D appartenenti a<br />

una retta.<br />

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5 Segnare su un foglio quattro punti a tre a tre non allineati. Quanti segmenti si possono<br />

tracciare congiungendo quei punti a due a due?<br />

6 Date due semirette a e b di origine O, individuare l’angolo convesso così determinato. Come<br />

devono essere le due semirette per formare un angolo piatto?<br />

7 Disegnare due angoli consecutivi e determinare la loro somma; disegnare poi due angoli<br />

adiacenti: in questo caso qual è la loro somma?<br />

8 Date le semirette OA, OB, OC aventi l’origine O in comune, denominare tutti gli angoli che<br />

hanno per lati due di queste semirette.<br />

9 Sono date in un piano tre rette non concorrenti in uno stesso punto e, a due a due, incidenti.<br />

In quante regioni il piano è diviso dalle tre rette?<br />

10 Giustificare che, se due segmenti hanno due punti in comune, giacciono sulla stessa retta.<br />

11 Giustificare la seguente proposizione: due rette distinte incidenti sono complanari.<br />

(Su ciascuna retta individuare un punto diverso dal punto di intersezione... si hanno così tre<br />

punti...).<br />

12 Giustificare il seguente enunciato: una retta e un punto P esterno a essa individuano uno e un<br />

solo piano.<br />

13 In un piano sono date due rette parallele r e s. Determinare, in tutti i casi possibili,<br />

l’intersezione dei semipiani generati rispettivamente da r edas.<br />

14 Determinare in quante regioni un piano è diviso da quattro rette a due a due incidenti e a tre a<br />

tre non concorrenti in uno stesso punto.<br />

15 Disegnare un pentagono ABCDE; denominarne gli angoli interni ed esterni; disegnare le<br />

diagonali: quante sono?<br />

16 Quante diagonali ha un esagono? E un poligono di nove lati? E in generale uno di n lati?<br />

VERO O FALSO<br />

45<br />

17 Un postulato esprime una proprietà evidente che può essere facilmente<br />

dimostrata<br />

18 Non è possibile dare la definizione di retta<br />

19 Si può definire il segmento come un sottoinsieme non illimitato della retta<br />

20 Due segmenti adiacenti sono anche consecutivi<br />

21 Se da una poligonale chiusa si tolgono due lati si ottiene una poligonale<br />

aperta<br />

22 Un semipiano è individuato dalla sua origine<br />

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V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

ESERCIZI


ESERCIZI Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

23 L’unione di due figure convesse può essere una figura concava<br />

24 La semiretta è illimitata in un solo verso<br />

25 Due angoli con un lato in comune sono consecutivi<br />

26 Due angoli consecutivi sono anche adiacenti<br />

27 L’angolo nullo è convesso<br />

28 L’angolo piatto è concavo perché i prolungamenti dei suoi lati gli<br />

appartengono<br />

29 L’intersezione di due semipiani opposti è una retta<br />

30 L’angolo può essere definito come l’intersezione di due semipiani<br />

(contenuti nello stesso piano) con le origini incidenti<br />

31 L’intersezione di due angoli consecutivi è una semiretta<br />

Congruenza. Somma e differenza di segmenti e di angoli<br />

QUESITI<br />

46<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

a. Definire due figure congruenti.<br />

b. Enunciare le proprietà fondamentali della congruenza tra figure.<br />

c. Enunciare il postulato del trasporto di segmenti.<br />

d. Che cosa s’intende per multiplo di un segmento?<br />

e. Enunciare il postulato del trasporto di un angolo.<br />

f. Che cosa s’intende per sottomultiplo di un angolo?<br />

g. Enunciare il postulato di divisibilità dei segmenti e degli angoli.<br />

h. Dare la definizione di punto medio di un segmento e di bisettrice di un angolo.<br />

i. Quando due punti A e B sono simmetrici rispetto a un punto O?<br />

l. Quando due punti A e B sono simmetrici rispetto a una retta r?<br />

m. Che cos’è l’asse di un segmento?<br />

n. Che cosa s’intende per distanza di un punto da una retta? Tale distanza può essere il segmento<br />

nullo?<br />

o. In quale caso la proiezione di un segmento (non nullo) sopra una retta è il segmento nullo?<br />

p. Dare le definizioni di angoli supplementari, angoli esplementari, angolo retto, angoli complementari,<br />

angolo acuto, angolo ottuso, angoli opposti al vertice.<br />

q. Dimostrare che gli angoli opposti al vertice sono congruenti.<br />

r. Definire la lunghezza di un segmento.<br />

s. Definire l’ampiezza di un angolo.<br />

t. Definire l’area di una superficie.<br />

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VERO O FALSO<br />

47<br />

1 Si può sempre effettuare la somma di due segmenti<br />

2 Si può sempre effettuare la differenza di due segmenti<br />

3 La somma di due angoli piatti è un angolo giro<br />

4 Se AO ffi OB allora A e B sono simmetrici rispetto a O<br />

5 Due angoli supplementari hanno sempre un lato in comune<br />

6 La somma di due angoli acuti è un angolo acuto<br />

7 Fare la somma di due angoli è equivalente a farne la loro unione<br />

8 Due rette sono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli<br />

di cui uno è retto<br />

9 Se due segmenti sono congruenti, allora hanno lo stesso punto medio<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

