1.4. Rung˙es ir Kuto metodas - techmat.vgtu.lt

22 1 SKYRIUS. PDL PRADINIS UŽDAVINYSSkaičiavimo eksperimento rezultatai, kai sprendžiame šilumos spinduliavimouždavinį pateikti 1.5 lentelėje. Palyginkite šiuos rezultatus su simetrinio Euleriometodo sprendinio paklaidomis, pateiktomis 1.4 lentelėje.1.5 lentelė. Prediktoriaus-korektoriaus metodo tikslumo analizėτ E(τ) E(2τ)/E(τ)1,000 3,523E-6 4,0310,500 8,770E-7 4,0170,250 2,188E-7 4,0090,125 5,461E-8 4,006Prediktoriaus-korektoriaus metodu iš pradžiu˛prognozuojame sprendinio reikšmę,apskaičiuojame ja˛išreikštiniu Eulerio metodu, o paskui, remdamiesi didesniotikslumo skaitinio integravimo formule ir naudodami šia˛reikšmę, patikslinamesprendinį.Pateiksime dar viena˛antrosios tikslumo eilės prediktoriaus-korektoriaus metoda.˛ Šį karta ˛ (1.9) formulėje integrala˛apskaičiuosime pagal viduriniu˛reikšmiu˛algoritma:˛⎧⎪⎨ Y ∗ = Y n + 1 2 τ n+1F (t n , Y n ) ,Y⎪⎩n+1 − Y n(1.38)= F (t n+0,5 , Y ∗ ) .τ n+1Pažymėtina, kad prediktoriaus etape prognozuojame sprendinio reikšmę intervalovidurio taške t = t n+0,5 .1.4.2. Rungės ir Kuto metodo bendroji schemaPrediktoriaus-korektoriaus metode realizuodami viena˛jo žingsnį vektoriausF (t, U) reikšmę skaičiavome dviejuose kiekvieno intervalo [t n , t n+1 ] taškuose. Šitaippavyko sukonstruoti išreikštinį antrosios tikslumo eilės metoda. ˛ Dabar pateiksimemetodo apibendrinima, ˛ kai viename žingsnyje funkcijos F (t, U) reikšmėsskaičiuojamos keliuose taškuose. Juos parenkame taip, kad gautojo artinio tikslumasbūtų kuo didesnis. Toks metodas vadinamas Rungės ir Kuto (Runge - Kutta)metodu.

1.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS 23m- pakopis išreikštinis Rungės ir Kuto metodasSakykime, kad turime koeficientu˛lentelę, kuri dar vadinama Rungės ir Kutometodo matrica:a 2 b 21a 3 b 31 b 32. · · · · · · · · ·a m b m1 b m2 · · · b m,m−1σ 1 σ 2 · · · σ m−1 σ mTada nuosekliai apskaičiuojame išraiškas⎧K 1 = F (t n , Y n ) ,⎪⎨⎪⎩K 2 = F (t n + a 2 τ n+1 , Y n + τ n+1 b 21 K 1 ) ,K 3 = F ( t n + a 3 τ n+1 , Y n + τ n+1 (b 31 K 1 + b 32 K 2 ) ) ,(1.39)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·K m = F ( t n + a m τ n+1 , Y n m−1 ∑ )+ τ n+1 b mj K j .j=1Sprendinio Y n+1 reikšmė apskaičiuojama išreikštine formuleY n+1 = Y n + τ n+1m ∑j=1σ j K j . (1.40)Taigi realizuodami m-pakopio Rungės ir Kuto metodo algoritma˛funkcijosF (t, U) reikšmes skaičiuojame m skirtinguose intervalo [t n , t n+1 ] taškuose.1.4 pavyzdys. Dvipakopis Rungės ir Kuto metodo algoritmas. Prediktoriaus-korektoriausmetodo algoritmai (1.35) – (1.36) ir (1.38) yra atskiridvipakopio Rungės ir Kuto metodo atvejai. Jų koeficientu˛lentelės ir realizavimoformulės tokios:(1.35) – (1.36) algoritmas⎧⎪⎨1 10, 5 0, 5K 1 = F (t n , Y n ) ,K 2 = F (t n + τ n+1 , Y n + τ n+1 K 1 ) ,⎪⎩Y n+1 − Y n= K 1 + K 2.τ n+1 2

