1.4. Rung˙es ir Kuto metodas - techmat.vgtu.lt

1.4. RUNGĖS IR KUTO METODAS 27Taigi keturiems dvipakopio Rungės ir Kuto metodo koeficientams nustatyti gavometris lygtis. Todėl vienas parametras lieka laisvas, tai yra sukonstravome Rungės irKuto metodų šeima, ˛ priklausančia˛nuo parametro σ:12σ12σ1 − σ σJos skaičiavimo formulės diferencialiniu˛lygčiu˛sistemoms yra tokios:⎧⎪⎨⎪⎩K 1 = K(t n , Y n ) ,K 2 = F ( t n + τ2σ , Y n + τ2σ K )1 ,Y n+1 = Y n + τ ( )(1 − σ)K 1 + σK 2 .Imdami σ = 1 ir σ = 0, 5 gauname du atskirus šios Rungės ir Kuto metodo šeimosalgoritmus, išnagrinėtus 1.4 pavyzdyje.Jeigu Teiloro skleidiniuose būtume išrašę ir O(τ 2 ) eilės narius, tai būtumegalėję įsitinkinti, kad vieno papildomo parametro neužteks visus juos prilygintinuliui.Galima ir paprasčiau įrodyti, kad nėra tokio dvipakopio Rungės ir Kuto metodo,kurio tikslumo eilė būtų trečioji. Tam užtenka rasti bent viena˛kontrapavyzdį.Nagrinėkite tokį uždavinį⎧⎨⎩dudt = u ,u(0) = 1 ,kurio sprendinys yra u(t) = e t . Jį aproksimuokime dvipakopiu Rungės ir Kutometodu:Y n+1 − Y nτ= (1 − σ)Y n + σ ( Y n + τ2σ Y n) = ( 1 + τ )Y n .2ir ištirkite šio metodo aproksimavimo paklaid ˛ a (tokia analizė pateikta vadovėlyje,bet pabandykite ją atlikti savatankiškai).