1.4. Rung˙es ir Kuto metodas - techmat.vgtu.lt

26 1 SKYRIUS. PDL PRADINIS UŽDAVINYSMetodo aproksimacijos tikslumo analizė. Priminsime, kad aproksimavimo paklaidavadinamas dydis, gaunamas įrašius į baigtiniu˛skirtumu˛lygtį PDL pradiniouždavinio sprendinį, taigi Rungės ir Kuto algoritmo aproksimavimo paklaida yraψ n = un+1 − u nτ− σ 1 f(t n , u n ) − σ 2 f ( t n + a 2 τ, u n + τb 21 f(t n , u n ) ) .Tarkime, kad diferencialinio uždavinio (1.1) sprendinys ir funkcija F (t, U) tenkinatokias glodumo salygas ˛ (jas užrašome bendrajam PDL sistemos atvejui):|u ′′′i (t)| ≤ C 3 , i = 1, 2, · · · , M, t ∈ [0, T ] ,∂ 2 f i (t, U)∣∂t α ∂u β ∣ ≤ M 2 , α + β + γ = 2 .j ∂uγ kTada teisingi tokie Teiloro skleidiniai:u n+1 − u nτ= u ′ (t n ) + τ 2 u′′ (t n ) + O(τ 2 ) ,f ( t n + a 2 τ, u n + τb 21 f(t n , u n ) ) = f(t n , u n ∂f(t n , u n )) + τa 2∂t+ τb 21 f(t n , u n ) ∂f(t n, u n )+ O(τ 2 ) .∂uDiferencijuodami (1.1) lygtį t atžvilgiu, išreiškiame sprendinio išvestinę:u ′′ = ∂f∂t + ∂f∂u u′ = ∂f∂t + ∂f∂u f .Įrašę šiuos skleidinius į aproksimavimo paklaidos išraiška, ˛ gausime lygybęψ n = (1 − σ 1 − σ 2 )f(t n , u n ) + τ ( )∂f(t n , u n )0, 5 − σ 2 a 2∂t+ τ(0, 5 − σ 2 b 21 )f(t n , u n ) ∂f(t n, u n )+ O(τ 2 ) .∂uNorėdami gauti antrosios tikslumo eilės aproksimacija, ˛ sudarome lygčiu˛sistema˛⎧⎪⎨ σ 1 + σ 2 = 1 ,σ 2 a 2 = 0, 5 ,⎪⎩σ 2 b 21 = 0, 5 .