X - techmat.vgtu.lt

Taikomoji matematika 1doc. dr. Vadimas Starikovičiusvs@vgtu.lthttp://www.techmat.vgtu.lt/~vsVGTU Matematinio modeliavimo katedraVGTU SC Lygiagrečiųjų skaičiavimų laboratorija

Kurso informacijaModulio kodas – FMMMB11306Modulio apimtis - 5 ECTS kr.Mokymo metodai:• Paskaitos – 10 val. per semestrą• Pratybos – 6 val. per semestrą• Laboratoriniai darbai – 6 val. per semestrąVertinimas = Egzaminas (50%) +Kontrolinis darbas (20%) +Namų darbas (10%) +2 laboratoriniai darbai (20%)

Literatūra1. http://www.techmat.vgtu.lt/~vs2. V.Būda, R.Čiegis. Skaičiuojamoji matematika.Vilnius: TEV, 1997.3. N. Listopadskis. Taikomoji matematika: statybosinžinerijos studijoms. "Technologija", 2004.4. V. Čekanavičius, G. Murauskas. Statistika ir jostaikymai (1 dalis).5. Kaunietis, S. Petraitienė. Taikomoji matematika.Pavyzdžiai ir uždaviniai.6. R. Atstupėnienė ir kt. Taikomosios matematikospraktikumas.7. Gilat, Amos. Numerical methods for engineers andscientists: an introduction with applications usingMATLAB.8. V. Pekarskas. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas.2-oji dalis, 2003.

Kurso aprašas• Matematinis modeliavimas. Diferencialinėmislygtimis aprašomų reiškinių ir procesų modeliųsudarymas ir analizė. Paprasčiausių diferenciniųlygčių sprendimas.• Skaitiniai metodai ir jų taikymas taikomuosiuoseuždaviniuose: apytiksliai skaičiai ir paklaidos,netiesinių lygčių sprendimo metodai, iteraciniaitiesinių lygčių sistemų sprendimo metodai, funkcijųinterpoliavimas ir aproksimavimas, skaitiniointegravimo metodai, skaitiniai diferencialinių lygčiųsprendimo metodai.• Matematinės statistikos elementai. Duomenųtvarkymas, parametrų įverčiai, statistinės hipotezės.

Matematinis modeliavimasTradicinis (iki XX a. pabaigos) modeliavimo būdasmoksle, inžinerijoje, gamtosaugoje, ekonomikoje:1. Sukurti teoriją/modelį/įrenginį.2. Patikrinti ją/jį stebėjimuose arba eksperimentuose.Tradicinio modeliavimo būdo problemos ir trūkumai:• brangu (daryti eksperimentiniuslėktuvus/automobilius/raketas/įrenginius)• ilgai (projektuoti/bandyti naujus įrenginius, lauktiklimato pakeitimų)• pavojinga (branduoliniai bandymai/vaistų dizainas)Sprendimas – virtualus eksperimentas(kompiuterinė simuliacija)

Raketų, lėktuvų, automobilių projektavimasVirtualus eksperimentasKompiuterinė simuliacija

Saugumo testų modeliavimas

Orų prognozė irklimato pokyčių modeliavimas

Matematinis modeliavimas su kompiuterių pagalbaKompiuteriai patys savaime uždavinių neišsprendžia(bent kol kas).1. Realų uždavinį reikia aprašyti matematiškai, t.y.reikia sudaryti jo matematinį modelį.2. Reikia parinkti matematinio modelio sprendimometodą. Sudėtingiems modeliams analiziniųsprendimo metodų nėra. Reikia parinkti skaitinįmetodą ir sudaryti sprendimo algoritmą.3. Reikia perrašyti sprendimo algoritmą viena išprogramavimo kalbų.4. Galiausiai atliekami skaičiavimai kompiuteryje (lygiagrečiajame).Atliekami rezultatų analizė ir patikrinimas(angl. validation). Prireikus, matematinis modelis,skaitinis sprendimo algoritmas yra patikslinami.

Uždavinio sprendimas pagalmatematinio modeliavimo schemaUždavinysDėsnių, aprašančiųvykstančius procesus,nustatymasMatematinis modelisSprendimoalgoritmasSprendimo metodoparinkimas.AlgoritmizavimasProgramavimasProgramaRezultatųpatikrinimas iranalizėRezultataiSkaičiavimai

Matematinių modelių sudarymas• Pagal aptartą uždavinio sprendimo schemą pirmajamežingsnyje turi būti sudarytas (arba parinktas jau žinomas)tinkamas matematinis modelis.• Uždavinį sudarančius fizikinius, cheminius, biologinius,ekonominius ar socialinius procesus aprašo atitinkamidėsniai.• Deterministinių reiškinių atveju šie dėsniai užrašomisąryšių tarp atitinkamų dydžių, t.y. lygčių pagalba.• Pastaba. Stochastiniai reiškiniai aprašomi stochastinių(tikimybinių) modelių pagalba.• Dažniausiai šie dėsniai užrašomi lygtimis su išvestinėmis,t.y. diferencialinėmis lygtimis ir jų sistemomis.• Kokius žinote dėsnius ir kaip jie užrašomi?

Modelių, aprašomų diferencialinėmis lygtimis,sudarymo žingsniai1. Iš pradžių reikia nustatyti nagrinėjimus dydžius ir įvesti atitinkamųfunkcijų, parametrų, koeficientų žymėjimus.Pavyzdžiui, nagrinėjant materialiojo taško judėjimą tiesėje, jopadėtis x yra funkcija nuo laiko t , t.y. x = x(t), greitis – v = v(t),pastovi masė – konstanta m, ir t.t.2. Prisiminame, kad dydis, aprašantis tam tikros funkcijos kitimogreitį, matematiškai užrašomas kaip šios funkcijos išvestinė.Pavyzdžiui, greitis v yra padėties x(t) kitimo greitis laike t, t.y.v = x'(t), pagreitis a yra greičio v(t) kitimo greitis laike t, t.y.a = v'(t) = x''(t).3. Uždavinio sąlygoje randame informaciją apie sąryšius tarp dydžių(funkcijų) ir jų kitimo greičių (t.y. tų funkcijų išvestinių).4. Šiuos sąryšius užrašome lygčių pagalba įvedant, jei reikia,papildomus proporcingumo koeficientus, tikintis nustatyti juosvėliau iš papildomų sąlygų uždavinio formulavime.5. Užrašome papildomas sąlygas apie ieškomų dydžių – funkcijų žinomasreikšmes tam tikrais laiko momentais arba erdvės taškuose.6. Išsprendžiame diferencialinę lygtį (sistemą) ir panaudojamepapildomas sąlygas nežinomų konstantų radimui.

Materialiojo taško judėjimo lygtys• Uždavinys. Iš pabūklo, kurio vamzdis su horizonto linija sudarokampą α, pradini greičiu v 0 iššaunamas sviedinys. Neatsižvelgdamiį oro pasipriešinimą, raskite sviedinio skrydžio trajektoriją. Nustatykitesviedinio skrydžio laiką, nuskristą atstumą, aukščiausiopakilimo aukštį.• Sprendimas. Sviedinio padėčiai aprašyti, įvedame dvimatękoordinačių sistemą Oxy su pabūklu koordinačių pradžioje. Tadasviedinio padėtį laiko momentu t nusako vektorius(x, y) = (x(t), y(t)).Atitinkamai turime dvimačius greičio ir pagreičio vektorius:(v x , v y ) = (v x (t), v y (t)) ir (a x , a y ) = (a x (t), a y (t)).Uždavinio sąlygomis sviedinį skrydžio metu veikia tik sunkiojėga, nukreipta kryptimi priešinga Oy. Taigi gauname tokį jėgųvektorių: (F x , F y ) = (0, -mg).Koks fizikos dėsnis aprašo sviedinio judėjimą?Pagal antrąjį Niutono dėsnį turime F ma.ma x Fxmx ( t) Fx mx ( t) 0 x( t) 0 ma myyFy( t) Fymy ( t) mgy ( t) g

Materialiojo taško judėjimo lygtysKiekvieną lygtį galime integruoti atskirai. Suintegravę irpasinaudoję žinomais pradiniu greičiu ir padėtimi, gauname tokįsprendinį: x(t) v0cost2 ty(t) g v0sint 2• Uždavinys. Kūnas (masės m) pradeda kristi žemyn pradiniugreičiu, lygiu nuliui. Gaukite kritimo greičio formulę, atsižvelgiantį oro pasipriešinimą, kuris yra proporcingas judančio kūno greičiokvadratui.• Sprendimas. Šiuo atveju kūnas juda tiese, todėl užtenkavienmatės koordinačių sistemos Ox, kurią nukreipiame žemyn.Tegu v = v(t) yra krentančio kūno greičio funkcija. Tada oro2pasipriešinimo jėga užsirašo taip: F o kv , čia k –proporcingumo koeficientas.Tada iš antrojo Niutono dėsnio gauname tokią lygtį:mvJą suintegravę, gauname mg kv2.2abte 1mg kv ( t) a ,2abtkur a , b .e 1k m

Diferencialinių lygčių modeliai• Uždavinys. Tam tikra populiacija, sudaryta iš P individų veikiantišorės veiksniams mažėja 2 P individų per mėnesį greičių. Pokelių mėnesių ši populiacija išnyks, jei pradiniu laiko momentu jojebuvo 1600 individų.• Sprendimas. Pagal uždavinio sąlygą gauname tokią diferencialinęlygtįP 2 P.Suintegravę lygtį ir pasinaudoję pradine sąlyga, gauname2P(t) (400 t).Iš čia gauname atsakymą: po 400 mėnesių.• Uždavinys. Cukrus tirpinamas vandenyje. Jo tirpimo greitis laikomomentu t proporcingas neištirpusio cukraus kiekiui tuo laikomomentu. Per kurį laiką ištirps pusę cukraus kiekio, jei per 1 min.ištirpo ketvirtadalis pradinio cukraus kiekio.• Sprendimas. Tegu m = m(t) yra neištirpusio cukraus kiekis laikomomentu t. Tada iš uždavinio sąlygos sudarome tokią diferencialinęlygtį:Suintegravę lygtį ir pasinaudoję pradine sąlyga, gauname proporcingumokoeficientą k ln( 3/ 4) 0,288ir atsakymą: per 2,41 min.m km,

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Kūno aušimo greitis proporcingas kūno ir jį supančios aplinkos temperatūrųskirtumui (Niutono dėsnis). Iki 100°C temperatūros įkaitintas kūnas 20°Cpatalpoje per pirmąsias 10 min atvėsta iki 60°C. Per kiek laiko to kūnotemperatūra sumažės iki 25°C?Atsakymas: 40 min.2. Judančią iš inercijos valtį, kurios pradinis greitis 1,5 m/s, stabdo vandenspasipriešinimo jėga, proporcinga tos valties greičiui. Po 4 s valties greitissumažėja iki 1 m/s. Per kiek laiko valties greitis sumažės iki 1 cm/s? Kokįatstumą valtis nuplauks, kol sustos?Atsakymas: Apytiksliai per 50 s ir 15 m.3. Pakartoti pirmos ir antros eilės paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimą.1-o kurso medžiaga, pavyzdžiui, 8-as literatūros sąrašo vadovėlis.

Skaitiniai uždaviniųsprendimo metodaiir jų taikymo klausymai.

Apytiksliai skaičiai ir paklaidos

Apytiksliai skaičiai ir paklaidos• Matematiniame modelyje dažniausiai naudojamipradiniai duomenys ir koeficientai, kurie žinomi arbamatuojami tik apytiksliai.• Kitas apytikslių skaičių šaltinis glūdi kompiuteriųaritmetikoje – kompiuterio atmintinėje visi realiejiskaičiai užrašomi baigtine dešimtaine trupmena, kuriosilgis priklauso nuo kintamajam išsaugoti skirtų bitųskaičiaus, t.y. apvalinami!• Pvz., (1:3)·3 = ?• Sprendžiant realius uždavinius, atliekami milijonaiaritmetinių veiksmų. Kai nėra kontroliuojamos, pradinėsir apvalinimo paklaidos gali susikaupti, išaugti irneatpažįstamai iškreipti gaunamą sprendinį. Tokieskaitiniai sprendimo metodai vadinami nestabiliais.• Sieksime sudarinėti stabilius skaitinius metodus iralgoritmus, kai paklaidos nesikaupia (neauga).

Absoliučioji ir santykinė paklaidosTarkime, kad yra žinomas skaičiaus a artinys (apytikslė reikšmė) - x.Apibrėžimas. Skaičiaus a artinio x absoliučiąja paklaida vadinamasdydisax a.Apskaičiuokime absoliučiąsias paklaidas, kai a=1000, o x=1012 irb=0,01, o y=0,0098. Kurio skaičiaus (a arba b) artinys yratikslesnis?Apibrėžimas. Skaičiaus a artinio x santykine paklaida vadinamasdydisApskaičiuokime santykines paklaidas. Kuris artinys tikslesnis?Dažnai naudojama tokia apytiksliai žinomo dydžio a užrašymoforma:Kodėl ± ?aaaaxx aa a..