24 1 SKYRIUS. PDL PRADINIS UŽDAVINYS(1.38) algoritmas0, 5 0, 50 1⎧⎪⎨⎪⎩K 1 = F (t n , Y n ),K 2 = F ( t n + 1 2 τ n+1, Y n + 1 2 τ n+1K 1),Y n+1 − Y nτ n+1= K 2 .Pateiksime m-pakopio Rungės ir Kuto metodo algoritma.˛procedure Rungės ir Kuto metodo algoritmasbegin1. Pradinės sąlygos skaičiavimast = 0, n = 0for i = 1 to MY N[i] = U 0 [i]end for2. Sprendinio skaičiavimas nauju laiku t n+1while ( (t + τ n+1 ) ≤ T )for i = 1 to MY S[i] = Y N[i]end for3. Tarpinių vektorių K j skaičiavimasfor i = 1 to MK 1 [i] = f i (t, Y S)end forfor j = 2 to mfor i = 1 to MY N[i] = Y S[i]for k = 1 to j − 1Y N[i] = Y N[i] + τ n+1 b jk K k [i]end forend for

1.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS 25endfor i = 1 to MK j [i] = f i (t + τ n+1 a j , Y N)end forend for4. Vektoriaus Y n+1 skaičiavimasfor i = 1 to MY N[i] = Y S[i]for j = 1 to mY N[i] = Y N[i] + τ n+1 σ j K j (i)end forend fort = t + τ n+1n = n + 1end while1.4.3. Rungės ir Kuto metodo koeficientu˛radimasAlgoritmo koeficientai a i , b ij , σ i parenkami taip, kad metodo aproksimacijostikslumas būtų didžiausias. Išnagrinėsime dvipakopį Rungės ir Kuto metoda. ˛ Iššio pavyzdžio bus aišku, kaip koeficientai randami ir bendruoju atveju.Imsime vienos diferencialinės lygties atvejį, kai M = 1. Lygčių sistemu˛analizėatliekama visiškai taip pat, be to, tik Rungės ir Kuto metodams, kuriu˛tikslumoeilė didesnė už ketvirtaj ˛ a, ˛ atsiranda papildomu˛lygčiu, ˛ kurias turi tenkinti metodokoeficientai. Kadangi paprastai randame ne konkretu˛vienintelį nurodyto tikslumoRungės ir Kuto metoda, ˛ o metodu˛šeima, ˛ priklausančia˛nuo keliu˛laisvu˛parametru,˛tai dažniausiai pavyksta patenkinti ir šias papildomas lygtis.Dvipakopio Rungės ir Kuto metodo formulėse yra keturi laisvi parametrai a 2 ,b 21 , σ 1 , σ 2 :K 1 = f(t n , y n ),K 2 = f(t n + a 2 τ, y n + b 21 τK 1 ),y n+1 = y n + τ(σ 1 K 1 + σ 2 K 2 ) .Perrašykime paskutiniaj ˛ a˛lygybę standartine forma:y n+1 − y n= σ 1 f(t n , y n ) + σ 2 f ( t n + a 2 τ, y n + b 21 τf(t n , y n ) ) .τ

26 1 SKYRIUS. PDL PRADINIS UŽDAVINYSMetodo aproksimacijos tikslumo analizė. Priminsime, kad aproksimavimo paklaidavadinamas dydis, gaunamas įrašius į baigtiniu˛skirtumu˛lygtį PDL pradiniouždavinio sprendinį, taigi Rungės ir Kuto algoritmo aproksimavimo paklaida yraψ n = un+1 − u nτ− σ 1 f(t n , u n ) − σ 2 f ( t n + a 2 τ, u n + τb 21 f(t n , u n ) ) .Tarkime, kad diferencialinio uždavinio (1.1) sprendinys ir funkcija F (t, U) tenkinatokias glodumo salygas ˛ (jas užrašome bendrajam PDL sistemos atvejui):|u ′′′i (t)| ≤ C 3 , i = 1, 2, · · · , M, t ∈ [0, T ] ,∂ 2 f i (t, U)∣∂t α ∂u β ∣ ≤ M 2 , α + β + γ = 2 .j ∂uγ kTada teisingi tokie Teiloro skleidiniai:u n+1 − u nτ= u ′ (t n ) + τ 2 u′′ (t n ) + O(τ 2 ) ,f ( t n + a 2 τ, u n + τb 21 f(t n , u n ) ) = f(t n , u n ∂f(t n , u n )) + τa 2∂t+ τb 21 f(t n , u n ) ∂f(t n, u n )+ O(τ 2 ) .∂uDiferencijuodami (1.1) lygtį t atžvilgiu, išreiškiame sprendinio išvestinę:u ′′ = ∂f∂t + ∂f∂u u′ = ∂f∂t + ∂f∂u f .Įrašę šiuos skleidinius į aproksimavimo paklaidos išraiška, ˛ gausime lygybęψ n = (1 − σ 1 − σ 2 )f(t n , u n ) + τ ( )∂f(t n , u n )0, 5 − σ 2 a 2∂t+ τ(0, 5 − σ 2 b 21 )f(t n , u n ) ∂f(t n, u n )+ O(τ 2 ) .∂uNorėdami gauti antrosios tikslumo eilės aproksimacija, ˛ sudarome lygčiu˛sistema˛⎧⎪⎨ σ 1 + σ 2 = 1 ,σ 2 a 2 = 0, 5 ,⎪⎩σ 2 b 21 = 0, 5 .

