38 Schwerpunkt: Abrechnung Abb. 3: Verschiedene Szenarien für µ und σ (Quelle: [1]) ((Formel 1)) ((Formel 2)) ((Formel 3)) ((Formel 4)) zu c u : 4,0 – 0,21 = 3,79 % und c o : 4,0 + 0,21 = 4,21 %. Der Annahmebereich der Nullhypothese H 0 des postulierten ((Formel Bindemittelgehaltes co = µ 4)) + t ∙ s von 4,0 µ1 % = µ2 erstreckt und σ1 sich = σ2 von √n 3,79 % bis 4,21 % oder gerundet von 3,8 % bis 4,2 % bei einer statistischen Sicherheit von 95 %. Das heißt, dass der ermittelte ((Formel Mittelwert µ1 = 5)) x¯ für den Bindemittelgehalt µ1 µ2 und σ1 = = µ2 und σ1 ≠ von σ2 σ2 3,9 % innerhalb des Annahmebereichs liegt (Abb. 2) und c u (c steht für critical value) für die untere Grenze und mit somit die Nullhypothese H c o für ((Formel die obere 1)) Grenze formuliert (x̅ werden. - t ⋅ Die s) ≤ Alternativhypothese wird mit H A benannt und beschreibt den µ ≤ (x̅ + t 0 nicht abgelehnt werden ⋅ √n √n kann. s) Diese Annahme ist jedoch kein Beweis für die Rich- Ablehnungsbereich. Dabei repräsentiert c u den Beginn des linksseitigen ((Formel (x̅ - t 2)) und c o den des √nrechtsseitigen ⋅ s) ≤ µ ≤ (x̅ + t cu Ablehnungsbereichs. ⋅ = s) µ - t ∙ s √n √n Die Grenzen für den Annahmebereich ergeben sich bezogen auf das Beispiel mit ((Formel cu = µ 3)) - t ∙ s und co = µ + t ∙ s √n √n tigkeit, da das Signifikanzniveau α = 0,05 beträgt und somit eine statistische Sicherheit von lediglich 95 % zur Grundlage hat. Es kann durchaus wahrscheinlich sein, dass die Annahme der Nullhypothese H 0 richtig sei, zu 5 % falsch ist. Da aber in diesem Beispiel die Prüfgröße die Nullhypothese H 0 aus Beweismangel nicht angezweifelt werden kann, ist die Nullhypothese H 0 als richtig anzunehmen. Die Nullhypothese H 0 : µ = 4,0 % wird also angenommen, die Alternativhypothese H A : µ ≠ 4,0 % wird entsprechend abgelehnt. Bei dem Konfidenzintervall handelt es sich um eine Schätzung von x¯ für den Erwartungswert µ mit den Grenzen µ u und µ o . Der Hypothesentest prüft hingegen die Übereinstimmung des Stichprobenmittelwerts x¯ mit der Behauptung des Auftragnehmers. 7|2022 ((Formel 5)) ((Formel µ1 = 6)) µ2 und σ1 ≠ σ2 µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2
Schwerpunkt: Abrechnung 39 Die zweite Methode, bei der fünf bis zehn Untersuchungsergebnisse des Auftragnehmers mit einem einzelnen Untersuchungsergebnis durch den Auftraggeber bewertet werden, ist kritisch einzustufen. Dieses Abnahmeverfahren, das hier nicht näher erläutert werden soll, ist statistisch schwach und deshalb als risikoreich einzustufen. In dem NCHRP Research Report 946 werden noch weitere Testszenarien aufgeführt. Die t- und F-Tests sind statistisch stabil und führen zu einer guten vergleichenden Unterscheidung der Untersuchungsergebnisse der Auftraggeber- und der Auftragnehmerseite. ((Formel Hypothesentest 1)) (x̅ und - t Stichprobenumfang ⋅ s) ≤ µ ≤ (x̅ + t ⋅ s) √n √n ((Formel 1)) Ziel ist es, die Datenreihen (x̅ - t des ⋅ s) ≤ Auftraggebers µ ≤ (x̅ + t ⋅ und s) √n √n des ((Formel Auftragnehmers 1)) miteinander (x̅ - t ⋅ zu s) vergleichen. ≤ µ ≤ (x̅ + t Dazu ⋅ s) bietet √n √n ((Formel sich 2)) der Hypothesentest cu = mit µ der Nullhypothese H 0 an, ob ((Formel 1)) (x̅ - t - die Untersuchungsergebnisse ⋅ t s) ∙ s √n miteinander ≤ µ ≤ (x̅ + t vergleichbar ⋅ s) √n √n ((Formel 2)) cu = µ - t ∙ s √n sind oder ob die Alternativhypothese H A eine Vergleichbarkeit 2)) ausschließt. Für ((Formel cu den = µ - Vergleich t ∙ s √n der beiden Varianzen 3)) ((Formel ((Formel 2)) σ 1 und σ 2 aus den co cu beiden = µ + t - t Datenreihen ∙ ∙ s s √n gilt die zweiseitige 3)) Fragestellung co mit = µ der + t Nullhypothese ∙ s H 0 : σ 1 = σ 2 √n ((Formel √n und der Alternativhypothese HA: σ 1 ≠ σ 2 . Eine entsprechende Fragestellung ergibt sich √nauch für die Stichpro- ((Formel 3)) co = µ + t ∙ s ((Formel 4)) µ1 = µ2 und ((Formel benmittelwerte. 