Maksimalios absoliučioji ir santykinė paklaidosPraktiniuose taikymuose tikslus skaičius a dažniausiai nėra žinomas,t.y. negalime apskaičiuoti tiksliaiTada naudojamas kuo tikslesnis absoliučios paklaidos įvertis vadinamasmaksimalia (ribine) absoliučiąja paklaida. Žymėsime a, t.y.a a.a ir a .Pavyzdžiui, gali būti nustatoma, kaip apvalinimo arba matavimopaklaida.Ap. Skaičiaus a artinio x maksimalia santykine paklaida vadinamasdydisaNustatykite, kuri apytiklė lygybė tikslesnė:911aa .| x | 0,818 arba184,24?

Veiksmai su apytiksliais skaičiais: sudėtis ir atimtisDviejų apytikslių skaičių suma, skirtumas, sandauga, dalmuo, aišku,taip pat yra apytiksliai skaičiai.Tarkime, kad x ir y yra skaičių a ir b artiniai. Įrodykime, kad( a b) a b.Savarankiškai įrodykite, kad1 teiginys. Dviejų apytikslių skaičių sumos ar skirtumo absoliučiojipaklaida yra ne didesnė už tų skaičių absoliučiųjų paklaidų sumą.O kaip yra su santykine paklaida?Panagrinėkime pavyzdį: a=10000, x=10012 ir b=9999, y=9995.Apskaičiuokimea, b( a b) a b.ir palyginkime su ab.1 stabiliųjų algoritmų sudarymo taisyklė. Skaičiavimo algoritmusreikia sudaryti taip, kad nebūtų atimami dideli (palyginti su skirtumu)vienodo didumo skaičiai.

Veiksmai su apytiksliais skaičiais: daugyba ir dalybaTarkime, kad x ir y yra skaičių a ir b artiniai. Galima įrodyti, kadasimptotiškai mažiems a ir bab ab.Analogiškai įrodoma, kad a/ b a b .2 teiginys. Dviejų apytikslių skaičių sandaugos ar dalmens santykinėpaklaida asimptotiškai mažiems yra ne didesnė už tų skaičiųsantykinių paklaidų sumą. ira bO kaip yra su absoliučiąja paklaida?Panagrinėkime pavyzdį. Tegu a=1, jo artinys x=1,1 ir b=0,01.Apskaičiuokime a ir palyginkime su( a / b).2 stabiliųjų algoritmų sudarymo taisyklė. Skaičiavimo algoritmusreikia sudaryti taip, kad nebūtų dalybos iš mažo skaičiaus.

Funkcijos reikšmės paklaidos apskaičiavimasTarkime, kad reikia apskaičiuoti funkcijos reikšmę f(a) , kai argumentoreišmė yra žinoma tik apytiksliai - x ap . Kokia bus reikšmės f(x ap )paklaida?Kai funkcija f(x) yra tolydžiai diferencijuojama ir žinoma argumentoreikšmės a paklaida Δa, tada funkcijos reikšmės f(a) paklaidą galimaįvertinti pagal formulęPraktykoje taikomos formulės:f( xap)f( a)|f ( a) f ( xap) | a.xf( xap)f( a) air f a)xf( xKai apskaičiuojama kelių kintamųjų funkcijosreišmė, o argumentai ( a1,a2,,an) a žinomi tik apytiksliai –naudojama formulė)1( xf( xapap ap( aaxf ap)xf ( xapf( a)ni1f( xxapi)ai.y)xf ( x , x2,,x) .)f ( )1 n xx ap

Realių skaičių sudėtis kompiuterių aritmetikojeDėl apvalinimo paklaidų kompiuterių aritmetikoje skaičių perstatomumodėsnis negalioja (rezultatas priklauso nuo sumavimo tvarkos).Pavyzdys. Apskaičiuokime sumą S 0,2680,3951,37 25,6 136.Tarkime, kad turime kompiuterį, kuriame skaičiaus x saugojimui yraskirtos 5 skiltys: skaičiaus ženklas, 3 reikšminiai ženklai (a, b, c) irlaipsnis k (kablelio padėtis): x = ± a,bc ∙ 10 k .Sumuodami iš kairės į dešinę (apvalindami po kiekvieno veiksmo),gaunameS164.Sumuodami iš dešinės i kairę (apvalindami po kiekvieno veiksmo),gauname S 163.Neapvalindami, gaunameS163,633.3 stabiliųjų algoritmų sudarymo taisyklė. Skaičiavimo algoritmusreikia sudaryti taip, kad skaičiai būtų sudedami jų didėjimo tvarka.

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Kuri lygybė tikslesnė: 44 6,63 ar19 0.463?4100012. Duoti du apytiksliai žinomi dydžiai: irRaskite jų sumą a+b ir skirtumą a-b. Pastaba: reikia įvertini rezultatųabsoliučiąsias paklaidas (pagal 1 teiginį). Įvertinkite ir palyginkite santykinesrezultatų paklaidas.3. Duoti du apytiksliai žinomi dydžiai: a 2,53780,0001 ir b 0,006 0,001.Raskite jų sandaugą ab ir santykį a/b. Pastaba: reikia įvertini rezultatųabsoliučiąsias paklaidas. Palyginkite gautas paklaidas.4. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ir įvertinkiteabsoliučiąją ir santykinę paklaidas, kaifb 2,536 0,001a 2,53780,.3( x,y,z) xsiny zx 3,59 0,01, y 0,467 0,001, z 563,2 0,1.5. Kubo kraštinė yra išmatuota 1,5% tikslumu. Kokia yra to kubo tūrio santykinėpaklaida? Pastaba: galima išspręsti dviem būdais (panaudojant Teiloro formulęarba 2 teiginį).6. Kokia padaroma kūno ilgio matavimo paklaida (absoliuti ir santykinė), jei buvomatuojama milimetrine liniuote, o gautas kūno ilgis 1,85 cm.7. Kokia padaroma kūno tūrio matavimo paklaida (absoliuti ir santykinė), jei buvomatuojama milimetrine liniuote, o gauti kūno matmenys: ilgis 20 cm, plotis 5 cmir aukštis 15 cm.8. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių (pvz., iš 6-jo).

Algoritmo aritmetinių veiksmų skaičiusUždavinio sprendimo algoritmo pasirinkimą lemia ne tik jautrumaspaklaidoms, bet ir algoritmo įvykdymui reikalingas aritmetiniųveiksmų skaičius (algoritmo sudėtingumas).Pavyzdys. Kiek aritmetinių veiksmų reikia atlikti skaičiuojant n-ojon n1laipsnio daugianario f ( x) anx an1xa1x a0reikšmę kuriame nors taške x = c?1 algoritmas.f := a0ciklas su visais i nuo 1 iki nx i := 1ciklas su visais j nuo 1 iki ix i := x i ∙cciklo pagal j pabaigaf := f + a i ∙ x iciklo pagal i pabaigaKiek atliekame sudėties ir daugybos veiksmų pagal šį algoritmą?2Atliekame n sudėties ir n / 2 3n/ 2 daugybos veiksmų.Ar galima sumažinti šių veiksmų skaičių?

Algoritmo aritmetinių veiksmų skaičius2 algoritmas.f := a0x i := cciklas su visais i nuo 1 iki nf := f + a i ∙ x ix i := x i ∙cciklo pagal i pabaigaKiek atliekame sudėties ir daugybos veiksmų pagal šį algoritmą?Atliekame sudėties ir daugybos veiksmų.3 Hornerio algoritmas.nn1n1 x a1x a0 ((( anx an1)x an2)x a1)f ( x) a x ax ann2nf := a nciklas su visais i nuo n iki 1 (su žingsniu -1)f := f ∙c + a i-1ciklo pagal i pabaigaKiek atliekame sudėties ir daugybos veiksmų pagal šį algoritmą?Atliekame n sudėties ir n daugybos veiksmų.0

Netiesinių lygčiųsprendimo metodai

• Išmoksime spręsti lygtis f(x) = 0, kuriose f(x) yra netiesinė funkcija.• Pavyzdys. Rinkos pusiausvyros kainos radimas. Ekonominispaklausos dėsnis teigia, kad prekės paklausa – prekės kiekis d, kurįpirkėjai norėtų ir galėtų įsigyti – mažėja, didėjant kainai p.• Taigi paklausa yra mažėjanti kainos funkcijad = d(p).• Iš kitos pusės, gamintojų noras tiekti prekes irgi yra susijęs suprekių kaina. Pagal ekonominį pasiūlos dėsnį, prekių pasiūla –prekių kiekis s, kurį gamintojai norėtų gaminti ir galėtų tiektirinkai – didėja, augant kainai p.• Taigi pasiūla yra didėjanti kainos funkcijas = s(p).• Aišku, kad gamintojai norėtų kelti prekės kainą, o pirkėjai,priešingai, mieliau pirktų pigesnę prekę. Laisvoje rinkoje rinkoskaina p tam tikrą laiką svyruoja, kol prekės pasiūla susilygina supaklausa:d(p) = s(p).• Šios lygties sprendinys ir vadinamas rinkos pusiausvyra kaina - p 0 .

• Tegu yra žinomos tam tikros paklausos ir pasiūlos kreivės.• Kaip rasti pusiausvyros rinkos kaina p 0 ?3 p• Reikia išspręsti lygtį p e .

• Naudosime skaitinius (t.y. neanalizinius) metodus, kurie leidžiarasti lygties f(x) = 0 apytikslį sprendinį norimu tikslumu ε.• Nagrinėsime įvarius metodus:– Pusiaukirtos metodas– Niutono metodas (liestinių metodas)– Kirstinių metodas• Kaip pasirinkti “geriausią” metodą sprendžiamam uždaviniui(t.y. lygčiai)?• Aptarsime metodų konvergavimo greičius, t.y. kaip greitai yramažinama paklaida tarp gaunamų artinių ir ieškomo sprendinio.• Suformuluosime ir aptarsime metodų konvergavimo sąlygas, t.y.sąlygas, kada galime taikyti vieną ar kitą metodą.

Šaknų atskyrimo metodaiLygtis f(x) = 0 gali turėti ne vieną šaknį.Apibrėžimas. Intervalas (a, b) yra šaknies izoliacijos intervalas, jeilygtis f(x) = 0 tame intervale turi vienintelį šaknį.Šaknų atskyrimo uždavinys formuluojamas taip:Duota lygtis f(x) = 0. Reikia rasti visų jos šaknų izoliacijosintervalus.Taigi sprendžiant lygtį f(x) = 0, tai daroma dviem etapais:1. lokalizuojamos lygties šaknys (šaknų atskyrimo uždavinys);2. randamos atskiros šaknys: visos (viena po kitos) ar tik reikalingos(pvz., didžiausia, mažiausia), panaudojant ieškomos šakniesizoliacijos intervalą.Dažniausiai šaknų atskyrimui yra taikomi šie sprendimo būdai:• Grafinis šaknų atskyrimas• Intervalo skaidos metodas• Monotoniškumo intervalų metodas

Grafinis šaknų atskyrimasJei galima bent schematiškai nubrėžti funkcijos y = f(x) grafiką, taiiš brėžinio galima nustatyti intervalus, kuriuose grafikas kerta arbaliečia Ox ašį, t.y. lygties f(x) = 0 šaknų izoliacijos intervalus.

Grafinis šaknų atskyrimasJei y = f(x) grafiką nubrėžti sudėtinga, galima pabandyti perrašytilygtį pavidalu g(x) = h(x), kai funkcijų y = g(x) ir y = h(x) grafikusnubrėžti nesudėtinga.Tada ieškomos šaknys yra grafikų susikirtimo taškai.Pvz., panagrinėkime lygtį x sin(x)= 1.y1xy sin xKiek šaknų turi lygtis x sin(x)= 1 ?Koks yra mažiausios teigiamos šaknies izoliacijos intervalas?

Intervalo skaidos metodas• Šaknys atskiriamos pasirinkus pakankamai didelį pradinį intervaląir padalijus jį į N dalių. Toliau nustatomi funkcijos f(x) ženklaikiekvieno dalinio intervalo galuose.• Jei dalinio intervalo galuose funkcija yra priešingų ženklų, tai jameyra lygties sprendinys (jei funkcija yra tolydi).4 3 2• Pavyzdys. f ( x) x 4x 4x 2 0, [ 13,11],N 6.Apskaičiuokime funkcijos reikšmės intervalų galuose.• Šaknų nėra? O jei paimsime• Taigi, nesėkmingai parinkus pradinį intervalą ir N, šiuo metodugalima nerasti (nepastebėti) visų sprendinių, kai:• į dalininį intervalą patenka lyginis sprendinių skaičius,• į dalininį intervalą patenka nelyginis sprendinių skaičius (>1).• Pavaizduokite šiuos atvejus.[ 4,6], N 6?