V F<br />

10 Sia AB un segmento e O un suo punto tale che AO sia congruente a OB. Si consideri tra O e B<br />

un punto C; confrontare i segmenti AB, AC, CB scrivendo le disuguaglianze in modo che<br />

– una prima volta, il primo membro sia maggiore del secondo;<br />

– una seconda volta, il primo membro sia minore del secondo.<br />

11 Disegnare quattro segmenti, sommare i due maggiori e togliere dal segmento così ottenuto la<br />

somma degli altri due. Fare poi la differenza tra il maggiore e il minore e aggiungere la<br />

differenza degli altri due. Verificare che i risultati sono eguali.<br />

12 Su una semiretta, a partire dalla sua origine O, riportare successivamente e nel medesimo<br />

senso i segmenti OA; AB ffi 3 OA; BC ffi OA; CD ffi 2 OA; poi, in senso contrario, il<br />

segmento DE multiplo secondo 5 del sottomultiplo di OA secondo il numero 4. Rispetto a<br />

quale numero i segmenti OB, OD, CE, AC, BD, OE sono rispettivamente multipli di OA?<br />

13 Siano dati due segmenti a e b.<br />

a) Disegnare un segmento congruente alla loro somma, poi un segmento congruente alla loro<br />

differenza.<br />

b) Aggiungere la loro somma alla loro differenza e verificare che si ottiene il doppio del segmento<br />

maggiore.<br />

c) Sottrarre dalla loro somma la loro differenza e verificare che si ottiene il doppio del segmento<br />

minore.<br />

14 Dimostrare che la distanza del punto medio di un segmento da un qualunque punto preso<br />

sopra uno dei prolungamenti del segmento è congruente alla semisomma delle distanze di<br />

questo punto dagli estremi del segmento.<br />

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Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

ESERCIZI


ESERCIZI Nozioni fondamentali di geometria razionale<br />

2<br />

48<br />

15 Dimostrare che la distanza del punto medio di un segmento da un qualunque punto del<br />

segmento è congruente alla semidifferenza delle distanze di questo punto dagli estremi del<br />

segmento.<br />

16 Su una semiretta, a partire dall’origine A, si prendano due segmenti AB e AC con AB > AC;<br />

siano M ed N i loro punti medi. Dimostrare che<br />

MN ffi 1<br />

ðAB ACÞ:<br />

2<br />

17 Siano A, B, C, D quattro punti in linea retta seguentisi nell’ordine alfabetico e tali che sia<br />

AB ffi CD. Dimostrare che AC ffi BD e che i due segmenti AD e BC hanno lo stesso punto<br />

medio.<br />

18 Siano A, B, C, D quattro punti in linea retta seguentisi nell’ordine alfabetico e siano M e N i<br />

punti medi di AB e CD. Dimostrare che:<br />

AC þ BD<br />

MN ffi :<br />

2<br />

19 Disegnare due angoli consecutivi supplementari; come risultano i due angoli?<br />

20 Disegnare due angoli consecutivi complementari; come risultano le due rette a cui appartiene<br />

ciascuno dei lati, non in comune, dei due angoli?<br />

21 Date le semirette OA, OB, OC aventi l’origine in comune, denominare tutti gli angoli (minori<br />

di un angolo giro) che hanno per lati due di queste semirette.<br />

22 Siano a, b, c tre semirette aventi la stessa origine O e disposte in modo che gli angoli b ab e b bc<br />

siano acuti ð b ab 6¼ b bc bcÞ. Siano a 0 , b 0 , c 0 le tre semirette opposte rispettivamente ad a, b, c;<br />

denominare tutti gli angoli che così si sono determinati e dire quali sono a due a due<br />

congruenti e perché.<br />

23 Verificare che, se due angoli sono supplementari, le loro metà sono complementari.<br />

24 Da un punto di un piano si facciano uscire quattro semirette in modo che il terzo angolo sia<br />

congruente al primo e il quarto al secondo. Verificare e dimostrare che la terza semiretta è il<br />

prolungamento della prima.<br />

25 Dimostrare che se due angoli consecutivi sono supplementari, essi sono adiacenti.<br />

26 Dimostrare che se due angoli acuti sono diseguali, i loro complementari sono diseguali in<br />

senso contrario.<br />

27 Dato l’angolo d AOB ottuso, disegnare l’angolo 2 d AOB AOB; perché esso è concavo?<br />

28 Da un punto O di un segmento AB e da parte opposta allo stesso, escono due semirette OC e<br />

OD, che formano gli angoli non consecutivi d AOD e d BOC congruenti. Dimostrare che le<br />

semirette OC e OD appartengono a una stessa retta.<br />

29 Dimostrare che l’angolo formato dalla bisettrice di un angolo con una semiretta qualunque<br />

condotta per il vertice è congruente alla semisomma o alla semidifferenza degli angoli formati<br />

da questa semiretta con i lati dell’angolo, secondo che essa è esterna o interna all’angolo.<br />

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