AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS
Aibės sąvoka ir pavyzdžiai
Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje
vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami
aibės elementais. Kai elementas a priklauso aibei A
rašome: a ∈ A. Jei b nėra (nepriklauso) aibei A, rašome
b /∈ A. Pavyzdžiui, 1 ∈ {0,1,3,5} ir 2 /∈ {0,1,3,5}.
Paminėkime gerai žinomas matematikoje skaičių aibes
N = {1,2,3, . . .} – natūralieji skaičiai,
Z = {. . . , −2, −1,0,1,2,3, . . .} – sveikieji skaičiai,
Q = { m
, m ∈ Z, n ∈ N} – racionalieji skaičiai,
n
R – realieji skaičiai.
Realieji skaičiai gali būti pavaizduoti tiesėje: bet kurį realųjį
skaičių atitinka vienintelis tiesės taškas ir atvirksčiai – bet
kurį tiesės tašką atitinka vienintelis realusis skaičius.

Aibės poaibis
Apibrėžimas. Jei visi aibės A elementai yra ir aibės B
elementai, sakome, kad A yra aibės B poaibis ir rašome
A ⊂ B.
Pavyzdžiui,
{1,2,3} ⊂ {−1,0,1, √ 2,2,3, π} ⊂ R
Pastebėkime, kad skaičių aibės
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Iš poaibio apibrėžimo išplaukia, kad A ⊂ A, t. y. kiekviena
aibė yra savo poabis.
2

Skaičių intervalai
Intervalai – aibės R poaibiai
[a, b] – uždarasis intervalas (atkarpa) –
aibė {x ∈ R : a x b};
(a, b) – atvirasis intervalas –
aibė {x ∈ R : a < x < b};
(a, b] – pusiau atvirasis intervalas –
aibė {x ∈ R : a < x b};
[a, b) – pusiau atvirasis intervalas –
aibė {x ∈ R : a x < b}.
Begaliniai intervalai:
(−∞, a] – aibė {x ∈ R : x a};
(−∞, a) – aibė {x ∈ R : x < a};
(b,+∞) – aibė {x ∈ R : x > b};
[b,+∞) – aibė {x ∈ R : x b}.
Pastebėkime, kad (−∞,+∞) = R.
3

Aibių sąjunga ir sankirta
Apibrėžimas. Aibių A ir B sąjunga vadiname aibę
(žymime A∪B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso bent
vienai iš aibių A, B (t. y. iš elementų, kurie priklauso arba
aibei A, arba aibei B, arba abiems aibėms A ir B).
Pavyzdžiui,
{1,2,5} ∪ {0,1,3,4,5,6} = {0,1,2,3,4,5,6}
Pastebėkime, kad tų pačių elementų du kartus nerašome.
Dar susitarkime, kad nėra svarbi aibės elementų tvarka.
Apibrėžimas. Aibių A ir B sankirta vadiname aibę
(žymime A ∩ B), sudarytą iš elementų, kurie priklauso ir
aibei A, ir aibei B (t. y. iš elementų, kurie priklauso abiems
aibėms A ir B).
Pavyzdžiui,
{1,2,5} ∩ {0,1,3,4,5,6} = {1,5}
4

Tuščioji aibė
Kai aibės A ir B neturi bendrų elementų, jų sankirta irgi
neturi elementų ir vadinama tuščiąja aibe (žymime ∅).
Pavyzdžiui,
{1,2} ∩ {3,4,5} = ∅
(0,1) ∩ (1,1) = ∅
{x ∈ R : x 2 + 1 = 0} = ∅
Teorema. Jei A yra bet kuri aibė,
∅ ⊂ A
5

Aibių skirtumas
Aibių A ir B skirtumu (žymime A \ B) vadinama aibė,
sudaryta iš tų aibės A elementų, kurie nėra (nepriklauso)
aibės B elementai.
Pavyzdžiai
{1,2,3}\{2,3,4} = {1}, {2,3,4}\{1,2,3} = {4}
{x ∈ R : |x| 0} = R, {x ∈ R : |x| > 0} = R\{0}
{x ∈ R : |x| > 0} = ∅
6

Veiksmų su aibėmis
Oilerio diagramos
7

Veiksmai su skaičių intervalais
(−∞, a) ∪ [a,+∞) = R
(−∞, a) ∪ (a,+∞) = R \ {a}
Tarkime, kad a < b. Tada
(−∞, a) ∩ [a,+∞) = ∅
(−∞, a] ∩ [a,+∞) = {a}
(−∞, b] ∩ [a,+∞) = [a, b]
(−∞, b) ∩ (a,+∞) = (a, b)
(−∞, a] ∩ [b,+∞) = ∅
8