1.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS 27Taigi keturiems dvipakopio Rungės ir Kuto metodo koeficientams nustatyti gavometris lygtis. Todėl vienas parametras lieka laisvas, tai yra sukonstravome Rungės irKuto metodų šeima, ˛ priklausančia˛nuo parametro σ:12σ12σ1 − σ σJos skaičiavimo formulės diferencialiniu˛lygčiu˛sistemoms yra tokios:⎧⎪⎨⎪⎩K 1 = K(t n , Y n ) ,K 2 = F ( t n + τ2σ , Y n + τ2σ K )1 ,Y n+1 = Y n + τ ( )(1 − σ)K 1 + σK 2 .Imdami σ = 1 ir σ = 0, 5 gauname du atskirus šios Rungės ir Kuto metodo šeimosalgoritmus, išnagrinėtus 1.4 pavyzdyje.Jeigu Teiloro skleidiniuose būtume išrašę ir O(τ 2 ) eilės narius, tai būtumegalėję įsitinkinti, kad vieno papildomo parametro neužteks visus juos prilygintinuliui.Galima ir paprasčiau įrodyti, kad nėra tokio dvipakopio Rungės ir Kuto metodo,kurio tikslumo eilė būtų trečioji. Tam užtenka rasti bent viena˛kontrapavyzdį.Nagrinėkite tokį uždavinį⎧⎨⎩dudt = u ,u(0) = 1 ,kurio sprendinys yra u(t) = e t . Jį aproksimuokime dvipakopiu Rungės ir Kutometodu:Y n+1 − Y nτ= (1 − σ)Y n + σ ( Y n + τ2σ Y n) = ( 1 + τ )Y n .2ir ištirkite šio metodo aproksimavimo paklaid ˛ a (tokia analizė pateikta vadovėlyje,bet pabandykite ją atlikti savatankiškai).

28 1 SKYRIUS. PDL PRADINIS UŽDAVINYS1.4.4. Daugiapakopiai Rungės ir Kuto algoritmaiPanaši analizė rodo, kad ir kitoms m reikšmėms gauname ne viena˛konkretu˛Rungės ir Kuto metoda, ˛ o metodu˛šeima, ˛ priklausančia˛nuo vieno ar keliu˛parametrų.Šiuos parametrus parenkame remdamiesi papildomais kriterijais: algoritmorealizavimo ekonomiškumu, stabilumo reikalavimu ir kitais. Pažymėsime,kad Rungės ir Kuto metodo pakopu˛skaičius (o kartu ir funkcijos F (t, U) reikšmiu˛skaičiavimo skaičius) didėja greičiau nei metodo aproksimacijos tikslumo eilė. Šieduomenys pateikti 1.6 lentelėje.1.6 lentelė. Rungės ir Kuto metodo aproksimacijos tikslumo eilės priklausomybė nuoetapų skaičiausEtapų skaičius m 1 2 3 4 5 6 7 8Tikslumo eilė p 1 2 3 4 4 5 6 6Pateiksime skaičiavimo praktikoje dažniausiai naudojamu˛Rungės ir Kuto algoritmu˛koeficientus:m = 3, p = 3 :0,5 0,51 -1 20,5 0,50,75 0 0,75(1.41)164616291349m = 4, p = 4 :0, 5 0, 50,5 0 0,51 0 0 1161313160,5 0,50, 5√2−121 −√22162− √ 222+ √ 222− √ 262+ √ 2316

1.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS 29Keturpakopiu Rungės ir Kuto metodu išspręsime diferencialiniu˛lygčiu˛sistemos,aprašančios dvieju˛planetu˛judėjimo uždavinį (žr. vadovėlį). 1.7 lentelėjepateikos diskrečiojo sprendinio globaliosios paklaidos E(τ) reikšmės taške t = 1.1.7 lentelė. Keturpakopio Rungės ir Kuto metodo tikslumo analizėτ E(τ) E(2τ)/E(τ)0,1000 3,799E-4 18,9940,0500 2,052E-5 18,5150,0250 1,170E-6 17,5320,0125 6,951E-8 16,838Matome, kad du kartus sumažinus integravimo žingsnį, diskrečiojo sprendinioglobalioji paklaida sumažėja apie 16 kartų.