Monotoniškumo intervalų metodas• Šis būdas taikytinas tada, kai galima bent apytiksliai išspręsti lygtįf '(x) = 0 ir nustatyti funkcijos f(x) monotoniškumo (t.y. didėjimo irmažėjimo) intervalus pagal f '(x) ženklą.• Tuose monotoniškumo intervaluose, kurių galuose f(x) įgyjapriešingų ženklų reikšmes, yra vienintelis lygties sprendinys;• Tuose monotoniškumo intervaluose, kurių galuose ženklaivienodi, sprendinių nėra.• Pavyzdys (2-o vadovėlio 24 pusl.). Vėl panagrinėkime lygtįf ( x) x 4x 4xGalime nesunkiai išspręsti lygtį f ' (x) = 0 :f (x) 4x3412x2 2 0.Iš čia gauname funkcijos f(x) monotoniškumo (t.y. didėjimo irmažėjimo) intervalus.38x2 4x(x 1)(x 2) 0.

Pusiaukirtos (angl. bisection) metodas• Bolcano ir Koši teorema. Jei funkcija f(x) yra tolydi intervale[a,b] ir šio intervalo galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, taitarp a ir b yra toks taškas c, a < c < b, kuriame ši funkcija lyginuliui: f(c) = 0.• Metodo idėja – intervalo mažinimas dalinant pusiau. Iš dviejųintervalo pusių toliau mažinama tą, kurios galuose funkcija f(x)įgyja priešingų ženklų reikšmes, t.y. kuriai priklauso ieškomašaknis.

Pusiaukirtos metodo algoritmas1. Pradinio intervalo parinkimas. Parenkame tokį pradinį intervalą, [a 0 , b 0 ], kurio galuosefunkcijos reikšmės yra priešingų ženklų: f(a 0 )f(b 0 ) < 0. Dalijimų skaičius n = 0.an b2. Vidurio taško apskaičiavimas. Apskaičiuojame intervalo [a n , b n ] vidurio tašką: cn23. Tikslumo tikrinimas. Jei intervalo [a n , b n ] ilgis ne didesnis už dvigubą reikalaujamątikslumą, |b n – a n | ≤ 2ε, tai c = c n yra apytikslis lygties f(x) = 0 sprendinys, o jo paklaidane didesne už ε. Šiuo atveju skaičiavimus baigiame.4. Ženklo nustatymas. Priešingu atveju, jei intervalo [a n , b n ] ilgis yra didesnis už 2ε, tainustatome funkcijos f(x) reikšmės ženklą intervalo vidurio taške c n. Jei f(c n ) = 0, taic = c n yra tiksli lygties f(x) = 0 šaknis. Skaičiavimus baigiame.5. Naujo intervalo nustatymas. Jei f(c n ) ≠ 0, tai nustatome naują intervalą, kurio galuosefunkcija f(x) yra priešingų ženklų – jame yra tikslusis lygties sprendinys:Jei f(a n )f(c n ) > 0, tai a n+1 = с n , b n+1 = b nJei f(a n )f(c n ) < 0, tai a n+1 = a n , b n+1 = c n6. Padidiname dalijimų skaitiklį: n := n+1 ir grįžtame į antrąjį algoritmo žingsnį.3• Išspręskime pavyzdį – rinkos pusiausvyros uždavinį x ex 00,01 tikslumu (2 vadovėlio 23 pusl., 2 lentelė).• Pasirinkę pradinį intervalą [a 0 , b 0 ] = [0, 1], po 6 iteracijų gaunameapytikslį sprendinį vienos šimtosios tikslumu: c 6 ≈ 0,77.n

Pusiaukirtos metodas• Funkcijos tolydumas intervale [a, b] yra būtinas. Panagrinėkimepavyzdžius xy , y tgx.| x |• Pusiaukirtos metodo paklaidos įvertis:bn anb0 a0n| c cn| .n2 2• Toliau nagrinėjami metodai (Niutono, kirstinių) konverguosdidesniu greičiu, tačiau tik tada, kai funkcija f(x) tenkinspapildomus reikalavimus.

Skaitinių metodų konvergavimo greičiai• Skaitiniai metodai yra klasifikuojami pagal jų konvergavimogreičius, t.y. pagal tai, kaip greitai jie mažina apytiksliosprendinio paklaida.• Bendru pavidalu metodo paklaidos įvertį galime užrašyti, taip| xn1c| n1pq.• Kai p = 1, sakoma, kad metodas yra pirmos eilės ir turi tiesinįkonvergavimo greitį.• Akivaizdu, kad tam, kad pirmos eilės metodas konverguotų,įverčio konstanta q turi būti : 0 < q < 1.• Pavyzdžiui, pusiaukirtos metodas yra pirmos eilės, t.y. turi tiesinįkonvergavimo greitį: q = ½.• Kai p = 2, sakoma, kad metodas yra antros eilės ir turi kvadratinįkonvergavimo greitį.• Toliau susipažinsime su kitais lygties f(x) = 0 sprendimometodais, kurių konvergavimo greitis yra didesnis nei tiesinis.n

Niutono (liestinių) metodas• Pasirinkime pradinį lygties f(x) = 0 sprendinio c artinį x 0 ,apskaičiuokime funkcijos reikšmę f(x 0 ) ir nubrėžkime funkcijosf(x) liestinę per duotą tašką (x 0 , f(x 0 )): y f x ) f (x )( x ).(0 0x0• Liestinės ir Ox ašies susikirtimotašką laikysime naujuojusprendinio artinių – x 1 .• Jį apskaičiuojame iš liestinėslygties, nes taškas (x 1 , 0) turiją tenkinti:0 f ( x0) f (x0)(x1 x0).x1• Kartojame šį procesą pagalformulę:x x0xf ( xf (x n1n00).)f( xn) .f ( x )nNiutono metodo geometrinė interpretacija:

Niutono metodo konvergavimo sąlygos ir greitisAr seka {x n } konverguoja? Kokiomis sąlygomis? Kokiu greičiu?3 Teorema. Jei lygties f(x) = 0 sprendinio c aplinkoje1) pirmoji funkcijos išvestinė nelygi nuliui, t.y. | f (x) | M1 0,2) antroji išvestinė aprėžta, t.y. | f ( x) | M2,3) o pradinis artinys yra pakankamai arti tiksliojo sprendinio c,tai Niutono metodo iteracinė artinių seka {x n } konverguoja įtikslųjį sprendinį c, t.y. lim c,x nno paklaida įvertinama tokia nelygybe:M2M• Taigi, Niutono metodas turi kvadratinį konvergavimo greitį irkonverguoja sparčiau, ypač, kai paklaida pasidaro maža.• Pastebėkime, kad pradinis artinys turi būti pakankami arti,kad pirmasis artinys būtų jau arčiau ir t.t., t.y. kad procesaskonverguotų (kitaip gali diverguoti): 2M|x|2n1 c | xn c1|x n0 c | M21.|2.

Niutono metodo algoritmas1. Pradinio artinio parinkimas. Pasirenkamas pradinis artinys .Iteracijų skaitiklis n = 0.2. Naujo artinio apskaičiavimas. Apskaičiuojamas naujas artinys:xx n1nf( xn) .f ( x )3. Tikslumo tikrinimas. Jei sąlyga | x n 1 xn| negalioja, tai iteracijų skaitiklisdidinamas vienetu ir grįžtame į 2 žingsnį.4. Iteracijų pabaiga. Jei tikslumo sąlyga galioja, skaičiavimai baigiami, ir x yran 1apytikslis lygties f(x) = 0 sprendinys.Pastabos:1. Nepamirškite, kad šį algoritmą galime naudoti, tik jeigu funkcijos f(x) išvestinėyra nelygi nuliui ieškomo sprendinio aplinkoje, o pradinis artinys pasirinktaspakankamai arti.2. Jei Niutono metodas konverguoja, tai turi galioti įvertis:Jo pagalba galima patikrinti, ar metodas konverguoja.Pavyzdys (2 vadovėlio 37 pusl., 3 pvz.). 0,00001 tikslumu išspręskime lygtį3x x 0,2310. Pasirinkime pradinį artinį x 3 0.Pastaba. Tikslusis lygties sprendinys c = 1,1.nx 0x x x x.n1 n n n1

• Kai funkcijos f(x) išvestinę analiziškai rasti neįmanoma galimevietoje liestinių naudoti kirstines ir sudaryti kirstinių metodą.• Pasirinkime du pradinius lygties f(x) = 0 sprendinio c artinius x 0 irx 1 ir nubrėžkime funkcijos f(x) kirstinę per duotus taškus (x 0 , f(x 0 ))ir (x 1 , f(x 1 )): y f ( x ) x xf ( x• Kirstinės ir Ox ašies susikirtimotašką laikysime naujuojusprendinio artinių – x 2 .• Jį apskaičiuojame iš kirstinėslygties, nes taškas (x 2 , 0) turi jątenkinti:x2x1f ( x )• Kartojame šį procesą pagalformulę:xn2xn1f ( xn11)0Kirstinių metodas) x1f ( x )1xf ( xn11f ( x )n1)1x0f ( x0xnf ( xx0.)n.)1 x1.Metodo geometrinė interpretacija:

Kirstinių metodo konvergavimas• Sekos {x n } konvergavimo sąlygos labai panašios į Niutonometodo konvergavimo sąlygas (3 teoremos), t.y. glodi irnenulinė išvestinė sprendinio c aplinkoje.• Galima įrodyti, kad kirstinių metodo paklaida tenkina nelygybę:| x1c| C | x c| , čia ( 5 1) / 2 1,62.nn• Taigi, kirstinių metodas konverguoja lėčiau (iteracijų prasme)negu Niutono metodas.• Tačiau vienos Niutono metodo iteracijos skaičiavimų apimtissulyginama su dviejų kirstinių metodo iteracijų apimtimi, nesNiutono metodui reikia apskaičiuoti ir funkcijos, ir jos išvestinėsreikšmes, o kirstinių metodui – tik funkcijos.• O po dviejų iteracijų kirstinių metodas sumažina paklaidądaugiau:2| x c| C | x c| , čia 2,62.n2n• Todėl dažniausiai skaičiavimų laiko prasme kirstinių metodasleidžia apskaičiuoti sprendinį greičiau negu Niutono.

Kirstinių metodo algoritmas1. Pradinių artinių parinkimas. Pasirenkami pradiniai artiniai x 0 ir x 1 .Iteracijų skaitiklis n = 0.2. Naujo artinio apskaičiavimas. Apskaičiuojamas naujas artinys:xn2xn1f ( x| x n 2 xn 13. Tikslumo tikrinimas. Jei sąlyga negalioja, tai iteracijų skaitiklis|1 xn) f ( xdidinamas vienetu ir grįžtame į 2 žingsnį.4. Iteracijų pabaiga. Jei tikslumo sąlyga galioja, skaičiavimai baigiami, ir yraapytikslis lygties f(x) = 0 sprendinys.Pastaba. Jei kirstinių metodas konverguoja, tai turi galioti įvertis:n1x x x x.n1 n n n1 Jo pagalba galima patikrinti, ar metodas konverguoja.)xf ( xPavyzdys (2 vadovėlio 41 pusl., 5 pvz.). 0,00001 tikslumu išspręskime tą pačiąlygtį3x x 0,2310.Pasirinkime pradinius artinius x , x 3.nn1041 n.)x n2

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Grafiškai atskirkite lygties šaknis. Pusiaukirtos metodu raskite jos sprendinį (jeisprendinių keletas, tai mažiausią) 0,01 tikslumuAts.: -0,96.2. Grafiškai atskirkite lygties šaknis. Pusiaukirtos, Niutono ir kirstiniu metodaisraskite jos sprendinį (jei sprendinių keletas, tai mažiausią teigiamąją) 0,0001tikslumu. Palyginkite iteracijų skaičių.3. Pabandykite išspręsti lygtįx3 7x2 7x14 0.x cos x 0.arctg x 0• Niutono metodu su pradiniu artiniu (a)(b)• kirstiniu metodu su pradiniais artiniais (c)(d)Ats.: 0,7391.x 0 1,35;x 1,45;0;1,5,x104. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių (pvz., iš 2, 6-jo).xx 3,x102.1,3

Iteraciniai tiesinių lygčių sistemųsprendimo metodai

Tiesinių lygčių sistemų (TLS) sprendimo metodai• TLS sprendimo metodai, kuriais per baigtinį žingsnių skaičiųgaunamas tikslusis sprendinys, vadinami tiesioginiais.• Gauso, determinantų (Kramerio), skaidos metodai yra tiesioginiai,tačiau praktiškai tikslusis sprendinys yra gaunamas tiktada, kai nedaroma apvalinimo paklaidų.• Be to šiuose metoduose didinant sistemos eilę n labai greitaiauga atliekamų aritmetinių veiksmų skaičius, pvz., Gausometode O(2/3n 3 ).• Todėl tiesioginiai metodai (Gauso) praktiškai gali būti taikomitik sąlyginai nedidelėms (n iki 10 4 ) lygčių sistemoms spręsti.• Toliau nagrinėsime metodus, vadinamus iteraciniais, kuriaisrandamas apytikslis sprendinys bet kokių norimu tikslumu:– Jakobio metodas,– Zeidelio metodas,– Jungtinių gradientų metodas.• Šiais metodais daugelis tiesinių lygčių sistemų išsprendžiamosžymiai greičiau negu Gauso metodu (ypač, jei daugumasistemos matricos koeficientų yra nuliai).