Funkcijos apibrėžimas
Tarkime, kad f yra taisyklė, kuri kiekvienam aibės A elementui,
priskiria kurį nors vieną aibės B elementą. Rašome
f : A → B. Pavyzdžiui, A = {Jonas,Petras,Birutė} – firmos
darbuotojų aibė, B = {vadovas,pavaduotojas,referentas}
– pareigų aibė. Taisyklė f, kuri nurodo darbuotojo pareigas:
yra funkcija.
f :
Jonas → vadovas
Petras → pavaduotojas
Birutė → referentas
Tarkime, kad a ∈ A, b ∈ B. Tada funkciją galima apibrėžti
jos reikšmėmis f(a) = b. Pažymėkime, JJ – Jonas
Jonaitis, PP – Petras Petraitis, JP – Jonas Petraitis, PJ –
Petras Jonaitis, v – vadovas, p – patarėjas, r – referentas.
Taisyklė g:
g (JJ) = v, g (JP) = p, g(PJ) = p, g (PP) = r
irgi yra funkcija.
9

Funkcijos apibrėžimo ir reikšmių sritys
Aibė A vadinama funkcijos f : A → B apibrėžimo sritimi,
visų reikšmių f(a) aibė vadinama funkcijos reikšmių
sritimi. Paveiksle pavaizduota funkcija
f : A → B, A = {a, b, c, d}, B = {α, β, γ, δ}.
Jos reikšmių aibė yra {α, β, δ} ⊂ B.
10

Funkcijų pavyzdžiai
Dolerio kursas
Surašykime į lentelę Lietuvos banko nustatytus JAV dolerio
kursus [Lt]:
data 2008-11-03 2008-11-09 2008-11-13
Lt už $ 2.61480 2.68440 2.73960
data 2008-11-17 2008-11-22
Lt už $ 2.71690 2.76050
Turime funkciją L : D → R.
D – datų aibė, R – realiųjų skaičių aibė.
Pateikta lentelėje informacija leidžia sužinoti dienos d dolerio
kursą k = L(d). Kintamasis d vadinamas nepriklausomu
kintamuoju, o funkcijos reikšmė k – priklausomu
kintamuoju.
11

Funkcijų pavyzdžiai
Paprastųjų palūkanų skaičiavimas
Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) paprastųjų palūkanų
per metus ir pradinis įnašas į banką S 0 [Lt]. Tada
sukaupta po n metų suma
S p(n) = S 0
1 + r
100
Sudėtinių palūkanų skaičiavimas
· n .
Tarkime, kad bankas moka r% (procentų) sudėtinių palūkanų
per metus ir pradinis įnašas į banką S 0 [Lt]. Tada
sukaupta po n metų suma
S s(n) = S 0
Taigi abiem atvejais S p,s : N → R.
1 + r
n .
100
12

Funkcijos grafikas
Nagrinėsime skaičių funkcijas, t. y. f : A → B,
A ⊂ R, B ⊂ R. Tarkime, kad A yra baigtinis arba
begalinis intervalas. Tada aibę A galima pavaizduoti
skaičių tiesėje 0x (abscisių ašyje), o funkcijos reikšmes
y = f(x) vaizduojame vertikalioje (ordinačių) ašyje 0y.
Taigi plokštumos taškai, kurių Dekarto koordinėtės (x, y),
sudaro kreivę – funkcijos grafiką.
Paveiksle pavaizduotos funkcijų y = x + 1 ir y = x 2
grafikai.
13

Elementariųjų funkcijų grafikai
Tiesinė funkcija
y = kx + b
14

Kvadratinė funkcija
y = ax 2 + bx + c
Diskriminantas D = b 2 − 4ac.
Lygties y = 0 šaknys (egzistuoja, kai D 0)
x1,2 = −b ± √ D
.
2a
Paveiksle pavaizduotos parabolės
y = x 2 , y = 2x 2 , y = −2x 3 + 4.
15

Trigonometrinės funkcijos
Paveiksle pavaizduoti funkcijų y = sin x ir y = cos x
grafikai
16

Laipsninės ir rodiklinės funkcijos
17

Logaritminė funkcija
y = log ax, x > 0, a > 0, a = 1.
a log ax = x
Žymime log 10 x = lg x, log ex = ln x, e = 2,71828 . . ..
Paveiksle pavaizduoti funkcijų
y = log 2 x – (1), y = ln x – (2), y = lg x – (3)
grafikai.
18

Funkcijų reiškimas keliomis formulėmis
Tarkime, kad funkcijos f(x) aibrėžimo sritis yra aibė D ir
A ⊂ D. Jei funkcija f(x) reiškiama formule f1 (x), kai
x ∈ A ir formule f2 (x) priešingu atveju. Tada rašome
f(x) =
f 1 (x), kai x ∈ A,
f 2 (x), kai x ∈ D \ A.
Pavyzdys. Tarkime, kad tam tikra paslauga buvo pasiūlyta
laiko momentų t 1 , o laiko momentu t 2 ja naudojosi
100% visų vartotojų. Funkcija
L(t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
0, kai t t 1 ,
100 t−t1 t2−t , kai t1 < t < t2 ,
1
100, kai t t2 gali būti tokios paslaugos tiekimo lygio matematinis modelis.
19