3)) Die co Nullhypothese µ + t ∙ s σ1 = σ2 √n wird mit H 0 : µ 1 = µ 2 ((Formel und 4)) µ1 die Alternativhypothese = µ2 und σ1 mit H = σ2 A : µ 1 ≠ µ 2 definiert. ((Formel Daraus 4)) können sich die µ1 = vier µ2 Möglichkeiten und σ1 = σ2 ((Formel 5)) µ1 = µ2 und σ1 ≠ σ2 ((Formel Fall 4)) 1: µ1 = µ2 und σ1 = σ2 ((Formel 5)) µ1 = µ2 und σ1 ≠ σ2 ((Formel Fall 5)) 2: ((Formel 6)) ((Formel 5)) ((Formel Fall 6)) 3: µ1 = µ2 und σ1 ≠ σ2 µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 ((Formel 6)) µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 ((Formel Fall 7)) 4: µ1 ≠ µ2 und σ1 ≠ σ2 ((Formel 6)) µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 ((Formel entwickeln 7)) (Abb. 3). µ1 ≠ µ2 und σ1 ≠ σ2 ((Formel 7)) µ1 ≠ µ2 und σ1 ≠ σ2 ((Formel 8)) F̂ = ( s 1 ) 2 für s1 > s2 ((Formel 7)) µ1 ≠ µ2 sund 2 σ1 ≠ σ2 ((Formel 8)) F̂ = ( s 1 ) 2 für s1 > s2 s 2 ((Formel 8)) F̂ = ( s 1 ) 2 s 2 8)) F̂ ( s 1 ((Formel 9)) t̂ = |x̅1− x̅2| ) 2 s 2 ((Formel 9)) t̂ = √ |x̅1− s 1 2 x̅2| ((Formel 9)) ((Formel 9)) ((Formel 10)) df = ((Formel 10)) df = ((Formel 10)) df = ((Formel 11)) µ1 = µ2 und σ1 ≠ σ2 µ1 ≠ µ2 und σ1 = σ2 n1 + s 2 √ s 1 2 n2 n1 + s 2 n2 √ s 1 2 n1 + s 2 √ s 1 2 n2 n1 + s 2 ( s 1 2 n1 n2 + s 2 n1 ) (s 2 ( s 2 n1 s 2 1 / nn 1 ) + (s 2 n1− 1 n1 ) / n 2 ) n2− 1 t̂ = |x̅1− x̅2| t̂ = |x̅1− x̅2| ((Formel 10)) df ((Formel 11)) t̂ = |x̅d| n1− 1 ((Formel 11)) t̂ = |x̅d| s d ((Formel 11)) t̂ = |x̅d| s d s d (s 2 1 / nn ( s 1 1 2) n1 + s (s 2 2 / n n1− 1 n1 ) 2 ) n2− 1 (s 2 ( s 2 n1 s 2 1 / nn 1 ) + (s 2 n1− 1 n1 ) / n 2 ) n2− 1 (s 2 1 / nn 1 ) + (s 2 / n 2 ) n2− 1 t̂ = |x̅d| s d √nn √nn √nn √nn für s1 > s2 für s1 > s2 Voraussetzung für diese Vergleiche ist, dass die Varianzen und die Mittelwerte aus unabhängigen Stichproben einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. In Abb. 4 wird verdeutlicht, dass mit unabhängigen Stichproben die einzelnen Varianzen berücksichtigt werden. Wird dagegen eine geteilte Probe für den Auftraggeber und den Auftragnehmer entnommen, wird lediglich die Varianz des Prüfungsprozesses wiedergegeben. Zudem sind dann die übrigen Proben, die im Zuge der Baumaßnahme vom Auftragnehmer geprüft worden sind, nicht mit den Ergebnissen des Auftraggebers vergleichbar, da die Summe aus den einzelnen Varianzen unterschiedlich ist. Im Rahmen NCHRP Research Report 946 wurden die Umfänge der Probenahmen der Straßenbauverwaltungen der 31 Bundesstaaten untersucht. Das Ergebnis ist in drei Fallgruppen eingeteilt worden: Fall 1: Die Straßenbauverwaltung hat eine Probe je Losgröße untersucht. Fall 2: Es sind zwei bis 20 Proben je Losgröße untersucht worden. Fall 3: Es wurden mehr als 20 Proben je Losgröße überprüft. Der Fall 1, der von vielen Straßenbauverwaltungen angewendet wurde, offenbart eine falsche Anwendung der statistischen Bewertung der Untersuchungsergebnisse des Auftragnehmers. Bei einem einzelnen Ergebnis der Straßenbauverwaltung, das mit mehreren Ergebnissen des Auftragnehmers in der betreffenden Losgröße verglichen werden soll, kann wegen der Mindestanzahl von 2 Ergebnissen für den F-Test nicht erfolgen. Es wird zur Abhilfe das sogenannte kumulative Validierungsverfahren (KVV) vorgeschlagen, indem mehrere Bauabschnitte zu einem Gesamtlos zusammengefasst werden (Abb. 5). Das kumulative Validierungsverfahren ist ähnlich einem gleitenden Durchschnitt, bei dem einzelne Bauabschnitte – hier der Einfachheit als Los bezeichnet – zusammengefasst wer- 7|2022
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