Jakobio metodas• Tiesinių lygčių sistemąpertvarkoma, išreiškiant x i iš i-tosios lygties, t.y.nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa....................................................22112222212111212111 )...(1...........................................)...(1)...(111,112121222212121111nnnnnnnnnnnnxaxabaxxaxabaxxaxabax

• Tarkime, kadJakobio metodas00 x 1 0 x2 ...0 x n yra duotosios lygčių sistemos sprendinio pradinis artinys. 0• Jeigu apie jį nieko nežinoma, dažnai imama, kad x 0.• Jakobio iteracinis procesas nusakomas formulėmiskk 1k 1 x1 ( b1 a12x2... a1nxn) / akk 1k 1x 2 ( b2a21x1... a2nxn) / a ...........................................kk 1k 1xn ( bn an1x1... an,n1xn1) / a1122nnx .• Skaičiavimas baigiamas, kai atstumas tarp artinių ir x k1busmažesnis už norimą tikslumą ε:xk xk1 maxxk1 xk11,xk2 xk12,...,xkn xk1n

Jakobio metodasPavyzdys (2 vadovėlio 88-89 pusl.). Jakobio metodu išspręskimetiesinių lygčių sistemą 0,0001 tikslumu10x1 x2 3x3112x1 20x2 3x3 452x1 x210x314Pertvarkome lygčių sistemą , išreiškiant x i iš i-tosios lygties:xxx 0,1x 0,2x 0,3xPasirenkame pradinį artinį – vektoriųpirmąjį artinį ir jo paklaidą.x 11230,1x 0,15x 0,1x1,1 2,251,4ir apskaičiuojameKadangi šioje iteracijoje reikalaujamas tikslumas nepasiektas,tęsiame skaičiavimus toliau, kol jį pasieksime.1Pastaba. Tikslusis šios lygčių sistemos sprendinys yra x ts 2.1 211323 x0 0

Jakobio metodo konvergavimas• Klausimas: kada Jakobio metodas konverguoja? Ar visada? Jeine, kokiomis sąlygomis?• Teorema (Jakobio metodo konvergavimo sąlyga).Jei tiesinių lygčių sistemos įstrižainės koeficientų moduliai yradidesni už kitų atitinkamos eilutės koeficientų modulių sumą, t.y.aiiani1 ai2... ai,i1 ai,i1... ain aij, i 1,..,nj1jitai Jakobio metodas konverguoja, t.y.ktsx x .k • Ši sąlyga yra tik pakankama. Ji vadinama įstrižainės vyravimosąlyga, o sistemos, kuriai ši sąlyga galioja, įstrižainė –vyraujamąja.,

Zeidelio metodas• Kaip ir Jakobio metodu tiesinių lygčių sistemą pertvarkoma,išreiškiant x i iš i-tosios lygties. Šias lygtis galima užrašyti taip:xi ( binj1jiaijxj) / aii b• Zeidelio iteracinio proceso naujoje k-oje iteracijoje jauapskaičiuotos (patikslintos) x i reikšmės naudojamos toje pačiojeiteracijoje kitoms x j (j=i+1,...,n) reikšmėms tikslinti:j1jit.y. Zeidelio iteracinis procesas nusakomas formulėmisxki bii1j1aijxkjinnji1aakk1k 1x1 ( b1 a12x2 a13x3... akk k1x 2 ( b2a21x1a23x3... a2.................... .......... ...........kk kxn ( bn an1x1 an2x2... an,nijijxxj,k1j,1i 1,...,n.k11nxnk1nxnxkn1) / a) / a) / a1122nni 1,..., n.

Zeidelio metodasPavyzdys (2 vadovėlio 93-94 pusl.). Zeidelio metodu išspręskimetiesinių lygčių sistemą 0,0001 tikslumu10x1 x2 3x3112x1 20x2 3x3 452x1 x210x314Pertvarkome lygčių sistemą, išreiškiant x i iš i-tosios lygties:xxx1230,1x 0,1x 0,2x 0,3x 0,15x 0,1x1,1 2,251,4Pasirenkame pradinį artinį – vektorių ir apskaičiuojamepirmąjį artinį ir jo paklaidą.Kadangi šioje iteracijoje reikalaujamas tikslumas nepasiektas,tęsiame skaičiavimus toliau, kol jį pasieksime.kPastebėkime, kad Zeidelio metodu gaunami sprendinio artiniaitsyra arčiau tiksliojo sprendinio x x nei Jakobio metodo artiniai.x 1211323 x0 0

Zeidelio metodo konvergavimas• Kaip ir kada konverguoja Zeidelio metodas?• Kaip ir Jakobio metodui galima įrodyti, kad Zeidelio metodaskonverguoja, jei sistemos įstrižainė yra vyraujamoji.• Tačiau šių dviejų metodų konvergavimo sritys nesutampa –yra tokių lygčių sistemų, kurioms Jakobio metodas konverguoja,o Zeidelio metodas diverguoja ir, atvirkščiai, yra tokiųsistemų, kurioms Zeidelio metodas konverguoja, o Jakobiometodas diverguoja.• Galima įrodyti, kad sistemoms, kurioms konverguoja abumetodai, tas pats tikslumas Zeidelio metodu pasiekiamasmaždaug dvigubai greičiau.

Jungtinių gradientų metodas• Jei tiesinių lygčių sistemos matrica A yra simetrinė ir teigiamai apibrėžta,tai paprastai jos sprendimui naudojamas jungtinių gradientųmetodas.• Ap. Kvadratinė matrica A vadinama simetrine, jeia ij = a ji su visais i ir j (1 ≤ i, j ≤ n).• Ap. Kvadratinė matrica A yra teigiamai apibrėžta, jei su bet kokiunenuliniu vektoriumi skaliarinė sandauga yra teigiama,t.y. ( A x,x x 0 )( Ax , x ) • Jei visi matricos A pagrindiniai minorai yra teigiami, tai matricayra teigiamai apibrėžta.Teorema. Jei matrica A yra simetrinė ir teigiamai apibrėžta, tai nedaugiau kaip per n iteracijų su bet kuriu pradiniu vektoriumijungtinių gradientų metodu gaunamas tikslusis tiesinių lygčiųsistemos sprendinys (jei nedaroma apvalinimo paklaidų).• Nors šis metodas yra tiesioginis, dažniausiai jis vartojamas kaipiteracinis, nes reikiamas tikslumas pasiekiamas daug greičiau, neiper n iteracijų (ypač kai n yra didelis).0,. A x fčia( x , y ) nx i 1i y ix 0

Jungtinių gradientų metodo algoritmas1. Pradinio artinio parinkimas. Pasirenkamas ir apskaičiuojamasvektorius Iteracijų skaitiklis k = 0.p0 z2. Naujo artinio skaičiavimas. Apskaičiuojami iteracinis parametras,naujasis artinys ir netiktis:rktai skaičiavimai baigiami, jei ne, tai einama į 4 žingsnį.4. Naujojo jungtinio vektoriaus skaičiavimas.0 Ap Axf .k : k 1 ir grižtama į0( z( r, z, pk kk, kk kkk k k1kx x k p , z z krk1k123. Tikslumo tikrinimas. Jei ( z , z ) ,))1 k,x 0k1 k1( z , z ) k1k1k , p zk kk p( z , z ).2 žingsnį .k,

Jungtinių gradientų metodo taikymo pavyzdysPavyzdys (2 vadovėlio 115 pusl.). Išspręskime tiesinių lygčiųsistemą 0,00001 tikslumu2x1 x2 0,95x3 3,95x1 2x2 x3 4 0,95x x 2x 3,951Ar galime taikyti jungtinių gradientų metodą? Pasirenkame pradinį artinį – vektorių x0 0 ir apskaičiuojamepirmąjį artinį ir jo paklaidą:Kadangi šioje iteracijoje reikalaujamas tikslumas nepasiektas,tęsiame skaičiavimus toliau, kol jį pasieksime.Pastaba. Tikslusis šios lygčių sistemos sprendinys yra2x 1 (0,995754; 1,008359; 0,995754)x ts31 1.1 T

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Jakobio ir Zeidelio metodais išspręskite tiesinių lygčių sistemą vienos šimtosiostikslumu. Palyginkite iteracijų skaičių.4x1 x2 x3 4x1 6x2 2x3 9 x 2x 5x 2123Ats.: tikslusis sprendinys -2. Jungtinių gradientų metodų išspręskite tiesinių lygčių sistemą 0,00001 tikslumu.4x1 xx1 7x 2x x1222 2x3 9,8 x3 21,2 5x 12,53Ats.: 4,03831 3,12897 . 4,741123. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių (pvz., iš 2-ojo vadovėlio).x ts1 1.1

Interpoliavimas ir aproksimavimas

Funkcijų interpoliavimas• Sakydami, kad dydis y yra dydžio x funkcija f(x) (žym. y = f(x)),turime omenyje, kad yra apibrėžta (žinoma) atitiktis, pagal kuriąkiekvieną dydžio x reikšmę iš apibrėžimo srities atitinka kažkokiadydžio y reikšmė.• Daugelyje praktinių uždavinių ši atitiktis žinoma tik su atskiromisx reikšmėmis, t.y žinoma tik reikšmių lentelėfx( x)xy00• Tarkime, kad šios funkcijos f(x) reikšmės gaunamos brangiaikainuojančiu arba neįmanomu pakartoti eksperimentu.• Kaip apskaičiuoti funkcijos y = f(x) reikšmę, kuriame nors tarpiniametaške? Šis uždavinys vadinamas funkcijos interpoliavimu.• Jį spręsime specialiais skaitiniais metodais.xy11......xynn

Funkcijų interpoliavimo uždavinys• Ap. Funkcijos φ(x), tenkinančios lygybes φ(x i ) = f(x i ),i=0,1,..., n, sudarymo ir tarpinių reikšmių apskaičiavimouždavinys yra vadinamas interpoliavimo uždavinių.• Šios lygybės vadinamos interpoliavimo sąlyga, taškai x 0 ,x 1 ,.., x n vadinami interpoliavimo mazgais, o funkcija φ(x) –interpoliacine funkcija.• Reikiamos tarpinės reikšmės apskaičiuojamos iš sudarytosinterpoliacinės funkcijos φ(x).• Nagrinėsime būdus kaip sudaryti interpoliacinę funkciją,kai iš anksto pasirenkama, kad ji turi būti pirmojo laipsnio(tiesinis) arba antrojo laipsnio (kvadratinis) daugianaris.

Tiesinis interpoliavimas• Sudarykime pirmojo laipsnio (tiesinį) interpoliacinį daugianarį L 1 (x).• Sakykime, kad reikia apskaičiuoti funkcijos f(x) reikšmę taške x.• Randame mazgus x i , x i+1 , tarp kurių yra duotas taškas x.• Sudarome, tiesės einančios per taškus (x i , f(x i )), (x i+1 , f(x i+1 )) lygtį:yx xix xy f ( xi)f ( x ) f ( xi1 i i1if ( xi) f ( xix1i1• Šią tiesės lygtį ir vadinsime tiesinio interpoliavimo formule, opirmojo laipsnio daugianarį – tiesinių interpoliaciniu daugianariu:f ( x ) ( )( ) ( )i 1 f xL1 x f xii ( x xi).xi1 xi• Jis yra apibrėžtas intervale [x i , x i+1 ] ir tinka skaičiuoti tarpinesreikšmes šiame intervale.• Skaičiuojant funkcijos f(x) reikšmes iš kito intervalo, reikia sudarytiatitinkamą kitą tiesinį daugianarį.) f ( xxii,))( x xi).