Atkarpomis tiesinė funkcija
Funkcija L(t) vadinama atkarpomis tiesinė funkcija. Jos
grafikas pavaizduotas paveiksle.
Uždavinys. Nustatykime laiko momentą, kai paslauga
naudojosi 30% visų vartotojų.
Sprendžiame lygtį:
L(t) = 100 t − t 1
t 2 − t 1
= 30
⇒ t = t 1 + 0,3(t 2 − t 1) = 0,7t 1 + 0,3t 2 .
20

Tiesės lygtis
Tarkime, kad žinomos dvi tiesinės funkcijos y(x) = kx+b
reikšmės y
x1 = y1 , y
x2 = y2 . Tiesė eina per
taškus A1 x1 , y1 ir A2 x2 , y2 . Tada
arba
Taigi
x − x 1
x 2 − x 1
y = y 2 − y 1
x 2 − x 1
= y − y 1
y 2 − y 1
x − y 2 − y 1
x 2 − x 1
x 1 + y 1 .
k = y2 − y1, b = −
x2 − x1 y2 − y1 x1 + y1 .
x2 − x1 Pavyzdys. Užrašykime tiesės, einančios per taškus A(1,2)
ir B(2,1) lygtį.
Taikome formulę:
x − 1 y − 2
=
2 − 1 1 − 2
arba y = −x + 3.
⇒ x − 1 = −y + 2
21

Pavyzdys
Akcijos kaina didėjo nuo sausio 7 (12Lt) iki vasario 11 (20Lt),
po to mažėjo iki vasario 28 (15Lt). Sudarykime atkarpomis
tiesinę kainos funkciją k(t). Laiką t matuosime dienų skaičiais
nuo metų pradžios: sausio 7 pažymėkime t1 = 7,
vasario 11: t2 = 42 ir vasario 28: t3 = 59. Tada, kai
t ∈
t1 , t2 , turime tiesės einančios per taškus (7,12) ir
(42,20) atkarpą. Kai t ∈
t2 , t3 – per taškus (42,20)
ir (59,15). Taigi pirmuoju atveju
o antruoju –
Užrašome
k(t) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
8
k − 12
20 − 12
k − 20
15 − 20
= t − 7
42 − 7 ,
= t − 42
59 − 42 .
35 t + 52 5
≈ 0,2286t + 10,40
− 5 17 t +
550
17
≈ −0,2941t + 32,35
kai 7 t 42
kai 42 t 59
22

Apskaičiuokime akcijos kainą sausio 17 ir vasario 21 dienomis.
Sausio 17 yra 17-oji metų diena. Kadangi 17 ∈ [7,42],
gauname
k(17) ≈ 0,2286 · 17 + 10,40 = 14,29[Lt]
Vasario 21 yra 31 + 21 = 52-oji metų diena. Turime
52 ∈ [42,59] ir
k(52) ≈ −0,2941 · 52 + 32,35 = 17,06[Lt]
23

Interpoliacija
Raskime einančią per tris žinomus taškus parabolę
y = ax 2 + bx + c.
Tarkime, kad žinomi taškai A1 x1 , y
1
A3 x3 , y3 kvadratinį trinarį galima užrašyti taip:
, A2 x2 , y2 ,
ir x1 = x2 , x1 = x3 , x2 = x3 . Tada
y(x) = y 1
+y 2
+y 3
x − x2
x1 − x2 x − x1
x2 − x1
x − x1
x3 − x1
x − x 3
x1 − x3 x − x 3
x2 − x3
x − x 2
+
x3 − x2 ,
+
kuris vadinamas Lagranžo interpoliaciniu daugianariu (polinomu).
24

Pavyzdys
Raskime, einančią per taškus(7,12), (42,20) ir(59,15),
parabolę
k(t) =
12(t − 42)(t − 59)
(7 − 42)(7 − 59)
+15
= 12(t2 − 101t + 2478)
1820
+20 (t − 7)(t − 59)
(42 − 7)(42 − 59) +
(t − 7)(t − 42)
(59 − 7)(59 − 42) =
+ 15(t2 − 49t + 294)
884
= − 311
30940 t2 + 22311
30940
− 20(t2 − 68t + 413)
+
595
=
t + 16453
2210
25

Apskaičiuokime k(17) ir k(52). Turime
ir
k(t) ≈ −0,0101 t 2 + 0,7211 t + 7,444
k(17) ≈ −0,0101 ·17 2 +0,7211 ·17 +7,444 ≈
≈ 16,80,
k(52) ≈ −0,0101 ·52 2 +0,7211 ·52 +7,444 ≈
≈ 17,76.
26

Paveiksle pavaizduota parabolė ir dviejų tiesių atkarpos,
jungiančios tuos pačius taškus(7,12), (42,20) ir(59,15).
27