Tiesinio interpoliavimo pavyzdys• Pavyzdys (160 p.). Žinoma, kad vandens virimo temperatūra priklausonuo atmosferos slėgio. Tarkime, kad eksperimentų pagalbabuvo nustatyta tokią priklausomybės lentelė:Raskite vandens virimo temperatūrą esant 747 mm slėgiui.• Pasirinkime intervalą ir sudarykime jame pirmojo laipsnio (tiesinį)interpoliacinį daugianarį L 1 (x):L ( x)1Slėgis (mm) 730 740 750 760 770Temperatūra (°C) 98,877 99,255 99,630 100,000 100,366f ( xi) f ( xix1f ( xx)( x x 99,255 0,0375( x 740).)i1iii) 99,255 99,63075099,255( x 740) 740• Taigi vandens virimo temperatūra, esant 747 mm slėgiui, apytiksliailygiL1(747) 99,2550,0375( x 740) 99,5175.

Tiesinis interpoliavimo paklaida• Pakeitę funkcijos f(x) reikšmę interpoliacinio daugianario reikšmeL 1 (x), padarome paklaidą. Ką galima pasakyti apie jos dydį?1 Teorema. Jei funkcijos f(x) antroji išvestinė intervale [x i , x i+1 ] yraaprėžta, t.y. | f ( x) | M2,kai xi x xi1,tai tiesinio interpoliavimo paklaida įvertinama nelygybe12| f ( x) L1 ( x) | M2(xi1 x)(x xi) M2h, kai xi x xi1,čia h = x i+1 - x i (interpoliavimo žingsnis).• Taigi tam, kad sumažinti tiesinio interpoliavimo paklaidą, reikiamažinti interpoliavimo žingsnį.• Dažniausiai funkcijos f(x) antrosios išvestinės didžiausioji reikšmėarba jos įvertis M 2 nėra žinomi, nes ir pati funkcija f(x) nėra žinoma.• Tada galima naudoti apytikslį antrosios išvestinė rėžį. Sudarysime jį.182

Skirtumų santykiai• Funkcijos f(x) pirmosios eilės skirtumų santykiu vadinamas dydisf ( xi, x) ) fx• Jei žinoma n+1 funkcijos reikšmė, tai galima sudaryti n pirmosioseilės skirtumų santykių. Iš jų sudaromi antrosios eilės skirtumųsantykiai:f ( xi, xi1, xi2• Bendruoju atveju, n-osios eilės skirtumų santykiu vadinamas (n-1)-osios eilės skirtumų santykių pokyčio ir atitinkamo argumentopokyčio santykis:f• Skirtumų santykius patogu apskaičiuoti tokia lentele:xf ( x)123x0f ( x0)f ( x0, x1)i1) f ( xf ( xixi11i1, xixf ( x2)i2i( xii,..., x).f ( xix, xi1).) f ( xx,..., xi1ini in1( xi, xi1,...,xin) xinif ( x0x1f ( x )1, x1, x2)f ( xf ( x01, x1, x, x22), x3)f ( x1x2f ( x, x22), x3)f ( x).2, x3)x3f ( x3)

Antrosios išvestinės apytikslis rėžis• Galimą parodyti, kad funkcijos f(x) antroji išvestinė intervale[x i , x i+2 ] apytiksliai įvertinama tokia lygybe:f ( x) 2 f ( xi, xi1,xi2).• Šios reikšmės gali būti naudojamos 1-os teoremos antrosiosišvestinės apytikslio rėžio M 2 radimui, t.y.M 2max(|f ( xi1,xi, xi1) |,| f ( xi, xi1,xi2) |).2 • Tokiu būdu galime apskaičiuoti vandens virimo temperatūros tiesiniointerpoliavimo paklaidos įvertį (164 pusl., 6 pvz):M 2max(| 0,000015 |,| 0,000025 |)2 t.y. vandens virimo temperatūra yra 99,5175 ± 0,0006.0,00005.

Kvadratinis interpoliavimas• Sudarykime antrojo laipsnio (kvadratinį) interpoliacinį daugianarįL 2 (x).• Sakykime, kad reikia apskaičiuoti funkcijos f(x) reikšmę taške x.• Randame 3 artimiausius taškui x interpoliavimo mazgus x i , x i+1 ,x i+2 .• Sudarome parabolės einančios per 3 taškus(x i , f(x i )), (x i+1 , f(x i+1 )), (x i+2 , f(x i+2 )) lygtį:L( x) f ( xi) f ( xi, xi1)(x xi) f ( xi, xi1,xi2)(x xi)( x xi1).2 • Šią parabolės lygtį vadinsime kvadratinio interpoliavimo formule,o antrojo laipsnio daugianarį – kvadratiniu interpoliaciniudaugianariu.• Jis yra apibrėžtas intervale [x i , x i+2 ] ir tinka skaičiuoti tarpinesreikšmes šiame intervale.• Skaičiuojant funkcijos f(x) reikšmes iš kito intervalo, reikiasudaryti atitinkamą kitą daugianarį.

Kvadratinio interpoliavimo pavyzdys• Pavyzdys (166 pusl., 8 pvz.). Apskaičiuokime vandens virimotemperatūrą, esant 747 mm slėgiui, pagal kvadratinio interpoliavimoformulę.• Trys artimiausi taškui x = 747 interpoliavimo mazgai yraSlėgis (mm) 740 750 760Temperatūra (°C) 99,255 99,630 100,000• Šiame intervale sudarome kvadratinį interpoliacinį daugianarį L 2 (x):L2( x) f ( xi) f ( xi, xi1)(x xi) f ( xi, xi1,xi2)(x xi)( x xi1) 99,255 0,0375( x 740) 0,000025( x 740)( x 750).• Taigi vandens virimo temperatūra, esant 747 mm slėgiui, apytiksliailygiL2(747) 99,255 0,0375(747 740) 0,000025(747 740)(747 750) 99,5180.• Palyginkime su tiesiniu interpoliavimu gauta reikšme ir paklaida.

Kvadratinio interpoliavimo paklaida• Pakeitę funkcijos f(x) reikšmę interpoliacinio daugianario reikšmeL 2 (x), padarome paklaidą. Ką galima pasakyti apie jos dydį?2 Teorema. Jei funkcijos f(x) trečiosios eilės išvestinė intervale[x i , x i+2 ] yra aprėžta, t.y. | f ( x) | M3,kai x[x i , xi2],tai kvadratinio interpoliavimo paklaida įvertinama nelygybe16| f ( x) L2 ( x) | M3| ( x xi)( x xi1)(x xi2) | M3h, x[xi, xi2],čia h = x i+1 - x i = x i+2 – x i+1 (interpoliavimo žingsnis).• Taigi tam, kad sumažinti kvadratinio interpoliavimo paklaidą, reikiamažinti interpoliavimo žingsnį.• Kokį garantuotą paklaidos sumažėjimą užtikrina dvigubas interpoliavimožingsnio h sumažinimas tiesiniu ir kvadratiniu atveju?• Dažniausiai funkcijos f(x) trečiosios išvestinės didžiausioji reikšmėarba jos įvertis M 3 nėra žinomi, nes ir pati funkcija f(x) nėra žinoma.• Tada galima naudoti apytikslį rėžį, sudarytą iš 3 eilės skirtumų santykiųmaksimumo: M !max(| f ( x , x , x , x ) |).• Nagrinėto pavyzdžio paklaidos įvertis – 0,0001.3273 3 i i1i2i3i3

Niutono interpoliacinė formulė• Jei žinoma n+1 funkcijos f(x) reikšmė, tai galima sudaryti n-ojolaipsnio interpoliacinį daugianarį.• Pateiksime Niutono interpoliacinio daugianario formulęLn( x)f( x0f ( x) 0, xf ( x10,.., x, xn1)( x x)( x x00) f ( x)( x x10, x1, x2)...( x x)( x n1).x0)( x x1) ...• Matome, kad L 1 (x) ir L 2 (x) yra atskiri šios formulės atvejai.• Niutono interpoliacinė formulė yra patogi, kai reikia papildyti jąnaujais nariais ir padidinti interpoliacinio daugianario eilę, kasdažniausiai reiškia padidintą tikslumą, pavyzdžiui, gavus naujusmatavimo duomenis (x i , f(x i )).

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Lentelėje pateikiama tam tikrų vaistų koncentracija kraujyje praėjus tam tikramlaikui po injekcijos.Laikas (val.) 1 2 3 4 5Koncentracija (mg/cm 3 ) 0,0178 0,0200 0,0192 0,0178 0,0163Ligoniui vaistus pakartotinai reikia leisti tada, kai jų koncentracija kraujyjesumažėja iki 0,0170 mg/cm 3 . Nustatykite po kiek laiko reikės suleisti naująvaistų dozę?2. Sudarykite funkcijos y = sin x reikšmių lentelę taškuose π/12, π/6, π/4, π/3, 5π/12.Naudodami tiesinį ir kvadratinį interpoliavimą apskaičiuokite funkcijos reikšmestarpiniuose taškuose π/8, π/5, 7π/24, 9π/24. Apskaičiuokite tikslias interpoliavimopaklaidas, jų rėžius (pagal atitinkamas teoremas ir žinomas išvestines) ir rėžiųįverčius (panaudojant atitinkamos eilės skirtumų santykius).3. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių (pvz., iš 2-ojo vadovėlio 6skyriaus).

Duomenų aproksimavimas• Tarkime, kad yra žinomos (pavyzdžiui, iš eksperimento) n funkcijosy = f(x) reikšmių:xy f ( x)• Kaip aprašyti šios duomenys viena funkcija, kuri nebūtinai eitųper turimus taškus, bet turėtų paprastą analizinę išraišką, pvz.,tiesine y = a+bx, kvadratine, logaritmine arba rodikline funkcija?• Dažnai priklausomybės y nuo x pavidalas yra žinomas (pvz., išfizikos dėsnių), kartais jį tenka parinkti.• Pavyzdys. Omo dėsnis: V=IR.Dėl matavimo paklaidų taškainėra griežtai vienoje tiesėje.• Kaip surasti laidininko varžą R?• Interpoliavimo metodai, splainaišiuo atveju netinka, nes reikia surasti vieną tiesę!• Tokios vienos funkcijos paieškos ir sudarymo uždavinys vadinamasaproksimavimo uždaviniu. Sakoma, kad turimi duomenysyra aproksimuojami atitinkama funkcija.xy11xy22......xynn

Mažiausių kvadratų metodas (regresijos metodas)• Tarkime, kad yra žinoma (arba parinkta ir išbandoma) priklausomybėsy nuo x analizinė išraiška, t.y funkcija y=f(x,a,b,c,...).• Kaip surasti nežinomus parametrus a,b,c,.., kad gauta funkcijageriausiai aprašytų eksperimentinius duomenis?• Vienas populiariausių šio uždavinio sprendimo metodų yramažiausių kvadratų (regresijos) metodas:parametrai turi būti tokie, kad parinktos funkcijos reikšmiųnuokrypių kvadratų suma būtų minimali:nR(a,b,c,) (yi1if ( xi, a,b,c,))2minR( aˆ,bˆ,cˆ,).a,b,c,Kaip kitaip galima apibrėžtiminimizuojamą funkcionalą R?

Mažiausių kvadratų metodas• Iš matematinės analizės žinome, kad minimumo taške ( aˆ,bˆ,cˆ,)funkcionalo R dalinės išvestinės visų kintamųjų a,b,c,... atžvilgiuturi būti lygios nuliui.• Taip gauname lygčių sistemą, kurią išsprendę gauname reikalingusparametrus:R 0,R a 0, R b 0,c • Sudarykime lygčių sistemą mažiausių kvadratų tiesei y = a+bx.nna bx inaxi b i1inyi i1 i1n n2 xi 1 i1,xiyi.Išsprendę šią tiesinių lygčiųsistemą, gausime ieškomuskoeficientus a ir b, t.y. tiesėslygtį y = a+bx.

Mažiausių kvadratų tiesės radimo pavyzdys• Pavyzdys. Mažiausių kvadratų metodu raskite tiesę, aproksimuojančiąduotus taškus (-2, -5), (-1, -1), (1, 1), (2, 4).• Aproksimuojančią tiesę y = a+bx nusakančius koeficientus rasimeišsprendę dviejų tiesinių lygčių sistemą:4a b(2112) 51142 2a(2112) b((2) ( 1)12 22)( 2)(5) ( 1)(1)1124• Ją išsprendę, gauname mažiausių kvadratų tiesę y = -0,25 + 2x.

• Tarkime, kad turime duomenis suakivaizdžiai netiesinę priklausomybę:• Kokia kreivė (funkcija) tiktų šiųduomenų aproksimavimui?• Suraskime mažiausių kvadratųmetodu parabolęMažiausių kvadratų metodas• Diferencijuodami funkcionalą R, sudarykime tiesinių lygčiųsistemą mažiausių kvadratų parabolei:na bnaxi i1 na xi i1n n n2 xi cxi i1 i1i1n n2y a bx cx2 3 b xi c xi xi1 i1 i1n n n3 4 b xi c xi xyni1 i1 i1i,2.iy2ii,yi.Išsprendę šią tiesinių lygčiųsistemą, gausime ieškomuskoeficientus a, b ir c, t.y.2parabolės lygtį y a bx cx .

Mažiausių kvadratų metodo taikymas netiesinėms funkcijoms• Kokia kreivė (funkcija) tiktų šiųduomenų aproksimavimui?by a , kai b 0.x• Atlikę pakeitimąxˆ1x,2koeficientus a ir b galime kaipx0mažiausių kvadratų tiesėsy a bˆx.• Analogiškai mažiausių kvadratų metodą galima taikyti ir kitomsnetiesinėms funkcijoms.• Duomenų aproksimavimui logaritmine funkcija:y a blnx y a bxˆ,kur xˆ ln x.•Duomenų aproksimavimui rodikline funkcija:bxy ae ln y ln a bx yˆ aˆbx,kur yˆ ln y,aˆ ln a.•Duomenų aproksimavimui laipsnine funkcija:by ax ln y ln a blnx yˆ aˆbxˆ,kur yˆ ln y,aˆ ln a,xˆ ln14121086410.99y 12.4810.99xˆ12.480 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x.

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Mažiausių kvadratų metodu aproksimuokite duotus taškus tiesę ir parabolę:(-2, 4), (-1, -1), (1,-1), (2,3). Pavaizduokite duotus taškus ir gautas funkcijas.Kuri funkcinė priklausomybė tiksliau atspindi duomenis? Apskaičiuokiteaproksimavimo paklaidą – nuokrypių kvadratų sumą R abiems atvejams.2. Lentelėje yra pateikiami eksperimento rezultataix i 1 2 3 4 5 6y i 2 2,8 3,5 4 4,5 4,9Raskite šiuos duomenis aproksimuojančią funkciją. Pavaizduokite.Pastaba. Kadangi priklausomybė yra aiškiai netiesinė, naudokite laipsninėsfunkcijos pavidalą.3. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių (pvz., 6-ojo).

Skaitinio integravimo metodai

Skaitinis integravimas• Skaitinio integravimo metodai yra taikomi, kai apibrėžtiniointegralo skaičiavimui mes negalime pritaikyti Niutono-Leibnicoformulės, susiejančios apibrėžtinį integralą su pirmykštefunkcija,t.y., tais atvejais, kai pirmykštė funkcija nors ir egzistuoja,tačiau neišreiškiama elementariosiomis funkcijomis arba apskritaibaigtiniu pavidalu.• Prisiminkime, kad apibrėžtinis integralas yra lygus kreivinėstrapecijos plotui, kurią apriboja kreivė y = f(x), iš apačios – Oxašies atkarpa [a, b], o iš kraštų – vertikalios tiesės x = a ir x = b.• Panagrinėkime pavyzdį.baf ( x)dx F(b) F(a),

• Imkime dvi funkcijas ir atitinkamus integralus nuo 0 iki 1:y10exedx,dx.• Nors jų ribojamų trapecijų plotaitarp a = 0 ir b = 1 yra beveik lygus,tačiau pirmosios kreivės ribojamąplotą galima apskaičiuoti Niutono-Leibnico formule, o antrosios –negalima, nes jos pirmykšteneišreiškiama elementariosiomisfunkcijomis.x• Štai dar keli tokių integralų pavyzdžiai:bab,y10exe2x2b,sin x 123dx, dx,cos , 1 ,ln x dx x dxx xaa2.718e x22e x 100 0.2 0.4 0.6 0.80 x1babasin 2xdx.

Skaitinis integravimas• Sudarysime keletą įvairaus tikslumo skaitinio integravimoformulių.• Jos grindžiamos apibrėžtinio integralo apibrėžimu ir leidžiaapskaičiuoti integralo reikšmę kokiu norima tikslumu.• Antra vertus, skaitinio integravimo metodai yra patogūs vartoti,kai integruojama funkcija yra laboratorinių ar kitokių matavimųrezultatas, tai yra, jos analizinė išraiška nežinoma irfunkcija f(x) apibrėžta reikšmių lentele.• Toliau laikysime, kad visos mūsų nagrinėjamos funkcijos f(x)yra tolydžios integravimo intervale [a, b] (tada integralas egzistuoja).

Stačiakampių formulės• Padalykime intervalą [a,b] į N lygių dalių,ax0, x1,...,xN b,xi1 xšiuos taškus vadinsime integravimo mazgais, skaičių h – integravimožingsniu.• Kreivinės trapecijos, kurios pagrindas yra dalinis intervalas [x i , x i+1 ],plotas apytiksliai lygus stačiakampio su tuo pačiu pagrindu plotui:i h,hb a ,Nxi 1 xif( x)dx f ( xi)( xi1xi).• Apskaičiavę ir sudėję visų dalinių kairiųjų stačiakampių plotus,gausime apytikslę visos kreivinės trapecijos ploto reikšmę – kairiųjųstačiakampių formulę:baf( x)dxKNfN 1( x0)h f ( x1) h ... f ( xN1)h hi0f( xi).

Kairiųjų stačiakampių formulės taikymas3 dx.1 x• Pavyzdys. Kairiųjų stačiakampių formule apskaičiuosime• Pirmiausiai intervalą [1, 3] padaliname į N = 4 lygių dalių,apskaičiuojame integravimo mazgus su žingsniu h = (3-1)/4 = 0,5:x1,x11,5,x2 2, x3 2,5, x40 • Toliau apskaičiuojame integruojamos funkcijos f(x) = 1/x reikmesšiuose taškuose – f(x i ) ir sumuojame pagal formulę:K f ( x ) f ( x ) ... f ( x )) h 77 / 60 1,2833.4 ( 0 13 • Šį integralą apskaičiuoti tiksliai pagal Niutono ir Leibnico formulę:3 dx ln x |3 1 ln3ln1 ln3 1,0986.1 x• Todėl šiuo konkrečiu atveju galime tiksliai apskaičiuoti skaitiniointegravimo paklaidą:3 dx 4 K4 ln3K4 0,185.1 x• Apskaičiuokite šį integralą su dvigubai daugiau intervalų (N = 8) –K 8 ir atitinkamą paklaidą ε 8 . Atkreipkite dėmesį, kad tik pusė mazgųbus naujų, t.y. reikės papildomai apskaičiuoti tik 4 funkcijosreikšmes.3.

Dešiniųjų stačiakampių formulė• Kreivinės trapecijos plotą pakeičiant stačiakampio plotu, stačiakampioaukštį galime skaičiuoti ne kairiajame, o dešiniajame gale(pavaizduokite):• Sumuojant pagal visus dalinius intervalus [x i , x i+1 ] gaunamedešiniųjų stačiakampių formulę:DNxi 1 xif ( x)dx f ( xi)( xi1 xf ( x1 ) h f ( x2)h ... f ( xN) h h• Pavyzdys (183 p.). Dešiniųjų stačiakampių formule apskaičiuokiteintegralą su N = 4, 8: 3 dx1 xApskaičiuokite tikslias skaitinio integravimo paklaidas irpalyginkite su kairiųjų stačiakampių formulės paklaidomis.• Ar galima teoriškai įvertinti stačiakampių formulių tikslumą?i).Ni1f ( x ).i

Stačiakampių formulių tikslumas• Teorema. Jei funkcija f(x) intervale [a,b] turi tolydžią išvestinę, taikairiųjų (dešiniųjų) stačiakampių formulės paklaida įvertinamatokia nelygybe:ba2( b a)f ( x)dx KN 0,5M1(b a)h 0,5M1, f (x) M1,kai x[a;b].N• Taigi tam, kad sumažinti skaitinio integravimo paklaidą, reikia mažintiintegravimo žingsnį h.• Sprendžiant realius uždavinius rėžio M 1 apskaičiavimas yra sudėtingas,ypač kai funkcijos f(x) pavidalas nėra žinomas, o žinoma tikreikšmių lentelė.• Todėl skaitinio integravimo algoritmuose integralas yra apskaičiuojamasiš pradžių su N, o paskui su 2N dalinių intervalų.• Dalinių intervalų skaičius N yra dvigubinamas tol, kol stačiakampiųformulės paklaida pagal Rungės taisyklę taps mažesnė užsiekiamą tikslumą ε: K N K2N .b• Tokiu būdu gaunamas artinys K 2N norimu tikslumu ε: f x)dx K Na( 2 .

Trapecijų formulė• Padalykime intervalą [a, b] į N lygių dalių ir kiekvieną kreivės f(x)lanką, esantį virš intervalo [x i , x i+1 ], pakeiskime tiesės atkarpa:• Apskaičiavę ir sudėję visų dalinių trapecijų plotus, gausimetrapecijų formulę:baf ( x)dx TN hf ( x0f ( x) 02) f ( x21f ( x)h N• Pavyzdys (185 p.). Trapecijų formule apskaičiuokite integralą)f ( xN 1i1su N = 4, 8. Apskaičiuokite tikslias skaitinio integravimo paklaidasir palyginkite su kairiųjų stačiakampių formulės paklaidomis.1) 2f ( xf ( xi) .2)h ...f ( xN 1) 2f ( xN)h dx 31 x

Trapecijų formulės tikslumas• Koks yra trapecijų formulės tikslumas?• Teorema. Jei funkcija f(x) intervale [a,b] turi tolydžiąją antrąjąišvestinę, tai trapecijų formulės paklaida įvertinama tokia nelygybe:ba3b a 2 ( b a)f ( x)dx TN M2h M2, f ( x) M2,kai x[a;b].212 12N• Kokį garantuotą paklaidos įverčio sumažėjimą užtikrina dvigubasintegravimo žingsnio h sumažinimas? Palyginkite su stačiakampiųformulėmis.• Sprendžiant realius uždavinius rėžio M 2 apskaičiavimas yra sudėtingas,ypač kai funkcijos f(x) pavidalas nėra žinomas, o žinoma tikreikšmių lentelė.• Todėl skaitinio integravimo algoritme dalinių intervalų skaičius yradvigubinamas tol, kol trapecijų formulės paklaida pagal Rungėstaisyklę taps mažesnė už ε :T N T32 N .

Simpsono (parabolių) formulė• Simpsono formulė sudaroma parabolėmis pakeitus funkciją f(x).• Padalykime integravimo intervalą [a, b] į lyginį dalių skaičiųax, x1,...,xN b,xi1 x h,b a,NN 20 im• Kiekviename intervale [x i , x i+2 ] nubrėžiame parabolės, einančiasper taškush ( xi, f ( xi)), ( xi1,f ( xi1)),( xi2,f ( xi2)).• Įrašę parabolių funkcijas į pradinį integralą ir suintegravę,gauname Simpsono (parabolių) formulę:SNh mm1( x0) 4 f ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) . f 2i13 i1i12iN.

Simpsono formulės tikslumas• Pavyzdys. Apskaičiuokite integralą ir paklaidas su N = 4, 8:• Teorema. Jei funkcija f(x) intervale [a,b] turi tolydžią 4–oseilęs išvestinę, tai Simpsono formulės paklaida įvertinama tokianelygybe:ba5b a 4 ( b a)(4)f ( x)dx SN M h M4, f ( x) M4,4180 180Nkai x[a;4b• Kokį paklaidos įverčio sumažėjimą užtikrina dvigubas integravimožingsnio h sumažinimas? Palyginkite.• Sprendžiant realius uždavinius dalinių intervalų skaičius N dvigubinamastol, kol Simpsono formulės paklaidos įvertis pagalRungės taisyklę taps mažesnis už siekiamą tikslumą ε:S N S15 .• Tokiu būdu gaunamas integralo reikšmės artinys S 2N norimutikslumu ε.2N3 dx.1 x].

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Kairiųjų ir dešinių stačiakampių, trapecijų ir Simpsono formulėmis apskaičiuokiteintegralądx 31 xsu N = 4, 8, 16. Apskaičiuokite tikslias skaitinio integravimopaklaidas ir paklaidų įverčius pagal Rungės taisyklę.x2. Vienos tūkstantosios tikslumu apskaičiuokite integralą 3 sindx2 xkairiųjų stačiakampių, trapecijų ir Simpsono formulėmis.3. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių (pvz., 2, 6-ojo).

Skaitiniai diferencialinių lygčiųsprendimo metodai

Uždavinio formulavimas• Spręsime pirmos eilės paprastą diferencialinę lygtįy f ( x , y ), x[ x 0,x ],su pradine sąlyga y( x 0) y0.• Šis uždavinys vadinamas Koši uždaviniu.• Kai funkcija f = f(x, y) yra tokio pavidalo, kad negalima analiziškaisuintegruoti lygtį ir gauti tikslų sprendinį - y = y(x), tenkanaudoti specialius skaitinius metodus tam, kad gauti norimotikslumo apytikslį sprendinį.• Skaitiškai sprendžiant diferencialinį lygtį intervale [ x 0, x], išpradžių yra sudaromas šio intervalo diskretusis tinklas išatskirų intervalo taškų.• Pavyzdžiui, tolygus diskretusis tinklas iš n lygių atkarpų sužingsniu h ( x x0)/ n gaunamas taip:x0 x1 x0 h x2 x0 2hxi x0ihxn x0 nh x.

Skaitiniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai• Toliau specialiais skaitiniais metodais diferencialinė lygtisintervale yra pakeičiama (aproksimuojama) algebrinėmislygtimis tinklo taškuose.• Iš jų apskaičiuojamos ieškomos funkcijos y = y(x) apytikslėsreikšmes Y i diskretaus tinklo taškuose x i , t.y. randamosY i ≈ y(x i ), i = 0,..,n.• Skaitinis algoritmas sudaromas taip, kad imant vis daugiau taškų(t.y. mažesnį žingsnį h) gaunamos vis tikslesnės reikšmės Y i irtaip galima pasiekti norimą tikslumą.• Egzistuoja daug įvairių skaitinių metodų diferencialinių lygčiųsprendimui. Jie skiriasi tarpusavyje konvergavimo greičiu irsąlygomis, aritmetinių veiksmų kiekiu.• Panagrinėsime 3 tokius metodus:– išreikštinį Oilerio (Eulerio) metodą,– modifikuotą Oilerio metodą (dar vadinamu dvipakopiuRungės ir Kuto metodu, m = 2),– 4-pakopį Rungės ir Kuto metodą , m = 4.

YY0 y 0.iIšreikštinis Oilerio metodas1 Yi hf ( xi, Yi), i 0,1, ,n 1.Y 0Y 1Y 2Y 3Y 4• Išreikštinis Oilerio metodas yra pirmos eilės, jo sprendiniopaklaida:| Y y(x ) | Ch,i 1,2,..,n.ii• Todėl imdami dvigubai didesnį n (t.y. dvigubai mažesnį h)sumažinsime paklaidą 2 kartus.• Išspręskime pavyzdį:yxy(0)1.x[0,1],• Pastaba. Šiuo atveju galime rasti tikslųjį sprendinį y = y(x) irgauti apytikslių sprendinių paklaidas.• Suintegravę gauname:2y x 42y,1.

Išreikštinio Oilerio metodo taikymas• Raskime apytikslį sprendinį išreikštiniu Oilerio metodu su n = 2.• Uždavinio intervale [0, 1] gauname tokį diskretųjį tinklą sužingsniu h = (1-0)/2 = 0,5:x0 0,x1 x0 h 0,5, x2 x1 h x0 2h1.• Pasinaudoję pradinę sąlygą turime Y 0 y( x 0 ) y(0)1.• Toliau skaičiuojame pagal formulę• Paklaida• ToliauY Y hf( x0,Y0) 10,5 (0| Y y(x1) | |11,1289 |Y1 0,1289.• Apskaičiuokite apytikslį sprendinį išreikštiniu Oilerio metodu sun = 4.• Palyginkite gaunamas paklaidas. Apskaičiuokite santykinespaklaidas.1)1 0 Y hf( x1,Y1) 10,5 (0,51)2 1| Y y(x2) | |1,251,5625 |2 0,3125.1.1,25.

YModifikuotas Oilerio metodasY0 y 0. Y hf( xh , Y2h2f ( xDvipakopis Rungės ir Kuto metodas (m = 2), RK2.Tiesiog kitas užrašymo pavidalas:h hk1 f ( xi, Yi), k2 f ( xi , Yi k1),2 2Yi1 Yi hk2,i 0,1, ,n 1.• Modifikuotas Oilerio metodas yra antros eilės, jo sprendiniopaklaida:• Todėl imdami dvigubai didesnį n (t.y. dvigubai mažesnį h)sumažinsime paklaidą 4 kartus.• Išspręskite tą patį pavyzdį su n = 2 ir n = 4.• Palyginkite paklaidas. Kiek kartų jos sumažėjo?, Yi1 i i ii i| Yi y(xi) | Ch2,i 1,2,..,n.)),i 0,1, ,n1.

4-pakopis Rungės ir Kuto metodas (m = 4)YY0 y 0.kk13i1 Yf ( xf ( xiii, Y16i),h , Yi2( k1• Šis metodas yra 4-os eilės, jo sprendinio paklaida:| Y 2kik2h k22 y(x 2kif ( x2),i34 k) | Chh , Yi2k4• Todėl imdami dvigubai didesnį n (t.y. dvigubai mažesnį h)sumažinsime paklaidą 16 kartus.• Šis metodas dar vadinamas klasikiniu Rungės ir Kuto metodu irdažnai naudojamas matematiniuose pakėtuose (RK4).• Išspręskime tą patį pavyzdį su n = 2.4,) h,h k2f ( xi1), h,Yi 1,2,..,n.i hk3),i 0,1, ,n 1.

4-pakopio Rungės ir Kuto metodo taikymas• Uždavinio intervale [0, 1] turime tokį diskretųjį tinklą sužingsniu h = (1-0)/2 = 0,5:x 0,x1 x0 h 0,5, x2 x1 h x0 2h• Iš pradinės sąlygos turime• Toliau skaičiuojame pagal formuleskk0 Yk1 f ( x0,Y0) 01 0,kf ( x0 h/2, Y0 h/2k1) y( x 0 ) y(0)0 (0 0,5/ 2) 11Y1 Y0 ( k1 2k2 2k3 k4)h 1(0 20,25 20,25769466 0,531236) 0,5 1,128885.• Paklaida | Y1 y(x1) | |1,1288851,128906| 0,000021.• Toliau apskaičiuokite Y21,562413 ir | Y2 y(x2) | 0,000087.• Palyginkite įvairiais metodais gaunamas paklaidas.1.10,5/ 202 f ( x0 h/2, Y0 h/2k2) (0 0,5/ 2) 10,5/ 20,253 f ( x0 h,Y0 hk3) (0 0,5) 10,5 0,2576944 1.0,531236,0,25,0,257694,

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Išreikštiniu Oilerio, modifikuotu Oilerio ir 4-pakopiu Rungės irKuto metodais išspręskite Koši uždaviniusy x y,y(1)1.y 9,8 y(0) 0.x [0,1],Paimkite n = 2, n = 4. Apskaičiuokite ir palyginkite gaunamaspaklaidas. Apskaičiuokite santykines paklaidas.2. Uždaviniai iš literatūros sąrašo mokymo priemonių(pvz., 6, 8-ojo).y2x[1,,3],

Matematinės statistikos pradmenys

• Matematikos šaka apibrėžianti ir nagrinėjanti atsitiktinius įvykius,dydžius ir procesus, jų tikimybes ir tikimybių skirstinius, jųskaitines charakteristikas vadinama tikimybių teorija.• Tikimybių teorijoje apibrėžiami ir nagrinėjami atsitiktinių reiškiniųteoriniai matematiniai modeliai, pvz. Puasono, eksponentinis,normalusis (Gauso) skirstiniai (dėsniai).• Tačiau praktikoje iškyla klausimas, kaip tiriamam atsitiktiniamfizikos, chemijos, biologijos, medicinos, ekonomikos ar sociologijosreiškiniui iš teorinių modelių bibliotekos parinkti tinkamąmodelį (skirstinį, dėsnį) ir jo parametrus?• Tai galima padaryti tik tiriamojo atsitiktinio reiškinio eksperimentųarba stebėjimų duomenų pagrindu. Tai daroma matematinėsstatistikos metodais.• Matematinė statistika teikia duomenų rinkimo, apdorojimo ir analizėsmatematinius metodus. Statistinių duomenų analizė leidžiadaryti hipotetines išvadas apie atsitiktinio reiškinio skirstinio(dėsnio) formą ir parametrus.

Generalinė aibė ir imtisSakykime, kad norime tirti kurios nors objektų grupės kiekybinį požymį X, bet ištirtivisus šios grupės objektus arba neįmanoma, arba netikslinga, arba labai sunku.Pavyzdžiui,1)pagamintų elektros lempučių degimo laikas (tirdami visas, sudegintume visąpartiją);2)pagamintų statybinių konstrukcijų atsparumas spaudimui (tirdami visas, jas visassugadintume);3)visų Lietuvos žmonių nuomonė kuriuo nors klausimu (reikėtų daug pastangų irlėšų).Ap. Visų tiriamos objektų grupės požymio X reikšmių aibė vadinama generalineaibe. Tokiais atvejais tiriame atsitiktinai atrinktą objektų dalį, t.y. generalinės aibėspoaibį, kuris vadinamas imtimi. Imties elementų skaičius vadinamas imties didžiu(arba tūriu).•Imtis yra bet kurio statistinio tyrimo bazė. Iš jos sprendžiame apie požymį X visojegrupėje.•Akivaizdu, kad imtis turi būti reprezentatyvi, t.y. gerai atspindėti tiriamojopožymio X pasiskirstymą visoje grupėje. Todėl objektai turi būti atrenkamiatsitiktinai, taip kad kiekvienas objektas turėtų vienodą galimybę patekti į imtį.•Praktikoje taikomi įvairus imties atrankos metodai. Atranka gali būti grąžinamojiir negrąžinamoji, paprasta, mechaninė, serijinė, sluoksniuotoji ir t.t.

Pagrindiniai matematinės statistikos uždaviniai1. Statistinių duomenų tvarkymas, empirinio tiriamojo požymioX skirstinio sudarymas, empirinių skaitinių charakteristikųapskaičiavimas.2. Nežinomų teorinio skirstinio parametrų taškinių ir intervaliniųįverčių radimas.3. Hipotezių apie teorinį skirstinį ir jo parametrus tikrinimas.4. Regresinė ir koreliacinė analizė, leidžianti tirti priklausomybėstarp atsitiktinių dydžių pobūdį ir stiprumą.Daugiau informacijos rasite matematinės statistikos knygose, pvz.,V. Čekanavičius, G. Murauskas. Statistika ir jos taikymai (1 dalis).

Statistinė eilutės• Tarkime, kad tiriant objektų grupės požymį X, gauta/atrinkta imtisx 1 , x 2 , x 3 , ... , x i , x i+1 , ... , x n . (1)• Statistikoje imtis toliau yra pertvarkoma į statistinę eilutę. Ji galibūti dviejų pagrindinių tipų diskrečioji arba intervalinė.• Jeigu imties reikšmės x i dažnai kartojasi ir skirtingų reikšmių yranedaug, sudaroma diskrečioji statistinė eilutė.• Tarkime, kad (1) imtyje yra k skirtingų reikšmių. Pažymėkime jastaip pat ir surašykime didėjimo tvarka: x 1 , x 2 , ..., x k .• Tarkime x 1 pasikartoja n 1 kartą, x 2 - n 2 kartų, ..., x k - n k kartų.• Akivaizdu, kad n 1 + n 2 + ... + n k = n.• Skaičius n 1 , n 2 , ..., n k vadiname reikšmių x i dažniais (absoliučiaisiais).• Diskrečioji absoliučių dažnių statistinė eilutė pateikiama kaiplentelė:x 1x 2x 3...x kn 1n 2n 3...n k

Diskrečioji santykinių dažnių statistinė eilutė• Santykiai ω i = n i / n (i =1, 2,…, k) vadinami santykiniais dažniais.• Akivaizdu, kad ω 1 + ω 2 + ... + ω k = 1.• Diskrečioji santykinių dažnių statistinė eilutė pateikiama kaiplentelė:x 1ω 1x 2ω 2• Ši statistinė eilutė dar vadinama požymio X empiriniu skirstiniu.• Diskrečiosios statistinės eilutės vaizduojamos daugiakampiais.• Absoliučių dažnių daugiakampis - tai laužtinė linija, jungiantitaškus (x i , n i ):x 3ω 3......x kω k• Santykinių dažnių arba empirinio skirstinio daugiakampis tailaužtinė linija, jungianti taškus (x i , ω i ).• Dideliems n empirinio skirstinio forma padeda parinkti teorinįdydžio X skirstinį (pvz., binominį, geometrinį ar Puasono).

Intervalinė statistinė eilutė• Kai (1) imties reikšmių skaičius yra didelis ir jos beveik nesikartoja,yra sudaromos intervalinės statistinės eilutės.• Sudarant intervalinę statistinę eilutę visų pirma randamos imtiesmažiausioji x min ir didžiausioji x max reikšmės.• Po to intervalas [x min ; x max ] dalijamas į k lygių intervalų [α 0 ; α 1 ),[α 1 ; α 2 ), ..., [α k-1 ; α k ]. Kiekvieno intervalo ilgis h = (α k - α 0 ) / k.• Toliau apskaičiuojama, kiek reikšmių patenka į kiekvieną intervalą,t.y. gauname absoliučiuosius n i ir santykinius ω i = n i / n dažniuskiekvienam intervalui [α i-1 ; α i ), i =1, 2,…, k.• Intervalinė statistinė eilutė pateikiama kaip lentelė:Intervalai Dažniai n i Santykiniai dažniai ω i = n i / n Aukščiai ω i / h[ a 0 ; a 1 ) n 1 ω 1 ω 1 / h[ a 1 ; a 2 ) n 2 ω 2 ω 2 / h. . . . . . . . .[ a k-1 ; a k ] n k ω k ω k / h∑ n 1 1 / h

Intervalinės statistinė eilutės vaizdavimas• Kuo didesnis yra intervalų skaičius k, tuo mažiau prarandameinformacijos, tačiau kartu didėja tyrimo sąnaudos. Kai imties tūrisn yra šimtų eilės, paprastai imama 5 ≤ k ≤ 20 intervalų.• Intervalinės statistinės eilutės kartais gali būti vaizduojamos daugiakampiais.Abscisių ašyje (Ox) atidedame kiekvieno intervalovidurio taškus, o ordinačių ašyje (Oy) - dažnius n i arba santykiniusdažnius ω i , i = 1, 2, …, k. Gautus plokštumos taškus sujungiamelaužtine linija ir gauname absoliučių arba santykinių dažniųdaugiakampį.• Tačiau dažniausiai intervalinės statistinės eilutės vaizduojamoshistogramomis. Histograma sudaroma iš stačiakampių, kuriųpagrindai – intervalai [a i-1 ; a i ), i = 1, 2, …, k, o aukštinės - n iarba ω i / h, i = 1, 2, …, k.• Pirmuoju atveju gaunama absoliučiųjų dažnių histograma (visasjos ribojamas plotas lygus n).• Antruoju – santykinių dažnių histograma (visas jos ribojamasplotas lygus 1).

Intervalinės statistinės eilutės pavyzdys• Pavyzdys. Atliekant eksperimentus buvo gautos tokios dydžio X reikšmės:0,7 1,8 1,4 1,2 2,5 2,3 1,1 2,7 1,7 2,61,2 2,7 2,4 2,3 3,7 1,5 3,0 2,3 2,6 0,72,2 1,0 4,3 1,9 1,8 2,7 2,0 1,8 1,2 2,82,2 3,6 2,1 2,0 1,9 1,3 1,0 0,3 1,9 2,61,8 1,7 1,9 1,1 2,6 1,7 3,6 3,0 1,8 1,5Sudarykite intervalinę statistinę eilutę su 5 intervalais. Nubrėžkite santykiniųdažnių daugiakampį ir histogramą.• Duotoje imtyje turime n = 50 reikšmių. Randame mažiausią x min = 0,3 irdidžiausią x max = 4,3 reikšmes. Toliau daliname intervalą [0,3; 4,3] į 5 lygiusintervalus ilgio h = (4,3 – 0,3) / 5 = 0,8 ir apskaičiuojame kiek imties reikšmiųpatenka į kiekvieną intervalą, t.y. dažnius n i , santykinius dažnius ω i = n i / n ,histogramos stačiakampių aukščius - ω i / n.Intervalai Dažniai n i Santykiniai dažniai ω i = n i / n Aukščiai ω i / h[0,3; 1,1) 5 0,10 0,125[1,1; 1,9) 17 0,34 0,425[1,9; 2,7) 18 0,36 0,45[2,7; 3,5) 6 0,12 0,15[3,5; 4,3] 4 0,08 0,1∑ 50 1 1,25

Intervalinės statistinės eilutės histograma• Šios intervalinės statistinės eilutės santykinių dažnių histogramaatrodo taip:• Santykinių dažnių histograma yra empirinės tankio funkcijos, kuriyra teorinės tankio funkcijos statistinis analogas, grafikas.• Empirinis tankis gaunamas iš imties ir užrašomas taip:0,kai x 0,( x) i/ h,kai i x i,i 1,2,..,k, 0 , kai x .pˆ n1• Kai n didelis, o h mažas, šių funkcijų grafikai mažai skiriasi. Todėlkartais iš histogramos pavyksta vizualiai nustatyti teorinio tankiop(x) tipą arba bent jau prielaidas apie jį, pvz., kad tiriamas dydis Xturi normalaus (tolygaus, ...) skirstinio tankį.• Užrašykite nagrinėto pavyzdžio empirinę tankio funkciją.k

Empirinė pasiskirstymo funkcija• Kaip remiantis imtimi įvertinti kitą funkciją, kurį apibrėžia tiriamąatsitiktinį dydį X - pasiskirstymo funkciją F(x) = P(X < x)?• Ap. Empirinė pasiskirstymo funkcija apibrėžiama lygybečia n – imties tūris, o n x – imties (x 1 , x 2 , ..., x n ) reikšmių, mažesniųuž x, skaičius.• Ši funkcija atspindi visą sukauptą santykinį dažnį iki x. Ji yra nemažėjantiir 0 Fˆn( x)1.• Kuo n didesnis, tuo mažiau empirinė pasiskirstymo funkcijaskiriasi nuo teorinės. Kaip užrašyti jos analizinį pavidalą?• Tarkime, kad x 1 , x 2 ,.., x k yra skirtingos imties reikšmės surašytosdidėjimo tvarka, o ω 1 , ω 2 , .., ω k yra jų atitinkami santykiniai dažniai.• Tada empirinė pasiskirstymo funkcija užrašoma taip:0,kai x x1, iˆ nxFn( x) j,kai xi x xi1,i 1,2,..,k 1,n j11, kai x xk.• Šios funkcijos grafikas yra nemažėjanti laiptuota funkcija tarp 0 ir 1.Fˆn( x)nxn,

Empirinė pasiskirstymo funkcija• Kai imties tūris n yra didelis ir jos reikšmės beveik nesikartoja, šispavidalas yra nepatogus.• Tada sudaroma intervalinė statistinė eilutė su k intervalų ir jospagrindu užrašoma šiek tiek kita empirinė funkcija:Fˆn0,kai x 0, i( x) j,kai j11, kai x k.• Vaizduojant šią funkciją vietoj laiptuotos funkcijos dažnainaudojama laužtinė linija, jungianti taškusi1kuri vadinama kumuliante.• Užrašykite nagrinėto pavyzdžio empirinę pasiskirstymo funkciją irpavaizduokite jos kumliantę.x ,ii 1,..,k,( ,iij1 ),ji 0,.., k,

Skaitinių charakteristikų statistiniai įverčiai• Tikimybių teorijoje apibrėžiami ir nagrinėjami atsitiktinio dydžio Xskaitinės charakteristikos: vidurkis, dispersija ir t.t.• Apibrėšime jų statistinius analogus – empirines charakteristikas,apskaičiuojamas imties (x 1 , x 2 , ..., x n ) pagrindu. Jos yra nežinomųteorinių charakteristikų įverčiai.• Ap. Požymio X empiriniu vidurkiu (arba imties vidurkiu)nvadinamas skaičius 1x x i.n i1• Panaudojant diskrečiosios statistinės eilutės žymėjimus ir duomenis,galima skaičiuoti taip:x1nki1n x i i.• Empirinis vidurkis nusako požymio X vidutinę reikšmę.• Tačiau net viena labai didelė (arba maža) imties reikšmė gali labaistipriai įtakoti vidurkio reikšmę ir nutolinti jį nuo dažniausiaiįgyjamų reikšmių ir daugumos imties reikšmių centro.• Todėl praktikoje dažnai naudojamos ir kitos požymio X reikšmiųpadėties skaitinės charakteristikos: moda, mediana, kvantiliai, ...

Imties variacinė eilutė ir moda• Imties variacinė eilutė gaunama surašant visas imties reikšmėsdidėjimo tvarka: x (1) ≤ x (2) ≤ ... ≤ x (n) .• Ap. Imties moda M o vadinama dažniausiai pasikartojanti imtiesreikšmė. Jei visų reikšmių dažniai yra vienodi, sakoma, kad imtismodos neturi.• Jei dviejų gretimų variacinės eilutės reikšmių pasikartojimo dažnisvienodas ir didesnis negu kitų, tai moda yra šių reikšmių vidurkis.• Jei vienodą didžiausią pasikartojimo dažnį turi keletas negretimųreikšmių, tai sakoma, kad imtis turi keletą modų.• Kai imties reikšmės nesikartoja ir sudarome intervalinę eilutę, modavadinamas intervalo su didžiausių dažnių vidurio taškas.• Taigi, norint įvertinti ne vidutinę, o labiausiai tikėtiną tiriamo požymioX reikšmę, naudojame imties modą. Didžiausios ir mažiausios,t.y. kraštinės eilutės reikšmės (išskirtys) modai įtakos neturi.• Pavyzdys. Turima imtis (2; 3; -5; 1; 2; 3; 0; 2; 1; 3). Apskaičiuokiteimties vidurkį ir modą.• Imties vidurkis – 1,2; moda M o = (2+3)/2 = 2,5.

Imties mediana ir kvantiliai• Ap. Imties mediana M d vadinamas skaičius, dalinantis variacinęimties eilutę per pusę, t.y. jeigu eilutės narių skaičius nelyginis –vidurinė reikšmė, o jeigu lyginis – dviejų vidurinių reikšmiųvidurkis:Mdx x (( n1)/( n/2)2), kai x2( n/21)n - nelyginis,kai n - lyginis.• Pavyzdžio imties mediana M d = (2+2)/2 = 2.• Mediena nusako imties reikšmių centrą. Skirtingai nuo imties vidurkio,kraštinės eilutės reikšmės (išskirtys) medianai įtakos nedaro.• Palyginkite dviejų imčių (10; 20; 30; 40) ir (10; 20; 30; 100)vidurkius ir medianas. Kuri charakteristika geriau nurodo reikšmiųcentrą?• Analogiškai toliai galime apibrėžti skaičius, kurie dalina imtįketvirčiais (kvartiliai), tam tikrų procentinių santykių (kvantiliai).,

Imties kvantiliai ir kvartiliai• Ap. Imties q-uoju kvantiliu (0 < q < 1) vadinamas skaičius x q ,dalinantis variacinę imties eilutę į q∙100 ir (1-q)∙100 procentiniųdalių.• Ji apskaičiuojame tokiu algoritmu:1. Iš pradžių apskaičiuojame i = q∙n.2. Jeigu i nėra sveikasis skaičius, tai imama sveikoji jo dalisir tada x q x( i 1) .3. Jeigu i yra sveikasis skaičius, tai x x x ) / 2.• Ap. Kvantiliai, dalinantys variacinę imties eilutę į keturias maždauglygias dalis, vadinami kvartiliais. Jie žymimi Q 1 , Q 2 , Q 3 :t.y. 25% kvantilis,Q2 x0,5 M d , t.y. 50% kvantilis,Q t.y. 75% kvantilis.Q1 x 0,25 ,3 x 0,75 ,• Apskaičiuokite nagrinėto pavyzdžio kvartilius.q( ( i)( i1) i

Imties reikšmių sklaidos charakteristikos• Ap. Imties pločiu vadinamas dydis x (n) - x (1) .• Ap. Požymio X empirine dispersija (arba imties dispersija)nvadinamas skaičius 2 12s (x i x).n 1• Dispersija pamatuoja ir nurodo dydžio X reikšmių išsibarstymąaplink vidurkį.• Pastaba. Tokiu būdu skaičiuojama dispersija kartais vadinamapataisyta arba patikslinta – o skaičiuojama su 1/n.• Dispersijos matavimo vienetas yra dydžio X vieneto kvadratas, kasnėra patogu. Todėl praktikoje dažnai naudojama kitas sklaidosmatas.• Ap. Požymio X empiriniu vidutiniu kvadratiniu nuokrypiu (arbaimties standartiniu nuokrypiu) vadinamas skaičiuss • Apskaičiuokite nagrinėto pavyzdžio imties dispersiją ir standartinįnuokrypį.i12 2s1,ss2.

Uždaviniai savarankiškam darbui1. Atsitiktinai atrinkę 10 puslapių teksto, suskaičiavome, kiek juoseyra klaidų: 0, 2, 1, 0, 4, 1, 3, 2, 0, 1. Sudarykite klaidų skaičiausempirinį skirstinį. Pavaizduokite jį. Raskite empirinę pasiskirstymofunkciją ir nubrėžkite jos grafiką. Raskite empirinį vidurkį,modą, medianą, kvartilius, dispersiją, standartinį nuokrypį.2. Naudodami statistinius matus palyginkite algas (Lt) dviejosebendrovėse:Bendrovė AAA: 5000 3000 600 800 600 1200 600 1000Bendrovė BBB: 2000 2500 1800 800 900 1000 1800 20002. Uždaviniai iš statistikos vadovėlių ir uždavinynų, pvz.,literatūros sąrašo 4-o vadovėlio.